momento angolare - Dipartimento di Farmacia

MOMENTO ANGOLARE
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(1)
P
m
v
Q
Si chiama momento angolare o
momento della quantità di moto,
rispetto al punto Q, di un punto
materiale P, la grandezza:
l = QP × p = QP × mv
dove p = mv è la quantità di moto
del punto materiale
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(2)
l = QP × p
⏐l⏐ = ⏐QP⏐⏐p⏐⏐senα⏐
α
l
α
p
P
p
Q
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(3)
P
α
p
α
Q
p
l
l = QP × p
⏐l⏐ = ⏐QP⏐⏐p⏐⏐senα⏐
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(4)
• Il momento angolare è una grandezza vettoriale
• La sua dimensione è ML2/T
• La sua unità di misura nel sistema MKS è
kg.m2/s
• Il momento angolare è sempre riferito ad un punto
dello spazio (Q nella definizione). E’ importante
ricordare questo fatto e, quando si menziona il
momento angolare, citare il punto al quale è
riferito
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(5)
P
m
v
O
Spesso il momento angolare è
riferito all’origine del sistema di
coordinate O. In tal caso il
momento angolare rispetto ad O,
di un punto materiale P, è:
l = OP × p = OP × mv
ovvero:
l = r × p = r × mv
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(6)
l=r×p
⏐l⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐
α
l
p
α
p
Q
P
r
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(7)
• Osserviamo che il momento angolare è nullo se la
velocità è parallela (o antiparallela) al vettore
posizione
⏐l⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐= 0
r
p
P
p
α= 0
α= π
O
l=0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(8)
l
p
α= π/2
r
α= - π/2
P
p
O
l
• Invece il momento angolare è massimo in
modulo (a parità di vettori posizione e quantità
di moto) se la velocità è ortogonale al vettore
posizione
⏐l⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐= ⏐r⏐⏐p⏐
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(9)
P
m
F
Sia F una forza applicata al punto P.
Si chiama momento della forza F,
rispetto al punto Q, la grandezza:
M = QP × F
Q
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(10)
M = QP × F
⏐M⏐ = ⏐QP⏐⏐F⏐⏐senα⏐
α
M
α
F
F
P
Q
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(11)
P
α
F
α
Q
F
M
M = QP × F
⏐M⏐ = ⏐QP⏐⏐F⏐⏐senα⏐
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(12)
• Il momento di una forza è una grandezza
vettoriale
• La sua dimensione è ML2/T2
• La sua unità di misura nel sistema MKS è
N.m/s
• Il momento di una forza è sempre riferito ad un
punto dello spazio (Q nella definizione). E’
importante ricordare questo fatto e, quando si
menziona il momento di una forza, citare il punto
al quale è riferito
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(13)
P
m
F
Spesso il momento di una forza F è
riferito all’origine del sistema di
coordinate O. In tal caso il
momento della forza è:
M=r×F
O
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(14)
M=r×F
⏐M⏐ = ⏐r⏐⏐F⏐⏐senα⏐
α
M
F
α
F
Q
P
r
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(15)
• Osserviamo che il momento di una forza è nullo se
quest’ultima è parallela (o antiparallela) al vettore
posizione
⏐M⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐= 0
r
F
P
F
α= 0
α= π
O
M=0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(16)
M
F
α= π/2
r
α= - π/2
P
F
O
M
• Invece il momento di una forza è massimo in
modulo (a parità di vettori posizione e forza) se
la forza è ortogonale al vettore posizione
⏐M⏐ = ⏐r⏐⏐F⏐⏐senα⏐= ⏐r⏐⏐F⏐
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONI(17)
• Si chiama momento risultante di un insieme di
forze applicate ad un punto materiale la somma
vettoriale dei momenti di tutte le forze applicate al
punto materiale P:
Σ M = r × F1 + r × F2 + … + r × FN = Σi (r × Fi)
• Nel caso di un punto materiale, la somma dei
momenti è uguale al momento della forza
risultante:
Σ M = r × F1 + r × F2 + … + r × FN =
= r × (F1 + F2 + … + FN) =
= r × (Σ F)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DINAMICA DEL MOMENTO
ANGOLARE(1)
dl
⎯⎯
dt
=
d(r × p)
⎯⎯⎯⎯
dt
=
dr
dp
⎯⎯ × p + r × ⎯⎯
dt
dt
dr
⎯⎯ × p = v × mv = 0 , quindi:
dt
dl
dp
⎯⎯
dt
=
r × ⎯⎯ = r × Σ F = Σ M
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DINAMICA DEL MOMENTO
ANGOLARE(2)
• Abbiamo quindi ottenuto, per un punto materiale,
la seguente equazione che regola la dinamica del
momento angolare:
ΣM
dl
= ⎯⎯⎯
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DINAMICA DEL MOMENTO
ANGOLARE(3)
• Un importante corollario della legge precedente è
il seguente:
Se il momento risultante su di un punto materiale
è nullo, allora il suo momento angolare è costante
dl
⎯⎯⎯ = 0
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (1)
• Come la quantità di moto, anche il momento
angolare è molto utile nello studio dei sistemi
con molti corpi
• Anche in questo caso, per semplicità
limiteremo lo studio al caso di due corpi
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (2)
• DEFINIZIONE: Il momento angolare totale di un
sistema a due corpi è la somma vettoriale dei
momenti angolari dei due corpi:
L = l1 + l2 =
= r1 × m1v1 + r2 × m2v2 =
= r1 × p1 + r2 × p2
• Questa definizione si generalizza al caso di tre o più
corpi. Nel caso di N corpi con masse m1, m2, …, mN,
e velocità v1, v2, …, vN, il momento angolare totale
del sistema è
L = l1 + l2 + … + lN =
= r1 × m1v1 + r2 × m2v2 +…+ rN × mNvN
= r1 × p1 + r2 × p2 +…+ rN × pN
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (3)
m2
v1
v2
m1
r1
r2
O
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (4)
• DEFINIZIONE: Il momento risultante di un insieme di
forze applicate ad un sistema di due corpi è la
somma vettoriale dei momenti risultanti sui due corpi:
Σ M = (Σ M )1 + (Σ M )2 =
= r1 × (Σ F)1 + r2 × (Σ F)2
• Questa definizione si generalizza al caso di tre o più
corpi. Nel caso di N corpi con masse m1, m2, …, mN,
e velocità v1, v2, …, vN, il momento risultante delle
forze applicate al sistema è:
ΣM
= ( Σ M ) 1 + ( Σ M ) 2 + … + (Σ M ) N =
= r1 × (Σ F)1 + r2 × (Σ F)2 +…+ rN × (Σ F)N
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (5)
m2
(ΣF)1
(ΣF)2
m1
r1
r2
O
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (6)
v1
m2
m1
v2
• Possiamo generalizzare a questo sistema,
l’equazione della dinamica del momento angolare?
• Ovvero, possiamo trovare una legge, valida per il
sistema a due corpi, simile a quella che vale per un
singolo punto materiale?
ΣM
dl
= ⎯⎯⎯
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (7)
• Esprimiamo la variazione del momento angolare
totale nell’unità di tempo in funzione della
variazione dei singoli momenti angolari nel’unità di
tempo:
• Dalla definizione:
L
=
l1 + l2
segue che:
dL
dl 1
dl2
⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯
dt
dt
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (8)
m1
F1est
F12
F21
m2
F2est
• Come nel caso della quantità di moto, distinguiamo
tra forze interne ed esterne e consideriamo, per
ciascun punto, la forza esercitata dall’altro punto e la
somma delle forze esterne
• Ai due corpi del sistema possiamo applicare
l’equazione della dinamica del momento angolare:
dl1 / dt = r1 × (Σ F)1 = r1 × F12 + r1 × F1est
dl2 / dt = r2 × (Σ F)2 = r2 × F21 + r2 × F2est
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (9)
m1
F1est
F12
F21
m2
F2est
• Calcoliamo la variazione nell’unità di tempo del
momento angolare totale:
dL/dt = dl1/dt + dl2/dt =
= r1 × F12 + r1 × F1est + r2 × F21 + r2 × F2est
= r1 × F12 + r2 × F21 + r1 × F1est + r2 × F2est
• Per la terza legge di Newton, F21 = - F12 , quindi:
dL/dt = r1 × F12 - r2 × F12 + r1 × F1est + r2 × F2est
= (r1 - r2) × F12 + r1 × F1est + r2 × F2est
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (10)
• Se la forza F12 è diretta come la congiungente
tra i due punti materiali, il termine (r1 - r2) × F12
è uguale a zero perché i vettori (r1 - r2) e F12
sono antiparalleli
m1
F12
r1 - r2
F21
m2
F2est
r1
F1est
r2
O
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (11)
• In tal caso:
dL/dt = (r1 - r2) × F12 + r1 × F1est + r2 × F2est
= r1 × F1est + r2 × F2est
= (Σ M) est
• Ovvero, la variazione nell’unità di tempo del
momento angolare totale di un sistema di punti
materiali è uguale al momento risultante delle forze
esterne agenti sul sistema
dL
(ΣM ) est = ⎯⎯⎯
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
SISTEMA A DUE CORPI (11)
• Un importante corollario della legge precedente è il:
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO
ANGOLARE:
Se il momento risultante delle forze esterne agenti
su di un sistema di punti materiali è nullo, allora il
suo momento angolare totale è costante
dL
⎯⎯⎯ = 0
dt
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006