Potenziale Elettrico

Potenziale Elettrico
Q V
4πε
πε0 R
Q
4πε
πε0 r
R
r
R
C
R
B
r
B
q
r
A
A
independenza dal cammino
Superfici Equipotenziali
• Forze Conservative e Conservazione Energia
– l’energia totale è costante ed è la somma di energia
cinetica e energia potenziale
• Concetto di Potenziale Elettrico
– È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è una
proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica)
come è il Campo Elettrico ? (le differenze di
potenziale sono funzione solo delle posizioni)
Conservazione energia meccanica di una particella
1
K = mv 2
2
• Energia Cinetica
– non-relativistica
• Energia Potenziale U ( x , y , z )
– determinata dalla legge di forza
• per Forze Conservative l’energia totale è
costante: energia totale = K+U è costante
• esempi di forze conservative
– gravità; energia potenziale gravitazionale
– elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx2
– elettrica; energia potenziale elettrica
• esempi di forze non-conservative (dissipative)
– attrito
– moto viscoso (velocità limite)
Le forze elettriche sono conservative
• Consideriamo una particella carica che si
sposta attraverso una regione in presenza
di un campo elettrico statico:
-
+
• una carica negativa è attratta
verso la carica positiva fissa
• la carica negativa possiede più
energia potenziale e meno energia
cinetica lontano dalla carica fissa
positiva, e …
• più energia cinetica e meno energia
potenziale vicino la carica positiva
fissa.
• Tuttavia, l’energia totale si
conserva
• I n tro d u c ia m o o ra l’energia
potenziale elettrica ed il
potenziale elettrostatico ….
Potenziale Elettrico e Energia Potenziale
• Immaginiamo una carica di prova, Qo, in un campo elettrico
e s t e r n o , E(x,y,z) (Ciascuna componente E
x Ey Ez è una
funzione di x,y,z)
• Qual’è l’energia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo
campo?
– Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla: a
distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono
finite)
– U(x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Qo
dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z)
• Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = QoV(x,y,z)
• U dipende da Qo , ma V è independente da Qo (che può
essere + oppure -)
• V(x,y,z) è il potenziale elettrico associato con E(x,y,z)
–V(x,y,z) è un campo scalare
Potenziale Elettrico ...
• Supponiamo che la carica q0 si muova
da A a B attraverso una regione di spazio
in cui è presente il campo elettrico E.
q0
A
E
B
• Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa
quantità di lavoro WAB dovrà essere fatto per ottenere
questo risultato.
• Definiamo la differenza di potenziale elettrico come:
WAB è la differenza di VB −VA ≡ WA→B ≡ WAB
q0
q0
energia potenziale
per andare da A a B
•
È una buona definizione ?
• È VB - VA independente da q0?
• È VB - VA independente dal cammino?
∆V ha una intensità ed
un segno: + oppure Se - (VB più basso), il
lavoro svolto dal campo
è negativo, mentre è
positivo quello svolto
dalla forza Fe
Unità di misura:
Volt=Joule/Coulomb
Indipendente dalla carica di prova ?
• Per muovere una carica in un campo E,
dobbiamo applicare una forza eguale ed
opposta a quella cui è soggetta la carica
a causa della presenza del campo E.
• essendo: lavoro = forza × spostamento
B
B
WAB = − ∫ Felet • dl = − ∫ q0 E •dl
A
⇒
Fapplicata = -Felet
Felet
q0
E
A
A
B W AB
VB − V A ≡
= − ∫ E • dl
q0
A
Indipendente dalla carica.
• una carica positiva “cadrà” da un potenziale più alto ad uno più
basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo
esterno viene svolto.
• per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale
più basso a quello più alto è necessario “spendere” energia –
svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere
energia cinetica)
B
Esempio 1
• una carica singola ( Q = -1µ
µC) è fissa
all’origine. Definire un punto A a
x=+5m e un punto B a x = +2m.
– Qual’è il segno della differenza di potenziale -1µ
µC
tra A e B? (VAB ≡ VB - VA )
(a) VAB < 0
(b) VAB = 0
B
×
A
×
x
(c) VAB > 0
•La
La maniera più
più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è
di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un
lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto
B.
•Una
Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1µC; pertanto un
lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A
a B. (si
(si noti,
noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva)
positiva)
•Si
Si può anche determinare il segno direttamente
definizione:
definizione:
dalla
≡ VB − V A = − ∫ E • dl
B
V AB
A
Poichè E • dl > 0 ,
VAB <0 !!
Independente dal Cammino ?
B
W AB
VB − V A ≡
= −∫ E ⋅ d
q0
A
Felet
-Felet
q0
A
• Definizione della differenza di potenziale :
∆VAB=VB - VA.
• L’integrale è la somma delle componenti
tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo
il percorso da A a B.
• La questione è: Dipende questo integrale dallo
specifico percorso scelto per andare da A a B ?
E
B
dl
Vediamo se è veramente indipendente
• Consideriamo il caso di un campo
costante :
– via diretta: A - B
VB − V A = − ∫ E • dl = Eh
B
A
Notare che dl
punta in
verso opposto
a E.
B
h
dl
A
θ
C
r
dl
• via più lunga: A - C – B
C
B VB − V A = − ∫ E • dl − ∫ E • dl = − ∫ (− E( dl ) sin θ ) − 0
C
A
C
A
V B − V A = E (sin θ ) r = Eh
• Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l’integrale è lo
stesso per ENTRAMBI i cammini.
E
Lavoro e differenza (∆) di Energia Potenziale
W = F d cos(θ)
Gravità
• mattone spostato yi→ yf
• FG = mg (giù)
• WG = -mgh
• ∆UG= +mgh
yf→
h
yi→
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Fg=mg
Elettrico
• carica spostata ∞ → rf
• FE = kq1q2/r2
(sinistra)
• WE = -kq1q2/rf
• ∆UE= +kq1q2/rf
rf
1. Lavoro da eseguire per
avvicinare 3 cariche
(da +1, +2 e +3 µC rispettivamente)
• W1 = 0
• W2 = k q1 q2 /r
=(9×109)(1×10-6)(2×10-6)/5
=3.6 mJ
• W3 = k q1 q3/r + k q2 q3/r
(9×109)(1×10-6)(3×10-6)/5 + (9×109)(2×10-6)(3×10-6)/5 =16.2
•
•
•
Wtotale = +19.8 mJ
WE = -19.8 mJ
∆Een.pot.elettrica = +19.8 mJ
(occhio ai segni!)
3
5m
1
5m
5m
2
mJ
2. Lavoro da eseguire per
avvicinare 3 cariche negative
(da -1, -2 e -3 µC rispettivamente)
Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ?
cariche simili si respingono, quindi
dovremo ancora eseguire un lavoro
positivo !
a) W = +19.8 mJ
b) W = 0 mJ
c) W = -19.8 mJ
3
5m
1
5m
5m
2
1
5m
3. Lavoro necessario per
avvicinare 3 cariche
(uguali in valore assoluto)
2
+
+
5m
5m
-
3
Il lavoro totale da eseguire (da parte
vostra, cioè dello sperimentatore) per
mettere insieme queste cariche è:
a)
positivo
portare (1): lavoro nullo
b)
nullo
portare (2): lavoro positivo
c)
negativo
portare (3): lavoro negativo x 2
Potenziale Elettrico
• Unità Joules/Coulomb ≡Volts
– Batterie
– Prese elettriche
• In realtà sono differenze di Potenziale
• Linee Equipotenziali (equilivello)
• Le linee del campo puntano verso il
basso
• V = k q/r (a distanza r dalla carica q)
in particolare V(∞) = 0
Esempio
• Dati tre punti A, B, C in
un campo E uniforme
C
E uniforme →
A
B
Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ?
1) maggiore
2) eguale
3) minore
Il campo elettrico va da A a B
Il campo è uniforme così il potenziale elettrico
è eguale in tutti i punti
Il potenziale elettrico in A è minore del
potenziale in B perchè il punto C interferisce
con il massimo del potenziale in A.
Esempio
• Dati tre punti, A e B
all’interno di un conduttore
e C all’esterno, immersi in
un campo E uniforme
C
A
E uniforme →
conduttore
B
Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B
1) maggiore
2) eguale
3) minore
“perchè il campo elettrico è nullo in ogni
punto all’interno di un materiale
conduttore”
Riassumendo
C
E uniforme →
A
Cammino
A→B
A→C
C→B
B
Vfinale - Viniziale Carica
∆ E.P.E. = q ∆V
Wcampo E
Negativa
+
-
Negativa
Positiva
Zero
Zero
Nulla
+
-
Zero
Zero
+
-
Negativa
Positivo
Positiva
Negativo
Negativa
Positivo
Negativo
Esempio:
Potenziale Elettrico
+
Ε
C
A
B
Il potenziale elettrico (generato dall’unica carica positiva)
nel punto A è __???__ che nel punto B
1)maggiore
• Le linee del campo elettrico puntano “verso il
basso”
2)eguale
• La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E)
3)minore
• La linea CB è “verso il basso”, così B è ad un
potenziale più basso di A
Potenziale Elettrico generato da
un Protone
Qual’è il potenziale elettrico ad una distanza
r=0.53×10-10m da un protone ? (Sia V(∞)=0)
V =U/q= k q/ r =(9×109C2N-1m-2)(1.6×10-19C) /0.53×10-10m=
27.2 volts
rf = 0.5×10-10 m
+
Energia Potenziale Elettrica vs.
Potenziale Elettrico
• Energia Potenziale Elettrica (U) – l’energia
di una carica in un punto.
• Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un
punto nello spazio – ci dice quale EPE
avrebbe una carica se fosse posta in quel
punto (generalmente ci riferiamo a
differenze di potenziale tra due punti):
U = Vq
• Ciascuna delle due quantità è funzione
solo del posto (scalare). Il segno è
importante !
Due Cariche
•Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto
alle cariche presenti
–Calcolare V dalla carica +7µC
–Calcolare V dalla carica –3.5µC
–Sommarli
•V = kq/r
V7=(9×109C2N-1m-2)(7×10-6C)/5m = 12.6×103V
V3=(9×109C2N-1m-2)(-3.5×10-6C)/5m = -6.3×103V
4m
A
Vtot = V7+V3 = +6.3×103V
Q=+7.0µC
Quanto lavoro bisogna spendere per portare
una carica da 2 µC dall’infinito al punto A?
6m
Q=-3.5 µC
W=∆U=∆Vq
=(+6.3×103V)(2µC)
=+12.6 mJ
Due Cariche
• Nella regione II (tra le due cariche) il
potenziale elettrico è :
1) sempre positivo
2) positivo in alcuni punti, negativo in altri.
3) sempre negativo
Ι
ΙΙ
Q=+7.0µC
ΙΙΙ
Q=-3.5 µC
Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo
Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo
Potenziale Elettrico
Curve Equipotenziali ed Energia
U = qV
Potenziale Elettrico: dove è nullo?
•
Abbiamo considerato finora differenze di potenziale.
VAB
•
≡ VB − VA = − ∫ E idl
B
Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la A
differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento.
• un buon punto di riferimento è l’infinito ... tipicamente si pone V∞=0
• quindi il potenziale elettrico è definito come:
V ( r ) ≡ Vr − V∞
per una carica puntiforme all’origine, integriamo dall’infinito lungo un
certo asse, p.es. l’asse x
• “r” è la distanzar dall’origine
V ( r ) − V ( ∞ ) = − ∫ E i dl
⇒
∞
VAB
r
V = − ∫ Edr '
essendo E =
∞
1
r
r
q
q
1
q
′
′
=
−
=
−
V =−
dr
dr
4πε 0 ∞∫ r '2
4πε 0 ∞∫ r '2
4πε 0
integrale
di linea
dl
1 q
V ( r ) ≡ Vr − V∞ =
4πε 0 r
1
q
4πε 0 r '2
r
1 q
 1
−
=
 r ' 
4πε 0 r
∞
Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi
r1
Il potenziale da un insieme di N cariche è
proprio la somma algebrica del potenziale
dovuto a ciascuna carica separatamente.
DI NUOVO IL PRINCIPIO DI
SOVRAPPOSIZIONE.
q2
r =r
r=r N V( r ) = − ∫ E • dl = − ∫ ∑En • dl
r =∞ n=1
r =∞
⇒
N
x
q1
1
N
qn
V ( r ) = ∑ Vn ( r ) =
∑
4
πε
n =1
0 n =1 rn
r2
r3
q3
Esempio
• Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0
per tutti i punti sull’asse delle x ? (si definisca V(x) ≡ 0 per
x=∞)
+2µ
µC
+1µ
µC
+2µ
µC
+1µ
µC
x
-2µ
µC
-1µ
µC
(a)
+2µ
µC
-2µ
µC
x
-1µ
µC
(b)
-2µ
µC
x
-1µ
µC
(c)
+1µ
µC
La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale
totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei
contributi individuali
Pertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q
e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull’asse x
deve essere equidistante da +2µ
µC e -2µ
µC ed anche da +1µ
µC e -1µ
µC.
Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)!
Superfici Equipotenziali
Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale.
•
Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere
centrate sulla carica.
• PROPRIETA’ GENERALE :
– Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie
equipotenziale.
VB − VA = − ∫ E • dl
B
• Perchè ?
A
Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!)
Pertanto,
− ∫ E • dl = ∆V = 0
B
A
Si può concludere allora, che E • dl è nullo.
Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è
nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è
sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale.
Superfici Equipotenziali di una sfera carica
Er
Superfici
Equipotenziali
•
•
•
•
Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica.
Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come
ci si aspetta dalla simmetria sferica.
Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica
puntiforme. Queste superfici sono dette “equipotenziali”.
Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie
equipotenziale in tutti i punti.
Potenziale di una sfera
uniformemente carica
Esercizio
Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica
positiva ed uniforme con una carica totale Q.
Determinare il potenziale elettrico: (a) all’esterno e (b)
all’interno della sfera.
Potenziale di una sfera
uniformemente carica
Per il teorema di Gauss, al di fuori di
Q
Er = k e 2
( per r > R )
una sfera uniformemente carica
r
diretto radialmente verso l’esterno essendo Q positiva. Per ottenere il
potenziale nel punto B
dr
Q
VB = − ∫ Er dr = −keQ ∫ 2 =ke
∞
∞ r
r
r
r
( per r > R ≡ carica
puntiforme )
•Per il teorema di Gauss, all’interno di una sfera uniformemente carica
(
qin = ρV ′ = ρ 4 π r 3
3
⇒ Er =
qin
4πε 0 r
2
=
)
2
=
4
EdA
E
π
r
(
)=
∫
e
(
ρ 43 π r3
4πε 0 r
2
)=
qin
ε0
4 π R3
Q
ρ
Q
3
r=
r = ke 3 r
R
3ε 0
3ε 0
( per r < R )
Potenziale di una sfera
uniformemente carica
D
Dalla relazione ∆V = − ∫ E ids
C
ke Q r
ke Q 2 2
VD − VC = − ∫ Er dr = − 3 ∫ r dr =
R −r )
(
3
R
R R
2R
Q
per continuità deve essere, VC = ke
( per r = R )
R
ke Q 
r2 
sostituendo VC si ha VD =
3− 2 
( per r < R )
3 
2R 
R 
r
Potenziale di una sfera uniformemente carica
Potenziale di un guscio sferico
conduttore carico
• campo-E (Legge di Gauss)
•
r < a: Er = 0
•
r >a:
V
Q
4πε
πε0 a
1
Q
Er =
4 πε 0 r 2
Q
4πε
πε0 r
a
a
• Potenziale
a
• r > a:
r=r
V(r )= −
∫
r
E • d l = − ∫ E r ( dr ) =
r =∞
• r < a:
r =r
∞
1
4πε 0
Q
r
E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a)
r
a
r
1 Q
V ( r ) = − ∫ E • dl = −∫ Er ( dr ) = −∫ Er ( dr ) − ∫ Er ( dr ) =
+0
4πε0 a
r =∞
∞
∞
a
r
Cosa significa questo risultato ?
• Grafico della componente radiale del campo elettrico di un
guscio sferico carico:
Er
Notare che dentro il guscio, il campo
elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il
campo elettrico diminuisce come 1/r2.
a R
Il potenziale per r>a è dato dall’integrale di
Er. Questo integrale è semplicemente
l’area sotto la curva Er .
r
V
Q
4πε
πε0 a
Q
4πε
πε0 r
a
a R
a
r
In definitiva ...
• Se conosciamo il campo elettrico E,
VB − V A = − ∫ E • dl
B
A
questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale V
ovunque (noto per definizione VA , p.es. VA = 0 )
• Potenziale dovuto ad n cariche:
N
1
N
qn
V ( r ) = ∑Vn ( r ) =
∑
4
πε
n =1
0 n =1 rn
• Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il
potenziale è costante.
Conduttori
B
VB − VA = −∫ E ⋅ ds
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
• Tesi
La superficie di un conduttore è sempre una
superficie equipotenziale (infatti, l’intero
conduttore è equipotenziale)
• Perchè ?
Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una
componente del campo elettrico parallela alla superficie e
le cariche si muoverebbero di conseguenza !!
Similarmente a quanto avviene all’interno del conduttore.
Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale
in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche
all’interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la
superficie, il potenziale non cambia.
Carica sui Conduttori
• Come è distribuita la carica sulla superficie di un
conduttore ?
– Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie.
esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro):
+ +
+
- -- +
- +
+ -+q - +
+ - +
+ - +
+
+ + +
+
E=0 dentro il guscio conduttore.
la densità di carica indotta sulla
superficie interna è non-uniforme.
la densità di carica indotta sulla
superficie esterna è uniforme
E esterno ha una simmetria sferica
rispetto al centro del guscio sferico
conduttore.
Carica sui Conduttori
• Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ?
• Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo
raggio di curvatura.
piccola σ
grande σ
• 2 sfere, connesse da un filo e “distanti”
• Entrambe allo stesso potenziale
QS
QS rS
≈
⇒
≈
4πε 0 rS 4πε 0 rL
QL rL
QL
r
r
Ma:
σ S (QS 4π rS 2 )
≈
σ L (QL 4π rL 2 )
⇒
S
σ S rL
≈
σ L rS
L
La sfera più
piccola ha la
densità di carica
superficiale
maggiore !
Superficie Equipotenziale (Esempio)
• Le linee del del campo sono
più “fitte” in prossimità delle
zone con grande curvatura.
piccola σ
• Le linee del campo sono ⊥
alla superficie in prossimità
piccolo E
della stessa (poichè la
superficie è equipotenziale).
• Le linee equipotenziali hanno
forma simile a quella della
superficie (in prossimità della
stessa).
• Le linee equipotenziali sono
simili ad un cerchio (sfera in
3-D) per grandi r.
grande σ
grande E
σ
E=
ε0
Sfera conduttrice
Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal
fatto che l’aria circostante diventa conduttrice se
6
Emax = 3 × 10 V / m
1 q
essendo E =
4πε0 r 2
R=1 cm
R=1m
V max
1 q
V=
4πε0 r
→
V=ER
V
−2
4
= 3 × 10
× 10 m = 3 × 10 V
m
V max = 3 × 10
6
6
V
× 1 m = 3 × 10 6 V
m
Calcolo di E da V
• Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V
invertendo la precedente relazione tra E e V:
B
VB − VA = − ∫ E ⋅ d s
A
∂V
Ex = −
∂x
∂V
Ey = −
∂y
r
r + xˆdx
V
V+dV
∂V
Ez = −
∂z
dV = −E ⋅ xˆdx = −Exdx
• Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V
E = −∇V
Calcolo di E da V
• Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ?
E = −∇ V
• coordinate cartesiane :
∂V
∂V
∂V
∇V =
xˆ +
yˆ +
zˆ
∂z
∂x
∂y
• coordinate sferiche :
∂V
1 ∂V ˆ
1 ∂V ˆ
∇V =
rˆ +
θ+
φ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
• a parole:
– la direzione della più “rapida diminuzione” di V, (massima
pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l’intensità
(modulo) di E è esattamente la pendenza.
• Analogia con la gravità:
– Consideriamo il caso di un “paesaggio” (valli e monti)-- una palla accelera
verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla
palla è il “gradiente” lungo il “terreno scosceso”. La palla inizia a muoversi
lungo la direzione della maggiore pendenza.
– Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il
centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità.
Calcolo di E da V: Esempio
• Consideriamo il seguente potenziale elettrico:
V(x, y, z) = 3x 2 + 2xy − z2
• Quale campo elettrico descrive ?
∂V
Ex = −
= −6 x − 2 y
∂x
Ey = −
... esprimendolo
come un vettore:
si ha:
∂V
= −2 x
∂y
Ez = −
∂V
= 2z
∂z
∂V
∂V
∂V
∇V =
xˆ +
yˆ +
zˆ
∂x
∂y
∂z
E = ( − 6 x − 2 y ) xˆ − 2xŷ + 2 zẑ
In definitiva ...
Se conosciamo il campo E ovunque,
W AB
VB − V A ≡
q0
⇒
VB − V A = − ∫ E • dl
B
A
possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si
rammenti, che spesso definiamo VA = 0 in qualche punto (∞))
Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque,
E = −∇ V
possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque
• Unità di misura del Potenziale V = J/C
• Unità di misura del Campo Elettrico V/m