le molle - Gilera Bi4 community

Un esempio di una struttura 3D: le molle
Le molle
2
La molla è un elemento meccanico progettato per sopportare elevate
deformazioni elastiche, senza rimanere deformato in modo permanente.
Grazie a ciò possono accumulare molta energia elastica, per poi cederla
quando richiesta.
Applicazioni caratteristiche:
•accumulatore di energia per il comando di piccoli meccanismi;
•dispositivi di attenuazione delle vibrazioni;
•generazione di forze di valore controllato;
•misura di forze;
•realizzazione di sistemi vibranti con frequenza assegnata.
Le molle
3
La curva caratteristica di una molla è generalmente definita in funzione della forza
esterna applicata, P, e dello spostamento del punto di applicazione del carico, la
freccia f:
P = P(f)
La rigidezza della molla è definita come:
K = dP/df
Lineare
K costante
dura
dolce
Le molle
4
molle a caratteristica mista
Molle
5
Classificazione delle Molle
•
secondo le Azioni Interne prevalenti:
•molle di Torsione,
•molle di Flessione,
•molle di Trazione-Compressione
•
secondo la Forma:
•molle (di torsione) ad Elica Cilindrica,
•molle a Lamina,
•molle a Tazza;
Le molle
6
Parametri Essenziali della molla:
Carico Esterno Applicato:
P
C
Cedimento:
forza
coppia
f freccia (spostamento nella direzione della forza P)
ϕ rotazione (della sezione a cui si applica la coppia)
Molle di torsione
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Sono molle in cui il principale stato di sollecitazione è appunto quello di
torsione.
Possono essere suddivise in due tipi:
ad asse rettilineo (barre di torsione);
avvolte (ad elica o altro).
8
Le molle ad elica cilindrica
9
Nelle molle ad elica cilindrica la caratteristica di sollecitazione prevalente
per ogni sezione e’ il momento torcente.
E’ più diffuso il tipo di molla detto a compressione, in quanto il
collegamento tra molla ed elementi del meccanismo è molto semplice:
le estremità della molla vanno opportunamente lavorate in modo da
presentare superfici di estremità piane.
Alcune configurazioni (UNI 7900-1):
• Aperta
• Chiusa
• Chiusa e molata
• Rastremata, chiusa e molata
Le molle: considerazioni geometriche
Simboli:
• d = diametro del filo della molla
• D = 2R = diametro del cilindro sul
quale è avvolto l’asse del filo della
molla
• α = angolo di avvolgimento = 5÷6°
• p0 = 2πR tanα = passo della molla
scarica
• P = forza sull’asse della molla
• ν = p0 – d = passo interspira a molla
scarica
• i = numero di spire e frazioni di spira
attive
• l = 2πRi = lunghezza del filo
10
P
v
L
p0
P
11
Molle ad elica cilindrica
Quali sono le azioni interne?
Supponiamo α=0
P
P
PR
R
P
P
P
P
Mt
12
Molle ad elica cilindrica
α⎯0
Pcosα
P
Psinα
Pcosα
P
Psinα
Le molle: considerazioni sugli sforzi
N = P sin α ;
T = P cos α ;
Mt = PR cos α ;
Azione assiale
Taglio
Momento torcente
Mf = PR sin α ;
Momento flettente
α := angolo di avvolgimento dell'elica media
1) α in generale piccolo
cosα ≈ 1
sinα ≈ 0
N = P sin α ≈ 0
T = P cos α ≈ P
Mt = PR cos α ≈ PR
Mf = PR sin α ≈ 0
13
Le molle: considerazioni sugli sforzi
14
Si definisce rapporto caratteristico c: = D/d
2) Si ipotizza che c ≥ 10, cioè il filo è piccolo rispetto al diametro di
avvolgimento dell’elica (curvatura piccola). In questo modo si può trattare
il problema come una barra di torsione.
γ
PR
φ
τ max =
PR
l = 2πRi
Mt ⋅ d
M ⋅ d 16 PR
= t 3 =
2⋅ Jp
πd
πd3
2⋅
32
γ = scorrimento sulla superficie esterna del cilindro =
τ
G
τ 4π R ⋅ i
2π R ⋅ i
=
γ
⋅
= ⋅
φ = rotazione della sezione di estremità
d
G
2
d
16 PR 4π R ⋅ i 16c 2 Pi
=
⋅
=
d
Gπ d 3
Gd 2
Dimensionamento delle molle
Per dimensionare le molle di devono definire le grandezze
caratteristiche:
9Rapporto caratteristico c=D/d
9Numero di spire attive i
9Rigidezza (freccia)
9Condizione di massima sollecitazione
Ipotesi:
9c≥10 curvatura tracurabile
9Comportamento lineare del materiale
15
Le molle:calcolo della deformabilità
16
Il primo problema è il calcolo della rigidezza.
Detto dϕ l’angolo di rotazione elastica delle sezioni l’una rispetto all’altra e dl la
lunghezza dell’elemento infinitesimo, dal bilancio tra il lavoro compiuto dalla
forza esterna e l’energia elastica accumulata risulta:
1
1
1
M t ⋅ dl
P ⋅ f = ∫ M t ⋅ dϕ = ∫ M t
2
2 l
2 l
G ⋅ JP
Le
Li
P
f
Le molle:calcolo della deformabilità
Ricordando che:
17
Mt = P ⋅ R
1
1 P 2 ⋅ R 2 ⋅ dl
P⋅ f = ∫
2
2 l G ⋅ JP
P ⋅ R2
f =
G ⋅ JP
P ⋅ R2
32 P ⋅ R 2
∫ l dl = G ⋅ J P l = G ⋅ π ⋅ d 4 l =
32 P ⋅ R 2
64 P ⋅ R 3
=
2π R ⋅ i =
i
4
4
G ⋅π ⋅ d
G⋅d
P
G⋅d4
k= =
f 64 ⋅ R 3 ⋅ i
K=
Gd
8c3i
Rigidezza
Gd
N spire attive
i= 3
8c K
Le molle: considerazioni di
dimensionamento
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Per un corretto dimensionamento, occorre assicurarsi che per effetto del
carico P la molla non vada a pacco: f(m) ≤ fp
8c3i
⋅ P < i ⋅ v = i ⋅ (2π R ⋅ tan α − d )
Gd
8c 3 mg < (π ⋅ c ⋅ tan α − 1) ⋅ Gd 2
m < mp =
(π ⋅ c ⋅ tan α − 1) ⋅ Gd
8g ⋅ c 3
v
2
L
Le molle: considerazioni di
dimensionamento
19
Occorre infine tenere conto anche della condizione di resistenza:
τ lim
τ max( pacco )
dove:
=η
η > 1.25 per garantire sicurezza
η < 1.5 per evitare sovra-dimensionamento
τ lim = τ sn =
τ max( pacco ) =
τ max( pacco )
Rm
3
16 M t ( pacco )
πd
3
=
16 K ⋅ f p ⋅ R
πd
3
G (πc ⋅ tan α − 1)
=
πc 2
=
16
Gd (π c ⋅ tan α − 1)
diR
3
2GR (π c ⋅ tan α − 1)
8c i
=
πd3
π c3d
Le molle: coefficiente di ottimizzazione
Attitudine della molla ad utilizzare il
materiale che la costituisce rispetto
alla distribuzione degli sforzi
L /V
m=
Zmax
L
20
lavoro assorbito dalla molla
1
f2
L = ∫ Pdf = Pf = K
2
2
0
f
V
volume
Zmax
Lavoro specifico nel punto di massima sollecitazione
Zmax
1
=
(σ12 + σ 22 + σ 32 ) − 2ν (σ1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ1 )
2E
[
σ1, σ2, σ3 sollecitazioni principali nel punto più sollecitato
]
Le molle ad elica cilindrica: calcolo di m
Lavoro assorbito
L=
1
1
1V 2
Pf = M tϕ =
τ max
2
2
4G
π 2d 2
Volume
V=
Lavoro specifico
L τ 2max
=
V 4G
Lavoro specifico max
21
Zmax =
Coefficiente di ottimizzazione
2
τ 2max
2G
Ri
(σ1=τ σ2=0 σ3=-τ)
1
m=
2
Le molle ad elica cilindrica
22
Le barre di torsione
23
Le barre di torsione sono generalmente a sezione circolare e
presentano un fattore di ingombro distribuito prevalentemente
nella sola direzione assiale
La lunghezza l, detta lunghezza equivalente, è funzione di L e di
L0 ed è la grandezza di riferimento per i calcoli in quanto tiene in
considerazione la deformabilità delle zone di raccordo e delle
teste di presa. Nei calcoli si suppone inoltre che la sezione sia a
diametro costante.
Le barre di torsione
τ max
16
=
C
3
π ⋅d
24
τ max
d
16
l
C
ϕ ⋅ = γ max ⋅ l =
⋅l =
3
2
G
G
π ⋅d
32l
C
ϕ=
4
G ⋅π ⋅ d
La rigidezza della barra: H =
G ⋅π ⋅ d
=
ϕ
32l
C
4
Le barre di torsione
25
Il lavoro assorbito è:
1
1 2 32l
1 π 2 ⋅d6 2
32l
π d 2 ⋅l 2
τ max
τ max =
L = C ⋅ϕ = C
=
=
4
2
4
G ⋅π ⋅ d
G ⋅π ⋅ d
2
2
2 16
16 G
Il volume:
π ⋅d2
4
Z max
l
2
1 τ max
=
2 G
1
m=
2
2
L τ max
=
V 4G
π ⋅d2
l
4 τ2
max
4G
Le barre di torsione
26
La barra ha caratteristica lineare, ma se la coppia è applicata con una
manovella inclinata di un angolo α sulla normale alla direzione di carico.
Per un carico P generico la manovella ruota di un angolo ϕ, cui corrisponde
un abbassamento del punto di carico (freccia) f.
C = P ⋅ r ⋅ cos(ϕ − α )
27
Le barre di torsione
C non aumenta linearmente con il carico P; assunta H la rigidezza
torsionale della barra, ϕ sarà:
C
ϕ=
H
Rigidezza:
H=
π d 4G
32 l
f = r ⋅ sin α + r ⋅ sin(ϕ − α ) = r [sin α + sin(ϕ − α )]
C
H ⋅ϕ
=
P=
r ⋅ cos(ϕ − α ) r ⋅ cos(ϕ − α )
dP
dP dϕ H 1+ ϕ ⋅ tg(ϕ − α )
=
= 2
K=
df
df
r
cos2 (ϕ − α )
dϕ
Le barre di torsione
28
la relazione tra P ed f ( la caratteristica della barra) non è lineare.
Si avrà una caratteristica della molla inizialmente dolce, che diventerà
dura per carichi più elevati.
Inoltre si può notare che per ϕ tendente a π /2 (manovella in posizione
verticale rivolta verso il basso) la rigidezza k tende a infinito.
Molle a flessione
•
•
•
29
Sono molte usate
Hanno forme diverse e spesso sono curve. Esistono 3 gruppi:
molle a Balestra,
molle a Spirale,
molle a Tazza.
Non esiste uno schema di calcolo standard
Caso elementare di
lamina piana rettangolare
P
h
l
b
x
Molle a flessione
σf =
30
6Px
Sollecitazione di flessione σ f max = 6Pl2
bh
bh 2
Sollecitazione di
flessione massima
Per calcolare la freccia considero ancora l’equilibrio tra Li (lavoro compiuto
dalle forze esterne e Li (energia di deformazione elastica immagazzinata)
1
Pf =
2
l
∫
0
Pl 3 4Pl 3
=
f =
3EI Ebh 3
m=
1
9
1 M2
1 P 2 L3
dx =
2 EI
2 3EI
Freccia
Coefficiente di utilizzo
Ebh 3
K=
4l 3
Rigidezza
Altri metodi per calcolare la rigidezza
Teorema di Castigliano:
∂U
= f
∂F
F
f
Applichiamo ad una mensola soggetta ad una forza di estremità:
1
U=
2
l
∫
0
M2
1
dx =
2
EI
1 Fl 3
∂U
= f =
3 EI
∂F
l
∫
0
F 2 x2
1 F 2l 3
dx =
6 EI
EI
31
Principio dei Lavori Virtuali (PLV)
32
32
Ad un sistema deformabile in equilibrio è applicato un campo di spostamenti virtuali
(spostamenti infinitesimi, conformi ai vincoli, continui e derivabili)
F
f
Struttura con deformata
reale (congruente)
Struttura ausiliaria per
il calcolo degli sforzi
(equilibrata)
x
M=Fx
M’=1x
Lest=Lint
Lavoro esterno Lest=1.f
Lavoro interno Lint =
l
∫ σ ε dV = ∫ M dθ
,
x x
0
V
1⋅ f =
l
∫
0
3
Fx
Fl
dx =
M , dθ = ∫ 1⋅ x
EI
3EI
0
l
x
Molle a flessione con lamina a pianta trapezia
33
b − b′
bx =
x
l
σx =
6P ⋅ x
bx ⋅ h 2
Molle a flessione con lamina a pianta trapezia
Ipotesi di lamina stretta e piccole deformazioni:
Momento di inerzia:
6P ⋅ x
σx =
bx ⋅ h 2
1
J x = bx ⋅ h 3
12
Freccia con larghezza costante:
Larghezza variabile:
f ′ =η ⋅ f
P ⋅l3
4P ⋅ l 3
f =
=
3E ⋅ J E ⋅ b ⋅ h 3
(η > 1)
η≅
3
2+β
⎧1 per pianta rettangolare
b′
=β =⎨
b
⎩0 per pianta triangolare
34
Molle a flessione con lamina a pianta triangolare
35
La lamina a pianta triangolare differisce da quella trapezia per il fatto di avere larghezza
b’ nulla nell’estremo libero; la quantità bx diverrà:
b
bx = x
l
Si avrà allora un coefficiente η pari a 1,5, da cui se ne ricava l’espressione della freccia:
4P ⋅ l 3
f ′ = 1,5
E ⋅ b ⋅ h3
e un’interessante proprietà dello sforzo flessionale, che sarà dato da:
σ f max = σ x max =
6 P ⋅ x 6l ⋅ P ⋅ x 6 P ⋅ l
= 2
=
2
bx ⋅ h
h ⋅ b ⋅ x b ⋅ h2
ovvero un valore costante dello sforzo per tutta la lunghezza della lamina:
si dice, infatti, che tale tipo di lamina è una lamina ad uniforme resistenza.
Molle a flessione: coefficiente di utilizzo
36
Ipotesi di piccole deformazioni:
m=
2η
9(1 + β )
1
1
<m<
9
3
dati dal rapporto β: il valore minore è associato alla lamina a pianta rettangolare (β = 1),
mentre il maggiore vale per la lamina a pianta triangolare (β = 0).
Al di fuori dell’ipotesi di piccole deformazioni, occorre adottare dei coefficienti correttivi,
i cui andamenti sono illustrati in figura:
Gli andamenti (non i valori ) di εf ed εσ sono completamente analoghi. Espressioni corrette:
4P ⋅ l 3
f =η ⋅
⋅ (1 − ε f )
E ⋅ b ⋅ h3
σ f max =
6P ⋅ l
⋅ (1 − ε σ )
2
b⋅h
Molle a balestra
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Si cerca una molla che sfrutti in maniera ottimale il materiale,
cioè che massimizzi il coefficiente di utilizzo.
Questo si ottiene facendo corrispondere alle zone con momento flettente più elevato, le
sezioni con maggiore momento d’inerzia. L’uso di solidi a uniforme resistenza appare
adeguato, per cui la soluzione al problema iniziale può essere data da una lamina con
una pianta:
Molle a balestra
38
l’ingombro trasversale è rilevante: si suddivide la lamina in tante strisce longitudinali:
Se si collegano tra loro le lamine tramite delle staffe, in modo che tutte abbiano la
stessa deformata, come quella della foglia intera, allora la risposta della balestra è
pari a quella della lamina.
Molle a balestra
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Nella pratica costruttiva occorre realizzare dei “riccioli” (occhielli) agli estremi della
foglia madre per l’ancoraggio dei perni:
Occorre inoltre partire da una lamina iniziale a doppio trapezio, sicché il carico sul ricciolo
possa distribuirsi su un’area adeguata.
Si calcolerà dunque la molla a balestra come se si trattasse di una lamina a doppio trapezio.
Le staffe consentono piccolissimi sfregamenti tra foglia e foglia che in teoria non dovrebbero
esserci.
Nella realtà invece il vantaggio delle molle a balestra è proprio quello di avere “buoni”
sfregamenti senza la presenza delle staffe.
Molle a balestra
40
Le lamine sono “pre-deformate” in modo che
durante il loro lavoro a regime assumano una
configurazione rettilinea.
20
10
Conoscendo f10, si può calcolare il carico P10 che “spiana” la lamina per successive
approssimazioni, da
4P ⋅ l 3
⋅ (1 − ε f )
f ( P) = f = η ⋅
3
E ⋅b ⋅ h
Il procedimento per calcolare la freccia f di una lamina sottoposta ad un
generico carico P è retto dalla seguente sequenza:
P20 = P10 − P
P20
⇒
f 20
f = f10 − f 20
essendo nota la freccia f10, imposta in sede di costruzione, e di conseguenza il carico P10.
Molle a balestra
41
Molle a spirale
42
Sono molle di flessione formate da un elemento elastico il cui asse giace in
un piano e si avvolge a spirale.
Molle a tazza
43
9Ha la forma di una rondella di spessore costante leggermente conica
9I carichi assiali sono distribuiti lungo i bordi interni ed esterni
9In genere sono usati più elementi contemporaneamente
9In questo modo si ottengono caratteristiche elastiche molto diverse