esercizi

ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA
Sede di Brindisi- A. A. 2011-2012
Esercizi su strutture algebriche, gruppi, anelli, gruppi di permutazioni, numeri complessi e
matrici. 1
Nonostante l’impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e’
molto apprezzata.2
STRUTURE ALGEBRICHE
Esercizio 1. Si definisca sull’insieme Z la seguente operazione ∗ : Z × Z → Z,
tale che
∀ x, y ∈ Z
x ∗ y = xy + x.
(1) Stabilire se l’operazione e’ associativa, commutativa.
(2) Determinare l’eventuale elemento neutro.
(3) Se esiste l’elemento neutro, determinare gli elementi che ammettono inverso.
(4) Concludere se (Z, ∗) e’ un gruppo, un monoide o nessuno dei due casi.
Esercizio 2. Sia assegnata sull’insieme Z la seguente operazione ∗ : Z × Z → Z,
tale che
∀ x, y ∈ Z
x ∗ y = 4xy − 5x.
(1) Stabilire se l’operazione e’ associativa, commutativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
Esercizio 3. Siano assegnate sull’insieme A = Z × Z, le seguenti operazioni
+ : A × A → A e · : A × A → A, tale che
∀ (x, y), (z, t) ∈ A
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(x, y) + (z, t) = (x + z, y + t).
∀ (x, y), (z, t) ∈ A
(x, y) · (z, t) = (xz, yt).
Determinare l’elemento neutro di (A, +) e (A, ·).
Mostrare che (A, +) e’ un gruppo abeliano.
Mostrare che (A, ·) e’ un monoide commutativo.
Verificare che (A, +, ·) e’ un anello commutativo unitario.
Determinare gli elementri invertibili e i divisori dello zero.
Esercizio 4. Sia assegnata sull’insieme A = Z × Z, la seguente operazione ∗ :
A × A → A, tale che
∀ (x, y), (z, t) ∈ A
(x, y) ∗ (z, t) = (x + z, yt).
(1) Determinare se l’operazione ∗ verifica la proprieta’ associativa e commutativa.
1
Alcuni esercizi sono stati assegnati in classe, molti dei quali corretti a lezione.
Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati, o sono stati gentilmente
suggeriti da colleghe. L’aggiunta di evenutali errori e’ opera mia.
2
1
2
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
(3) Determinare gli elementi invertibili.
Esercizio 5. Sia assegnata sull’insieme A = Q∗ × Q∗ , la seguente operazione
∗ : A × A → A, tale che
∀ (x, y), (z, t) ∈ A
(x, y) ∗ (z, t) = (x + z, yt).
(1) Stabilire se l’operazione e’ associativa, commutativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
(3) Determinare gli elementi invertibili.
(4) Stabilire se (A, ∗) e’ un gruppo.
(Ricordiamo che Q∗ = Q \ {0}).
Esercizio 6. Sia assegnata sull’insieme Z, la seguente operazione ∗ : Z × Z → Z,
tale che
∀ a, b ∈ Z
a ∗ b = ab − a − b + 3.
(1) Stabilire se l’operazione e’ associativa, commutativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
Esercizio 7. Sia assegnata sull’insieme A = R \ {1}, la seguente operazione
∗ : A × A → A, tale che
∀ x, z ∈ A
xz = x + z + xy.
(1) Stabilire se l’operazione e’ associativa, commutativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
(3) Determinare gli elementi invertibili e il loro inverso.
Esercizio 8. Sia assegnata sull’insieme A = R × R, la seguente operazione ∗ :
A × A → A, tale che
∀ (a, b), (c, d) ∈ A
(1)
(2)
(3)
(4)
(a, b) ∗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Stabilire se l’operazione e’ associativa, commutativa.
Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
Determinare gli elementi invertibili e il loro inverso.
(A∗ , ∗) e’ un gruppo? (Qui A∗ = R∗ × R∗ ).
GRUPPI e ANELLI
Esercizio 9. Scrivere la tabella (additiva) dei seguenti gruppi:
(Z6 , +), (Z5 , +), (Z10 , +), (Z4 , +), (Z2 × Z2 , +)
Esercizio 10. Scrivere la tabella (moltiplicativa) dei seguenti gruppi:
(Z∗5 , ·), (Z∗7 , ·), (Z∗11 , ·), (Z∗13 , ·).
Esercizio 11. Ne gruppo (Z10 , +), scrivere il sottogruppo generato dall’elemento
[5]10 ed il sottogruppo generato da [4]10 . Determinare l’ordine di tali sottogruppi.
Esercizio 12. Ne gruppo (Z12 , +), scrivere
(1) il sottogruppo generato da [3]12 e determinare l’ordine di ogni suo elemento.
(2) il sottogruppo generato da [4]12 e determinare l’ordine di ogni suo elemento.
3
Esercizio 13. Nel gruppo (Z6 × Z2 , +), stabilire:
(1) l’ordine degli elementi ([3]6 , [0]2 ), ([0]6 , [1]2 ) e ([5]6 , [0]2 ).
(2) il sottogruppo generato da ([3]6 , [0]2 ).
(3) se l’insieme H = {([0]6 , [0]2 ), ([0]6 , [1]2 ), ([3]6 , [0]2 ), ([3]6 , [1]2 )} costituisce un
sottogruppo.
(4) se (Z6 × Z2 , +) e’ un gruppo ciclico o no.
Esercizio 14. Nel gruppo (Z7 × Z2 , +), stabilire:
(1) l’ordine degli elementi ([3]7 , [0]2 ), ([1]7 , [1]1 ).
(2) sottogruppo generato da ([3]7 , [0]2 ).
(3) se (Z7 × Z2 , +) e’ un gruppo ciclico o no.
Esercizio 15. Determinare tutti i generatori nei seguenti gruppi
(Z14 , +), (Z12 , +), (Z33 , +), (Z30 , +).
Esercizio 16. Stabilire se i seguenti gruppi sono ciclici, e determinarne un generatore
(Z∗11 , ·), (Z∗13 , ·), (Z∗7 , ·).
Esercizio 17. Nel gruppo (Z∗5 , ·) determinare l’ordine degli elementi e stabilire se
e’ un gruppo ciclico.
Esercizio 18. Nel gruppo (Z∗11 , ·) determinare l’ordine degli elementi e stabilire
se e’ un gruppo ciclico.
Esercizio 19. Stabilire gli elementi invertibili e i divisori dello zero nei seguenti
anelli
(Z14 , +, ·),
(Z18 , +, ·),
(Z20 , +, ·),
(Z22 , +, ·).
GRUPPI DI PERMUTAZIONI
Esercizio 20. Scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti
e stabilire se sono pari o dispari.
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
,
,
3 2 1 5 6 7 4
2 3 4 1 6 5 9 7 8
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8
,
,
,
5 4 2 1 3 6
1 2 3 5 4
3 4 1 2 8 7 6 5
(Ovviamente, la prima permutazione e’ un elemento di S7 , la seconda di S9 ...).
Esercizio 21. Si considerino in S7 i seguenti elementi
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
f=
,g =
,h =
.
3 2 1 5 6 7 4
2 3 4 1 6 5 7
3 4 1 2 5 7 6
Si determini f −1 , g −1 , h−1 , f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f, g ◦ h, h ◦ g.
Esercizio 22. Nel gruppo di permutazioni S7 si considerino i cicli:
f = (357), h = (524), g = (37)(2456)
(1) Calcolare i prodotti f g, gf , f h, hf , hg e gh come prodotto di cicli disgiunti.
(2) Calcolare l’ordine degli elementi f g, gf , f h, hf , hg e gh.
4
(3) Scrivere le permutazioni associate a f , g e h.
(4) Calolare le composizioni di permutazioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ h, h ◦ f , h ◦ g,
g ◦ h.
Esercizio 23. Nel gruppo di permutazioni S6 determinare l’ordine dei seguenti
elementi, e il sottogruppo da essi generato:
f = (35), h = (124), g = (34)(2456), k = (35)(123), l = (1265).
Inoltre, si determini la permutazione associata ad f, g, h, k e l.
Esercizio 24. Si consideri in S9 la seguente permutazione
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f=
.
3 2 8 1 9 5 6 7 4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Scrivere f come prodotto di cicli disgiunti.
Stabilire se f e’ pari o dispari.
Calcolare f ◦ f e f −1 .
Calcolare l’ordine di f .
Calcolare l’ordine del sottogruppo H generato da f .
Calcolare l’ordine degli elementi del sottogruppo H.
NUMERI COMPLESSI
Esercizio 25. Calcolare la parte reale e la parte immaginaria dei seguenti numeri
complessi:
4i, 2i + 3, −3i − 11, 12 − 11i, 4 − 5i, 3 + 11i.
Esercizio 26. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
4i(i + 2), (i + 3)(6 − i), (2i − 3)(2 − i), (5 − 2i)(5 + 2i), i(−i), (−i)( 3 − 2i).
Esercizio 27. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
√
√
√
2
3
2
3i(i + ), ( i + 3)( 6 − i), (2i − 3)( − i), ( 5 − 4i)( 5 + 4i).
3
4
5
Esercizio 28. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
√
2i + 3, −2i + 3, −i − 3, 3(i + 2), (i + 3)i, 6 − i, 1 − 2i.
Esercizio 29. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
√
3 2
2 1
3(i + 2)(5 − i), (i + 3) i, (1 − i) , ( −
i) , 3(i + 2)(5 − i).
3
2
Esercizio 30. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
1
3 + 2i
1 − i 3 − 2i
1 + 3i
3
,
,
,
,
,
.
3 − 2i
4−i
1 + i 4 + i 3 − 2i 2 + 3i
3+2i 1
Notazione: nei casi 3−2i
, 4−i , bisogna fare il coniugato del quoziente (per
questo ci sono le parentesi): quindi prima si scrive la forma algebrica del quoziente
e poi si coniuga. Nei casi 1−i
, 3−2i , il coniugato e’ solo del numeratore (non ci sono
1+i 4+i
parentesi): quindi prima si fa il coniugato del numeratore e poi il quoziente. Infine,
3
nei casi 3−2i
, 1+3i
il coniugato e’ solo del denominatore (non ci sono parentesi):
2+3i
quindi prima si fa il coniugato del denominatore e poi il quoziente.
5
Esercizio 31. Calcolare i noduli dei seguenti numeri complessi:
|5i|, | − 7i|, |11|, | − 1 + 3i|, |5 − 6i|, |7 + 3i|, | − 2 − 11i|.
Esercizio 32. Calcolare i noduli dei seguenti numeri complessi:
4 i + 1 |i + 1|
4 − 5i
,
|(2i − 3)(2 − i)|, |(i + 3)(6 − i)|, ,
.
, 2 − 2i
1 + 3i 1 + 3i | − 2i + 1|
(Spiegazione: come prima, nei primi 4 casi prima si fa il prodotto o il quoziente e
poi il modulo. Negli ultimi due, prima si fa il modulo e poi si fa il quoziente.)
Esercizio 33. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
√
4
i+1
i+ 3
5i − 5
√ , √
,
,
.
2 − 2i 1 + 3i −1 − 2i
3−i
Esercizio 34. Ridurre in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
3 + 2i 1 − i
1
,
,
.
3(i + 2), (i + 3)i,
3 − 2i 4 − i 1 + i
MATRICI
Esercizio 35. Siano A ∈ M at4×3 (R) e B ∈ M at3×3 (R)



2 3 4
1 3
0 5 3



A=
,
B= 0 1
7 0 1
4 5
5 0 3

2
2 .
6
Calcolare i prodotti AB e BA. Calcolare le matrici trasposte t A, t B e t (AB).
Esercizio 36. Siano A ∈ M at4×3 (C) e B ∈ M at3×3 (C)




2
i
4
1
5i
2

 0 5i
3 
0 2 − i .
B= 0
A=
−3i 0 i − 1 ,
4 + i 5i
2
1
0
3
Calcolare le matrici trasposte t A, t B. Calcolare i prodotti AB, BA, t B t A e t At B.
Esercizio 37. Date le seguenti matrici, calcolare ove possibile il prodotto e la
somma.




1 −5
1 3 4
1 2 3
A=
,
B = 3 −7 ,
C = 5 2 3 ,
4 5 6
4 −2
4 0 2
1 1
D=
.
1 1
Esercizio 38. Siano A e B in

i 2i

A= 0 0
2 4
Calcolare AB, t A, t B, t B t A.
M at3×3 (C) le seguenti matrici



3i
−3 −2 1
0,
1
1 .
B= 0
6
1
0 −1
6
Esercizio 39. Siano A ∈ M at2×2 (R) e B ∈ M at2×2 (R) le seguenti matrici.
2 3
−1 −1
A=
,
B=
.
−5 6
3
4
Calcolare AB, det(A) e det(B) e det(AB).
Esercizio 40. Calcolare, se possibile, i determinanti delle matrici che compaiono
negli Esercizi 35, 36, 37 e 38.
Esercizio 41. Sia A la seguente matrice

1

A= 5
0
in M at3×3 (R).

2 3
0 1 .
3 4
Calcolare i complementi algebrici di ogni elemento, il determinante e se possibile
la matrice inversa. Calcolare inoltre t A.
Esercizio 42. Siano A ∈ M at2×2 (R) e B ∈ M at3×3 (R) le seguenti matrici.


1 1 2
2 4
A=
,
B = 3 0 1 .
5 6
0 4 0
Calcolare i complementi algebrici di ogni elemento di A e di B, il determinante di
A e di B e se possibile le matrici inverse.
Esercizio 43. Date le seguenti matrici, calcolare il determinante in due modi
diversi (ovvero scegliendo una diversa riga o colonna), e se possibile calcolare
l’inversa.






1 −1 5 6
3
5
−1
2
1
−1
0 1
7 2

 2 4 0 ,


A=
0 0 −1 0 , B = 1 1 1 , C =
−8 0 1
1 1 3
0 3
8 4




−1 0 2 1
1 −1 5
 2 0 0 0



D=
 5 0 1 1 , E = 0 2 0 ,
0 0 1
4 1 0 1
(I valori dei determinanti potrebbero essere 2, 2, −30, −2, 2). Inoltre:
• Nel caso in cui esiste l’inversa, verificare che lo sia, ovvero calcolare i
prodotti della matrice con l’inversa e confrontarla con la matrice identita’.
• Calcolare inoltre: B + C, BC, BA, C · A, A + D, AD, EB, BE, E + B, E +
C, t A, t B, t C, t D, t E.