Tempo di rilassamento

Tempo di rilassamento
T(K)
Il tempo di rilassamento e' caratteristico
delle sostanza e fornisce una stima del
tempo necessario perche' il fluido "rilassi"
(dimentichi) gli effetti di una sollecitazione
p. esempio di stress.
Il fluido newtoniano rilassa istantaneamente
quando il flusso si ferma (tempo di
rilassamento nullo).
Molti fluidi non newtoniani impiegano un
tempo finito per rilassare.
(s)
Acqua
293
~E-12
Olio minerale
303
7E-10
PDMS
303
E-6
PDMS
398
1.7E-4
LDPE
388
10
LDPE
513
0.1
2%
Polyisobutylene
300
100
300
E+5
inPrimol oil
Vetro
Rheology 6b. 1
Numero
adimensionale che
caratterizza
l'importanza del
tempo di
rilassamento
nel'analisi del flusso,
o della scala tempo
sperimentale.
Il numero di Deborah
e' il rapporto del
tempo di
rilassamento del
materiale λ e del
tempo scala
dell'esperimento. E'
importante per
determinare se gli
effetti di rilassamento
dominano o meno in
una data applicazione
Numero di Deborah
Rheology 6b. 2
Modellizzazione: Fluido viscoso generalizzato
Condizioni che i modelli reologici devono soddisfare:
1) Lo stress e' un tensore del II ordine
i) i termini eq. costitutiva devono avere 2 direzioni
associate
ii) le eq. costitutive devono esere invarianti rispetto
sistema di coordinate scelto
2) Lo stress e' un tensore simmetrico
per gran parte dei materiali
3) La risposta del materiale allo stress
applicato ( o alla deformazione) e' la
stessa per tutti gli osservatori
L' eq. costitutiva devo predire equazione simmetrica
E' facile violarla
Rheology 6b. 3
Esempio: Shear flow di fluido incompressibile
Q: essendo l'eq. costitutiva invariante rispetto al sistema di coordinate, in essa
possono apparire solo vettoritensori e quantita' invarianti dei vettori/tensori. Quali
quantita' scalari associate con il tensore velocita' di deformazione
possono
apparire nella equazione costitutiva di un fluido incompressibile?
R:
Invarianti di
ricordale
formule
(sistema assi
cartesiano)
zero per il tensore shear rate
Rheology 6b. 4
Modellizzazione: Fluido viscoso (newtoniano) generalizzato (GNF)
Equazione costitutiva newtoniana
per fluidi incompressibili
Equazione costitutiva generalizzata per fluidi
incompressibili
dove
e' una funzione scalare e
Calcolo delle funzioni materiali di shear per il fluido viscoso generalizzato
Inserendo la cinematica nelle equazioni costitutive del GNF si ha:
dalle definizioni:
Rheology 6b. 5
Modello a legge di potenza (o di Ostwald de Waele)
Modello a 2 parametri liberi:
*l'esponente n-1 , pendenza di log vs log
Nota1: questo modello non puo' descrivere un fluido
che ha un plateau di newtonianita' a piccole shear
rate
*l'indice di consistenza m,correlato alla
grandezza della viscosita', logm e' l'intercetta
sull'asse y nel grafico log vs log
Nota2:molto usato nel "polymer processing" (alte
shear rate).
Nota3: Vantaggio: facili conti e successo nel
prediremisure di flow-rate vs, pressure drop
Nota4: e' empirico (nessun predizione molecolare).
Rheology 6b. 6
Modello Carreau-Yasuda
Modello a 5 parametri liberi:
Nota1: Fitta la gran parte dei dati di viscosita' vs
Nota2:Svantaggio: troppi parametri< utilizzabile via
computer
Nota3: e' empirico (nessun predizione
molecolare).Non consente studio vs. peso molecolare.
Nota4: Contiene tempo rilassamento
Rheology 6b. 7
Altri modelli
Cross model
1/ (
(1-n)
)
a=2
Carreau model
Rheology 6b. 8
Altri modelli
Viscosita' e curva flusso per fuso di polietilene testato con un reometro capillare
Rheology 6b. 9
Fluidi plastici : modello di Bingham
Modello a 2 parametri liberi:
* : non c'e flusso finche' il valore assoluto
dello sforzo di taglio non supera il valore dello
yield stress
* , viscosita' del fluido ad alte shear rates
Altri modelli
Casson model
ma…regime newtoniano a basse
!
Rheology
6b.10
ATTENZIONE!!
I modelli del fluido viscoso generalizzato sono stati sviluppati
per controllare le previsioni del il flusso di shear di stato
stazionario.
Non c'e' garanzia che le loro predizioni siano valide anche nel
caso di flussi non stazionari o nel caso di flusso estensionale di
stato stazionario.
Rheology
6b.11
Esempio di predizioni delle funzioni reologiche dei materiali
Calcolare le predizioni per il modello GNF power law in elongazione stazionaria
con
Cinematica
Tensore di stress
Nota: il modello GNF a
legge di potenza predice che
la viscosita' elongazionale
vada come quella di shear
(esponente n-1)
Il Trouton
ratio da lo
stesso risultato
del caso
newtoniano
Rheology
6b.12
Flusso di un fluido a power law in un tubo circolare
Calcolare il profilo di pressione, di
velocita' il tensore stress. La pressione in
un punto in alto e' P0, a distanza L verso il
basso PL. Il flusso sia :stazionario,
laminare, incompressibile, completamente
sviluppato e in condizioni isoterme
Equazione di continuita'
Sviluppando i termini in
coordinate cilindriche e
imponendo il bilanciamento
massa e la cinematica
con
e
Rheology
6b.13
Flusso di un fluido a power law in un tubo circolare
Profili di velocita' per diversi valori
dell'indice n della power law
Rheology 6b.14
Il caso della bottiglia di Ketchup
D.
Per superare lo yeld stress del ketchup,
plastica di Bingham, nel collo della bottiglia, si
deve battere frequentemente sul suo fondo.
Quando lo shear stress alla parete supera τy il
flusso e' rapido. La figura riporta dati di shear
stress vs. shear rate per il ketchup ed altri prodotti
alimentari. Per questo campione di ketchup τy
=200dynes/cm2.
Il ketchup fluira' fuori per gravita' da una bottiglia
tipica?
R.
Nel collo della bottiglia lo shear stress alla parete τw sara' bilanciato dalla
pressione gravante sul ketchup nella bottiglia. Approssimando il collo della bottiglia ad un
tubo di lughezza L e diametro D(=2R), e la massa di ketchup ad un contenitore cilindrico
di altezza H allora dalla soluzione al problema precedente
alla parete τrz(R) =τw
τw = p (D/4L)= ρ g H (D/4L)
alla parete τw (πDL) =p (πD2/4)
Rheology
6b.15
Il caso della bottiglia di Ketchup
τw = p (D/4L)= ρ g H (D/4L)
Assumiamo ρ ~ 1gr/cm2, per la bottiglia se
mezza vuota H~4 cm , inoltre tipicamente
L=6cm, D~1.5 cm.
g= 980cm/s2
Risulta
τw ~ 200 dyne/cm2
Il ketchup non fluira' senza aver
picchiettato un po' sul fondo
bottiglia
NOTA: la situazione e' anche peggiore perche' la pressione sara' inferiore a causa
di un grado di vuoto che si crea quando la bottiglia viene capovolta.
Una bottiglia a bocca larga ha D~3 cm.
Allora τw ~ 400 dyne/cm2 , che fa fluire piu' lentamente il tempo del pasto...
Rheology
6b.16