La funzione di ambiguità

La funzione di ambiguità
Maria S. Greco
Corso di Fondamenti di Radar
Ing. delle Telecomunicazioni
Dicembre 2014
Definizione e principali proprietà
Normalizziamo l’inviluppo del segnale complesso in
modo che la sua energia sia unitaria:
A (τ ,ν ) =
∫
+∞
−∞
x(t )
xu (t ) =
Ex
xu (t ) xu* ( t − τ ) exp ( j 2πν t ) dt
Risulta evidente dalla definizione che la funzione di ambiguità rappresenta il
modulo dell’uscita del filtro adattato quando l’ingresso è una versione shiftata in
frequenza del segnale trasmesso, cioè
xu (t )exp ( j 2πν t )
La funzione di ambiguità è funzione di 2 variabili: il ritardo relativo τ e lo shift
frequenziale ν.
Definizione e principali proprietà
La funzione di ambiguità gode di queste proprietà:
1) Valor massimo:
2) Volume costante:
A (τ ,ν ) ≤ A ( 0,0 ) = E = 1
V =∫
+∞
−∞
3) Simmetria rispetto all’origine:
∫
+∞
−∞
A2 (τ ,ν )dτ dν = E 2 = 1
A ( −τ , −ν ) = A (τ ,ν )
(
)
4) Effetto dell’FM lineare: u (t ) ⇔ A (τ ,ν ) u (t ) exp jπ kt 2 ⇔ A (τ ,ν − kτ )
Dimostriamo la prima proprietà. Scriviamo
A (τ ,ν ) =
2
∫
+∞
−∞
xu (t ) x ( t − τ ) exp ( j 2πν t ) dt
2
*
u
Per la disuguaglianza di Schwartz si ha
A (τ ,ν ) ≤ ∫
2
+∞
−∞
=∫
+∞
−∞
xu (t ) dt ∫
2
−∞
xu (t ) dt ∫
2
+∞
+∞
−∞
x ( t − τ ) exp ( j 2πν t ) dt
*
u
2
xu* ( t − τ ) dt
2
Ciascun integrale è proprio uguale all’energia del segnale (unitaria per la
normalizzazione) quindi
A (τ ,ν ) ≤ E = 1
L’uguaglianza si ha quando i due segnali nei due integrali sono uguali, cioè per τ=0
e ν=0.
La seconda proprietà è la più lunga da dimostrare (v. Richards, p. 172) ma è
fondamentale. Questo principio di «conservazione dell’energia» stabilisce che non
è possibile rimuovere energia da una specifica zona tempo-frequenza senza
aggiungerla da qualche altra parte.
Dimostriamo la terza proprietà.
A ( −τ , −ν ) =
∫
+∞
−∞
xu (t ) xu* ( t + τ ) exp ( − j 2πν t ) dt
= exp ( j 2πντ ) ∫
+∞
−∞
xu ( s − τ ) xu* ( s ) exp ( − j 2πν s ) ds
= exp ( j 2πντ ) A∗ (τ ,ν )
= A (τ ,ν )
Funzione di ambiguità di un impulso rettangolare
 t 
1
xu (t ) =
rect  
 Tp 
Tp
 
Applichiamo la definizione
funzione di ambiguità per τ>0
A (τ ,ν ) =
=
∫
∫
+∞
−∞
xu (t ) xu* ( t − τ ) exp ( j 2πν t ) dt
(
sin πν (Tp − τ )
1
exp ( j 2πν t ) dt =
2 +τ T
Tpπν
p
+T p 2
−T p
di
(
)
)
Per τ>0 si ottiene la stessa espressione, ma funzione di Tp + τ . Quindi, in
conclusione, per un impulso rettangolare la funzione di ambiguità è data da
A (τ ,ν ) =
(
sin πν (Tp − τ
Tpπν
))
τ ≤ Tp
AF of a Rectangular Pulse
Tp =0.1s
Absolute value of the CAF, 3D-graph.
A (τ ,0 ) =
Absolute value of the CAF, contour-plot.
Tp − τ
Tp
Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.
Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.
A ( 0,ν ) =
sin (πν Tp )
Tpπν
AF di un chirp
LFM pulse (chirp):
 t
1
2
exp ( jπ kt ) ⋅ rect 
x(t ) =
T
Tp
 p

B
 , where k =
Tp

La frequenza istantanea è data da f(t)=kt, quindi –B/2<f(t)<B/2

τ
A (τ ,ν ) = 1 −
 T
p

 sin π Tp (ν − kτ ) (1 − τ Tp ) 
, τ < Tp

 π Tp (ν − kτ ) (1 − τ Tp )
AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal
Tp =0.1s,
B = 5 Tp
Absolute value of the CAF, 3D-graph.
= 50 Hz
Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.
Absolute value of the CAF, contour-plot.
AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal
Tp =0.1s,
B = 10 Tp
Absolute value of the CAF, 3D-graph.
Absolute value of the CAF, contour-plot.
= 100 Hz
Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.
Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.
Funzione di ambiguità di un treno di impulsi
Indichiamo con x(t) il treno di impulsi
M −1
x(t ) = ∑ x p ( t − mTr )
m =0
Ricaviamone la funzione di ambiguità.
A (τ ,ν ) =
=
M −1 M −1
∫
−∞
∑∑∫
m = 0 n =0
+∞ M −1
+∞
−∞
M −1
∗
x
t
−
mT
x
(
)
∑ p
r ∑ p ( t − τ − nTr ) exp ( j 2πν t ) dt
m =0
m =0
x p ( t − mTr ) x∗p ( t − τ − nTr ) exp ( j 2πν t ) dt
Facciamo la sostituzione s = t − mTr
A (τ ,ν ) =
M −1
M −1
m =0
n =0
∑ exp ( j 2πν mTr ) ∑ ∫
+∞
−∞
x p ( s ) x∗p ( s − τ − nTr + mTr ) exp ( j 2πν s ) ds
Chiamiamo ora con Aˆ p (τ ,ν ) la funzione di ambiguità complessa del singolo
impulso (cioè senza valore assoluto) e otteniamo
A (τ ,ν ) =
M −1
M −1
∑ exp ( j 2πν mT ) ∑ Aˆ (τ − ( m − n )T ,ν )
r
m =0
n =0
p
r
Lavorare con la doppia sommatoria non è per niente facile. E’ possibile però
dimostrare (Richards, p. 184) che vale la relazione
A (τ ,ν ) =
M −1
∑
m =−( M −1)
Aˆ p (τ − mTr ,ν ) exp ( j 2πν ( M − 1 + m ) Tr )
(
sin πν ( M − m Tr )
sin (πν Tr )
)
Osservando che la durata della funzione di ambiguità del singolo impulso è
, se, come succede sempre, Tr>2Tp, allora le varie repliche della
Aˆ p (τ ,ν ) non si sovrappongono e
A (τ ,ν ) =
M −1
∑
m =−( M −1)
Ap (τ − mTr ,ν )
(
sin πν ( M − m Tr )
sin (πν Tr )
)
AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)
x(t ) =
1
MTp
 t − mTr
rect 
∑
 Tp
m =0

M −1

, Tp = pulse duration

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)
1
A (τ ,ν ) =
M
M −1
∑
m =−( M −1)
AS (τ − mTr ,ν )
sin πν ( M − m ) Tr 
sin [πν Tr ]
, τ < MTr
N.Levanon, E. Mozeson, Radar Signals, J. Wiley&Sons, 2004
AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)
La risoluzione in distanza è controllata dalla durata dell’impulso T, la risoluzione in
frequenza dal tempo di integrazione MTr
AF di un Chirp e risoluzione in range
u (t ) exp ( jπ kt 2 ) ⇔ A (τ ,ν − kτ )
Improved delay/range resolution by linear_FM shearing