Da un mazzo di carte napoletane calcolare la probabilità di: a
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Da un mazzo di carte napoletane calcolare la probabilità di: a
Da un mazzo di carte napoletane calcolare la probabilità di: a. b. c. d. Estrarre un asso Estrarre una figura Estrarre un asso oppure una figura Estrarre una carta di denari oppure una figura. a. b. c. d. *** La probabilità è pari a 4/40 = 0,1 La probabilità è pari a 12/40 = 0,3 La probabilità è pari a (4/40)+(12/40)=0,4 La probabilità è pari a (10/40)+(12/40)-(3/40)= 19/40= 0,475 Un urna contiene 15 palline bianche, 4 rosse e 8 nere tutte dello stesso peso, dimensione e forma. Qual è la probabilità di estrarre 2 palline di colore rosso? L’urna contiene in totale 27 palline. La prova consiste nell’estrazione di due palline. In totale ci sono quindi ( ) possibili modi di estrarre due palline da un totale di 27 palline. Le palline rosse sono 4, quindi ci sono ( ) possibili modi diversi di estrarre 2 palline da un totale di 4. I casi possibili (e tutti equiprobabili) sono quindi 351, i casi favorevoli sono 6, di conseguenza la probabilità da calcolare è pari a 6/351=0,0171 L’esercizio poteva essere risolto anche considerando l’estrazione di 2 palline come la combinazione di due eventi separati (ad esempio: si estrae una pallina, se ne controlla il colore, non la si rimette nell’urna e poi si estrae un’altra pallina e se ne controlla il colore). Sia A l’evento “la prima pallina estratta è rossa” e sia B ). l’evento “la seconda pallina estratta è rossa”. Il problema è allora calcolare ( Poiché ( ) ( ) ( ) , segue che ( ) ( ) ( ) = (3/26)*(4/27)=0,0171. In una fabbrica vi sono 3 macchinari che producono lo stesso prodotto. Il primo macchinario produce 20 prodotti all’ora, il secondo ne produce 16 e il terzo 14. Si sa inoltre che i macchinari restituiscono rispettivamente il 10%, il 12% e il 7% di pezzi difettosi. Qual è la probabilità che un pezzo difettoso sia prodotto dal secondo macchinario? Si tratta dell’applicazione del Teorema di Bayes. Le probabilità a priori dell’evento sono quelle relative alla proporzione di pezzi che i macchinari restituiscono in un ora, e che sono pari rispettivamente a 20/50=0,4, 16/50=0,32 e 14/50=0,28. I pezzi difettosi restituiti da ogni singolo macchinario rappresentano le probabilità probative (o verosimiglianze). Si può costruire la seguente tabella: Macchinari Primo Macchinario Secondo Macchinario Terzo Macchinario tot P(E|Hi) 0,1 0,12 0,07 P(Hi) 0,4 0,32 0,28 P(Hi)P(E|Hi) 0,0400 0,0384 0,0196 0,0980 La quantità in grassetto (la somma dell’ultima colonna) è il denominatore della formula di Bayes: ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) Quindi la probabilità che un pezzo difettoso sia stato prodotto dal secondo macchinario è pari a 0,0384/0,0980=0,3918 Si lancia un dado, poi si estrae una biglia da una di tre differenti urne a seconda del risultato del lancio effettuato in precedenza. Le regole da seguire sono le seguenti: se esce la faccia 1, si estrae una biglia dall’urna A contenente 9 biglie bianche e una nera se esce la faccia 2, oppure la faccia 3, oppure la faccia 4 si estrae una biglia dall’urna B contenente 1 biglia bianca e 9 nere se esce la faccia 5 oppure la faccia 6 si estrae una biglia dall’urna C contenente 5 biglie bianche e 5 biglie nere. Dato che si è estratta una biglia bianca, qual è la probabilità che provenga dall’urna B? Anche in questo caso bisogna applicare la regola di Bayes. Le probabilità a priori e le verosimiglianze sono: P(Hi) 1/6 = 0,1667 3/6 = 0,5000 2/6 = 0,3333 Urna A Urna B Urna C P(E|Hi) 9/10 = 0,9000 1/10 = 0,1000 5/10 = 0,5000 Tot P(Hi)P(E|Hi) 0,1500 0,0500 0,1667 0,3667 La probabilità che una biglia bianca sia stata estratta dall’urna B è pari a 0,0500/0,3667=0,1364 Per curiosità, si ha: Urna A Urna B Urna C Tot P(Hi) 0,1667 0,5000 0,3333 1,000 P(Hi|E) 0,4091 0,1364 0,4545 1,0000 Dalla prova di Statistica del 25/11/2011 Quesito 1. E’ noto che nella città di XYZ il 12% degli utenti del servizio di trasporto pubblico viaggia senza biglietto. Il problema è quello di determinare la probabilità che selezionando n viaggiatori, ce ne siano x senza biglietto. a. … b. Selezionando casualmente 15 viaggiatori in un autobus, determinare la probabilità che al più 5 di essi viaggino sprovvisti del titolo di viaggio; c. Quanti viaggiatori ci attendiamo mediamente che siano sprovvisti del biglietto? *** Pi 0,12 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7 x=8 x=9 x=10 x=11 x=12 x=13 x=14 x=15 1-Pi 0,88 n 15 ( ) ( ) 0,146974 0,020042 0,002733 0,000373 0,000051 0,000007 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 ( ( ) 0,146974 0,300628 0,286963 0,169569 0,069369 0,020811 0,004730 0,000829 0,000113 0,000012 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 ( ) 0,146974 0,447602 0,734566 0,904135 0,973504 0,994315 0,999045 0,999874 0,999987 0,999999 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ) La tabella sovrastante mostra le probabilità calcolate per ogni valore possibile (si passa dalla situazione in cui nell’autobus non vi è nessun viaggiatore sprovvisto di biglietto, e in tal caso x=0 a quello in cui tutti i viaggiatori sono sprovvisti di biglietto, e in questo caso x=15). Il problema in questione viene risolto attraverso l’utilizzo della v.c. binomiale, secondo cui ( ) ( ) ( ) . In tal modo si calcola la probabilità che esattamente x utenti tra gli n selezionati casualmente risultino sprovvisti di titolo di viaggio (quarta colonna della tabella in alto). L’esercizio ci chiede di calcolare la probabilità che al più 5 utenti viaggino senza biglietto. Pertanto la probabilità cercata è pari a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Di seguito si riporta la funzione di probabilità (a sinistra) e la funzione di ripartizione (a destra). 0.35 1 0.9 0.3 0.8 0.25 0.7 0.6 P(X) F(X) 0.2 0.15 0.5 0.4 0.3 0.1 0.2 0.05 0 0.1 0 0 5 10 15 0 Poiché il valore atteso della v.c. binomiale è pari a sprovvisti di biglietto 5 10 15 X X , ci si attende che viaggiatori siano