Equilibrio di sistemi dinamici

Fondamenti di Automatica
Unità 3
Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
Equilibrio di sistemi dinamici
Linearizzazione di sistemi dinamici
Stabilità interna di sistemi dinamici
Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
Stabilità dell’equilibrio per sistemi dinamici non
lineari mediante linearizzazione
2
Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
Equilibrio di sistemi dinamici
Equilibrio di sistemi dinamici
Definizione di equilibrio
Equilibrio di sistemi a tempo continuo
Equilibrio di sistemi a tempo discreto
Esempi di calcolo dell’equilibrio
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Equilibrio di sistemi dinamici
Definizione di equilibrio
Definizione di equilibrio
Per equilibrio di un sistema dinamico stazionario
si intende un particolare movimento costante in cui
p
L’ingresso del sistema è costante: u (t ) = u ∈ , ∀t ≥ 0
Lo stato del sistema permane costante nel tempo e
quindi pari allo stato iniziale:
n
x (t ) = x (t = 0) = x ∈ , ∀t ≥ 0
q
L’uscita del sistema è costante: y (t ) = y ∈ , ∀t ≥ 0
Terminologia:
L’ingresso costante u è detto ingresso di equilibrio
Lo stato costante x è detto stato di equilibrio
L’uscita costante y è detta uscita di equilibrio
La coppia ( x ,u ) è detta punto di equilibrio
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Equilibrio di sistemi dinamici
Equilibrio di sistemi a tempo continuo
Condizione di equilibrio per sistemi TC
Dato un sistema dinamico, a dimensione finita,
MIMO, a tempo continuo, non lineare, stazionario
x (t ) = f ( x (t ),u (t ))
y (t ) = g ( x (t ),u (t ))
gli stati di equilibrio corrispondenti all’ingresso di
equilibrio (costante) u (t ) = u , ∀t ≥ 0, sono gli stati
costanti x (t ) = x , ∀t ≥ 0, che soddisfano la condizione
x (t ) = x = 0, u (t ) = u , ∀t ≥ 0
e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni
f ( x ,u ) = 0
cui corrispondono le uscite di equilibrio date da
y = g ( x ,u )
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Calcolo dell’equilibrio di sistemi LTI TC (1/3)
Nel caso di un sistema dinamico, a dimensione finita,
MIMO, a tempo continuo, lineare e tempo-invariante
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
y (t ) = C x (t ) + Du (t )
gli stati di equilibrio x corrispondenti all’ingresso di
equilibrio u soddisfano la condizione
x (t ) = x = 0 = Ax + Bu , ∀t ≥ 0
e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni
Ax = −Bu
cui corrispondono le uscite di equilibrio date da
y = C x + Du
9
Calcolo dell’equilibrio di sistemi LTI TC (2/3)
Se la matrice A è invertibile (cioè det(A ) ≠ 0), allora
esiste uno ed un solo stato di equilibrio (isolato)
x = −A −1Bu
cui corrisponde una ed una sola uscita di equilibrio
y = (−C A −1B + D ) u
Se la matrice A è singolare (cioè det(A ) = 0), allora
possono esistere infiniti stati di equilibrio oppure
nessuno stato di equilibrio, a seconda delle matrici
A e B nonché del particolare ingresso di equilibrio u
10
Calcolo dell’equilibrio di sistemi LTI TC (3/3)
Esempio: dato il sistema dinamico LTI a tempo continuo
⎡1 0⎤
⎡1⎤
avente matrici A =
⎢⎣1 0⎥⎦ e B = ⎢⎣0⎥⎦ , calcolare tutti gli
stati di equilibrio x al variare dell’ingresso di equilibrio u
All’equilibrio, dalle equazioni di stato risulta:
⎧0 = x 1 + u
⎧x 1 = −u
x = 0 = Ax + Bu ⇒ ⎨
⇒ ⎨
0=x
x =0
⎩
1
⎩
1
- se u = 0 ⇒ esistono infiniti stati di equilibrio dati da
⎡ ⎤
x = ⎢0 ⎥ , c ∈
⎣c ⎦
⇒ si parla in tal caso di stato di equilibrio non isolato
- se u ≠ 0 ⇒ non esiste alcuno stato di equilibrio
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Equilibrio di sistemi dinamici
Equilibrio di sistemi a tempo discreto
Condizione di equilibrio per sistemi TD
Dato un sistema dinamico, a dimensione finita,
MIMO, a tempo discreto, non lineare, stazionario
x (k + 1) = f ( x (k ),u (k ))
y (k ) = g ( x (k ),u (k ))
gli stati di equilibrio corrispondenti all’ingresso di
equilibrio (costante) u (k ) = u , ∀k ≥ 0, sono gli stati
costanti x (k ) = x , ∀k ≥ 0, che soddisfano la condizione
x (k + 1) = x (k ) = x , u (k ) = u , ∀k ≥ 0
e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni
f ( x ,u ) = x
cui corrispondono le uscite di equilibrio date da
y = g ( x ,u )
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Calcolo dell’equilibrio di sistemi LTI TD (1/3)
Nel caso di un sistema dinamico, a dimensione finita,
MIMO, a tempo discreto, lineare e tempo-invariante
x (k + 1) = Ax (k ) + Bu (k )
y (k ) = C x (k ) + Du (k )
gli stati di equilibrio x corrispondenti all’ingresso di
equilibrio u soddisfano la condizione
x (k + 1) = x (k ) = x = Ax + Bu , ∀k ≥ 0
e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni
(I − A )x = Bu
cui corrispondono le uscite di equilibrio date da
y = C x + Du
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Calcolo dell’equilibrio di sistemi LTI TD (2/3)
Se la matrice I − A è invertibile (cioè det(I − A ) ≠ 0),
allora esiste uno ed un solo stato di equilibrio (isolato)
x = (I − A) −1Bu
cui corrisponde una ed una sola uscita di equilibrio
y = (C (I −A) −1B + D )u
Se la matrice I − A è singolare (cioè det(I − A ) = 0),
allora possono esistere infiniti stati di equilibrio
oppure nessuno stato di equilibrio, a seconda delle
matrici A e B nonché del particolare ingresso di
equilibrio u
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Calcolo dell’equilibrio di sistemi LTI TD (3/3)
Esempio: dato il sistema dinamico LTI a tempo discreto
⎡1 0⎤
⎡1⎤
avente matrici A =
⎢⎣1 0⎥⎦ e B = ⎢⎣0⎥⎦ , calcolare tutti gli
stati di equilibrio x al variare dell’ingresso di equilibrio u
All’equilibrio, dalle equazioni di stato risulta:
⎧x1 = x1 + u
⎧u = 0
⇒ ⎨
x = Ax + Bu ⇒ ⎨
x =x
⎩x 2 = x 1
⎩
2
1
- se u = 0 ⇒ esistono infiniti stati di equilibrio dati da
⎡ ⎤
x = ⎢c ⎥ , c ∈
⎣c ⎦
⇒ si parla in tal caso di stato di equilibrio non isolato
- se u ≠ 0 ⇒ non esiste alcuno stato di equilibrio
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Equilibrio di sistemi dinamici
Esempi di calcolo dell’equilibrio
Esempio #1 di calcolo dell’equilibrio (1/2)
Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto dal
seguente modello in variabili di stato
i
x
(
t
)
⎡
⎤
p
(
t
)
⎡
⎤
1
⎧⎪x1 = x 2
=
x (t ) = ⎢
⎢
⎥⎦ x (t )⎥ 0
p
(
t
)
⎣
⎣ 2 ⎦
⎨
2
2
⎪⎩x 2 = g − ( ki M ) u x1 u (t ) = ⎡⎣i (t )⎤⎦
f
M
y = x1
p
Mg
y (t ) = ⎣⎡p (t )⎤⎦
determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio
corrispondenti all’ingresso di equilibrio u ≠ 0
All’equilibrio, x (t ) = x = 0 = f (x ,u ), ∀t ≥ 0 ⇒
ki
⎡ ki
⎤
⎧
⎧0 = x 2
u⎥
⎪x1 = Mg u
Mg
⎢
⇒⎨
⇒x =
⎨
2
2
⎢ 0 ⎥
⎩0 = g − ( ki M ) u x1
⎪⎩x 2 = 0
⎣
⎦
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Esempio #1 di calcolo dell’equilibrio (2/2)
Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto dal
seguente modello in variabili di stato
i
x
(
t
)
⎡
⎤
p
(
t
)
⎡
⎤
1
⎧⎪x1 = x 2
=
x (t ) = ⎢
⎢
⎥⎦ x (t )⎥ 0
p
(
t
)
⎣
⎣ 2 ⎦
⎨
2
2
⎪⎩x 2 = g − ( ki M ) u x1 u (t ) = ⎡⎣i (t )⎤⎦
f
M
y = x1
p
Mg
y (t ) = ⎣⎡p (t )⎤⎦
determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio
corrispondenti all’ingresso di equilibrio u ≠ 0
All’equilibrio, y (t ) = y = g (x ,u ), ∀t ≥ 0 ⇒
y = x1 =
ki
Mg
u
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Esempio #2 di calcolo dell’equilibrio (1/2)
Dato il sistema (pendolo inverso, con K = 0, Fv = 0)
descritto dal seguente modello in variabili di stato
⎧x 1 = x 2
⎡θ (t )⎤ ⎡x1(t )⎤
M Fo (t )
x (t ) = ⎢
=⎢
⎪
⎥
⎥
x
(
t
)
(
t
)
θ
θ
u
x
β
x
cos
g
⎣
⎦ ⎣ 2 ⎦
⎨x =
1
2
+ sin x 1 −
g
2
u (t ) = ⎡⎣Fo (t )⎤⎦
l
⎪⎩ 2 Ml
l
Ml
⎡
⎤ β
y = x1
y (t ) = ⎡⎣θ (t )⎤⎦ = ⎣x1 (t )⎦
determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio
corrispondenti all’ingresso di equilibrio u = 0
All’equilibrio, x (t ) = x = 0 = f (x ,u ), ∀t ≥ 0 ⇒
⎧0 = x 2
⎧sin x1 = 0
⎪
βx 2 g
⇒⎨
⎨ u cos x1 g
⎩x 2 = 0
⎪0 = Ml + l sin x1− Ml 2 = l sin x1
⎩
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Esempio #2 di calcolo dell’equilibrio (2/2)
Poiché all’equilibrio valgono le seguenti relazioni:
⎧sin x1 = 0
⎧x1 = k π , k = 0, ±1,…
⇒ ⎨
⎨
⎩x 2 = 0
⎩x 2 = 0
⇒ esistono infiniti stati di equilibrio (isolati)
⎡ x1 ⎤ ⎡k π ⎤
x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , k = 0, ±1,…
⎢⎣x 2 ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦
All’equilibrio, y (t ) = y = g (x ,u ), ∀t ≥ 0 ⇒
y = x1 = k π , k = 0, ±1,…
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Esempio #3 di calcolo dell’equilibrio (1/3)
Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto
dal seguente modello in variabili di stato
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio
corrispondenti all’ingresso di equilibrio u = 0.5
All’equilibrio, x (k + 1) = x (k ) = x = f (x ,u ), ∀k ≥ 0 ⇒
⎧⎪x1 = x1u + x1x 2
⎧x1(1 − u − x 2 ) = x1(0.5 − x 2 ) = 0
⎨
2 ⇒ ⎨x (1 + u − 3x ) = x (1.5 − 3x ) = 0
⎪⎩x 2 = −x 2u + 3x 2
2
2
2
⎩ 2
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Esempio #3 di calcolo dell’equilibrio (2/3)
Poiché all’equilibrio valgono le seguenti relazioni:
⎧x1(0.5 − x 2 ) = 0
⎨
⎩x 2 (1.5 − 3x 2 ) = 0
la seconda equazione risulta soddisfatta per
x 2(a ) = 0 oppure x 2(b ) = 0.5
(a )
Se x 2 = x 2 = 0 , la prima equazione è soddisfatta per
x1 = x1(a ) = 0 ⇒ x = x (a ) = ⎡0⎤ (stato di eq. isolato)
⎢⎣0⎥⎦
Se x 2 = x 2(b ) = 0.5 , la prima equazione è soddisfatta
per qualsiasi x1 = x1(b ) = c ∈ ⇒
x =x
(b )
c
⎡
⎤ (stato di eq. non isolato)
=
⎢⎣0.5⎥⎦
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Esempio #3 di calcolo dell’equilibrio (3/3)
All’equilibrio, y (k ) = y = g (x ,u ) = x1x 2 , ∀k ≥ 0 ⇒
0
Se x = x (a ) = ⎡ ⎤ ⇒ l’uscita di equilibrio è pari a
⎢⎣0⎥⎦
y = y (a ) = x1(a )x 2(a ) = 0
c
(b )
⎡
⎤ ,c ∈ ⇒ l’uscita di equilibrio è
Se x = x
=
⎢⎣0.5⎥⎦
y = y (b ) = x1(b )x 2(b ) = 0.5c
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