Proprietà di una funzione

3. FUNZIONI LIMITATE, ESTREMI DI UNA FUNZIONE
Per funzioni reali (a dominio qualunque), im f è incluso in R e quindi ha senso la seguente:
Definizioni. Sia f : dom f X $ R e sia A dom f .
1 Si chiamano estremo inferiore e superiore di f su A ( inf f (x) e sup f (x))
xMA
l’estremo inferiore e superiore dell’insieme dei valori assunti da f su A, cioè
inf f (x) := inf f (A) = inf {f (x) : x 5 A}
e
xMA
xMA
sup f (x) := sup f (A)
xMA
2 Si chiamano minimo e massimo di f su A (min f (x) e max f (x)), se esistono, il
xMA
xMA
minimo ed il massimo dell’insieme dei valori assunti da f su A, cioè
min f (x) := min f (A)
xMA
e
max f (x) := max f (A)
xMA
se esistono.
––––––
Si scrive anche inf f , sup f , min f , max f .
A
A
A
A
Se A = dom f (e quindi f (A) = im f ), si scrive inf f , sup f , min f , max f e si parla
di inf, sup, min, max globali di f , evitando la specificazione «su A».
Graficamente: si rintraccia f (A) sull’asse y e se ne analizzano inf, sup, min, max .
Se A = [0, 2), allora
inf f
min f
sup f
max f
A
A
A
A
–––––––––
inf f
sup f
inf f = 1, sup f = 1
non esistono min f e max f
inf an = 0, min an non esiste
sup an = 5 = max an
3 f è (inferiormente/superiormente) limitata su A se tale è l’insieme f (A), cioè:
i) f è limitata inferiormente su A / <a 5 R, ;x 5 A, f (x) a
(il grafico di f su A si svolge tutto sopra
la retta y = a)1
ii) f è limitata superiormente su A / <b 5 R, ;x 5 A, f (x) b
(il grafico di f su A si svolge tutto sotto
la retta y = b)
iii) f è limitata su A / <a, b 5 R, ;x 5 A, a f (x) b
(il grafico di f su A si svolge tutto nella striscia a y b)
/ <c > 0, ;x 5 A, |f (x)| c
Se A = dom f , non si specifica «su A» e si usa dire che le proprietà valgono globalmente.
1
Per grafico di f su A si intende la parte di Gf fatta dai punti con ascissa in A.
Esempio notevole. Seno e coseno sono funzioni limitate: per ogni x 5 R si ha
1 sin x 1 e
1 cos x 1
4. FUNZIONI MONOTÒNE
In molti contesti concreti, la relazione di dipendenza funzionale y = f (x) tra due variabili
è tale che
• se il valore di x aumenta allora anche quello di y aumenta
• se il valore di x aumenta allora quello di y diminuisce.
Situazioni molto particolari sono:
x e y inversamente proporzionali
(prodotto costante): y = xk
x e y direttamente proporzionali
(rapporto costante): y = mx
Più in generale, per funzioni reali di variabile reale, si dà la seguente definizione:
Definizione. Sia f : dom f R $ R e sia A dom f . Si dice che f è:
1) crescente su A se
;x1 , x2 5 A, x1 < x2 =, f (x1 ) f (x2 )
2) strettamente crescente su A se
x1 < x2 =, f (x1 ) < f (x2 )
3) decrescente su A se
x1 < x2 =, f (x1 ) f (x2 )
4) strettamente decrescente su A se
x1 < x2 =, f (x1 ) > f (x2 )
5) (strettamente) monotòna su A se è (strettamente) crescente o decrescente su A.
NOTE.
i) Se A = dom f , non si specifica «su A» e si usa dire che le proprietà valgono globalmente.
ii) La monotonia stretta può essere espressa equivalentemente con l’equivalenza +,.
iii) Alcuni dicono non-decrescente nel caso 1) e crescente nel caso 2).
Graficamente:
i) f è crescente (strettamente) su A se e solo se all’aumentare dell’ascissa x in A
l’ordinata del corrispondente punto su Gf non diminuisce (aumenta)
ii) f è decrescente (strettamente) su A se e solo se all’aumentare dell’ascissa x in A
l’ordinata del corrispondente punto su Gf non aumenta (diminuisce)
strettamente crescente su (4, 0]
strettamente decrescente su [0, +4)
crescente non strettamente su (4, 0)
strettamente crescente su [0, +4)
globalmente strettamente crescente
globalmente strettamente decrescente
Un intervallo su cui f sia monotòna è detto intervallo di monotònia di f .
Studiare la monotònia di f significa individuare i suoi intervalli di monotònia massimali,
cioè gli intervalli di monotonia non contenuti strettamente in altri intervalli di monotonia.
non globalmente monotona, con intervalli di monotonia (4, a) , (a, b] e (b, +4)
non globalmente monotona, con intervalli di monotonia (4, 0] , [0, a] e [a, +4)
Esempio notevole. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con base a 9= 1 sono
globalmente strettamente monotone: crescenti se a > 1, decrescenti se 0 < a < 1.
;x1 , x2 5 R,
ax1 < ax2 se a > 1
x1 < x2 /
ax1 > ax2 se 0 < a < 1
;x1 , x2 > 0,
loga x1 < loga x2 se a > 1
x1 < x2 /
loga x1 > loga x2 se 0 < a < 1
5. FUNZIONI SIMMETRICHE (PARI O DISPARI)
Spesso accade che un grafico presenti certi tipi di simmetria: vediamo i due più semplici.
Definizione. Sia f : dom f R $ R una funzione con dominio simmetrico rispetto
all’origine (x 5 dom f / x 5 dom f ). Si dice che f è
1) pari se
;x 5 dom f,
2) dispari se
f (x) = f (x)
;x 5 dom f,
f (x) = f (x)
Esempi. • f (x) = |x| è pari: dom f = (4, +4) è simmetrico e
;x 5 R,
f (x) =
sin x
è dispari: dom g = R \ Z2 + kZ : k 5 Z è simmetrico e
cos x
;x 5 dom g, g (x) =
• g (x) = tan x =
Graficamente:
i) f è pari se e solo se Gf è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate
ii) f è dispari se e solo se Gf è simmetrico rispetto all’origine
f : [a, a] $ R pari
f : R $ R dispari
f (x) =
1
x
dispari
Proprietà. Se f è dispari e 0 5 dom f , allora f (0) = 0.
Infatti ...
Esempio notevole. Le potenze ad esponente naturale (f (x) = xn con n 5 N) sono
funzioni pari o dispari a seconda che l’esponente sia pari o dispari.
n
se n pari
x
n
;n 5 N, ;x 5 R, (x) =
n
x se n dispari
6. FUNZIONI PERIODICHE
Molti fenomeni sono periodici: al variare di una variabile indipendente, una variabile
dipendente ripete ciclicamente i propri valori (ciclicità delle temperature medie stagionali,
ripetersi delle maree, ritmo del battito cardiaco, valori dell’altezza da terra di un punto
su una ruota che rotola, ecc.).
Tali situazioni si modellizzano tramite funzioni periodiche, nel senso della seguente:
Definizione. Sia f : dom f R $ R. Si dice che f è periodica se esiste un numero
reale p > 0 tale che
;x 5 dom f,
x ± p 5 dom f
e
f (x + p) = f (x) .
In tal caso, si dice che p è un periodo per f .
Se f è periodica, allora ;x 5 dom f si ha
f (x + 2p) =
f (x p) =
e, iterando i conti, risulta f (x + kp) = f (x) per ogni k 5 Z .
In particolare, f ha infiniti periodi: ogni multiplo np con n 5 NW è ancora un periodo.
Definizione. Se f : dom f R $ R è periodica e l’insieme dei suoi periodi ha minimo,
tale minimo si chiama periodo minimo di f e si indica con Tf (o solo T , se non ambiguo).
Graficamente: una funzione è periodica con periodo p se e solo se, suddiviso l’asse delle
ascisse in intervalli di ampiezza pari a p, il suo grafico si ripete uguale a se stesso su
ciascuno di tali intervalli.
y = sin x,
Tsin = 2Z
M (x) = x [x] (mantissa di x), TM = 1
Se Tf esiste, ogni intervallo di ampiezza pari a Tf
prende il nome di intervallo di periocità di f .
y = tan x,
Ttan = Z