Cutnell, Johnson – Fisica volume 3 Capitolo 20 Energia potenziale

Cutnell, Johnson – Fisica volume 3
Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
Domande
1. Il lavoro per spostare una carica tra due punti è: LAB = q0 (VA ! VB ) . Per i tre casi indicati sarà
allora:
1: LAB = q0 (150 V ! 100 V) = q0 (50 V)
2:
LAB = q0 [25 V ! (–25 V)] = q0 (50 V)
3: LAB = q0 [–10 V ! (–60 V)] = q0 (50 V)
Il lavoro è lo stesso in tutti e tre i casi .
2. Il potenziale nel quarto vertice è la somma algebrica dei potenziali
creati in quel punto dalle altre cariche presenti.
q
q
q
V = 1+ 2 + 3
L L 2 L
Indicando con q il valore di ogni carica, abbiamo le seguenti
possibilità:
kq
kq
kq
kq
+
!
=
q1 e q2 sono positive: V =
L L 2 L L 2
q
q
1
2
L
L 2
q
L
3
kq
kq
kq kq !
1 "
#
+
= $2#
%
L L 2 L
L&
2'
kq
kq
kq
kq
+
=
q2 e q3 sono positive: V = ! +
L L 2 L L 2
Come si vede, il potenziale nel quarto vertice è sempre positivo.
q1 e q3 sono positive: V =
3. Un’energia potenziale elettrica esiste se i due protoni si trovano a una certa distanza ed è uguale
al lavoro fatto dalle forze esterne per assemblare la configurazione. Supponiamo di dover
assemblare noi il sistema, lavorando con una particella per volta. Se nello spazio non ci sono altre
cariche non esiste nessun campo elettrico, quindi per collocare il protone non occorre nessun
lavoro. Quel protone però produce un campo elettrico che riempie lo spazio circostante e che, alla
distanza r, vale E = ke / r 2 . Lo spazio, adesso, è sede di un campo elettrico (dovuto al primo
protone) e quindi esiste anche un potenziale elettrico: per sistemare il secondo protone a una
distanza d dal primo protone, le forze esterne devono spendere un lavoro. L’energia potenziale
elettrica della configurazione finale è uguale al lavoro necessario per spostare il secondo protone
dall’infinito alla distanza d dal primo protone. Il potenziale elettrico alla distanza d dal primo
protone è Vprotone = + ke / d e, quindi l’energia potenziale elettrica della configurazione finale è:
U = Vprotone (+e) = +
ke2
d
Se entrambi i protoni vengono sostituiti con elettroni, vale lo stesso ragionamento. Tuttavia,
l’elettrone ha una carica negativa e quindi il potenziale elettrico a distanza d dal primo elettrone
sarà Velettrone = !ke / d . L’energia potenziale elettrica di questa nuova configurazione sarà
ke
ke2
(!e) = +
d
d
In questa ipotesi l’energia potenziale elettrica rimane la stessa.
U = Velettrone (!e) = !
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e potenziale elettrico
Quando si sostituisce un solo protone con un elettrone
ke2
! ke "
U = Vprotone (#e) = $ + % (#e) = #
d
& d '
In questo caso, invece, l’energia potenziale elettrica diminuisce da + ke2 / d a – ke2 / d.
4. In ogni punto di un campo elettrico, il campo è perpendicolare a una superficie equipotenziale.
Quindi la carica, per muoversi lungo punti con lo stesso potenziale, deve descrivere un percorso
perpendicolare al campo elettrico.
5. L’energia potenziale elettrica è U = q0V quindi, per un dato valore del potenziale, l’energia
potenziale elettrica dipende dal valore della carica e non ha lo stesso valore per ogni carica posta in
quel punto.
6. Le due particelle partono da ferme, quindi hanno energie cinetiche iniziali nulle. Entrambe
possiedono invece energia potenziale elettrica in virtù delle loro rispettive posizioni all’interno del
campo elettrico tra le armature. Le due particelle hanno cariche di segno opposto e quindi si
muovono in direzioni opposte verso le due armature del condensatore. Mentre si spostano tra le
armature, le particelle acquistano energia cinetica e perdono energia potenziale. Indichiamo con U0
e Uf le energie potenziali elettriche iniziali e finali della particella e, per il principio di
conservazione dell’energia, imponiamo
(U )0 = 12 mparticella vf2 + (U )f
Da cui
vf =
2 !$(U )0 # (U )f "%
mparticella
Le due particelle coprono la stessa distanza tra le armature del condensatore e quindi la variazione
di energia potenziale elettrica è la stessa per entrambe. La massa dell’elettrone però è minore della
massa del protone e, quindi, la velocità finale dell’elettrone sarà maggiore di quella del protone e
l’elettrone giungerà per primo su un’armatura del condensatore.
Test
1. B
2. C
3. B
4. A
5. A
6. B
7. A
8. C
9. D
10. B
11. C
12. A
13. C
14. B
15. B
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Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
Problemi
1.
LAB = U A – U B = q0 (VA – VB ) = (+1, 6 "10!19 C)(0, 070 V) = 1,1 "10!20 J
2.
Quando l’elettrone si muove tra la nuvola e il terreno, la variazione della sua energia potenziale
elettrica è ∆U = Un − Ut ed è anche uguale a q0∆V. La differenza di potenziale elettrico è, a sua
volta, ∆V = Vn − Vt = 1,3·108 V, quindi
(
)(
)
!U = q0 !V = "1,60 #10"19 C 1,3#108 V = "2,1#10"11 J
3.
L’unica forza che agisce sulla particella α è la forza elettrostatica, che è conservativa: quindi
l’energia totale della particella quando si sposta dal punto A al punto B si conserva
1 mv 2 + U = 1 mv 2 + U
A
A
B
2
2 4B
14
244
3
14
4244
3
Energia totale nel
punto A
Energia totale nel
punto B
La velocità iniziale della particella è vA = 0 m/s e il potenziale elettrico vale V = U/q. Sostituendo
nell’espressione precedente, otteniamo
1 mv 2 = U ! U = q V ! V
( A B)
B
A
B
2
La particella α ha due protoni e, quindi, la sua carica è q = 2e = 3,2 · 10–19 C. Infine
1 mv 2 = q V ! V
= 3,2 " 10!19 C #$+250 V ! !150 V %& =
B
A
B
2
(
)
(
' 1,0 eV
= 1,28 " 10!16 J ))
( 1,6 " 10!19
)
(
)
*
,, = 8,0 " 102 eV
J+
4.
LAB = + Fs = U A ! U B
U A ! U B 9, 0 "10!4 J
F=
=
= 4,5 "10!3 N
s
0,20 m
da A verso B.
F 4,5 "10!3 N
E=
=
= 3, 0 "103 N/C
!
6
q0 1,5 "10 C
ancora da A verso B.
5.
P=
LAB q0 (VA ! VB ) (1200 C )(290 V )
=
=
= 5, 0 "104 W
t
t
7,0 s
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e potenziale elettrico
6.
L’energia totale dell’elettrone rimane costante, perché la forza che agisce è conservativa. Quindi
1 mv 2 + U = 1 mv 2 + U
A
A
B
B
2
2
che, risolta in funzione della velocità finale, dà
2
vB = vA2 – (U B –U A )
m
dove vA = 0 m/s e U B ! U A = q (VB ! VA ) .
Infine :
vB = –
2q
2(–1, 6 "10!19 C)
(VB –VA ) = –
(25 000 V) = 9,4 "107 m / s
!
31
m
9,11 "10 kg
7.
!U = mLv = q0 !V
m=
q0 !V
(7,5 "10 C) (12 V) = 4,0 kg
=
5
22,6 "105 J/kg
Lv
8.
Applicando il principio di conservazione dell’energia tra i punti A e B, otteniamo
1 mv 2
A
2
+ U A = 12 mvB2 + U B
dove vA = 0 e U B ! U A = q (VB ! VA ) . Quindi:
q (VA ! VB ) = 12 mvB2
(1)
E, analogamente, tra i punti C e B
q (VC ! VB ) = 12 m(2vB ) 2
(2)
Dividendo membro a membro queste due ultime equazioni, avremo
VA – VB 1
=
VC – VB 4
da cui
VB =
4VA – VC
3
=
4(452 V)–791 V
= 339 V
3
9.
VA =
kqA
rA
e
VB =
kqB
rB
Dato che VA = VB, avremo
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kqA kqB
=
rA
rB
da cui
Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
qB rB 0,43 m
=
=
= 2, 4
qA rA 0,18 m
10.
"1 1%
kq kq
VB !V A =
!
= kq $$ ! '' =
rB rA
# rB rA &
" 1
1 %
= 8,99 (109 N ( m 2 / C2 !2,1(10!9 C $
!
' = 38 V
# 0,50 m 0,25 m &
(
)(
)
11.
La differenza di energia potenziale elettrica tra la situazione in cui elettrone e protone vengono
portati alla distanza rfinale = 5,29 · 10−11 m e la situazione in cui si trovavano a distanza infinita
(riniziale = ∞) è:
U finale ! U iniziale =
(!e)ke (!e)ke
!
=
rfinale
riniziale
2$
1
1'
= ! (8,99 " 109 N " m 2 / C2 ) 1,60 " 10!19 C &&
! )) = ! 4,35 " 10!18 J
% 5,29 " 10!11 m # (
(
)
12.
Supponiamo, vedi figura a lato, che, inizialmente una carica si trovi in C e l’altra sia fissa nel
vertice B. La carica C viene poi spostata verso il vertice A. Il lavoro fatto dalle forze elettriche per
questo spostamento è LCA = q (VC ! VA ) , dove VC = kq / d e VA = kq / r . Dalla figura, inoltre,
possiamo vedere che d = r 2 + r 2 = 2r . Quindi
LCA
C
A
! kq kq $ kq 2 ! 1
$
=q #
– &=
– 1& =
#
r " 2 %
" 2r r %
(8,99 "109 N " m 2 / C2 )(3,0 "10!6 C) 2 # 1
$
–1& =
%
0,500 m
' 2 (
!2
= –4,7 "10 J
d
r
=
B
r
13.
The electric potential at a distance r from a point charge q is V = kq / r . The total electric potential
at location P due to the six point charges is the algebraic sum of the individual potentials.
+7.0q
+5.0q
+3.0q
d
d
d
d
P
d
d
−5.0q
−3.0q
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+7.0q
*
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e potenziale elettrico
Starting at the upper left corner of the rectangle, we proceed clockwise and add up the six
contributions to the total electric potential at P (see the drawing):
(
k +7.0q
V=
)
+
2
(
k +3.0q
!d $
d2 + # &
"2%
=
(
k +14.0q
d
2
) + k (+5.0q)
2
!d $
d2 + # &
"2%
+
(
k +7.0q
)
2
+
!d $
d2 + # &
"2%
(
k '3.0q
d
2
) + k ('5.0q)
2
=
!d $
d2 + # &
"2%
)
! d $2
d +# &
"2%
2
Substituting q = 9.0 ⋅ 10−6 C and d = 0.13 m gives
!
N ' m2 $
#8.99 '109
& +14.0 9.0 '10(6 C
#
2 &
k +14.0q
C %
"
V=
=
= +7.8 '106 V
2
2
!d $
2 ! 0.13 m $
d2 + # &
0.13 m + #
&
"2%
" 2 %
(
(
)
(
)(
)
)
14.
Imponiamo che il primo punto in cui il potenziale totale è nullo si trovi a una distanza x a sinistra
della carica negativa. Quindi
k (2q )
d!x
=
kq
x
da cui
x=
d
3
Imponiamo, ora, che il secondo punto in cui il potenziale totale è nullo sia alla distanza x a destra
della carica negativa. Allora
k (2q ) kq
=
da cui x = d
d+x
x
15.
Il disegno a fianco mostra tre cariche fissate in tre vertici del quadrato.
+1,8 µC
La distanza tra la carica incognita e il vertice vuoto è L , come anche la
distanza tra una delle cariche da 1,8 µC e il vertice vuoto, mentre la
distanza tra l’altra carica da 1,8 µC e il vertice vuoto, per il teorema di
L
Pitagora, è 2 L . Il potenziale totale nel vertice vuoto vale:
Vtotale
!6
!6
kq k +1,8 "10 C k +1,8 "10 C
=
+
+
=0
L
L
2L
(
) (
)
+1,8 µC
L
L
L
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q
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e potenziale elettrico
Possiamo, allora ricavare:
1,8 "10!6 C
q + 1,8 "10!6 C +
= 0 da cui
2
1 $
#
!6
q = !1,8 "10!6 C %1 +
& = !3,1 "10 C
2(
'
(
)
16.
L’unica forza applicata è conservativa, quindi l’energia totale si conserva, per cui
1 mv 2 + U = 1 mv 2 + U
A
A
B
B
2
2
dove v B = 0 . L’energia potenziale può essere espressa come:
! kq "
U A = qVA = q # 1 $
% d &
e
! kq "
U B = qVB = q # 1 $
% r &
dove d è la distanza iniziale tra la carica fissa e la carica in movimento e r è la distanza tra le
particelle dopo che la carica in movimento si è fermata. L’espressione per la conservazione
dell’energia diventa, allora:
kqq1
kqq1
1 mv 2 +
=
A
2
d
r
che può essere risolta in funzione di r, con il risultato
kqq1
r=
=
kqq
1 mv 2 +
1
A
2
d
=
(8,99 !109 N ! m 2 / C2 )(–8,00 !10" 6 C)("3,00 !10" 6 C)
9
2
2
"6
"6
1 (7,20 !10 –3 kg)(65,0 m/s)2 + (8,99 !10 N ! m / C )( – 8,00 !10 C)("3,00 !10 C)
2
0,0450 m
=
= 0,0108 m
Quindi la carica ha percorso, prima di fermarsi, una distanza pari a
0,0450 m – 0,0108 m = 0,0342 m.
17.
Conviene costruire il nostro sistema partendo da un estremo della retta e terminando sull’altro.
Potremo così determinare l’energia potenziale elettrica conferita al sistema dall’aggiunta di ogni
singola carica e sommare poi i contributi individuali di ogni carica per ottenere l’energia potenziale
totale del sistema. L’energia potenziale elettrica dovuta ad ogni carica aggiunta è U = q0VTotale,
dove VTotale è il potenziale del punto in cui viene posta la carica e si può ottenere sommando i
contributi delle cariche che si trovavano già in quel punto nel momento in cui viene aggiunta la
nuova carica (ciascun contributo del valore V = kq/r ).
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e potenziale elettrico
Per la prima carica possiamo così scrivere:
(
)(
)
U1 = q0VTotale = 2,0 !10"6 C 0 V = 0 J
Quando inseriamo la seconda carica, ci sarà già un potenziale elettrico
VTotale
(
)(
)
9
2
2
"6
kq 8,99 !10 N ! m / C +2,0 !10 C
=
=
= 4,5 !104 V e, quindi, l'energia potenziale sarà:
r
0,40 m
(
)(
)
U 2 = q0VTotale = 2,0 !10"6 C 4,5 !104 V = 0,090 J
Per la terza carica avremo:
VTotale
(8,99 !10
=
9
)(
N ! m 2 / C2 +2,0 !10"6 C
0,80 m
(8,99 !10
+
9
)+
)(
N ! m 2 / C2 +2,0 !10"6 C
0,40 m
(
)(
) = 6,7 !10
4
V
4
V e
e
)
U 3 = q0VTotale = 2,0 !10"6 C 6,7 !104 V = 0,13 J
E per la quarta:
VTotale
(8,99 !10
=
9
(8,99 !10
+
1,2 m
9
)+
)(
N ! m 2 / C2 +2,0 !10"6 C
(8,99 !10
+
(
)(
N ! m 2 / C2 +2,0 !10"6 C
0,80 m
9
)+
)(
N ! m 2 / C2 +2,0 !10"6 C
0,40 m
)(
) = 8,2 !10
)
U 4 = q0VTotale = 2,0 !10"6 C 8,2 !104 V = 0,16 J
L’energia potenziale elettrica totale del sistema sarà, infine:
U Totale = U1 +U 2 +U 3 +U 4 =
= 0 J + 0,090 J + 0,13 J + 0,16 J = 0,38 J
18.
The only force acting on each proton is the conservative electric force. Therefore, the total energy
(kinetic energies plus electric potential energy) is conserved at all points along the motion. For two
points, A and B, the conservation of energy is expressed as follows:
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1 mv 2 + 1 mv 2 +
EPE A = 12 mvB2 + 12 mvB2 + EPE B
A
A
2
2
1
424
3 1442443 1
424
3
1442443
Initial kinetic energies
of the two protons
Initial electric
potential
energy
Final electric
potential
energy
Final kinetic energies
of the two protons
The electric potential energy of two protons (charge on each proton = +e) that are separated by a
distance r can be found by combining the relations EPE = eV and V = ke/r to give EPE = ke2/r.
By using this expression for EPE in the conservation of energy relation, we will be able to
determine the distance of closest approach.
When the protons are very far apart (rA = ∞), so that EPEA = 0 J. At the distance rB of closest
approach, the speed of each proton is momentarily zero (vB = 0 m/s). With these substitutions, the
conservation of energy equation reduces to
2
1 mv 2 + 1 mv 2 = ke
A
A
2
2
rB
Solving for rB, the distance of closest approach, gives
rB =
ke
2
mv 2A
8.99 ! 10 N ! m / C ) (1.60 ! 10 C)
(
=
(1.67 ! 10 kg) (3.00 ! 10 m/s)
9
2
"27
2
"19
6
2
2
= 1.53 ! 10"14 m
19.
Dalla figura qui a destra si può vedere che il potenziale nel vertice A è
determinato dalla presenza delle due cariche e vale:
kq kq 2kq
(VA )0 =
+
=
r
r
r
A
C
d
r
Dato che le due cariche si trovano alla stessa distanza dal vertice B,
B
questa sarà anche l’espressione del potenziale in B. Se al centro del
quadrato viene posta una terza carica, q3, il potenziale nel vertice A (e nel
r
vertice B) diventa:
kq3
kq kq
(VA )f =
+ +
r
r (d / 2)
Per il teorema di Pitagora:
d
r
d = r 2 + r 2 = 2r
da cui
=
2
2
E quindi
kq kq kq3 2
(VA )f =
+ +
.
r
r
r
I dati del problema impongono che l’aggiunta della terza carica modifichi il segno del potenziale,
ma non il suo valore: in altre parole deve risultare: (VA)f = − (VA)0, ovvero
kq kq kq3 2
2kq
+ +
= !
r
r
r
r
Possiamo così ottenere per la terza carica il valore
q3 = ! (2 2)q = ! (2 2)(1, 7 " 10!6 C) = ! 4,8 " 10 –6 C
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e potenziale elettrico
20.
Sia d la distanza tra le due cariche. Il potenziale nel punto x1 = 4,00 cm a sinistra della carica
negativa è
k q1
k q2
q1
d
da cui
V = 0=
!
=
! 1
d ! x1
x1
q2
x1
E, analogamente, per il punto x2 = 7,00 cm a destra della carica negativa, avremo
k q1
k q2
!
x2 + d
x2
q1
d
da cui
=
+ 1
q2
x2
Risolvendo queste due equazioni in funzione di d, otteniamo: d = 0,187 m.
V= 0 =
Utilizzando questo valore di d nella prima equazione, otteniamo
21.
Per la conservazione dell’energia, possiamo scrivere
kq1q2
2
1 m v2 + 1 m v2 +
= 12 m1v1,2 B + 12 m2v2,
1 1, A
2 2, A
B +
2
2
14442444
3
14442444
3
rA
{
Energie cinetiche iniziali
Energie cinetiche finali
Energia potenziale
elettrica iniziale
delle due particelle
delle due particelle
q1
= 3,67 .
q2
kq1q2
r
{B
Energia potenziale
elettrica finale
Risolvendo questa equazione in funzione di 1/rA e ponendo v1,A = v2,A = 0 dato che le due particelle
sono inizialmente ferme, otteniamo
1
1
1
1 m v2 + 1 m v2
(1)
=
+
rA
rB
kq1q2 2 1 1, B 2 2 2, B
Per calcolare la velocità finale B utilizziamo il principio di conservazione della quantità di moto:
m1v1, A + m2v2, A = m1v1, B + m2v2, B
1442443
1442443
(
quantità di moto iniziale
)
quantità di moto finale
ponendo v1,A = v2,A = 0, otteniamo
v2, B = !
m1
3, 00 " 10!3 kg
v1, B = !
(125 m/s ) = ! 62,5 m/s
m2
6, 00 "10!3 kg
Sostituendo, infine, nell’equazione (1) otteniamo:
1
1
1
=
+
rA
0,100 m
8,99 ! 109 N ! m 2 / C2 8,00 ! 10"6 C
(
)(
#
! % 1 3,00 ! 10"3 kg 125 m/s
$2
(
e
)(
)
)
2
2
!
+
1
2
(6,00 ! 10
"3
2&
kg "62,5 m/s (
'
)(
)
rA = 1,41 " 10!2 m
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Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
22.
E=
!V
;
!s
(
)(
)
!V = E!s = 4,7 " 107 V/m 0,75 " 10#3 m = 3,5 " 104 V
23.
Il potenziale di una superficie equipotenziale vale V =
kq
da cui
r
A
Vr
dove r =
4!
k
Quindi:
q=
q=
Vr V
=
k
k
A
490 V
1,1 m 2
=
= 1, 6 #10"8 C
4! 8,99 #109 N # m 2 / C2
4!
24.
La distanza r75 tra la carica e la superficie equipotenziale a 75,0 V è r75 = kq/V75, e la distanza
rispetto alla superficie a 190 V è r190 = kq/V190. Quindi, la distanza tra queste due superfici è:
" 1
kq
kq
1 %
'=
r75 ! r190 =
!
= kq $$
!
'
V75 V190
# V75 V190 &
"
N ( m2 %
' +1,50 (10!8 C
= $$8,99 (109
2 '
C &
#
(
"
%
) $# 75,01 V ! 1901 V '& = 1,1 m
25.
E= !
V ! VA
V ! VB
"V
0, 070 V
= ! B
= A
=
= 8,8 # 106 V/m
!
9
"s
"s
"s
8, 0 #10 m
26.
Consideriamo un punto A sull’asse x dove il potenziale è di 515 V e un punto B sull’asse x dove il
potenziale è di 495 V. Il campo elettrico vale:
V ! VA
"V
495 V ! 515 V
E = !
= ! B
= !
= !1,7 # 103 V/m
!3
"s
"s
!2 6,0 # 10 m
(
)
Il campo elettrico ha un’intensità di 1, 7 ! 103 V/m , è negativo, quindi è rivolto verso sinistra, dai
potenziali maggiori a quelli minori.
27.
Rappresentiamo i dati nel disegno a destra. La
differenza di potenziale tra i punti P e A è
VA ! VP = ! E "s , da cui il potenziale in A vale
(
)(
A
6.0 ⋅ 10
)
V A = VP ! E "s = 155 V ! !4,0 #103 V/m 6,0 #10!3 m =
= 179 V
P
m
8.0 ⋅ 10
3.0 ⋅ 10
B
E
−3
−3
−3
m
C
m
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Cutnell, Johnson – Fisica volume 3
Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
Analogamente il potenziale in B vale
(
)(
VB = VP ! E "s = 155 V ! !4,0 #103 V/m !3,0 #10!3 m
= 143 V
)
Il percorso da P a C è perpendicolare al campo elettrico, quindi nel muovere una carica lungo
questo percorso non si compie lavoro e ∆V = 0 V. Quindi VC = VP = 155 V
28.
Sappiamo che E = − ∆V/ ∆x.
Il campo elettrico nella regione da A a B è
!V
5, 0V " 5, 0V
E="
="
= 0V/m
!x
0, 20m " 0m
Il campo elettrico nella regione da B a C è
!V
3, 0V " 5, 0V
E="
="
= 10V/m
!x
0, 40m " 0, 20m
Il campo elettrico nella regione da C a D è
!V
1, 0V " 3, 0V
E="
="
= 5, 0V/m
!x
0,80m " 0, 40m
29.
Il lavoro compiuto dalla forza esterna per spostare la particella da A a B è:
L = EB ! E A =
=
1 (5,00 "10!2
2
(
1 mv 2
B
2
) (
+ qVB –
1 mv 2 + qV
A
A
2
) =% m (v
1
2
2
B
)
! v 2A + q(VB !V A ) =
kg) #$(3,00 m / s)2 ! (2,00 m / s)2 & + (4,00 "10!5 C) #$7850 V ! 5650 V%& = 0,213 J
30.
V=
q
7, 2 " 10!5 C
=
= 12 V
C
6, 0 " 10!6 F
31.
La capacità del condensatore è C = q0/V0 = q/V. Quindi, la nuova carica q è
q =
q0V
V0
=
(5,3 " 10!5C )(9,0 V ) = 8,0 " 10!5C
6,0 V
32.
La capacità del condensatore è
C=
! r!0 A
d
(
)(
5 8,85 " 10#12 F/m 5 " 10#6 m 2
=
#8
1 " 10 m
) = 2 " 10
#8
F
33.
La capacità della membrana è
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C=
! r!0 A
d
=
Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
(5,0)(8,85 "10 –12 F/m)(5,0 "10 –9 m 2 )
–8
1,0 "10 m
= 2,2 "10 –11 F
Sulla superficie esterna, quindi, è presente una carica
q = CV = (2,2 !10 –11 F)(60,0 !10 –3 V) = 1,3!10 –12 C
Il numero di ioni presenti sulla superficie è
Numero di 1,3 "10! 12 C
=
= 8,1 "106
! 19
ioni K +
1, 6 "10 C
34.
L’energia di un lampo di luce è
1 CV 2
2
Energia =
=
1
2
(850 "10!6 F)(280 V )2 = 33J
La potenza sviluppata durante il flash è
P=
Energia
33 J
=
= 8500 W
t
3,9 "10!3 s
35.
C = ! r !0 A / d , da cui
!r =
C d (7,0 "10#6 F)(1,0 "10 –5 m)
=
= 5,3
!0 A (8,85 "10 –12 F/m)(1,5 m 2 )
36.
L’energia immagazzinata nel condensatore senza dielettrico è E =
immagazzinata quando il condensatore ha al suo interno il dielettrico è
energie devono essere uguali, quindi
1 C V 2 = 1 CV 2
2 0 0
2
1 C V 2 , mentre quella
2 0 0
E = 12 CV 2 . Queste due
Sappiamo anche che C = εr C0 e quindi
1C V2
2 0 0
=
1
2
(!r C0 )V 2
da cui ricaviamo
V
12,0 V
V= 0 =
= 5,66 V
!r
4,50
37.
Energia = Pt = (75W )(60s ) = 4500J
Ma sappiamo anche che Energia =
1 CV 2 ;
2
possiamo, quindi, ricavare la differenza di potenziale
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V=
2 (Energia )
C
2 (4500J )
=
3,3F
Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
= 52V
38.
"! ! A %
! AV
q = CV = $$ r 0 ''V = 0
d
# d &
dove abbiamo posto εr = 1, dato che il condensatore è vuoto. Applichiamo questa relazione ai due
condensatori:
! 0 AV1
! AV
e q2 = 0 2
d1
d2
La carica è la stessa in entrambi i casi, quindi
q1 =
! 0 AV1 ! 0 AV2
=
d1
d2
V1 V2
=
d1 d 2
o
Da cui
!d "
! 2d "
V2 = V1 ## 2 $$ = (9, 0 V )## 1 $$ = 18 V
% d1 &
% d1 &
39.
La carica q0 sul condensatore vuoto è legata alla sua capacità C0 e alla differenza di potenziale tra le
armature V dalla relazione q0 = C0V . Per il condensatore in cui è stato inserito il dielettrico vale la
relazione q = C V. La relazione tra la capacità del condensatore vuoto e del condensatore con il
dielettrico inserito è C = εr C0, dove εr è la costante dielettrica della lastra di materiale inserito. Dato
che la carica sulla superficie del dielettrico è uguale alla differenza tra le cariche depositate sulle
armature con e senza dielettrico, avremo:
q ! q0 = CV ! C0V = " r C0 V ! C0V = C0V " r !1
(
)
(
)
E, sostituendo i valori, otteniamo
(
)
(
)(
)(
)
q ! q0 = C0V " r !1 = 3,2 #10!6 F 12 V 4,5 !1 = 1,3#10!4 C
40.
q0 = CV = ! r C0 V = C0V0
Da cui
V = V0/ ! r = (12,0 V)/ 2,8 = 4,3 V
La differenza di potenziale è allora 12,0V − 4,3V = 7,7V: la carica sta diminuendo.
41.
Il potenziale elettrico totale dovuto alle due cariche è:
kq kq
k
V = 1 + 2 = (q1 + q2 )
r
r
r
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Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
La distanza r è metà della distanza tra le due cariche, cioè r =
Allora il potenziale elettrico totale nel punto medio vale:
V=
1
2
(1, 20 m )per entrambe le cariche.
k
8,99 "109 N " m 2 / C2
q1 + q2 ) =
+3, 40 "10!6 C ! 6,10 "10!6 C = !4, 05 "104 V
(
1
r
1, 20 m )
2(
(
)
42.
VB ! VA =
q0 =
! LAB
, quindi
q0
! LAB
LAB
2, 70 "10!3 J
=
=
= 5, 40 "10!5 C
VB ! VA VA ! VB
50,0 V
43.
L’energia accumulata in un condensatore di capacità C e differenza di potenziale V tra le armature
Energia = 12 CV 2 .
è:
Possiamo allora ricavare
2(Energia)
2(73 J)
V=
=
= 1,1 !103 V
–6
C
120 !10 F
44.
L’energia utilizzata dal rasoio è quella ottenuta quando la carica passa dal polo positivo A, dove
l’energia potenziale elettrica è più elevata, al polo negativo B, dove l’energia potenziale elettrica è
minore, e vale U A ! U B . Il rasoio ha una potenza di 4,0 W e la potenza è, per definizione,
P = (U A ! U B )/ t . Da cui
U A !UB
(1)
P
Inoltre U A ! U B = q0 (VA ! VB ), e, sostituendo questa espressione nella (1), otteniamo
t=
U A ! U B q0 (VA ! VB )
=
P
P
Infine, possiamo calcolare
t=
t=
(
q0 V A !VB
P
q0 = ne
dove
(2)
) = ne (V A !VB ) = (3,0 "1022 ) (1,6 "10!19 C) (1,5 V) = 1800 s
P
4,0 W
45.
La carica totale trasferita è:
q = CV = (2,5 " 10!8 F)(450 V)
E il numero di elettroni spostati è
q
(2,5 " 10!8 F)(450 V)
Numero di elettroni =
=
= 7,0 " 1013
!
19
e
1, 60 " 10 C
46.
Il potenziale elettrico totale nel punto P è (vedi la figura)
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V=
Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
k (!q ) k (+ q ) k (+ q ) k (!q ) !kq
+
+
+
=
d
2d
d
d
2d
E sostituendo i valori, otteniamo
"
N $ m2 #
! % 8,99 $109
2, 0 $10!6 C
2 &
C (
!kq
V=
= '
= !9, 4 $103 V
2d
2 (0,96 m )
(
)
47.
E = –
V ! VA
"V
28 V–95 V
= – B
= –
= 4,2 #103 V/m
"s
"s
0,016 m
Il campo elettrico va dai punti a potenziale maggiore verso quelli a potenziale minore, quindi il
campo va da A a B.
48.
VB − VA = −LAB /q0 . Poichè lo spostamento da A a B è perpendicolare alla forza, il lavoro è nullo,
cioè LAB = 0 J. Quindi
!L
0J
VB ! VA = AB =
=0V
q0
q0
La differenza di potenziale (∆V = VC − VB ) tra B e C è legata al campo elettrico e allo spostamento
dalla relazione ∆V = −E ⋅ ∆s
VC ! VB = ! E "s = ! (!3600 N/C )(+0, 080 m ) = +290 V
La forza elettrostatica è conservativa, quindi per trovare la differenza di potenziale tra i punti A e C
possiamo scegliere il percorso che riteniamo più opportuno. Scegliamo allora (vedi il disegno) i
percorsi C → B e B → A, perché conosciamo le differenze di potenziale per ognuno di questi tratti,
per cui VA − VC può essere scritta come
VA − VC = (VA − VB) + (VB − VC )= − (VB − VA) − (VC − VB) = 0 V − 290 V = - 290 V .
C
+y
10.0 cm
8.0 cm
+x
6.0 cm
A
E
B
E
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Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
49.
L’energia elettrica accumulata tra le due sfere è: Energia =
1
k! 0 E 2 (Volume ) , dove E = ∆V/ ∆s
2
Quindi
Energia =
=
#
1 ! ! "V
%
2 r 0 $ "s
1
2
&2
( Volume =
'
(
)
2
#
/
2
C2 & # 3,0 V & ,
*12
(%
2,1 %%8,85 ) 10
4
+
0,1500
m
0,0020
m
(
.
1 =
(
0
N ) m 2 ' $ 0,0020 m ' 1
$
444442444443
( )
(
) (
)
Volume
= 1,2 ) 10*8 J
50.
Assumiamo che il moto del protone e dell’elettrone sia nella direzione delle x positive. Il moto del
1
protone è determinato dall’equazione x = v0t + 12 apt 2 , dove x = d .
2
2
2
1
1
Quindi
o
(1)
d = v0t + 2 apt ,
d = 2v0t + apt
2
Per trovare la velocità iniziale del protone dobbiamo prima calcolare t e l’accelerazione ap . Dato
che il protone colpisce l’armatura negativa nello stesso istante in cui l’elettrone colpisce l’armatura
positiva, possiamo utilizzare il moto dell’elettrone per ricavare il tempo t.
Per l’elettrone,
1d
2
= 12 aet 2 , considerando che l’elettrone parte da fermo e, quindi, t = d / ae .
Sostituendo questa espressione nell’equazione (1) otteniamo
d ! ap "
d = 2v0
+# $ d
ae #% ae $&
(2)
Le accelerazioni si possono trovare considerando che le intensità delle forze che agiscono sulle due
particelle sono uguali (esse hanno la stessa carica). La forza sull’elettrone è F = eE = eV / d , da
cui,
F
eV
(3)
ae =
=
me
me d
Per la seconda legge di Newton me ae = mp ap , da cui
ap
ae
=
me
mp
(4)
Combinando le equazioni (2), (3) e (4) otteniamo, infine, per la velocità iniziale del protone
1 ! m " eV
v0 = #1– e $
2 # mp $ me
%
&
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Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
E, sostituendo i dati
v0 =
1 ! 9,11 #10 –31 kg " (1,60 #10 –19C)(175 V)
= 2,77 #106 m/s
$$1–
%%
–27
–31
2 & 1, 67 #10 kg '
9,11 #10 kg
Olimpiadi della fisica
1. B
2. D
3. A
4. A
5. C
6. D
7. D
8. In direzione orizzontale la particella percorre il tratto d/2 nel tempo t: d/2 = 1/2 at2 con
a = qV/(md). Nello stesso tempo percorre in verticale un tratto y
(
)(
(
)(
"6
2
"1
1 2 1g
1 mgd 2 1 10 kg 9,8m/s 10 m
y = gt =
d! y=
=
2
2a
2 qV
2
10"6 C 1V
)
2
)( )
= 4,9 #10"2 m = 4,9cm
Test d’ammissione all’Università
1. A
2. A
3. B
4. B
5. A
Prove d’esame all’Università
1.
Poiché il campo è parallelo al moto, la differenza di potenziale tra i punti di arrivo e partenza è
k
2
∆V = El quindi per la legge di conservazione dell’energia (!x ) = qEl , cioè:
2
2
!4
2
2
(1, 0 "10 N/m) (25 "10 m )
k (#x)
E=
=
= 13V/m .
2ql
2(1, 0 "10!3 C)(10m)
Poiché la carica è positiva e la forza deve opporsi al moto, la direzione del campo è uguale a quella
del moto, ma con verso opposto.
2.
Q!V AB
(
)(
) (
2 $ 2 $10"4 C 1$104 V
2Q!V AB
1
2
2
2
= m v f " v0 # v f =
+ v0 =
+ 10m/s
2
m
20 $10"3 kg
(
)
)
2
= 2 $10m/s
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Capitolo 20 Energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico
3.
2
3 $10#9 C )(#5 $10#9 C )
1 q1q2 %
9 N$m & (
F=
= ' 8,99 $10
= #8 $10#5 N
(
2
2
2
#
2
4!" 0 r
C *
)
(4 $10 m )
V=
(4 $10#2 m )(3 $10#9 C ) = 2cm
q2 &
rq1
1 % q1
+
=
0
'
r
#
x
q
+
xq
=
0
'
x
=
=
( )1 2
(
)
4!" 0 * x r # x +
q1 # q2 (3 $10#9 C )# (#5 $10#9 C )
4.
V = 0 V.
2
#12
$
1
q
C)
9 N & m % (1 &10
E=2
=
2
8,99
&
10
= 2 &102 V/m lungo la congiungente, verso la
'
(
2
2
2
-2
4!" 0 $ d %
C * (1 &10 m )
)
' (
)2*
carica negativa.
F = qE = (1⋅10-12C)(2⋅102 V/m) = 2⋅10-10 N
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