SCELTE COLLETTIVE

SCELTE COLLETTIVE
SCELTE COLLETIVE
Vi siano: p giudici o decisori o individui; un insieme A finito di n alternative.
Sia definita per ogni giudice i ( i = 1,2, ... , p ) una relazione di preferenza ≥i sull'insieme
A, che rappresenta un ordine debole;
in sostanza con a ≥i b si intende che l'alternativa a per il giudice i è almeno tanto buona
quanto l'alternativa b.
Problema. Trovare un ordine debole ≥g che rappresenti il "consenso" degli ordini deboli
individuali (≥1 ,≥2,...,≥ p).
Il problema sarà quindi quello di passare dalle preferenze individuali a una preferenza
di gruppo.
FUNZIONI DI BENESSERE COLLETTIVO O COSTITUZIONI
Per esprimere in modo formale il concetto di consenso indichiamo con D (A)
l'insieme degli ordini deboli definiti su A.
Definizione. Una funzione
g: D (A) p → D (A) :
(≥ 1 ,≥2,...,≥p). → ≥g
viene chiamata funzione di benessere collettivo o costituzione.
Quindi una costituzione non è altro che una funzione che associa a ogni p-pla di
ordini deboli un ordine debole.
In un problema di scelta tra più alternative con più decisori si deve individuare la
costituzione che rispetta il più possibile i giudizi di tutti i decisori.
CRITERIO DI CONDORCET
O
DELLE MAGGIORANZE SEMPLICI
Dati gli ordini deboli ≥i, i = 1,2, ... , p e a, b ∈A, si ha:
a >g b se più della metà dei giudici preferisce a a b.
a ~g b se esattamente la metà dei giudici preferisce a a b
se n è dispari l'indifferenza non può mai sussistere.
PARADOSSO DI CONDORCET
Graduatorie
Giudici
1
2
3
1a
Smart
C3
Ka
2a
C3
Ka
Smart
3a
Ka
Smart
C3
• 2 giudici su 3 preferiscono Smart a C3, quindi (S >g C);
• 2 giudici su 3 preferiscono C3 a Ka, quindi (C >g K);
• 2 giudici su 3 preferiscono Ka a Smart, quindi (K >g S);
• Risultando S >g C >g K , per transitività dovrebbe aversi S >g K,
mentre invece si ha K >g S .
Il criterio di Condorcet da luogo ad una relazione di “consenso” >g non transitiva.
CONTO DI BORDA
DEFINIZIONE: Si consideri la funzione “conto di Borda” Bi : A → N (= insieme
dei numeri naturali) associata ad ogni decisore i, dove
Bi (a) = {b : a ≥i b } ,
si definisce conto di Borda la funzione B : A → N definita da:
p
B( a ) = ∑ Bi (a )
i =1
la relativa costituzione è individuata dalla relazione:
a ≥g b ⇔ B (a) ≥ B (b)
da cui segue anche a >g b ⇔ B (a) > B (b)
AD UN CONCORSO DI BELLEZZA
partecipano le concorrenti a, b, c e d; sette giudici così si esprimono:
Graduatoria
Giudici
1
2
3
4
5
6
7
1a
a
b
c
a
b
c
a
2a
b
c
d
b
c
d
b
3a
c
d
a
c
d
a
c
4a
d
a
b
b
a
b
d
I relativi conti di Borda sono dunque:
B1(.)
B2(.)
B3(.)
B4(.)
B5(.)
B6(.)
B7(.)
B(a) = 18
4
1
2
4
1
2
4
B(b) = 19
3
4
1
3
4
1
3
B(c) = 20
2
3
4
2
3
4
2
B(d) = 13
1
2
3
1
2
3
1
Alternative non irrilevanti
se d non partecipa…. non è la stessa cosa. I conti di Borda si modificherebbero cosi’:
Giudici
Candidate
1
2
3
4
5
6
7
Gruppo
a
3
1
2
3
1
2
3
15
b
2
3
1
2
3
1
2
14
c
1
2
3
1
2
3
1
13
e vincerebbe a
CRITERIO LESSICOGRAFICO
L'insieme dei giudici è linearmente ordinato rispetto all'importanza dei giudici stessi. E'
dunque possibile numerare i giudici in ordine decrescente di importanza assegnando
l'etichetta 1 al giudice più importante, l'etichetta 2 al successivo e così via fino al giudice
meno importante che sarà etichettato con p. Secondo il criterio lessicografico si ha la
seguente regola di scelta:
a >g b ⇔
a >1 b
oppure a ~1 b & a > 2 b
oppure a ~1 b & a ~2 b & a >3 b
....
oppure a ~1 b & a ~2 b & ...& a ~p-1 b & a >p b.
a ~g b ⇔
a ~1 b & a ~2 b & ...& a ~p b .
Ciò significa che per preferire a a b, al gruppo basterà che il primo giudice, (o i
successivi in ordine di importanza, se per il primo la scelta è indifferente) preferisca a
a b. L'indifferenza si avrà solo nel caso in cui l'alternativa a risulti indifferente a b per
tutti i giudici.
SISTEMA DI PLURALITA’
Secondo questo criterio si ha:
a >g b ⇔ il numero di giudici che preferiscono a a tutte le altre alternative è
maggiore del numero di giudici che preferiscono b a tutte le altre alternative.
a ~g b ⇔ il numero di giudici che preferiscono a a tutte le altre alternative è uguale
al numero di giudici che preferiscono b a tutte le altre alternative.
APPROCCIO ASSIOMATICO DI ARROW (1951)
Arrow introduce sette assiomi che sembrano riflettere requisiti di democrazia
minimali e molto ragionevoli nella definizione di una costituzione. Tuttavia Arrow
dimostrò un sorprendente risultato di
IMPOSSIBILITÀ:
non può esistere alcuna costituzione
che soddisfi simultaneamente tutti questi sette assiomi!
Un tale risultato, come osserva Brams, svolge nella teoria delle scelte collettive un
ruolo analogo a quello svolto in Matematica dal Teorema di Gödel e in Fisica dal
Principio di Indeterminazione di Heisenberg.
GLI ASSIOMI
Definizione. Dati p giudici, si definisce profilo la p-pla degli ordini deboli scelti
individualmente dai giudici:
P = ( ≥1 , ≥2, ... ,≥p ) ∈ D ( A )p.
(A1): Assioma di non banalità. Sono dati p ≥ 2 giudici e n ≥ 3 alternative.
(A2): Assioma del dominio universale. La costituzione ≥g deve essere definita per
ogni possibile profilo P , deve cioè tener conto di tutte le possibili graduatorie di
tutti i giudici. (Questo assioma è implicito nella definizione di costituzione).
GLI ASSIOMI
(A3): Assioma dell'ordine debole. Tutte le relazioni ≥i ( i = 1, 2, ... ,p ) e la
relazione ≥g devono essere ordini deboli.
(A4): Principio delle alternative irrilevanti. Se alcune delle alternative vengono
eliminate e se le preferenze individuali tra le alternative rimanenti restano inalterate,
allora non deve cambiare neanche la preferenza di gruppo tra le restanti alternative.
Definizione. Dati due profili P = (≥1 , ≥2, ... ,≥p) e P ' = (≥'1 , ≥'2, ... ,≥'p) , si dirà
che P favorisce rispetto a P ’ un'alternativa a ∈ A nei confronti di b ∈ A se ogni
qual volta a >'i b si ha che: a >i b e se inoltre a ~'i b implica a ≥i b.
GLI ASSIOMI
(A5): Assioma di monotonia rispetto ai profili. Se P favorisce a nei confronti di b
rispetto a P ' , se le relazioni di preferenza individuali che non coinvolgono a
rimangono le stesse in P e P ' , e se a >'g b , allora il gruppo deve preferire a a b,
cioè a >g b.
(A6): Assioma di sovranità popolare. Per ogni coppia ordinata (a , b) di alternative
deve esistere almeno un profilo P = (≥1 , ≥2, ... ,≥ p) tale che se ≥g è l'ordine debole
associato a P allora a ≥g b.
Definizione. Un dittatore è un giudice j tale che, se per ogni coppia (a ,b) ∈ A × A
risulta a >j b , allora deve aversi a >g b.
(A7): Assioma di non dittatorialità. Non esiste alcun dittatore.
DUE “NUOVI” ASSIOMI
(A8): Assioma di rilevanza binaria. a ≥ g b dipende esclusivamente dalle relazioni di
preferenza ≥ 1 ,≥2,...,≥p tra a e b.
(A9): Assioma di unanimità o di Pareto. Se a >i b per ogni i=1,2,...,p allora a >g b.
Questi ultimi due assiomi non sono indipendenti da alcuni dei primi sette; infatti si può
dimostrare che:
A8 è equivalente a A4;
A5 e A6 implicano A9.
IL TEOREMA DI ARROW
Teorema di Arrow (versione originaria). Non esiste nessuna costituzione che verifichi
tutti gli assiomi da A1 a A7.
Teorema di Arrow (versione moderna). Per ogni costituzione g, l'ordine debole ≥g
di gruppo individuato dalla costituzione viola almeno uno dei seguenti assiomi:
A1 - Assioma di non banalità;
A2 - Assioma del dominio universale;
A3 - Assioma dell' ordine debole;
A7 - Assioma della non dittatorialità;
A8 - Assioma di rilevanza binaria;
A9 - Assioma di unanimità o di Pareto.
N.B. Questi assiomi sono globalmente piu’ deboli
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI ARROW
Definizione 1. Un insieme di individui V ⊆ {1, 2, ..…, p } è decisivo per una data
coppia di alternative ( a, b) se, per ogni profilo P = (≥1 ,≥ 2,...,≥p ) per cui a >i b
∀ i ∈ V , risulta a >g b
Definizione 2. V è un insieme decisivo minimale se esiste una coppia (a, b ) per la
quale V è decisivo, e se per ogni coppia (c, d ) non esiste nessun sottoinsieme
proprio W di V ( W ⊂ V ), che sia decisivo rispetto a (c, d ).
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI ARROW
La dimostrazione procede per stadi.
( Passo 1 ). Dato un insieme decisivo minimale V si prova in primo luogo che tale
insieme è costituito da un solo elemento j.
N.B. Un insieme decisivo minimale certamente esiste: per ogni coppia (a, b) si può
prendere un profilo P per cui a >i b ∀ i . L'insieme di tutti i giudici è ovviamente
decisivo per ( a, b ) in virtù dell’assioma di unanimità A9.
Successivamente si dimostra che j è un dittatore provando che j è decisivo per ogni
coppia di alternative:
( Passo 2 )
( a, * )
( Passo 3 )
( *, * ) ≠ ( *, a )
( Passo 4 )
( *, a )
dove * rappresenta una generica alternativa.
Dimostrazione del teorema di Arrow
PASSO 1
V ha un solo elemento : |V | = 1 .
Supponiamo dunque per assurdo che | V | ≥ 2 . Fissato j∈V, possiamo allora scrivere:
V= {j}∪ W
con W ≠ ∅ .
Sia U = {1,2 , ...., p} − V l'insieme dei rimanenti individui.
Supponiamo poi che V sia decisivo per una certa coppia ( a, b ).
Costruiamo un particolare profilo sulle tre alternative a, b, c (qui si sfrutta l’assioma
di non banalità A1):
Dimostrazione del teorema di Arrow
PASSO 1
1.1 - V è decisivo per (a, b) ⇒ a >g b
V
j
W
U
a
c
b
b
a
c
c
b
a
1.2 - Poiché W ⊂ V non può essere decisivo ( per la minimalità di V )
e poiché c >W b (tutti gli elementi in W preferiscono c rispetto
a b, mentre tutti gli altri elementi preferiscono b rispetto a c )
ne consegue che non può risultare c >g b , altrimenti W sarebbe
decisivo per ( c, b ) e quindi V non sarebbe minimale .
1.3 - Per la completezza dell'ordine debole ≥g deve essere b >g c
1.4 - Per la proprietà transitiva :
a >g b e b >g c ⇒ a >g c
1.5 - Poiché j preferisce a rispetto a c ( a >j c ) e c è preferito
ad a da tutti gli altri ( c >i a ∀ i ≠ j ) allora j è decisivo
per la coppia ( a, c ), contraddicendo la minimalità di V .
Quindi V è costituito da un solo elemento, che chiamiamo j : V = { j } .
Dimostrazione del teorema di Arrow
PASSO 2
j è decisivo per ogni coppia ( a, d )
j
U
a
b
b
d
d
a
con d ≠ b
.
2.1 - Poiché j è decisivo per (a, b) ⇒ a >g b
2.2 - Per l’assioma di unanimità si ha b >g d
2.3 - Per la proprietà transitiva :
a >g b e b >g d ⇒ a >g d
2.4 - Poiché d >U a segue che j è decisivo per ( a, d ).
Dimostrazione del teorema di Arrow
PASSO 3
j è decisivo per ogni coppia ( c, d )
j
U
c
d
a
c
d
a
con c, d ≠ a
.
2.1 - Per il passo 2 j è decisivo per (a, d) ⇒ a >g d
2.2 - Per l’assioma di unanimità si ha c >g a
2.3 - Per la proprietà transitiva :
c >g a e
a >g d ⇒ c >g d
2.4 - Poiché d >U c segue che j è decisivo per ( c, d ).
Dimostrazione del teorema di Arrow
PASSO 4
j è decisivo per ogni coppia ( c, a )
j
U
c
d
d
a
a
c
con c ≠ a
. Sia d ≠ a.
2.1 - Per il passo 3 j è decisivo per (c, d) ⇒ c >g d
2.2 - Per l’assioma di unanimità si ha d >g a
2.3 - Per la proprietà transitiva :
c >g d e
d >g a ⇒ c >g a
2.4 - Poiché a >U c segue che j è decisivo per ( c, a ).
Quindi j è un dittatore
CRITICHE AGLI ASSIOMI DI ARROW
CRITICHE ALL’ASSIOMA DEL DOMINIO UNIVERSALE
Molte critiche ha ricevuto l’assioma del dominio universale.
Black propone questa restrizione sui profili :
si suppone che l'insieme delle alternative A = {a1 , a2 , ... an} sia totalmente ordinato:
a1 → a2 → ... → an
(per es. se le alternative sono partiti, essi di solito possono disporsi da sinistra a destra)
e che la funzione di utilità u di ciascun giudice sia unimodale , cioè
∃ j tale che u ( a1 ) ≤ u (a2 ) ≤ ... ≤ u (aj) ≥ u (aj+1 ) ≥ ... ≥ u (an) .
Black dimostra che se tutti i profili rispettano l'unimodalità allora la regola di
maggioranza assoluta soddisfa i rimanenti assiomi di Arrow.
CRITICHE AL
PRINCIPIO DELLE ALTERNATIVE IRRILEVANTI
Due individui decidono di ordinare al bar la stessa bevanda. Individualmente, essi
esprimono le seguenti preferenze relative alla lista delle bevande disponibili:
Individuo 1
Individuo 2
Caffè
Tè
Acqua min.
Caffè
Limonata
Acqua min.
Coca Cola
Limonata
Tè
Coca Cola
Ragionevolmente possiamo dire che la bevanda da
preferire sia il caffè, tuttavia, se deve valere il Principio
delle Alternative Irrilevanti , qualora eliminassimo tutte
le bevande tranne il caffè ed il tè, allora la situazione
verrebbe ad essere la seguente:
In questo caso tè e caffè si troverebbero in una situazione
di indifferenza. Sembrerebbe, quindi, che la presenza
delle altre alternative induca una scelta di gruppo a favore
del caffè, contrariamente a quanto affermato dal Principio
delle Alternative Irrilevanti.
Individuo 1
Individuo 2
Caffè
Tè
Tè
Caffè
CRITICHE AL
PRINCIPIO DELLE ALTERNATIVE IRRILEVANTI
A questo esempio è stato obiettato che in realtà si dovrebbe tenere conto anche
delle intensità di preferenza delle diverse bevande. Ad esempio, se la scala delle
preferenze fosse la seguente:
Punteggio
Individuo 1
Individuo 2
10
Caffè
Tè
9
Acqua min.
8
Limonata
7
Coca Cola
6
Tè
5
Caffè
allora il tè sarebbe da preferirsi al
caffè. Il teorema di Arrow, però, non
tiene conto della intensità di
preferenza e proprio questo fatto è
stato oggetto di critiche aspre.
TEOREMA D’IMPOSSIBILITA’ PER SISTEMI ELETTORALI
Ps (t) = {x ∈ Ns : x1 + … + xs = t}
n partiti,
V votanti ,
Sistema elettorale:
v = (v1 , …, vn ) →
S seggi
s: Pn(V) → Pn(S)
s ≡ s(v) = (s1 , …, sn )
Assioma 1 (non banalità): esistono almeno 3 partiti;
Assioma 2 (remunerazione): vi = 0 ⇒ si = 0;
Assioma 3 (monotonia rispetto ai voti): vi > vj ⇒ si ≥ sj ;
Assioma 4 (maggioranza assoluta): vi > V/2 ⇔ si > S/2 ;
Assioma 5 (superadditività): si (v1, …, vi + vj , …, 0, … , vn ) ≥ si (v) + sj (v)
TEOREMA D’IMPOSSIBILITA’: Non esiste nessun sistema elettorale
che verifichi tutti gli Assiomi 1, … , 5