le funzioni e le loro proprietà

Prof.ssa Giorgia Farina
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
COSA SONO LE FUNZIONI
Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che
associa ad ogni numero reale di A ( x ) uno e un solo numero reale di B ( y ).
e si legge “ f è una funzione da A a B”
f :A→B
Sia x ∈ A e y ∈ B ; se f : x a y , cioè se f ( x ) = y ,
y si chiama IMMAGINE di x mediante f
A è il DOMINIO della funzione e si indica con D.
Il CODOMINIO della funzione è invece l’insieme C ⊂ B
delle immagini degli elementi di A.
x
N. B.
Se parlo della funzione come relazione tra
insiemi uso nella simbologia matematica
un freccia semplice: f : A → B ;
se invece parlo di una funzione come
relazione tra elementi di un insieme allora
uso una freccia diversa: f : x a y
si chiama VARIABILE INDIPENDENTE
y si chiama VARIABILE DIPENDENTE (dipende dalla x scelta)
La funzione può essere assegnata con un’espressione analitica, ovvero con una formula matematica,
per es.
3
f ( x) = − x + 3
2
3
y = − x+3
2
3
x a − x+3
2
analoga a
analoga a
Una funzione si può esprimere in due modi:
1. forma IMPLICITA se f ( x; y ) = 0
2. forma ESPLICITA se y = f ( x )
per es. 3 x + 2 y − 6 = 0
3
per es. y = − x + 3
2
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Esistono funzioni, dette FUNZIONI DEFINITE PER CASI, date da espressioni analitiche diverse
a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.
Esempi significativi:
1. funzione VALORE ASSOLUTO
 x x≥0
y= x =
− x x < 0
2. funzione SEGNO
1 x≥0
y = sign( x) = 
− 1 x < 0
3. funzione PARTE INTERA
n ≤ x ≤ n +1
 n
y = [x ] = 
− (n + 1) − (n + 1) ≤ x ≤ − n
tradotto: la funzione parte intera associa
ad ogni numero reale x il più grande numero
intero minore o uguale a x .
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Come abbiamo visto nella pagina precedente, di una funzione si può anche disegnare il GRAFICO,
cioè l’insieme dei punti del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f .
Possiamo inoltre cercare l’intersezione della funzione con gli assi cartesiani (ponendo a sistema la
funzione una volta con x = 0 e una volta con y = 0 ).
FUNZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI
Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI.
Una funzione si dice ALGEBRICA se contiene, nella variabile x , solo addizioni, sottrazioni,
moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice.
Tra le funzioni algebriche troviamo
le razionali intere (funzioni espresse mediante polinomio), che a loro volta possono essere
lineari (se di primo grado rispetto alla x ) o quadratiche (se di secondo grado rispetto alla
x ).
le razionali fratte (funzioni espresse mediante quoziente di polinomi)
le irrazionali (funzioni in cui la x compare sotto il segno di radice)
Tutte le altre funzioni sono TRASCENDENTI.
Riassumendo:
FUNZIONE
ALGEBRICA
TRASCENDENTE
y = senx
y = ex
RAZIONALE
INTERA
RAZIONALE
FRATTA
y=
LINEARE
QUADRATICA
y = 5x + 7
y = x 2 − 3x + 2
IRRAZIONALE
2x − 1
3x + 2
y = x +1
Per una funzione algebrica, il GRADO della funzione è il grado del polinomio.
CAMPO DI ESISTENZA E SEGNO DI UNA FUNZIONE
Il CAMPO DI ESISTENZA (C.E.) di una funzione è il sottoinsieme più ampio di R in cui la
funzione può essere definita. Spesso lo si fa coincidere con il dominio.
Di seguito, una tabella riassuntiva delle principali funzioni e dei relativi campi di esistenza:
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Funzione
Funzioni
razionali
intere
Funzioni
razionali
fratte
Campo di esistenza
Esempio
y = a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n R
y=
P( x)
Q( x)
(P e Q polinomi)
y = 3x 3 − 4 x 2 + 7 x − 2
D=R
2x − 1
y=
3x + 5
R − {x0 , x1 ,...x k }
5
x
≠
−
3
x
+
5
≠
0
con
3
Q ( x0 ) = Q ( x1 ) = ... = Q ( x k ) = 0
5
 
D= R − − 
 3
y = 6 3x − 6
Funzioni
irrazionali
{x ∈ R |
y=
n
f ( x) ≥ 0}
f ( x) con n pari
3x − 6 ≥ 0
x≥2
D= [2;+∞ )
y = n f ( x) con n dispari Campo di esistenza di f (x)
3x
x −1
x −1 ≠ 0 x ≠ 1
D= R − {1}
y = [ f (x)] con α > 0 e
irrazionale
y = (2 x + 1)
2x + 1 ≥ 0
1
x≥−
2
 1
D= − ;+∞ )
 2
y=3
3
α
y = [ f ( x) ]
g ( x)
{x ∈ R |
{x ∈ R |
f ( x) ≥ 0}
f ( x) > 0} ∩ C.E.g ( x)
y = (2 x) x +1
[0, + ∞ ) ∩ R
D= [0;+∞ )
y =Log (3 x − 4)
3x − 4 > 0
x>
y = log a f ( x) a > 0
a ≠1
{x ∈ R |
y = a f ( x)
Campo di esistenza di f (x)
y = 32 x+4
D=R
R
y = sen(4 x + 1)
D=R
a > 0 a ≠1
Funzioni
goniometriche y = senx , y = cos x
y = tgx
f ( x) > 0}
4
3
4
D=  ;+ ∞ )
3
π

R −  + kπ 
2

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y = tg (3 x)
π

D = R −  + kπ 
2

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y = ctgx
R − {kπ }
y = ctg 2 x
D = R − {kπ }
y = arcsenx , y = arccos x
[− 1,1]
y = arcsen(2 x − 1)
D = [− 1,1]
y = arctgx , y = arcctgx
R
y = arctg (2 x − 4)
D=R
Di una funzione si può studiare anche il SEGNO, ossia si può cercare per quali valori di x
appartenenti al dominio il valore di y è positivo, nullo o negativo.
Per esempio:
y = 2x − 6
è positiva per x > 3
è nulla per x = 3
è negativa per x < 3
Quindi il grafico sarà nella
parte non colorata del
piano cartesiano.
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I GRAFICI
Le traslazioni
a. Grafico di
f ( x − a ) : traslo il
grafico a destra di a
unità di misura (udm);
se avessi dovuto
disegnare f ( x + a )
avrei traslato il grafico
a sinistra di a udm.
b. Grafico di y = f ( x ) + b :
traslo il grafico verso l’alto di
b udm;
se avessi avuto
y = f ( x ) − b avrei traslato
il grafico verso il basso di b
udm.
Le simmetrie
a. Grafico di
y = − f (x) . Simmetria rispetto all’asse x
b. Grafico di
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y = f (− x) . Simmetria rispetto all’asse y
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c. Grafico di
y = − f (− x) . Simmetria rispetto ad O
d. Grafico di
y = f (x) . Simmetria rispetto all’asse
delle x della parte negativa del grafico.
e. Grafico di
y = f ( x ) . Per x ≥ 0 il grafico rimane
uguale; mentre per x negativo il grafico è il simmetrico
rispetto all’asse y di f ( x ), x > 0 .
Le dilatazioni
a. Grafico di
orizzontale.
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x
y = f  , m > 1 . Dilatazione
m
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b. Grafico di
x
y = f  , m < 1 . Contrazione
m
orizzontale.
c. Grafico di
d. Grafico di
y = nf ( x ), n < 1 . Contrazione verticale.
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y = nf ( x ), n > 1 . Dilatazione verticale.
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LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE
Una funzione da A a B si dice:
INIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A
SURIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A
BIIETTIVA se è sia iniettiva che suriettiva (si dice anche biunivoca o bijettiva)
y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva perché a ogni
valore scelto sull’asse y corrisponde un valore
(suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La
funzione è quindi biiettiva.
y = − x 2 + 4 è suriettiva se si considera
come insieme B quello degli y tali che
y ≤ 4 , ma non è iniettiva perché scelto nel
codominio un y diverso da 4, esso è
immagine di due valori distinti di x.
LE FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTÒNE
Una funzione da A a B si dice:
CRESCENTE se ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) (si dice anche crescente in senso stretto)
CRESCENTE in senso lato se ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )
Per esempio:
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se
x ≤1
 x

f ( x) =  1
se 1 < x < 3
 x − 2 se
x≥3

Crescente in senso lato in R
Una funzione da A a B si dice:
DECRESCENTE se ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) (si dice anche decrescente in senso
stretto)
DECRESCENTE in senso lato se ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 )
Per esempio:
y = −x + 2
Una funzione da A a B si dice MONOTÒNA se è sempre crescente o sempre decrescente.
Una funzione monotòna in senso stretto è sempre iniettiva.
LE FUNZIONI PERIODICHE
Una funzione y = f (x) si dice PERIODICA di periodo T, con T>0, se ∀k ∈ Z si ha
f ( x) = f ( x + kT ) .
In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.
Per esempio:
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y = tg (x)
LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI
Una funzione y = f (x) si dice PARI se ∀x ∈ D si ha f ( x) = f (− x) .
Se una funzione è espressa analiticamente e contiene soltanto potenze della x con esponente
pari, allora è pari.
 x' = − x

 y' = y
Quindi le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse delle y.
Per esempio:
y = 2 x 2 − 1 è pari perché sostituendo a x il
suo opposto –x si ottiene ancora y.
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Una funzione y = f (x) si dice DISPARI se ∀x ∈ D si ha − f ( x) = f (− x) .
Se una funzione è espressa analiticamente e contiene soltanto potenze della x con esponente
dispari, allora è dispari.
 x' = − x

 y' = − y
Quindi le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine degli assi.
Per esempio:
y = 3 x 3 è dispari perché sostituendo a x il
suo opposto –x si ottiene -y.
ATTENZIONE: una funzione che non è pari non è necessariamente dispari.
Per esempio:
y = x 2 + x non è né pari né
dispari; lo possiamo vedere
graficamente non essendoci né
simmetria rispetto all’asse y né
rispetto ad O.
Infatti:
f (− x) = (− x) 2 + (− x) = x 2 − x
≠ − f ( x)∧ ≠ f ( x)
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LA FUNZIONE INVERSA
Data una funzione f biiettiva da A a B, la funzione INVERSA di f è la funzione biiettiva
f
−1
da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f ( x) .
Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile.
Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante.
LE FUNZIONI COMPOSTE
Data due funzioni f : A → B e g : B → C indichiamo con g o f o y = g ( f ( x)) la funzione
COMPOSTA da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante g
dell’immagine di x mediante f .
Nella composizione di funzioni non vale la proprietà commutativa: g o f ≠ f o g .
go f
A
x
B
C
f(x)
y
g(f(x))
f
g
Per esempio:
go f
si legge “g composto f”.
g ( f ( x)) si legge “g di f di x”
f ( x) = x 2 e g ( x) = x + 1
g o f = g ( f ( x)) = g ( x 2 ) = x 2 + 1
f o g = f ( g ( x)) = f ( x + 1) = ( x + 1)
2
ATTENZIONE:
Se si compone la funzione f con la sua inversa f −1 , si ottiene la FUNZIONE IDENTITÀ che
associa ad ogni elementi di un insieme se stesso:
f ( f −1 ( x)) = f −1 ( f ( x)) = x .
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