Esercizi su eventi, previsioni e probabilit`a condizionate

C ORSO
DI
C ALCOLO
DELLE
P ROBABILIT À
E
S TATISTICA
Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate
Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first
course in probability di Sheldon Ross, quinta edizione, casa editrice Maxwell
Macmillan.
Es.1 Da un mazzo di 40 carte (10 carte per ciascuno dei 4 semi) ne vengono
estratte 3 in modo casuale. Qual’è la probabilità che le 3 carte estratte
abbiano lo stesso seme?
Es.2 Si lanciano due dadi non truccati. Sia E l’evento che la somma dei
numeri usciti è dispari, F l’evento che almeno uno dei due numeri
usciti è 1, G l’evento che la somma dei numeri usciti è 5.
a) Scrivere in modo esplicito l’evento EF e calcolarne la probabilità.
b) Calcolare la probabilità degli eventi: E ∨ F , F G, E Fe, EF G.
Es.3 Da un mazzo di 52 carte (13 carte per ciascuno dei 4 semi) ne vengono
estratte 5 in modo casuale. Qual’è la probabilità di :
a) avere 5 carte dello stesso seme;
b) avere una coppia (2 carte di uguale valore);
c) avere due coppie distinte;
d) avere un tris (3 carte di uguale valore);
e) avere un poker (4 carte di uguale valore).
Es.4 Da un mazzo di 40 carte se ne scelgono 10 con ordine.
a) Qual’è la probabilità che la decima carta sia un asso?
b) Qual’è la probabilità che la decima carta sia l’unico asso scelto?
Es.5 Su una scacchiera vengono piazzate 8 torri in modo casuale. Qual’è la
probabilità che ciascuna torre sia su una riga ed una colonna distinta?
Es.6 Si consideri un’urna A contenente 3 palline rosse e 3 palline nere, ed
un’urna B contenente 4 palline rosse e 6 palline nere. Da ogni urna
viene estratta una pallina. Qual’è la probabilità che le palline estratte
abbiano lo stesso colore?
1
Es.7 Si consideri un’urna contenente 5 palline rosse, 6 palline bianche e 8
palline verdi. Se si estraggono 3 palline (senza reimbussolamento),
a) Qual’è la probabilità che abbiano lo stesso colore?
b) Qual’è la probabilità che abbiano tutte colore diverso?
c) Calcolare le analoghe quantità nel caso di estrazione con reimbussolamento.
Es.8 Si consideri un’urna contenente 3 palline rosse e 7 palline nere. A e
B scelgono consecutivamente una pallina dall’urna (senza reimbussolamento) fino a quando uno dei due estrae una pallina rossa. Se A
estrae per primo, qual’è la probabilità che A estragga la prima pallina
rossa?
Es.9 M ragazzi ed N ragazze sono allineati in riga in modo casuale ((N +
M )! possibili ordinamenti). Qual’è la probabilità che l’i-esimo in riga
sia una ragazza?
Es.10 10 palline vengono distribuite in modo casuale in 5 scatole. Ciascuno
dei 510 arrangiamenti è equiprobabile. Qual’è la probabilità che m
palline, con m ∈ {0, . . . , 10}, finiscano nella prima scatola?
Es.11 Si lanciano due dadi non truccati.
a) Qual’è la probabilità che sia uscito almeno un 6 sapendo che sono
uscite due facce diverse.
b) Qual’è la probabilità che il primo dado abbia valore 6 sapendo che
la somma dei numeri usciti è m, con m ∈ {2, . . . , 12}?
Es.12 Si consideri un’urna contenente 8 palline bianche e 4 palline nere.
Dall’urna vengono estratte 4 palline con reimbussolamento. Si considerano gli eventi Ei = {l’i-esima pallina estratta è bianca}, con i =
1, 2, 3, 4, e si denota con X il numero di palline bianche estratte (X =
P4
i=1 Ei ).
a) Calcolare la probabilità dell’evento E1 E3 , sapendo che X = 3.
b) Calcolare la stessa quantità del punto a) nel caso di estrazione senza
reimbussolamento.
2
Es.13 Si consideri un’urna A contenente 2 palline bianche e 4 palline rosse,
un’urna B contenente 8 palline bianche e 4 palline rosse, un’urna C
contenente 1 pallina bianca e 3 palline rosse. Si estrae una pallina da
ciascuna delle urne e si indica con X il numero delle palline bianche
estratte. Qual’è la probabilità che la pallina estratta dall’urna A sia
bianca, sapendo che X = 2?
Es.14 Da un lotto di 20 macchine, ne vengono scelte 2 in modo casuale.
Sapendo che 5 delle 20 macchine sono difettose, calcolare:
a) la probabilità che la prima macchina scelta sia difettosa;
b) la probabilità che la seconda macchina scelta sia difettosa sapendo
che la prima non lo è.
Es.15 Un gruppo di 100 persone prenota un volo Bologna-Barcellona presso
le compagnie aeree A, B e C. 60 persone volano con A, 25 persone
volano con B e 15 persone volano con C. Le 3 compagnie aeree hanno
dei ritardi che avvengono con probabilità pari a, rispettivamente, 0, 15,
0, 1 e 0, 05.
a) Qual’è la probabilità che il volo di un passeggero scelto a caso fra i
100 sia in ritardo?
b) Qual’è la probabilità che un passeggero scelto a caso fra i 100 abbia
volato con la compagnia B, sapendo che il suo volo è in ritardo?
Es.16 Sia X il risultato del lancio di un dado non truccato. Da un mazzo di
52 carte si estraggono X carte con reinserimento. Sia E l’evento che
sia stato estratto almeno un asso nelle X estrazioni.
a) Calcolare P (E|X = k), per k ∈ {1, . . . , 6}.
b) Calcolare P (E).
c) Calcolare la previsione di X, condizionata dalla conoscenza di E.
Es.17 In una scuola ci sono 80 alunne e 120 alunni. I 2/5 delle alunne e
1/2 degli alunni portano gli occhiali. Si scelgono 2 studenti in modo
casuale fra tutti gli alunni della scuola.
a) Qual’è la probabilità che il primo studente scelto porti gli occhiali?
b) Qual’è la probabilità che il primo studente scelto sia un’alunna,
sapendo che porta gli occhiali?
3
c) Qual’è la probabilità che il secondo studente scelto porti gli occhiali,
sapendo che il primo non li porta?
Es.18 Da un’urna con 4 palline bianche e 6 palline nere se ne estraggono 3
senza reimbussolamento. Si denoti con Ei , per i = {1, 2, 3}, l’evento
che l’i-esima estratta è una pallina bianca.
a) Calcolare P (Ei ), per i = {1, 2, 3}.
b) Calcolare P (E2 |E1 ), P (E1 |E2 ), P (E3 |E2 E1 ), P (E3 |E2 ). Cosa si può
dedurre?
Soluzioni
Es. 1: La probabilità richiesta si calcola come rapporto tra il numero di casi
4·(10)
favorevoli e il numero di casi possibili, ed è pari a 403 . Il 4 corrisponde al
(3)
numero di modi per scegliere un seme fra i 4 presenti, e il 10
3 ai modi di
scegliere 3 carte fra le 10 dello stesso seme.
Es. 2: a) EF = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (2, 1); (4, 1); (6, 1)}. Quindi
6
1
] casi favorevoli
=
=
] casi possibili
36
6
P (EF ) =
b) P (E) =
18
36
= 12 , P (F ) =
11
36
=⇒ P (E ∨F ) = P (E)+P (F )−P (EF ) =
2
F G = {(1; 4), (4; 1)} =⇒ P (F G) = 36
=
P (E Fe) = P (E) − P (EF ) = 1 − 1 = 1 .
2
6
G ⊂ E =⇒ P (EF G) = P (F G) =
23
36 .
1
18 .
3
1
18 .
Es. 3: Tutte le probabilità richieste si calcono come ] casi favorevoli :
] casi possibili
4·(13
5)
a) 52 , come nell’esercizio 1.
(5)
b) Se l’evento ‘avere una coppia’ è inteso (come lo si pensa comunente nel
gioco a carte) come l’evento ‘due carte hanno stesso valore, e le restanti
carte assumono valori diversi tra di loro e dalla coppia’, allora la probabilità
13·(42)·(12
43
3)
è data da
dove, al numeratore, 13 conta il numero di possibili
52
(5)
valori per la coppia, 42 conta i modi di scegliere due carte di uguale valore,
12
3 conta i modi di scegliere i valori delle restanti tre carte e, per ciascuno
valore, 4 sono i modi di scegliere una carta di corrispondente valore.
Se invece (come si poteva equivocare) l’evento ‘avere una coppia’ è inteso
come l’evento ‘avere almeno due carte uguali’, allora la probabilità richiesta
4
si può calcolare facilmente passando all’evento complementare, ed è data da
(13)45
(13)45
1 − 552 . Qui 552 è la probabilità di non avere nessuna carta di uguale
(5)
(5)
valore, ed il numeratore, corrispondente alle estrazioni di 5 carte tutte di
valore diverso, si ottiene scegliendo 5 valori dai 13 possibili e, per ciascun
valore, scegliendo una carta fra le 4 di valore corrispondente.
c) Analogamente al punto b), se l’evento ‘avere due coppie distinte’ è inteso
(come lo si pensa comunente nel gioco a carte) come l’evento ‘avere due
coppie di carte di uguale valore, ma distinto fra loro, ed una carta di valore
diverso da quello delle due coppie’, allora la probabilità richiesta è data da
2
· 4 ·11·4
(13
2 ) ( 2)
, che si ottiene ragionando come in b).
52
(5)
Se invece, in modo un po’ più macchinoso, si include nell’evento ‘avere due
coppie distinte’ anche il caso in cui la carta non accoppiata possa assumere
il valore delle due coppie, allora si dovrà sommare alla probabilità che abbiamo ora calcolato, la probabilità dell’evento ‘avere un tris ed una coppia’
(che non ha ambiguità di terminologia!). Ne risulterà una probabilità pari a
2
13·(43)·12·(42)
· 4 ·11·4
(13
2 ) ( 2)
+
.
52
(5)
(52
5)
d) Come hai punti b) e c), se l’evento ‘avere un tris’ è inteso (come lo si
pensa comunente nel gioco a carte) come l’evento ‘avere 3 carte di uguale
valore e 2 carte di valore diverso tra loro e dal tris’, allora (ragionando come
13·(43)(12
42
2)
prima) la probabilità richiesta è data da
.
52
(5)
Se invece si include nell’evento ‘avere un tris’ anche il caso in cui le 2 carte
che non compongono il tris assumano stesso valore fra di loro, oppure che
una di esse assuma lo stesso valore del tris, allora si dovrà sommare alla
probabilità che abbiamo ora calcolato, la probabilità dell’evento ‘avere un
tris ed una coppia’ alla probabilità dell’evento ‘avere un poker’. In definitiva
13·(43)·12·(42)
13·(4)48
13·(43)(12
42
2)
+
+ 524 .
si ottiene una probabilità pari a
52
52
(5)
(5)
(5)
13·(44)48
e) Come già calcolato al punto precente, questa è data da 52 .
(5)
Es. 4: Come suggerito dal testo, in questo caso è necessario considerare
l’ordinamento delle 10 carte scelte.P
a) La probabilità richiesta è pari a
4
4
36
k=1 k k! 10−k (10
40
10 10!
− k)!
9
k−1
.
Nella sommatoria, il k denota il numero di assi scelti (al minimo 1 e al mas
simo 4). Il termine k4 k! conta i modi con cui possono essere scelti k assi
36
su 4 (con ordine). Il termine 10−k
(10 − k)! conta i modi con cui possono
5
essere scelti 10−k non-assi su 36 (con ordine). Il termine
9
k−1
conta i modi
con cui k − 1 assi possono essere posizionati su 9 carte, essendo il k-esimo
asso fissato nel decimo posto.
b) Utilizzando la formula del punto sopra, per k = 1, si ottiene una proba4(36)9!
bilità pari a 409 10! .
(10)
Es. 5: La scacchiera ha 64 riquadri (8X8), dunque la prima torre può essere collocata in 64 modi diversi. Per collocare la seconda torre nel modo
richiesto bisogna escludere la riga e la colonna in cui si è disposta la prima torre. Questo riduce la scacchiera a 7X7 riquadri, e permette quindi 49
diverse collocazioni. Procedendo iterativamente, è facile verificare che il numero di casi favorevoli (ovvero di modi di disporre le torri sulla scacchiera
come richiesto nell’esercizio) è 82 · 72 · 62 · · · 1 = (8!)2 . Và però osservato che
questo conteggio tiene conto dell’ordine con cui le torri vengono disposte
sulla scacchiera, come se queste potessero essere in qualche modo identificate le une dalle altre. Dividendo allora per i possibili ordinamenti di 8
elementi, cioè per 8!, otteniamo la probabilità richiesta che è pari a
Es. 6: Siano
8!
(64
56)
.
Er = {le palline estratte sono rosse}
En = {le palline estratte sono nere},
cosicchè E = {le palline estratte hanno lo stesso colore} = Er + En . Poichè
gli esiti delle due estrazioni sono indipendenti fra loro (urne diverse), si calcola:
P (Er ) =
1
3 4
·
=
6 10
5
,
P (En ) =
1 6
3
·
=
2 10
10
=⇒
P (E) =
1
2
Es. 7: Siano
Er = {le palline estratte sono rosse}
Eb = {le palline estratte sono bianche},
Ev = {le palline estratte sono verdi},
cosicchè E = {le palline estratte hanno lo stesso colore} = Er + Eb + Ev .
a) Gli esiti delle due estrazioni non sono indipendenti fra loro (stessa urna).
Si calcola comunque facilmente :
5
3
19
3
P (Er ) =
6
3
19
3
P (Eb ) =
8
3
19
3
P (Ev ) =
6
=⇒ P (E) = P (Er )+P (Eb )+P (Ev )
b) Sia F = {le palline estratte hanno colore diverso}. Allora P (F ) =
c) Nel caso di estrazione con reimbussolamento, vale che:
P (Er ) =
53
19
P (Eb ) =
mentre P (F ) = 3!
Es. 8: Siano
63
19
P (Ev ) =
83
=⇒
19
P (E) =
(51)(61)(81)
.
(19
3)
53 + 6 3 + 8 3
193
5·6·8
.
193
E = {A estrae la prima pallina rossa}
Fn = {la prima pallina rossa estratta è la n-esima}, per n = 1, 2, . . . , 8
Si osservi che per n > 8 l’evento Fn non accade mai, poichè le palline nere
nell’urna sono 7. Si osservi inoltre che poichè A gioca per primo, l’estrazioni
di A sono quelle con n dispari, ovvero E = F1 + F3 + F5 + F7 . Dovendo
tenere conto dell’ordine di estrazione, vale che
3
7
3
X
n−1 (n − 1)! 1
,
∀n
=
1,
.
.
.
,
8
=⇒
P
(E)
=
P (Fn ) =
10
n n!
k=0
7
3
2k (2k)! 1
10
2k+1 (2k + 1)!
Es. 9: Il numero di casi favorevoli è n · (n + m − 1)!, dove n corrisponde
al numero di modi per scegliere quale delle n ragazze sarà nella posizione
i-esima, e (n + m − 1)! al numero di ordinamenti nelle restanti (n + m − 1)
n · (n + m − 1)!
.
postazioni. Si ottiene quindi una probabilità pari a
(n + m)!
m
Es. 10: 10
sono i modi con cui si possono scegliere m palle su 10 da
collocare nella prima scatola. Le restanti 10 − m palle vengono poi collocate nelle altre 4 scatole
in 410−m modi possibili. Si ottiene quindi una
m 10−m
4
probabilità pari a 10 10
. Equivalentemente, si può pensare ad un’urna
5
con 5 palline distinte da cui vengono eseguite 10 estrazioni con reibussolamento. La probabilità di estrarre m volte una data pallina è quindi pari a
1 m 4 10−m
m
.
10
5
5
Es. 11: a) Siano
E = {i dadi hanno valore diverso}
F = {è uscito almeno un 6}
E’ facile calcolare (] casi fav./] casi poss.): P (E) =
ottiene quindi P (F |E) =
P (EF )
P (E)
= 31 .
b) Siano
A = {il primo dado ha valore 6}
7
5
6
e P (EF ) =
10
36 .
Si
Bm = {la somma dei numeri usciti è m}, per m ∈ {2, . . . , 12}
Per la formula di Bayes, vale che P (A|Bm ) =
P (Bm |A)P (A)
.
P (Bm )
Se m ≤ 6, allora P (Bm |A) = 0 e quindi anche P (A|Bm ) = 0.
Se m > 6, P (Bm |A) =
1
6
mentre P (Bm ) =
ottiene che per m > 6, P (A|Bm ) =
12−m+1
.
36
Poichè P (A) =
1
6,
si
1
12−m+1 .
Es. 12: Dalla formula di Bayes, si ottiene che P (E1 E3 |X = 3) =
P (X=3|E1 E3 )P (E1 E3 )
.
P (X=3)
a) Per estrazioni con reibussolamento gli eventi Ei sono tutti indipendenti e
vale che P (Ei ) = 23 , per ogni i = 1, . . . , 4. Quindi
P (E1 E3 ) = P (E1 )P (E3 ) =
4
9
e
P (X = 3) =
4
3
2 3 1
3
3
=
32
81 .
Sempre per l’indipendenza tra gli eventi, si ha
e4 ) + P (E
e2 E4 ) = 4
P (X = 3|E1 E3 ) = P (E2 E
9
da cui si ottiene (tramite la formula di Bayes) che P (E1 E3 |X = 3) = 12 .
b) Per estrazioni senza reibussolamento gli eventi Ei non sono più indipendenti, ma continua a valere che P (Ei ) = 23 , per ogni i = 1, . . . , 4. Infatti si
calcola
7
7
,
con P (E3 |E1 ) = 11
P (E1 E3 ) = P (E3 |E1 )P (E1 ) = 23 · 11
8 4
( )( )
P (X = 3) = 3 12 1
(dalla formula ] casi fav./] casi poss.)
(4)
e4 |E1 E3 ) + P (E
e2 E4 |E1 E3 ) = 8 ,
P (X = 3|E1 E3 ) = P (E2 E
15
e2 E4 |E1 E3 ) = P (E2 E
e4 |E1 E3 ) = P (E1 E2 E3 Ee4 ) =
dove si è usato che P (E
P (E1 E3 )
4
5.
Infine (dalla formula di Bayes sopra) si ottiene P (E1 E3 |X = 3) = 21 .
Es. 13: Siano
EA = {la pallina estratta da A è bianca}
EB = {la pallina estratta da B è bianca}
EC = {la pallina estratta da C è bianca}
cosicchè X = EA + EB + EC . Per la formula di Bayes P (EA |X = 2) =
P (X=2|EA )P (EA )
.
P (X=2)
Poichè P (EA ) =
1
3,
P (EB ) =
2
3,
P (EC ) =
l’indipendenza degli eventi EA , EB , EC , si ricava
eC ) + P (EA E
eB EC ) + P (E
eA EB EC ) =
P (X = 2) = P (EA EB E
eC ) + P (E
eB EC ) =
P (X = 2|EA ) = P (EB E
1
4,
37
108 ,
7
12
da cui infine (formula di Bayes) otteniamo che P (EA |X = 2) =
Es. 14: Siano
E = {la prima macchina è difettosa}
F = {la seconda macchina è difettosa}
8
ed usando
21
37 .
a) P (E) =
5
20
e =
= 14 . b) P (F |E)
5
19 .
Es. 15: Siano
EA = {il passeggero scelto vola con A}
EB = {il passeggero scelto vola con B}
EC = {il passeggero scelto vola con C}
F = {il passeggero scelto è su un volo in ritardo}
da cui possiamo esprimere i dati dicendo che P (EA ) =
P (EC ) =
3
20 ,
3
5,
P (EB ) =
1
4,
P (F |EA ) = 0, 15, P (F |EB ) = 0, 1, P (F |Ec ) = 0, 05.
a) Poichè EA + EB + EC = 1,
P (F ) = P (F |EA )P (EA ) + P (F |EB )P (EB ) + P (F |EC )P (EC ) =
b) P (EB |F ) =
P (F |EB )P (EB )
P (F )
=
49
100
.
10
49 .
Es. 16: Ricordiamo che X è una variabile aleatoria a valori in I(X) =
1, . . . , 6, tale che P (X = k) =
1
6
per ogni k ∈ I(X).
a) Poichè le carte sono scelte con reinserimento, ad ogni scelta vi è una
12
di pescare un asso, e pari a 13
di non pescarlo.
12 k
e
Vale allora che P (E|X = k) = 1 − P (E|X = k) = 1 − 13 , ∀k ∈ I(X) .
probabilità pari a
4
52
=
1
13
b) Condizionando sul numero di carte pescate, si ottiene
k
P
P
P (E) = 6k=1 P (E|X = k)P (X = k) = 16 6k=1 (1 − 12
13 ) =
12 7
= 56 − 13
6 (1 − 13 )
c) Dalla formula di Bayes,
P (X|E) =
6
X
k=1
6
X
P (E|X = k)P (X = k)
kP (X = k|E) =
k
P (E)
k=1
Inserendo i risultati dei punti precedenti, si ottiene la probabilità richiesta.
Es. 17: Siano
E = {il primo studente scelto porta gli occhiali}
F = {il primo studente scelto è un’alunna}
M = Fe = {il primo studente scelto è un alunno}
a) Si vuole calcolare P (E) sapendo che P (E|M ) = 1/2, P (E|F ) = 2/5,
P (F ) = 2/5, P (M ) = 3/5. Condizionando sugli eventi F ed M , vale che
P (E) = P (E|F )P (F ) + P (E|M )P (M ) =
b) Usando la formula di Bayes, P (F |E) =
23
50 .
P (E|F )P (F )
P (E)
=
8
23 .
c) Dai dati iniziali si calcola che il numero di alunni con gli occhiali è di 92,
su un totale di 200. La probabilità richiesta è pari alla proporzione di alunni
9
con gli occhiali dopo la prima scelta, ovvero, sapendo che il primo alunno
92
scelto non porta gli occhiali, è di 199
.
9
4·(2)2!
Es. 18: a) P (Ei ) = 10 3! = 25 per ogni i = 1, 2, 3. La formula si ottiene
(3)
come rapporto tra il numero di casi favorevoli, ovvero le scelte ordinate di 3
elementi su 10 con una pallina bianca all’i-esimo posto, e il numero di casi
possibili, ovvero le scelte ordinate di 3 elementi su 10.
b) Per prima cosa calcoliamo
(4)8
1
,
P (E1 E2 ) = 102 3! = 15
(3)
che si ottiene come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero
di casi possibili. Quindi, per la formula delle probabilità condizionate ed
usando i risultati precedenti, si ha
P (E2 |E1 ) =
P (E1 E2 )
P (E1 )
= 61 ,
ed analogamente
P (E3 |E2 ) = P (E2 |E1 ) = 16 .
Ne deduciamo che gli eventi non sono fra loro stocasticamente indipendenti,
poichè P (Ei |Ej ) 6= P (Ei ).
10