Moltiplicare e dividere - Istruzione Formazione e Lavoro

SCUOLA PRIMARIA
DI MONTE VIDON COMBATTE
CLASSE V
INS. VIRGILI MARIA LETIZIA
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Mo tabella
In
Moltiplicazioni
Con i numeri arabi
Regoli
di Genaille
Moltiplicazione
Vedica
Conclusioni
Reg
di N oli
epe
ro
Il contadino
russo
Moltiplicazione
degli egizi
MOLTIPLICAZIONE
A GELOSIA O A RETICOLO
Disegniamo una griglia con tante colonne per quante sono le cifre del
moltiplicando e tante righe per quante sono le cifre del moltiplicatore.
Scriviamo i fattori ai lati del rettangolo o quadrato (quando i due fattori
hanno un numero uguale di cifre).
Dividiamo ogni cella della griglia in due parti tracciando una diagonale .
Si inizia a moltiplicare da destra a sinistra.
Moltiplicazione a gelosia o a reticolo
1
Prima moltiplico 123 × 1 decina
e scrivo i prodotti: la decina va
sempre nella parte superiore della
cella, le unità sotto.
1
0
0
1
7
0
2
2
1
4
1
0
0
2
3
3
1
1
7
1
7
3
2
0
0
3
2
Poi moltiplico 123 × 7 unità e
scrivo i prodotti seguendo le
stesse regole di prima.
Moltiplicazione a gelosia o a reticolo
1
0
1
2 0 7
0
3
2
0
0
2
2
1
4
9
123 × 17 = 2091
Non sembra difficile!
3
1
1
1
7
Ora non resta che sommare tra
loro i numeri che si trovano sulla
stessa diagonale, facendo
attenzione all’eventuale cambio!
TA’
CURIOSI
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sino
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proteggev
Moltiplicazione a gelosia o a reticolo
Griglia a forma
di rettangolo
206 × 32 = 6592
194 × 53 = 10282
Griglia a forma
di quadrato
372 × 349 = 129828
538 × 254 = 136652
Moltiplicazioni in tabella
Procedimento per “scapezzo”
Scomporre entrambi i
fattori ed eseguire le
moltiplicazioni.
Sommare tutti i prodotti
a partire da quelli
maggiori:
migliaia,
centinaia, decine, unità e
l’operazione è risolta.
Abbiamo applicato la
proprietà distributiva.
Moltiplicare in tanti modi
Abbiamo provato a risolvere le
moltiplicazioni con tutte le
tecniche
che
conosciamo.
Ciò ci permette di fare un
controllo incrociato dei risultati.
Regoli di Nepero per moltiplicare
All’inizio del XVII secolo in Scozia John Napier propone i suoi
bastoncini , detti anche "ossi di Napier“, con lo scopo accellerare e
semplificare la tecnica della moltiplicazione a gelosia.
In effetti questo metodo è molto più semplice: per eseguire la
moltiplicazione non è più necessario conoscere la tavola pitagorica:
Regoli di Nepero per moltiplicare:
come sono fatti
I regoli sono 11, di cui 10 mobili e uno fisso. Ogni bastoncino è
diviso in 10 quadrati. Questi, a loro volta, sono tagliati da una
diagonale, sopra alla quale vanno inseriti i numeri che
rappresentano le decine, mentre sotto scriviamo i numeri
corrispondenti alle unità.
Ci hanno talmente incuriosito che ne abbiamo costruito una serie
ciascuno su cartoncino e due su legno.
Regoli di Nepero per moltiplicare:
il modello al computer
Stampiamo il
modello su
cartoncino
colorato e poi
lo incolliamo
su uno più
spesso per
renderlo più
maneggevole e
resistente.
Regoli di Nepero per moltiplicare,
come funzionano
Facciamo un es.: moltiplichiamo 681 x 7. Accanto al regolo fisso si
pongono i regolo 6, 8 e 1.
Marchiamo sul regolo fisso il 7 (moltiplicatore), leggiamo i prodotti già
allineati in senso obliquo e separati in base al valore posizionale della
cifra e tenendo conto di eventuali cambi ricaviamo il prodotto.
681 x 7 = 4767
Regoli di Nepero per moltiplicare,
moltiplicano ad una sola cifra
Prima facciamo un esempio
semplice , per verificarne
facilmente il risultato.
152 x 1= 152
Poi uno proviamo con uno
più complesso.
3641 x 2= 7282
Ora siamo sicuri che funziona veramente!
Regoli di Nepero per moltiplicare,
moltiplicano ad una sola cifra
Siamo curiosi di andare a fare altri tentativi.
Siamo sbalorditi dalla velocità con cui si può trovare il risultato o
verificarne l’esattezza.
641 x4= 2564
681 x 7 = 4767
Regoli di Nepero per moltiplicare,
moltiplicano a due o più cifre
Proviamo a vedere se con i bastoncini si possono risolvere
moltiplicazioni con il secondo fattore a più cifre.
Moltiplichiamo 9578 x 6 decine( cioè 60) e fa 574680; poi 9578 x
1unità e fa 9578.
Non ci rimane che sommare i prodotti parziali e il gioco è fatto!
5 7 4 6 8 0 +
9 5 7 8 =
5 8 4 2 5 8
9578 x 61= 584258
Regoli di Nepero per moltiplicare,
moltiplicano a due o più cifre
Ancora qualche esempio per apprendere bene la tecnica.
891 x 6 decine = 5346
891 x 9 unità = 8019
5 3 4 6 0 +
8 0 1 9 =
6 1 4 7 9
891 x 69 = 61479
Regoli di Nepero per moltiplicare,
moltiplicano a due o più cifre
Ecco una moltiplicazione veramente difficile!
3641 x 2 decine = 78220
x
1
4
36
a
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a
n
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n
e
2c
=
0
0
2
782
7 2 8 2 0 0 +
7 2 8 2 0 =
1 0 9 2 3
8 1 1 9 4 3
364
1
x3
uni
tà =
109
23
3641 x 223 = 811943
Regoli di Nepero per moltiplicare,
perché funzionano
I bastoncini di Nepero si sono dimostrati un valido aiuto per
gli alunni in difficoltà che non conoscono le tabelline, in
quanto hanno permesso loro di:
svolgere calcoli più veloci e corretti;
consolidare la tecnica della moltiplicazione;
Contribuire alla memorizzazione della tavola pitagorica.
MOLTIPLICAZIONE
A GELOSIA O ARABA
Il documento ci mostra due modi diversi di rappresentare la
moltiplicazione dei “mussulmani”: le diagonali interne ai
singoli quadrati nel secondo esempio sono orientate a destra
e non a sinistra, per questo motivo le cifre delle decine e delle
unitàinvertono la loro posizione.
CONOSCERE I NUMERI ARABI
I documenti sopra ci propongono la moltiplicazione eseguita con il
“metodo della quadrettatura”, molto simile a quella “a gelosia”
Moltiplicazioni con i numeri Arabi
Questi documenti conservati alla Biblioteca Nazionale di Parigi ci
spingono con molta curiosità a conoscere le cifre dei numeri usati dagli
arabi orientali
Ci mettiamo
subito a lavoro
a lavoro!
Risolvere moltiplicazioni con i numeri
arabi
Traduciamo i numeri
Risolvere moltiplicazioni con i numeri arabi
Fatmira
“Inventiamo altre moltiplicazioni”
Risolvere moltiplicazioni con i numeri
arabi
“Mi hanno incuriosito.”
l
e
a
ch
i
M
Risolvere moltiplicazioni con i numeri
arabi
“E’ molto divertente!”
M
c
r
a
o
Risolvere moltiplicazioni con i numeri
arabi
Michele
“Mi piacciono .”
“E’ stato molto divertente!”
La moltiplicazione
del contadino russo
Come
funziona
Fino a non molto tempo fa i contadini russi eseguivano le
moltiplicazioni nel seguente modo:
1- Scrivevano i due fattori su due colonne.
2- Nella prima colonna calcolavano la metà del fattore e la scrivevano sotto,
fino ad arrivare a1, arrotondando sempre per difetto.
3- Nella seconda colonna scrivevano, sotto al secondo fattore, scrivevano il
doppio del numero precedente.
4- Cerchiavano i numeri dispari della prima colonna e sommavano quelli
corrispondenti nella seconda colonna.
La moltiplicazione del contadino russo
Alcuni esempi
Moltiplicazioni egizie
12x36
12:2
6:2
3:2
*
*
12
6
3
1
36
72
144
288
36x2
72x2
144x2
432
Molto simile a quella del contadino russo è la moltiplicazione egizia.
Essa ha origini antichissime, infatti se ne trova traccia nel “Papiro di
Rhindt”.
Per le prime tre fasi operare come quella russa, poi cancellare le righe
con i numeri pari risultanti dalla prima colonna e sommare i numeri
rimasti nella seconda colonna..
Moltiplicazioni egizie
87x532
22x22
*
*
22
11
5
2
1
22
44
88
176
352
384
*
*
87
43
21
10
5
2
1
532
1064
2128
4256
8512
17024
34048
46284
MOLTIPLICAZIONE VEDICA
12 x 28 = 336
MOLTIPLICAZIONE VEDICA
128 x 45 = 5760
MOLTIPLICAZIONE VEDICA
MOLTIPLICAZIONE VEDICA
372 x 349 = 129828
MOLTIPLICAZIONE VEDICA
126 x 37= 4662
Regoli di Genaille per dividere
Henry Genaille , vissuto tra l’Ottocento e il Novecento, era un
matematico dilettante che lavorava come ingegnere delle ferrovie
francesi.
Alla fama dei suoi regoli contribuì Édouard Lucas, suo amico e
matematico di discreta fama.
Un genitore ha ritagliato dal legno 12 bastoncini della stessa misura, 2
cm × 20 cm circa. Ne ha fissato uno sul lato destro di una tavoletta, di
24 cm × 22 cm.
laboratorio
Ora tocca a noi incollare sui bastoncini le strisce con i numeri.
Regoli di Genaille per dividere,
come sono fatti
I Regoli di Genaille sono formati da una parte fissa ed una
mobile: il regolo fisso(di colore verde) si trova a destra e mostra il
divisore e il resto; i bastoncini con i numeri da 0 a 9 (colore
giallo), invece sono mobili e diversamente combinati
rappresentano il dividendo. Per leggere il risultato si inizia dal
regolo mobile “Partenza” e si seguono sempre le frecce.
Come funzionano
Per capire meglio e verificare velocemente il risultato e il
funzionamento abbiamo iniziato con una operazione molto semplice,
12:6=
Prima mossa:mettiamo sul telaio i regoli necessari a formare il
dividendo (12).
Seconda mossa: avviciamoli a destra accanto al regolo del resto i.
Terza mossa: guardiamo solo quella striscia orizzontale che è marcata
dal 6 sul telaio (divisore).
Basta seguire le frecce nere e leggere il risultato! 12:6= 2 resto 0.
21:8= 2 resto 5
Come funzionano
I nostri regoli
sono di legno,
un papà ha
tagliato i
legnetti
e tutti insieme
abbiamo
attaccato le
“etichette”.
Proviamo ora con qualcosa di più complicato 78025 :6=
Mettiamo sul telaio i regoli 78025 necessari a formare il dividendo (12).
Guardiamo la striscia orizzontale che è marcata dal 6 sul telaio
(divisore).
Seguiamo le frecce e leggiamo il risultato! 78025 :6= 13004 resto 1.
Perchè funzionano
La spiegazione del “perché funzionano” è evidente:
Non dobbiamo fare nessun calcolo: basta andare dove ci indirizza la
freccia della colonna precedente
I calcoli sono veloci e sicuri.
Nel caso della divisione dobbiamo parlare di resto
anziché di riporto, infatti, quando dividiamo per “n”
succede che 0 ≤ resto ≤ n-1 e le frecce puntano al regolo
successivo proprio all’altezza del valore del resto.
Si può usare come metodo di autocorrezione
I bambini sembrano più motivati
Può aumentare l’autostima
Stimola la fantasia
Favorisce il ragionamento.
Michele ha avuto un’idea:pensa che forse è possibile creare dei
bastoncini per risolvere addizioni. Si impegna a fare un tentativo.
I REGOLI DI GENAILLE,
DIVISIONI CON I NUMERI
DECIMALI
Abbiamo evidenziato la virgola nel dividendo con una piccola striscia di carta
Con i Regoli di Genaille si possono eseguire anche divisioni con i
numeri decimali: se il dividendo e/o il divisore sono numeri
decimali dobbiamo ricavare da soli la posizione della virgola nel
quoziente.
I REGOLI DI GENAILLE, RESTI E
PRECISIONE NELLA DIVISIONE.
Consideriamo la divisione 100: 8. I regoli ci dicono che il quoziente è 12
col resto di 4.
Per migliorare la precisione del risultato, possiamo “approssimare” il
dividendo e aggiungere degli zeri a destra (sperando di avere regoli “0” in
numero sufficiente): useremo anche quelli su cartoncino.
Foto regoli divisione
Trasformiamo 100 in 1000. Questa volta i regoli ci dicono che
1000 : 8 = 12,5 col resto di 0
Anche in quest’altro caso siamo fortunati: 932:8 = 116 col resto di 4 e, con
uno zero aggiuntivo, il resto è scomparso e il calcolo 932:8 = 116,5 è quindi
del tutto esatto.
Altre volte il resto non è zero, ma diventa così piccolo da essere
trascurabile!
PROBLEMA: E SE IL DIVISORE HA PIÙ DI
UNA CIFRA?
Nel caso della divisione, purtroppo non esiste un algoritmo simile a quello
molto semplice dei prodotti parziali che si usa nella moltiplicazione.
Genaille quando inventò i bastoncini pensò ad essi come ad una
calcolatrice.
Un set di regoli per moltiplicare, in legno dell’epoca dell’inventore Henry Genaille,
ingegnere delle ferrovie francesi e matematico dilettante vissuto tra Ottocento e
Novecento.
Alla fama dei regoli e del loro inventore contribuì il suo amico e matematico di
discreta fama, Édouard Lucas.
I NOSTRI BASTONCINI.
Michele è tornato con il suo progetto
RIFLESSIONI SULLE ATTIVITA’ SVOLTE
Gli alunni hanno mostrato un notevole interesse per gli strumenti di
calcolo del passato, tanto che hanno tentato loro stessi di “inventarne uno
“.
Hanno compreso gli aspetti matematici riguardanti il funzionamento di
alcuni strumenti di calcolo digitali ,ad
esempio, le tavole pitagoriche per i bastoncini di Nepero e per i regoli di
Genaille.
Le tecniche di calcolo presentate, provenienti da luoghi e tempi diversi,
hanno dato la possibilità di rappresentare numeri , a volte anche molto
grandi, mediante grandezze fisiche o mediante oggetti e di comprendere
come ciò sia possibile.
I bambini hanno studiato il principio di funzionamento dei regoli di
Genaille per la divisione: hanno completato alcune strisce dei regoli.
RIFLESSIONI SULLE ATTIVITA’
SVOLTE
Hanno ricostruito, in un contesto operativo concreto, i bastoncini di
Nepero con cartoncino o con righelli, sfruttando le nozioni di geometria
piana possedute.
Gli alunni hanno individuato i vantaggi e gli svantaggi relativi ai metodi
proposti.
Ma la scoperta più straordinaria è questa …