A.4 - Richiami di Idraulica

Idraulica delle correnti: definizioni
Assumiamo un asse z verticale, positivo verso l’alto, avente origine su un
piano di riferimento orizzontale (nei calcoli per gli acquedotti si assume
come riferimento il livello medio del mare).
Per una sezione di corrente con traiettorie sensibilmente parallele
(correnti gradualmente variate) definiamo:
h = z + p/γ
= carico piezometrico [L]
2
H = z + p/γ + U2g = carico totale
[L]
z
p/γ
U 2 /(2g )
= quota
= altezza piezometrica
= altezza cinetica
= energia di posizione (potenziale) per unità di peso
= energia di pressione per unità di peso
= energia cinetica per unità di peso
Q = portata della corrente attraverso una sezione regolare Ω
U = Q/Ω = velocità media della corrente
Nota: si è approssimato a 1 il coefficiente di ragguaglio per l’energia cinetica.
altezza piezometrica 6= carico piezometrico
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
A.4 - Richiami di Idraulica
( 1 / 20 )
Correnti in pressione e a pelo libero
Corrente a pelo libero
Corrente in pressione
U21/2g
Linea
Linea
dei cari
chi tota
U21/2g
dei cari
li (H)
chi pie
zometr
ici (h)
Linea
dei cari
chi tota
li (H)
Pelo li
bero
U22/2g
Y1
U22/2g
P2 / γ
Y2
P1 / γ
H1
H1
h1
h2
H2
z2
h1
h2
zf1
zf2
z1
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
A.4 - Richiami di Idraulica
( 2 / 20 )
H2
Lunghe condotte: ipotesi
Si confonde la lunghezza effettiva delle condotte con la lunghezza
della sua proiezione orizzontale
Si trascurano tutte le perdite di carico concentrate, si considerano
solo le perdite di carico distribuite
2
Si trascura l’altezza cinetica della corrente U2g : si confonde la linea
dei carichi totali con la linea dei carichi piezometrici (H ≡ h)
Condizioni di moto nelle condotte
Si considera sempre il moto permanente (∂/∂t = 0).
Spesso si assume anche uniforme: velocità (medie temporali U, se il moto è
turbolento) indipendenti dalla coordinata spaziale nella direzione del moto.
Talvolta è gradualmente variato (es. condotte con distribuzione uniforme).
Si considera in ogni caso il moto dell’acqua (incomprimibile) in tratti di condotta
indeformabile a sezione Ω costante, perciò il rapporto Q/U risulta costante:
quindi valgono leggi di proporzionalità tipo J ∝ U α ⇒ J ∝ Q α e viceversa.
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
A.4 - Richiami di Idraulica
( 3 / 20 )
Equazione del moto e perdite di carico distribuite
L’equazione del moto esprime la variaz. di carico totale per unità di lunghezza
della condotta. Assumiamo per le ip. di lunghe condotte H ∼
= h e l’asse x
orizzontale con direzione-verso ottenuti dalla proiez. della velocità in condotta:
dh
dh
= −J
J≥0
≤0
dx
dx
Il carico piezometrico diminuisce sempre nel verso del moto.
La formula più generale per J (perdita di carico distribuita o pendenza
motrice o cadente) è quella di Darcy-Weisbach:
J=
λ U2
D 2g
J≥0
il coefficiente d’attrito (o di resistenza) λ adimensionale è funzione del numero
di Reynolds Re = (ρUD)/µ (dipendenza di λ dalla velocità) e di uno o più
parametri di scabrezza rs , ad es. /D nell’abaco di Moody:
λ = λ(Re , )
D
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 4 / 20 )
Regimi di moto di scarso interesse per gli acquedotti
(Re < 3500)
Re < 2000 ÷ 2500: Regime laminare
Si ricava una espressione esatta per λ (equivalente alla legge di
1 γΩ
Hagen-Poiseuille U = 8π
µ J):
λ=
64
Re
J∝U
2000 ÷ 2500 < Re < 3500: Zona critica
É caratterizzata da regime di moto instabile, la legge di resistenza non è
ben definita.
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 5 / 20 )
Regimi di moto di interesse per gli acquedotti (Re > 3500)
Formula di Colebrook-White
1
√ = −2 log
λ
2.51
√ +
Re λ 3.71D
(1)
All’aumentare
del√rapporto fra il secondo e il primo termine della somma
√
( D · Re λ = U
λ), si verificano i seguenti regimi di moto:
ν
Regime di moto
tubo liscio
εU
transizione
assol. turb.
D
√
· Re λ
< 14
14 ÷ 200
> 200
√1
λ
appross. (1)
2.51
≈ −2 log R √λ
e
eq. (1) completa 1
√ ≈ −2 log
3.71D
λ
λ
α
λ(Re )
1.75 ÷ 1.8
λ(Re , D )
λ( D )
1.8 ÷ 1.9
2
I valori per l’esponente α che esprime le proporzionalità J ∝ U α e
J ∝ Q α si riferiscono a formule pratiche. α caratterizza il regime di moto.
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( 6 / 20 )
Abaco di Moody
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 7 / 20 )
Espressioni pratiche per moto assolutamente turbolento
Formula di Chézy
Proposta per il moto uniforme nei canali, viene utilizzata anche per il
moto assolutamente turbolento (α = 2) nelle condotte in pressione:
√
U = χ RJ
U2
J= 2
χ R
=⇒
Espressioni utilizzate per il coefficiente di resistenza dimensionale χ
χ=
87
1 + √γR
χ = ks R 1/6
(Bazin)
χ=
(Gauckler-Strickler)
100
1 + √mR
χ=
1 1/6
R
n
(Kutter)
(Manning)
Scabrezze γ, m, ks , n in tabelle: unità di tutte le grandezze in metri e secondi
R = raggio idraulico (per condotte circolari di diametro D: R = D/4)
q
Legame con la formula di Darcy-Weisbach: χ = 8g
λ
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( 8 / 20 )
Coefficienti di scabrezza delle tubazioni
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 9 / 20 )
Espressione di Contessini per le perdite distribuite
Spesso nella progettazione degli acquedotti viene utilizzata una
espressione monomia (proposta da Contessini) per le perdite di carico:
Qα
J=k n
D
Il parametro α caratterizza il regime di moto
Regime
Regime
Regime
Regime
laminare
di tubo liscio
di transizione
assolutamente turbolento
α=1
α ∈ [1.75 ÷ 1.8]
α ∈ [1.8 ÷ 1.9]
α=2
I parametri k ed n dipendono dalla scabrezza della condotta
Per la semplicità nelle derivazioni ed integrazioni analitiche, la formula di
Contessini viene spesso preferita alla formula di Colebrook-White.
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( 10 / 20 )
Espressione di Contessini per moto turbolento (α = 2):
derivazione di k e n da altre formule
Tubazione di cui siano noti e assegnati i coefficienti di scabrezza, ad esempio
per le formule di Colebrook-White (), o di Bazin(γ), o di Kutter (m).
λ
J
=
f
(D,
)
=
f
(D)
λ
=
λ(
)
=
Darcy-Weisbach
Q2
Ω2 D2g
D
J
1
= 2 2 = f (D, rs ) = f (D)
2
Q
Ω χ R
Chézy
J
= kD −n
2
Q
Contessini
=⇒ log
rs = γ, m
log (J/Q2 )
J
= log k − n log D
Q2
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
2
Per alcuni diametri Di si calcola (J/Q )i con DarcyWeisbach/Chézy: da best-fit su diagramma bilogaritmico si ricava intercetta (log k) e pendenza (−n)
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1
0
1
0
log D
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( 11 / 20 )
Espressione di Contessini per moto turbolento (α = 2):
valori di k, n per alcune scabrezze Kutter e Bazin
Contessini:
Qα
J=k n
D
Moto assolutamente
turbolento: α = 2
scabrezza di origine
Kutter: m = 0.175
Kutter: m = 0.275
Kutter: m = 0.375
Bazin: γ = 0.10
Bazin: γ = 0.16
Bazin: γ = 0.18
Bazin: γ = 0.20
Bazin: γ = 0.23
k
0.0012
0.0016
0.0020
0.00127
0.00150
0.00160
0.00170
0.00190
n
5.26
5.36
5.44
5.14
5.29
5.30
5.34
5.32
Per il funzionamento dell’acquedotto al termine della durata
tecnico-economica si deve fare riferimento
alle scabrezze delle condotte in servizio.
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( 12 / 20 )
Perdite di carico: condotte con funzione di solo trasporto
dh
= −J
dx
Qα
J = k n = cost
D
− dh = Jdx
Fissiamo sempre un orientamento della condotta dalla estremità 1 alla 2.
A) Moto da sez 1 a 2 (Fig. 1a). Integrale da x = 0 (sez 1) a x = L (sez 2):
Z
h2
h1
Z
−
L
Z
dh = h1 − h2 =
dh =
h1
h2
0
Qα
Jdx = LJ = Lk n
D
B) Moto da sez 2 a 1 (Fig. 1b). Integrale da x = 0 (sez 2) a x = L (sez 1).
Si ottiene l’espressione generale:
Qα
∆h = h1 − h2 = δLk n
D
δ = +1: moto 1 −→ 2 (caso A)
δ = −1: moto 1 ←− 2 (caso B)
La portata Q non contribuisce al segno perché è sempre positiva.
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( 13 / 20 )
Condotte con funzione di solo trasporto: due casi
Figura 1a
Figura 1b
∆ h = h 1− h2 > 0
∆h = h1− h 2 < 0
∆h>0
∆h<0
h(x)
h(x)
2
h1
h2
h1
dh
= cost
dx
1
0
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L
L
x
Moto diretto dall’estremo 1 al 2.
∆h = h1 − h2 = Lk
h2
1
Qα
Dn
x
L
2
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L
0
Moto diretto dall’estremo 2 al 1.
∆h = h1 − h2 = −Lk
Nota: il verso dell’asse delle x è sempre concorde al verso del moto.
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( 14 / 20 )
Qα
Dn
Perdite di carico: condotte con funzione di distribuzione
Portata distribuita uniformemente per unità di lunghezza di condotta: p
Portata totale distribuita da una condotta lunga L: P = pL
Fissiamo sempre un orientamento della condotta dalla estremità 1 alla 2.
Indichiamo con Q1 e Q2 le portate (positive) alle estremità 1 e 2
Condotta senza sezione neutra, moto sempre da sez 1 a 2 (Fig. 2a).
Integrale da x = 0 (sez 1) a x = L (sez 2):
Q(x)α
6= cost
Q(x) = Q1 − px
dQ = −pdx
J(x) = k
Dn
Z Q2
Z L
Z L
Q(x)α 1
Q(x)α
k
dx = −
dQ
h1 − h2 =
J(x)dx =
k
Dn
Dn p
Q1
0
0
∆h = h1 − h2 =
kL
1
(Q1α+1 − Q2α+1 )
n
D P (α + 1)
Si ottiene la stessa equazione nel caso il moto sia diretto da sez. 2 a 1 (Fig. 2b)
e per distributrici con sezione neutra (Figure 3a, 3b, 3c);
l’equazione è indipendente dai versi effettivi del moto nelle due estremità 1 e 2.
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( 15 / 20 )
Condotte con funzione di distribuzione (senza sezione neutra)
Figura 2a
Figura 2b
∆ h = h 1− h2 > 0
∆h = h1− h 2 < 0
∆h>0
∆h<0
h(x)
h(x)
Q2
Q1
2
h1
h2
1
dh
6= cost
dx
h2
1
h1
2
p
P = pL
p
P = pL
Q1
0
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L
L
x
x
L
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L
Q2
0
Moto diretto dall’estremo 1 al 2.
Moto diretto dall’estremo 2 al 1.
Q1 > Q2 → ∆h > 0
Q1 < Q2 → ∆h < 0
Stessa equazione per ∆h: il segno cambia in relazione a Q1 ≶ Q2 .
∆h = h1 − h2 =
kL
1
(Q1α+1 − Q2α+1 )
n
D P (α + 1)
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 16 / 20 )
Condotte con funzione di distribuzione (con sezione neutra) - I
Traccia per il calcolo del ∆h
Figura 3a (sez. neutra a destra)
Posizione della sezione neutra:
L1 = Q1 /p ; L2 = Q2 /p =⇒
=⇒ L1 /L2 = Q1 /Q2
∆ h = h 1− h2 > 0
∆h>0
Q2
h1 − hN =
2
k
1
(Q1α+1 − 0)
n
D p (α + 1)
h1
N
1
1
k
(Q2α+1 − 0)
h2 − hN = n
D p (α + 1)
h2
hN
p
P = pL
Q1
0
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L1
La differenza di carico ∆h si ricava
sottraendo le due equazioni.
x
L
L
L2
Q1 > Q2 → ∆h > 0
Stessa equazione per ∆h: il segno cambia in relazione a Q1 ≶ Q2 .
∆h = h1 − h2 =
kL
1
(Q1α+1 − Q2α+1 )
n
D P (α + 1)
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 17 / 20 )
Condotte con funzione di distribuzione (con sezione neutra) - II
Figura 3c (sez. neutra al centro)
Figura 3b (sez. neutra a sinistra)
∆ h = h 1− h2 = 0
∆h = h1− h 2 < 0
∆h<0
Q2
Q1
h2
1
2
hN
p
P = pL
x
L
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L
L1
h1
dh
6= cost
dx
N
h1
2
N
1
h1
hN
p
P = pL
Q1
Q2
0
0
L2
Piano orizzontale di RIFERIMENTO
(livello medio del mare)
L
L1
Q1 < Q2 → ∆h < 0
L
L2
Q1 = Q2 → ∆h = 0
Stessa equazione per ∆h: il segno cambia in relazione a Q1 ≶ Q2 .
∆h = h1 − h2 =
kL
1
(Q1α+1 − Q2α+1 )
n
D P (α + 1)
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 18 / 20 )
x
Le equazioni di continuità
Equazioni di continuità ai nodi
X
Qu = 0
Q u = portata uscente dal nodo con segno (es. + se uscente dal nodo)
Equazioni di continuità per le condotte di distribuzione
Q1 + Q2 = P
Q1 = portata al nodo 1 (con segno, es + se entrante in condotta)
Q2 = portata al nodo 2 (con segno, es + se entrante in condotta)
P = portata distribuita complessivamente dalla condotta (> 0)
NOTA: la portata è positiva per definizione,
tuttavia per scrivere le equazioni di continuità in forma compatta
sono state introdotte sopra delle convenzioni sul segno.
Le equazioni del moto continuano invece ad essere valide con le portate positive
(quindi espresse in modulo, se si è introdotto il segno).
Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda
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( 19 / 20 )
Le equazioni disponibili dall’idraulica: L + N + Ld
L (= numero totale di condotte) equazioni del moto:
h1,i − h2,i

Qiαi


solo trasporto
 δi Li ki ni
Di
i = 1, · · · , L
=
1
ki Li

αi +1
αi +1

− Q2,i ) distribuzione
(Q
 ni
Di Pi (αi + 1) 1,i
δi = +1 per moto 1 −→ 2,
δi = −1 per moto 1 ←− 2
N (= numero totale di nodi) equazioni di continuità ai nodi:
X
Qj,i = 0
j = 1, · · · , N
i
sommatoria estesa a tutte le condotte i aventi un estremo nel nodo j.
Ld (= numero condotte distribuzione) equazioni continuità nelle condotte:
Q1,i + Q2,i = Pi
i = 1, · · · , Ld
Nelle equazioni di continuità le portate hanno segno + se entranti in condotta.
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A.4 - Richiami di Idraulica
( 20 / 20 )