Materiale del precorso per l`AA 2008/09

Domande per il precorso
(settimana dal 22 al 26)
Se ne proporranno una selezione, da utilizzare come spunto
per discutere su argomenti che sarebbe necessario
conoscere per saper rispondere in modo corretto.
Cifre significative, incertezze, analisi dimensionale
Data la lunghezza d=12.3mm, la velocità v=1.0m/s ed il tempo t=2.1×10−3s, scrivere, riportando il
congruo numero di cifre e le corrette unità di misura il risultato dei seguenti calcoli. Segnalare con
una croce le operazioni che sono dimensionalmente scorrette. Laddove il risultato abbia dimensioni
note, indicare il nome del tipo di grandezza ottenuta (p.es. area, volume, velocità, numero puro….)
d 2=
(d/t)/v=
sin[(v×t)/d]=
d/(t/v)=
ln(v+d)=
d/t2-v/t=
ln(v)+ln(d)=
d×v=
ln(v)+ln(t)-ln(d)=
d×v×t=
ln[v×t/d]=
d-vt=
d/t=
d+t
(d+t)×v=
d+t×v=
[sin(v×t)]/d=
d/t-v=
Richiami di geometria 2D e 3D. Volumi, superfici, densità…
La densità dell’oro è 19.3g/cm3.
Calcolare la massa di una sfera d’oro di raggio 1.23cm.
Calcolare la massa d’oro necessaria a coprire un cubo di lato 1.23cm con uno strato di 4.0mm?
Calcolare la massa d’oro necessaria a coprire un cubo di lato 1.23cm con uno strato di 1µm. Se
prendiamo un cubo di lato metà, di quale fattore cambia la risposta?
Calcolare la massa d’oro necessaria a coprire una sfera di raggio 1.23cm con uno strato di 1µm.
Calcolare la densità lineare di massa di un filo d’oro di raggio 1.00mm.
Calcolare la densità lineare di massa di un tubicino d’oro a sezione circolare di raggio esterno
0.53mm e raggio interno 0.49mm
Con un grammo d’oro, quale superficie si può coprire, se se ne fa un foglio di spessore 15µm?
Si ha un cilindro di altezza=diametro=2.00cm. Esso viene dorato e la sua massa aumenta di 0.05g.
Qual è lo spessore (medio) dello strato di doratura? Se dimezziamo altezza e diametro, di quale
fattore cambia la risposta?
Qual è la forza peso che agisce su una sfera d’oro cava, di raggio esterno Re=2cm e raggio interno
Ri=Re/2? Se raddoppiamo Re, di quale fattore cambia la risposta?
Una sfera d’oro messa in acqua galleggia. Chiaramente, si tratta di una sfera cava. Supponiamo che
anche la cavità abbia forma sferica. Sapendo che Re=2cm, cosa si può dire di Ri? Quale esperimento
si potrebbe fare per verificare se le superfici sferiche interna ed esterna sono concentriche?
Domanda cattiva (per ora). Una volta verificato che le due superfici sono concentriche, si potrebbe
verificare con qualche metodo “non invasivo” se effettivamente la superficie interna è di forma
sferica?
Si hanno 5grammi d’oro in filo di raggio R=0.123mm. Se ne vuole costruire l’”ossatura” (cioè gli
spigoli) di un tetraedro regolare. Qual è la superficie S e l’altezza h del tetraedro che si ottiene.
Cambiamo dati: se ora il raggio è R’=0.234R, quanto valgono S’ e h’?
Una sfera d’oro cava galleggia per il 25% del suo volume. Se il raggio della sfera è 1.23cm, qual è
il volume della cavità? Quanta acqua si potrebbe inserire nella cavità, prima che la sfera vada a
fondo?
Ho un tetraedro regolare il cui spigolo misura L, il quale racchiude una cavità sferica. Qual è il
massimo valore che può avere il raggio della cavità?
Ho un tetraedro regolare il il quale racchiude una cavità sferica. Qual è la massima densità del
materiale con cui si può costruire questo corpo, se si vuole che esso galleggi?
Grandezze scalari e vettoriali, seni, coseni, tangenti e loro inverse. Rappresentazioni di
quantità vettoriali.
Calcolare la distanza fra due punti che, in un opportuno sistema di coordinate cartesiane occupano
le posizioni A=(1m, 2m, 5m), B=(−1m, −3m, 2m).
Calcolare la distanza fra due punti che, in un opportuno sistema di coordinate cartesiane occupano
le posizioni A=(1m, 2m, 5m), B. Si sa che il vettore B è lungo 4m, giace sul piano yz e forma un
angolo di 30° con l’asse z.
Rappresentare in coordinate polari i vettori (3,4) e (-6, 8).
Rappresentare in coordinate cilindriche i vettori (x=3, y=4, z=5) e (r=10, θ=−π/6, f=2π/3).
Rappresentare in coordinate cartesiane i vettori (r=6, φ=π/4, z=5) e (r=10, θ=−π/6, f=2π/3).
Rappresentare in coordinate sferiche i vettori (r=6, φ=−π/4, z=4) e (x=3, y=4, z=5).
Determinare l’angolo θ∈[0, 2π) in ciascuna delle seguenti ipotesi:
• La sua tangente vale 3 e il suo seno è negativo
• La sua cotangente vale 3 e il suo seno è negativo
• La sua tangente vale 1 e il suo coseno è negativo
• Il suo seno vale 1/2 e la sua tangente è negativa
• Il suo coseno vale √3/2 e il suo seno è negativo
• Il suo coseno vale 1/2 e la sua cotangente è negativa
• La sua tangente vale 1/√3 e il suo seno è negativo
• Il suo seno vale 0.54 e il suo coseno è negativo
Scrivere i seguenti vettori, forniti in coordinate cartesiane, in termini del prodotto fra il loro modulo
e il loro versore
A=(1,2); B=(1,2,3); C=(3,4,-5); D=(3,-4,5);
Utilizzando i dati dell’esercizio precedente, calcolare
.
BC
BΛ
ΛC
B+C
.
B (CΛ
ΛD)
|A|
.
(B C)Λ
ΛD
|B|
|B+C|
|B|+|C|
||B|+C|
|B+C+D|
Attenzione, alcune delle
espressioni appena scritte
sono prive di senso: anziché
calcolarle, segnarle con un
asterisco
Stime di ordini di grandezza
Quanto è lontano l’orizzonte visto da un uomo in piedi sul bagnasciuga?
quante gocce di pioggia cadono in un anno in Italia?
quanti litri di carburante consuma un italiano in tutta la sua vita?
quanti kg di CO2 produci annualmente?
quanti kg di CO2 produci annualmente, limitatamente alle emissioni di tipo biologico?
Quanti kg di monete da 1 cent circolano in Europa?
Quanti chicchi di riso in un piatto di risotto?
Quanti atomi di azoto nella stanza tipica di un’abitazione?
Quanti atomi di idrogeno, nell’acqua degli oceani?
Quanti elettroni, sul pianeta Terra?
Con quale potenza emette il sole?
G=6.67×10-11 unità MKS
Quali sono queste unità?
Quanto misura il raggio del sole?
La massa del sole?
Il numero di caratteri nella Divina Commedia?
Quanti steradianti occupa il sole, nel cielo?
Stimare la distanza fra i centri di un atomo di Na e un atomo di Cl che occupano posizioni vicine in
un cristallo di sale da cucina.