GENERALITA` NUMERI GEMELLI

L’UNIVERSO SCONOSCIUTO DEI NUMERI GEMELLI
ED ALCUNE GENERALIZZAZIONI AD ESSI
CONNESSE
di Franco Eugeni1 ed Angela Ghiraldini2
Dipartimento di Scienze della Comunicazione
Università di Teramo
E’ noto come da sempre i numeri primi hanno affascinato le menti
matematiche. Il reperto più antico che testimonia la conoscenza dei
numeri primi, conservato al Museo di Storia Naturale di Bruxelles, è
l’OSSO DI ISHANGO, datato circa 6500 a.C.. Su di esso sono
raffigurate tre colonne con degli intagli, in una ci sono 11,13,17,19 intagli.
Sono molte le caratteristiche dei numeri primi che incuriosiscono: la
totale assenza dei divisori, a parte se stessi e l’uno; l’essere infiniti,
come già Euclide aveva provato nel 300 a.C.; avere una distribuzione
irregolare, come Gauss, Legendre, Riemann, Dirichlet, Chebyshev e
Hadamard ben sapevano, non essendo riusciti a individuare un criterio;
l’essere tutti, ad eccezione del 2, dispari e non terminare mai per 5; il
fatto che ogni numero naturale o è primo, o è prodotto di primi,
esprimibile, a meno dell’ordine, in un unico modo.
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1 - Dipartimento di Scienze della Comunicazione – Università di Teramo
2– Dipartimento di Scienze della Comunicazione – Università di Teramo
In un famoso lavoro del 1937 Dirichlet provò che:
“ se a,b sono due naturali, primi tra loro, allora la funzione lineare
f(x) = ax + b
con (a;b) = 1
contiene infiniti numeri primi quando l’intero x descrive l’insieme dei
numeri naturali.”
Non è invece nota alcuna funzione aritmetica f(x), non lineare, nel cui
codominio siano contenuti infiniti numeri primi, quindi, in particolare, non
è nota la formula generatrice dei numeri primi.
A riguardo sono state avanzate anche ipotesi di impossibilità circa
l’esistenza di formule di questo tipo, che conducono persino a chiedersi
cosa sia realmente una formula!
Ancora oggi, in piena epoca tecnologica, quando la scienza sembra non
avere più segreti, i numeri primi costituiscono una grande sfida aperta.
Esistono molte congetture su di essi, con enunciati talmente chiari e
plausibili, da poter essere compresi e sperimentati anche da un bambino,
ma la cui prova generale è così complessa da mandare in crisi, da sempre,
anche le menti più eccelse!
Riportiamo qui di seguito alcuni esempi di problemi, ancora aperti,
nell’universo dei numeri primi.
Uno, tra i più famosi, è quello noto come la congettura di GOLDBACH .
Nel 1742 Goldbach inviò ad Eulero una lettera in cui gli comunicava la
sua formulazione della congettura:
“ogni numero pari n, con n > 5, è somma di tre numeri primi”.
Eulero trasformò questa formulazione in una equivalente :
“per ogni numero pari n > 2, esistono due numeri primi,non
necessariamente distinti, p e q , tali che n = p+q”.
Da alcuni esempi su numeri piccoli, comprensibili anche da un bambino, la
verifica di questi asserti appare molto semplice:
4 = 2+2 , 6 = 2+3 , 8 = 3+5 , 10 = 5+5 = 3+7 , ……,
tuttavia né Goldbach, né Eulero, sono stati in grado di dimostrare le loro
affermazioni, né hanno avuto maggiore fortuna i tanti che, nelle epoche
successive, ci si sono cimentati !
Così, a tutt’oggi, la congettura non è stata dimostrata, ma neanche
confutata, lasciando la sfida ancora aperta.
Vediamo qualche altro esempio di problema ancora aperto:
La congettura formulata da Chen, studiando quella di Goldbach per i
numeri dispari :
“per ogni numero pari n esistono due numeri primi, p e q,
tali che n = p-q”
La congettura di Brocard :
“fra i quadrati di due numeri primi, consecutivi e maggiori di 2,
ci sono sempre almeno quattro numeri primi”
La congettura nota come congettura dei numeri fratelli :
“esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza
è un numero pari qualsiasi”
IL PROBLEMA DELLE COPPIE DI NUMERI GEMELLI
Un problema, tra i tanti, che da tempo suscita molto interesse è il
problema dei numeri primi gemelli, indicando con “numeri gemelli” una
coppia di numeri, p , p+2, che risultino entrambi primi.
Come per le altre congetture, risulta facile individuare le coppie di primi
gemelli, se si opera con numeri piccoli, ad esempio inferiori a 500.
(3,5) , (5,7) ,
(11,13) , (17,19) , (29,31) , (41,43) , (59,61) , (71,73) ,
(101,103) , (107,109) , (137,139) , (149,151), (179,181), (191,193),
(197,199) (227,229) , (239,241) , (269,271) , (281,283) ,
(311,313), (347,349),
(419,421) , (431,433), (461,463) .
Al contrario, sono stati necessari molto tempo e molto lavoro per riuscire
ad individuare tutte le coppie di primi gemelli fino ad oggi conosciute.
Nasce così un altro grande quesito nell’universo dei numeri interi, noto
come la congettura dei numeri primi gemelli :
“esistono infinite coppie di numeri primi gemelli”,
Analogamente alla congettura di Goldbach, anche questa, a tutt’oggi, non
è stata né dimostrata, né confutata.
Ciò che si ha è solo un lungo, ma finito, elenco di coppie di numeri gemelli.
Ogni tanto qualcuno scopre una nuova coppia, battendo così il record che
era stato stabilito in precedenza.
Com’è successo nel 19?? ai matematici Karl Heinz INDLEKOFER e Antal
JARAI che hanno scoperto la coppia di numeri primi gemelli :
2409110779845 x 260000 – 1
e
2409110779845 x 260000 + 1
formati da ben 18.075 cifre.
Anche Atkin e Ricket nel 1979 batterono velocemente il record
precedente scoprendo le coppie di primi gemelli :
694513810 x 22304 ± 1
,
1159142985 x 22304 ± 1
entrambe di 703 cifre.
Nel tempo, studiando le coppie di numeri primi gemelli, si è tentato di
individuare un criterio di distribuzione, ma senza successo.
Si è comunque notato che la loro frequenza diminuisce all’aumentare della
grandezza dei numeri con cui si opera, ma non si hanno prove per
affermare che questo possa valere anche per le coppie ancora
sconosciute.
Nel 1919, è stato ottenuto un altro risultato interessante, relativo ai
numeri primi gemelli :
“ la somma degli inversi dei numeri gemelli è finita “
Infatti Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli
converge ad una costante, ora chiamata COSTANTE DI BRUN, mentre
la somma dei reciproci di tutti i primi diverge.
Thomas Nicely, calcolando le coppie di numeri gemelli fino a 1014, ha
stimato euristicamente la costante di Brun essere pari a
1,902160577783278.
Esiste una congettura formulata da Polignac nel 1849 :
“per ogni n pari esistono infiniti numeri primi consecutivi, p e q,
tali che n = p-q “
Questa congettura risulta essere un generalizzazione della congettura
dei numeri primi gemelli se si pone n = 2.
TEOREMI DI INTERESSE RELATIVI AI NUMERI PRIMI
Un teorema importante che, in un certo senso, caratterizza i numeri
primi, ma di fatto non praticabile, è il cosiddetto
TEOREMA di WILSON :
Un numero naturale p > 1 è primo, se e solo se, p divide 1+(p-1)!
cioè se:
p ≡ 1+(p-1)!
(mod p)
ovvero
(p-1)! ≡ -1
(mod p) .
dove la relazione “a ≡ b (mod. p)“, con a e b interi relativi, è detta
congruenza modulo p, ed esprime la circostanza che la differenza a-b
risulta essere divisibile per p.
Il Teorema di Wilson può essere posto anche nella seguente forma :
I numeri naturali p, con p >1 , che sono soluzioni dell’ equazione
( p − 1)!  ( p − 1)! 
p −1
−
≡

p
p
p


(1)
sono tutti e soli i numeri primi.
dove:
la parentesi quadra indica la parte intera del numero in essa contenuto,
il simbolo n! rappresenta il fattoriale del numero n.
La (1) può essere chiamata, a tutti gli effetti, l’equazione dei numeri
primi, ma si tratta, ovviamente, di una equazione che nessuno è in grado
di risolvere!
Il procedimento di deduzione dell’equazione (1) dal Teorema di Wilson è
semplice e viene riportata come curiosità :
Il teorema che segue è stato dimostrato da F. Pellegrino [1] e può essere
considerato l’analogo del Teorema di Wilson, per i numeri gemelli :
TEOREMA
Due numeri naturali
se e solo se, risulta
(2)
p-2
e
p,
con p > 5 , sono entrambe primi,
 ( p − 3)!
4
 ≡ −5
2
p
−


(mod p)
La (2) costituisce una condizione necessaria e sufficiente affinché i
numeri p e p-2 , con p > 5, siano entrambe primi, permettendo di
individuare una coppia di numeri primi gemelli.
Riportiamo ancora di seguito il teorema dimostrato nel 1949 :
TEOREMA di CLEMENT
Gli interi n , n+2 costituiscono una coppia di numeri gemelli se e solo se
4 [( n − 1 )! + 1 ] ≡ − n
(mod
n(n+2))
Molto interessante, ma …..anch’esso impraticabile!
IL PROBLEMA DELLE TERNE DI NUMERI GEMELLI
Il problema dell’individuazione di terne di numeri primi, gemelli a due a
due, è nato inizialmente per terne del tipo p –2 , p , p+2 , come naturale
estensione del problema delle coppie di primi gemelli.
Tuttavia , si prova facilmente che esiste una sola terna di primi che gode
di questa proprietà: la terna 3,5,7.
Tra le tante possibili definizioni di terne si è scelto, nelle ricerche fatte,
di cercare le terne che presentassero uno scarto di due, tra il primo ed il
secondo elemento, e di quattro tra il secondo ed il terzo elemento della
terna e viceversa.
Così si sono introdotte due definizioni di terne gemelle :
Definizione 1 :
Una terna di numeri naturali del tipo p –2 , p , p+4 è detta terna
gemella di 1° specie se i numeri della terna risultano essere tutti primi.
Definizione 2 :
Una terna di numeri naturali del tipo p –4 , p , p+2 è detta terna
gemella di 2° specie se i numeri della terna risultano essere tutti primi.
Riportiamo due teoremi, dimostrati da S. Patrizio [2], che forniscono
condizioni necessarie e sufficienti circa l’estensione delle terne gemelle
di 1° e 2° specie.
TEOREMA 1
Condizione necessaria e sufficiente perchè tre naturali
con p ≥ 7 , siano tutti primi è che si abbia:
(3)
 ( p + 3)!  ( p − 3)!
8
 + 4  p + 2  ≡ −11
p
+
4

 

p-2, p, p+4,
(mod p)
TEOREMA 2
Condizione necessaria e sufficiente perchè tre naturali
con p ≥ 11, siano tutti primi è che si abbia:
(4)
 ( p − 5)!
 ( p + 1)!
+
48
≡ −67
15



 p−4 
 p+2 
p-4, p, p+2,
(mod p)
Sono state date generalizzazioni anche per quaterne assunta
come valida la sequenza p, p+2 , p+6 , p+8 .
Il valore di p più grande, ad essa relativo, finora conosciuto è:
802359150003121605557551380867519560344356971
di ben 45 cifre decimali.
IL PROBLEMA DELLE SEQUENZE DI NUMERI GEMELLI
Otre alle coppie, alle terne e quaterne di numeri primi gemelli, anche il
problema delle sequenze, forse mai completamente enunciato, ha
suscitato interesse nel corso dei secoli.
Ne abbiamo formulato una definizione che generalizza il problema delle
terne gemelle di 1° specie.
Definizione 3 :
Una sequenza di numeri naturali del tipo p , p+2 , p+6, p+12 ,….., p+x+x2
è detta sequenza di numeri gemelli se i numeri della sequenza sono tutti
primi.
Non è nota alcuna congettura significativa su tali sequenze, ma riteniamo
che segnalare il problema presenti un certo interesse, esso infatti è
ricollegabile ad un problema classico di Teoria dei Numeri.
Eulero evidenziò che la parabola:
y = f(x) = x2 + x + 41
forniva 40 valori consecutivi della y, tutti primi, per X = 0,1,……,39 .
La y = x2 + x + 41 è detta anche Parabola di Eulero.
Inoltre risulta
f(40) = 1681 = 412
e
f(41) = 41 • 43
E’ evidente che, per x = -1,-2,…,-40 , si ripetono simmetricamente i
medesimi valori, poiché si ha f(0) = f(-1) , f(1) = f(-2) , …., f(x) = f(-x-1).
E’ immediato convincersi che per il caso generale
y = F(x) = x2 + x + p
con
p primo
sussistono le relazioni:
F(p-1) = p2 , F(p) = p(p+2) , F(x) = F(-x-1) ,
F(0) = F(-1) , F(1) = F(-2) , ...... , F(x) = F(-x-1)
dalle quali emerge che una sequenza del tipo
x2 + x + p
per
x = 0,1,…,p-2
contiene al più p-1 numeri primi consecutivi.
Sono note altre parabole, che chiameremo del “tipo Eulero”, nelle quali è
raggiunta la lunghezza massima p-1.
Seguono alcuni esempi:
y = x2 + x + 3
y = x2 + x + 11
con 2 numeri primi 3, 5
con 10 numeri primi in sequenza:
11 , 13, 17, 23, 31 , 41 , 53, 67, 83, 101
y = x2 + x + 17
con 16 numeri primi in sequenza:
17,19,23,29,37,47,59,73,89,107,127,149,173,199,227,257
con 40 numeri primi in sequenza:
y = x2 + x + 41
41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,
347,383,421,461,503,547,593,641,691,743,797,
853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601.
A tutt’oggi non sono note parabole “tipo Eulero” con sequenze costituite
da più di 40 primi consecutivi !
Si fa notare, inoltre, che con una traslazione e/o simmetria, sulla sola x,
del tipo
 x = ± x'+ n

 y = y'
con n intero relativo
si ottengono nuove parabole che conservano la proprietà di avere
sequenze di primi, ma che sono del tutto equivalenti alle parabole di
provenienza !
Infatti, applicando la simmetria rispetto all’asse y:
 x = − x'

 y = y'
alla parabola y = x2 + x + 41 , si ottiene la parabola Y’ = x’2 – x’ + 41
simmetrica rispetto alla precedente che presenta ugualmente 40 primi
consecutivi per x’ = 1, 2,……, 40.
Inoltre, la traslazione
 x = x'+1

 y = y'
trasforma la y = x2 + x + 41 nella Y’ = x’2 + 3x’ + 43 che presenta
anch’essa 40 primi consecutivi, per x’ = -1, 0, 1,……, 38.
Qui di seguito vengono riportate tre parabole, non appartenenti al
“tipo Eulero”, che presentano comunque sequenze di primi, distinti e
consecutivi, molto lunghe.
y = 103 x2 + 31 x – 3391
(Fung, 1988)
che fornisce,a meno del segno, 43 numeri primi distinti per x = 0,±1,…,±21
(0, -3391) , (-1, -3319) , (1, -3257) , (-2, -3041) ,
(2, -2917) , (-3, -2557) , (3, -2371) , (-4, -1867) , (4, -1619) ,
(-5, -971), (5, 661) , (-6, 131) , (6, 503) , …... ,
(-20, 37189) , (20, 38429) , (-21, 41381) , (21, 42683)
y = 47 x2 + 9 x – 5209
(Fung, 1988)
che fornisce, a meno del segno, esattamente 43 numeri primi distinti
consecutivi per x = 0, ±1, ……, ±21.
y = 36 x2 + 18 x – 1801
(Ruby, 1989)
che fornisce, a meno del segno, esattamente 45 numeri primi distinti
consecutivi per x = 0, ±1, ……, ± 22.
La parabola di Ruby può anche essere ottenuta dalla parabola “tipo
Eulero” di equazione y = 9 k2 + 9 k – 1801 che, per k = 0,1,…, 22,
presenta 23 valori primi distinti mediante la trasformazione omografica
k = 9 x.
Non risultano, al momento, essere note regole su tali trasformazioni che
aumentino o diminuiscano genericamente la primalità !