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Teoremi di Green, Stokes e Gauss
Approfondimenti Teoremi di Green, Stokes e Gauss In questa sezione dimostriamo i Teoremi di Green (detto anche Formula di Guass-Green), di Stokes (o del rotore) e di Guass (o della divergenza). 1.1 Teorema di Green (di Green (o formula di Gauss-Green)) Siano Ω ⊆ R2 (1.1) Teorema aperto non vuoto, F : Ω → R2 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 ), A ⊆ Ω un aperto limitato tale che ∂A ⊆ Ω è il sostegno di una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti γ : [a, b] → Ω. Supponiamo che ∂A sia orientamento positivamente. Allora I F · dP = ∂A Z A ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy. ∂x ∂y Dimostrazione. Consideriamo inizialmente alcuni casi particolari e poi procediamo con il caso generale. 1) Supponiamo che l’insieme A sia della forma n o A = (x, y) ∈ R2 : a < x < b, α(x) < y < β(x) , dove α, β : [a, b] → R sono due funzioni di classe C 1 tali che α(x) < β(x) per ogni x ∈ [a, b] (vedi Fig. 1.1). 1 1 Analogamente si procede se A è della forma A= n o 2 (x, y) ∈ R : a < y < b, α(y) < x < β(y) , dove α, β : [a, b] → R sono due funzioni di classe C 1 tali che α(y) < β(y) per ogni y ∈ [a, b]. 1 2 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II y y = β(x) γ3 γ4 γ2 A γ1 y = α(x) O a b x Fig. 1.1: L’insieme A. Si ha che ∂A = im (γ) = im (γ1 ) ∪ im (γ2 ) ∪ im (γ3 ) ∪ im (γ4 ), dove γ1 (t) = (t, α(t)), γ2 (t) = (b, t), ∀t ∈ [a, b], ∀t ∈ [α(b), β(b)], γ3 (t) = b + t(a − b), β(b + t(a − b)) , ∀t ∈ [0, 1], γ4 (t) = a, β(a) + t(α(a) − β(a)) , ∀t ∈ [0, 1]. Poiché le quattro curve sono orientate in modo coerente con il verso di percorrenza antiorario indotto da γ su ∂A, si ha che I Z F · dP = ∂A F · dP = γ = F · dP + γ1 Z b a + Z Z 0 Z F · dP + γ2 F (γ1 (t)) · γ10 (t) dt + 1 Z Z F (γ3 (t)) · γ30 (t) dt + γ3 β(b) α(b) Z 0 F · dP + 1 Z F · dP = γ4 F (γ2 (t)) · γ20 (t) dt+ F (γ4 (t)) · γ40 (t) dt = essendo F = (f1 , f2 ), γ10 (t) = (1, α0 (t)), γ20 (t) = (0, 1), γ30 (t) = a − b, (a − b)β 0 (b + t(a − b)) , γ40 (t) = 0, α(a) − β(a) , si ha = Z bh a 0 i f1 (t, α(t)) + α (t)f2 (t, α(t)) dt + Z β(b) α(b) f2 (b, t) dt+ 3 1.1 Teorema di Green + Z 0 1h i (a−b)f1 b+t(a−b), β(b+t(a−b)) +(a−b)β 0 (b+t(a−b))f2 b+t(a−b), β(b+t(a−b)) Z + 0 1 α(a) − β(a) f2 a, β(a) + t(α(a) − β(a)) dt = operando le sostituzioni s = b + t(a − b) e s = β(a) + t(α(a) − β(a)) rispettivamente nel terzo e quarto integrale si ottiene = Z bh a − Z bh Z i 0 b a f1 (t, α(t)) dt − Z b f1 (s, β(s)) ds = a =− Z Z =− b a Z β(x) α(x) f2 (b, t) dt+ α(b) Z β(a) α(a) f2 (a, s) ds. f1 (x, α(x)) dx − Z b a f1 (x, β(x)) dx = i f1 (x, β(x)) − f1 (x, α(x)) dx = essendo f1 di classe C 1 e quindi la funzione Z β(b) b a bh a (1.2) Z f1 (s, β(s)) + β (s)f2 (s, β(s)) ds − a Si ha che i f1 (t, α(t)) + α0 (t)f2 (t, α(t)) dt + ∂f1 (x, y) dy ∂y ∂f1 continua, ∂y ! dx = − Z A ∂f1 (x, y) dx dy. ∂y Consideriamo le funzioni G : [a, b] × R × R → R e ϕ : [a, b] → R definite da ∀x ∈ [a, b], ∀u, v ∈ R : ∀x ∈ [a, b] : G(x, u, v) = Z v u ϕ(x) = Z f2 (x, y) dy, β(x) α(x) f2 (x, y) dy, Evidentemente si ha che ϕ(x) = G(x, α(x), β(x)), per ogni x ∈ [a, b]. Per il Teorema di derivazione sotto il segno di integrale2 si ha che G è derivabile rispetto a x con ∀x ∈ [a, b], ∀u, v ∈ R : ∂G (x, u, v) = ∂x Z v u 2 ∂f2 (x, y) dy. ∂x Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Siano I, J due intervalli chiusi e limitati di R e f : I × J → R una funzione continua. Supponiamo che f ammetta derivata parziale rispetto a x ∂f e che la funzione ∂x : I × J → R sia continua. Allora la funzione g : I → R definita da ∀x ∈ I : g(x) = Z f (x, y) dy J è derivabile e si ha che ∀x ∈ I : g 0 (x) = Z J ∂f (x, y) dy. ∂x dt+ 4 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Essendo α e β derivabili, anche ϕ risulta derivabile per composizione e, applicando la regola della derivata parziale della funzione composta e il Teorema fondamentale del calcolo integrale, si ha che per ogni x ∈ [a, b] ϕ0 (x) = ∂G ∂G ∂G (x, α(x), β(x)) + (x, α(x), β(x)) · α0 (x) + (x, α(x), β(x)) · β 0 (x) = ∂x ∂u ∂v = Z β(x) ∂f2 (x, y) dy + β 0 (x)f2 (x, β(x)) − α0 (x)f2 (x, α(x)). ∂x α(x) Ne segue che Z Z β(b) f2 (b, t) dt − α(b) β(a) α(a) f2 (a, s) ds = Z β(b) f2 (b, y) dy − α(b) Z β(a) f2 (a, y) dy = ϕ(b) − ϕ(a) = α(a) per il Teorema di Torricelli-Barrow Z = b 0 ϕ (x) dx = a Z Z b a = Z = Z A A β(x) α(x) ! ∂f2 (x, y) dy + β 0 (x)f2 (x, β(x)) − α0 (x)f2 (x, α(x)) ∂x ∂f2 (x, y) dx dy + ∂x Z ∂f2 (x, y) dx dy + ∂x Z bh dx = i β 0 (x)f2 (x, β(x)) − α0 (x)f2 (x, α(x)) dx = a b a Z β 0 (s)f2 (s, β(s)) ds − b a α0 (t)f2 (t, α(t)) dt. Quindi Z b 0 α (t)f2 (t, α(t)) dt − a Z b 0 β (s)f2 (s, β(s)) ds + a (1.3) = Z A Z β(b) α(b) f2 (b, t) dt − Z β(a) α(a) f2 (a, s) ds = ∂f2 (x, y) dx dy. ∂x Ne segue che I F · dP = ∂A Z f1 (t, α(t)) + α (t)f2 (t, α(t)) dt + i 0 f1 (s, β(s)) + β (s)f2 (s, β(s)) ds − b a i 0 bh a = bh a − Z Z f1 (t, α(t)) dt − Z b a f1 (s, β(s)) ds + + Z Z b a β(b) f2 (b, t) dt − β(a) α(a) f2 (a, s) ds = 0 Z f2 (b, t) dt+ α(b) α (t)f2 (t, α(t)) dt − β(b) α(b) Z Z Z b a β 0 (s)f2 (s, β(s)) ds+ β(a) α(a) f2 (a, s) ds = per (1.2) e (1.3) =− Z A ∂f1 (x, y) dx dy + ∂y Z A ∂f2 (x, y) dx dy = ∂x Z A ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy. ∂x ∂y 5 1.1 Teorema di Green y A2 A1 γ O x Fig. 1.2: L’insieme A = A1 ∪ A2 . 2) Supponiamo che la chiusura di A sia suddivisibile nell’unione delle chiusure di due insiemi della forma considerata nel caso precedente, ad esempio sia A = A1 ∪ A2 , dove n o A1 = (x, y) ∈ R2 : a1 < x < b1 , α1 (x) < y < β1 (x) , n o A2 = (x, y) ∈ R2 : a2 < y < b2 , α2 (y) < x < β2 (y) , con α1 , β1 , α2 , β2 soddisfacenti ipotesi conformi con il caso precedente (analogamente negli altri casi). Allora si ha che Z A = Z A1 ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy = ∂x ∂y ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy + ∂x ∂y Z A2 ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy = ∂x ∂y per il caso precedente applicato ad A1 e A2 = I F · dP + ∂A1 I F · dP. ∂A2 Gli integrali di linea sui tratti dei bordi di A1 e A2 interni ad A (in Fig. 1.2 la linea tratteggiata) sono calcolati due volte, ma a causa del verso di percorrenza opposto indotto dalle curve che parametrizzano questi tratti dei bordi di A1 e A2 la loro somma è nulla. Quindi si ottiene Z A ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy = ∂x ∂y I ∂A1 F · dP + I ∂A2 F · dP = I γ F · dP = I ∂A F · dP. 6 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II 3) Caso generale: si dimostra che se A è un insieme soddisfacente le ipotesi, allora la sua chiusura è suddivisibile nell’unione di un numero finito di chiusure di insiemi della forma considerata nel punto 1). Applicando il procedimento del punto 2) a questi insiemi si giunge alla tesi. 7 1.2 Teorema di Stokes 1.2 Teorema di Stokes (di Stokes (o del rotore)) Siano Ω ⊆ R3 aperto non vuoto, (1.4) Teorema F : Ω → R3 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 , f3 ), A ⊆ R2 un aperto limitato connesso per archi tale che ∂A è l’unione di un numero finito di sostegni a due a due disgiunti di curve parametriche chiuse, semplici e regolari a tratti, K = A = A ∪ ∂A e σ : K → Ω una calotta regolare con ∂σ orientamento positivamente. Allora I F · dP = ∂σ Z rotF · n, σ dove rotF è il rotore del campo F , definito formalmente da ∀(x, y, z) ∈ Ω : i ∂ rotF (x, y, z) = ∂x f (x, y, z) 1 j ∂ ∂y f2 (x, y, z) ∂ . ∂z f3 (x, y, z) k Dimostrazione. Dimostriamo per semplicità il Teorema nell’ipotesi ulteriore che σ sia di classe C 2 . Per brevità espositiva, nel seguito data una funzione ϕ = ϕ(x1 , x2 , · · · , xn ) denoteremo la derivata parziale rispetto alla variabile xi con ϕxi e la derivata parziale rispetto alle variabili xi e xj con ϕxi xj . Sia γ : [a, b] → R2 una curva parametrica semplice e regolare che parametrizza il bordo di K (essendo σ di classe C 2 esiste una parametrizzazione regolare di ∂K). Poniamo η = σ ◦ γ. Quindi η : [a, b] → Ω è una parametrizzazione del bordo di Σ, dove Σ = σ(K). Si ha che I F · dP = ∂σ essendo η 0 (t) = Jσ (γ(t)) γ 0 (t), = Z I F · dP = η Z b F (η(t)) · η 0 (t) dt = a dove Jσ (γ(t)) è la matrice Jacobiana di σ in γ(t) b a F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) dt. Consideriamo il campo vettoriale G : K → R2 definito da G(u, v) = F (σ(u, v)) Jσ (u, v). 3 Osserviamo che F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) = G(γ(t)) · γ 0 (t). 3 Si intende il prodotto matriciale fra la matrice 1 × 3 (vettore riga) F (σ(u, v)) e la matrice 3 × 2 Jσ (u, v). 8 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Infatti, F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) = σ1,u (γ(t)) = f1 (σ(γ(t))), f2 (σ(γ(t))), f3 (σ(γ(t))) · σ2,u (γ(t)) σ3,u (γ(t)) σ1,v (γ(t)) σ2,v (γ(t)) σ3,v (γ(t)) γ10 (t) γ20 (t) ! = per la proprietà associativa del prodotto matriciale σ1,u (γ(t)) = f1 (σ(γ(t))), f2 (σ(γ(t))), f3 (σ(γ(t))) σ2,u (γ(t)) σ3,u (γ(t)) {z | =G(γ(t)) σ1,v (γ(t)) γ10 (t) σ2,v (γ(t)) σ3,v (γ(t)) γ20 (t) ! = } = G(γ(t)) · γ 0 (t). Quindi I F · dP = ∂σ Z b a F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) dt = Z b G(γ(t)) · γ 0 (t) = a I G · dP = γ e applicando il Teorema di Green al campo vettoriale G = (g1 , g2 ) si ottiene (1.5) = Z K ∂g2 ∂g1 (u, v) − (u, v) du dv, ∂u ∂v dove g1 (u, v) = f1 (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f2 (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f3 (σ(u, v)) σ3,u (u, v), g2 (u, v) = f1 (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f2 (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f3 (σ(u, v)) σ3,v (u, v). 9 1.2 Teorema di Stokes Si ha che ∂g2 ∂g1 (u, v) − (u, v) = ∂u ∂v = f1,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ1,v (u, v)+ +f1 (σ(u, v)) σ1,uv (u, v)+ + f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ2,v (u, v)+ +f2 (σ(u, v)) σ2,uv (u, v)+ + f3,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ3,v (u, v)+ +f3 (σ(u, v)) σ3,uv (u, v)+ − f1,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ1,u (u, v)+ −f1 (σ(u, v)) σ1,vu (u, v)+ − f2,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ2,u (u, v)+ −f2 (σ(u, v)) σ2,vu (u, v)+ − f3,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ3,u (u, v)+ −f3 (σ(u, v)) σ3,vu (u, v) = essendo σ di classe C 2 le derivate seconde miste delle sue componenti sono uguali e si ottiene = f1,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ1,v (u, v)+ + f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ2,v (u, v)+ + f3,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ3,v (u, v)+ − f1,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ1,u (u, v)+ − f2,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ2,u (u, v)+ − f3,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ3,u (u, v) = h i = f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) + h i h i −f2,z (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) + h i +f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) + (1.6) −f3,x (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) + h i +f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) + h i −f1,y (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) . 10 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Inoltre si ha che Z rotF · n = σ dove Z rotF (σ(u, v)) · N (u, v) du dv, K i ∂ rotF (σ(u, v)) = ∂x f (σ(u, v)) 1 j ∂ = ∂z f3 (σ(u, v)) k ∂ ∂y f2 (σ(u, v)) = f3,y (σ(u, v)) − f2,z (σ(u, v)), f1,z (σ(u, v)) − f3,x (σ(u, v)), f2,x (σ(u, v)) − f1,y (σ(u, v)) e i N (u, v) = σu (u, v) ∧ σv (u, v) = σ1,u (u, v) σ (u, v) 1,v j σ3,u (u, v) = σ (u, v) k σ2,u (u, v) σ2,v (u, v) 3,v σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) = σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) . σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) Quindi rotF (σ(u, v)) · N (u, v) = = f3,y (σ(u, v)) − f2,z (σ(u, v)), f1,z (σ(u, v)) − f3,x (σ(u, v)), f2,x (σ(u, v)) − f1,y (σ(u, v)) · σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) · σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) = σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) h i = f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) + h i h i −f2,z (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) + h i +f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) + −f3,x (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) + h i +f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) + h i −f1,y (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) = ∂g2 ∂g1 (u, v) − (u, v). ∂u ∂v = x (1.6) Ne segue che Z σ rotF ·n = Z K rotF (σ(u, v))·N (u, v) du dv = Z K ∂g2 ∂g1 (u, v) − (u, v) ∂u ∂v du dv = x (1.5) I ∂σ F ·dP 11 1.2 Teorema di Stokes che è la tesi. (1.7) Teorema Siano Ω ⊆ R3 un aperto non vuoto, F : Ω → R3 un campo vettoriale di classe C 1 , D ⊆ Ω un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω. Allora il flusso (sia uscente che entrante) del rotore del campo F dal bordo di D è zero, cioè Z rotF · n = 0. ∂D Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che il flusso uscente è nullo. Sia (x0 , y0 , z0 ) ∈ D. Osserviamo che ∂D = Σ1 ∪ Σ2 , dove Σ1 = {(x, y, z) ∈ ∂D : z ≤ z0 } , Σ2 = {(x, y, z) ∈ ∂D : z ≥ z0 } . Si ha che Σ1 ∩ Σ2 = {(x, y, z) ∈ ∂D : z = z0 } è in generale l’unione di un numero finito di linee chiuse in R3 , ossia Σ1 ∩ Σ2 = n [ Γi , dove Γi è una linea chiusa in R3 , per ogni i=1 i = 1, · · · , n. Per semplicità espositiva supponiamo che Σ1 ∩ Σ2 = Γ, con Γ linea chiusa in R3 . z N2 Σ2 γ2 Γ γ1 N1 Σ1 y x Se orientiamo Σ1 e Σ2 secondo il verso uscente da D, si ha che Z ∂D rotF · n = Z rotF · n + Σ1 Z Σ2 rotF · n. 12 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Evidentemente Γ = ∂Σ1 = ∂Σ2 . Siano γ1 la curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti che parametrizza Γ in senso antiorario rispetto al vettore normale N1 uscente da Σ1 e γ2 la curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti che parametrizza Γ in senso antiorario rispetto al vettore normale N2 uscente da Σ2 . Poiché N1 e N2 inducono versi di percorrenza opposti su Γ, si ha che γ1 e γ2 inducono versi opposti su Γ. Per le proprietà degli integrali di linea di un campo vettoriale I F · dP = − γ1 I F · dP. γ2 Applicando il Teorema di Stokes alle superfici Σ1 e Σ2 si ha che Z rotF · n = Σ1 I Z F · dP, rotF · n = Σ2 γ1 I F · dP. γ2 Quindi Z ∂D rotF · n = Z rotF · n + Σ1 Z rotF · n = Σ2 I F · dP + γ1 I F · dP = 0. γ2 (1.8) Osservazione Il Teorema di Green altro non è che il Teorema di Stokes in due dimensioni. Infatti, siano F : Ω → R2 , A e γ = (γ1 , γ2 ) soddisfacenti le ipotesi del Teorema di Green (supponiamo per semplicità espositiva che γ sia regolare; se fosse solo regolare a tratti, a patto di fare qualche piccola modifica, si riotterrebbe lo stesso risultato). z N y A x γ Fig. 1.3: L’insieme A visto come sottoinsieme di R3 . Consideriamo il campo vettoriale G(x, y, z) = (f1 (x, y), f2 (x, y), 0) e la calotta regolare σ : A → R3 definita da σ(x, y) = (x, y, 0). In pratica G è il campo F a cui è stata 13 1.2 Teorema di Stokes aggiunta la terza componente nulla mentre σ è la superficie che descrive l’insieme A visto come sottoinsieme di R3 (ovvero σ parametrizza il grafico della funzione identicamente nulla definita sull’insieme A). Si osserva che im (σ) = A ⊆ dom (G). Poiché γ induce su ∂A un verso di percorrenza antiorario rispetto al versore fondamentale dell’asse z (vedi Fig. 1.3), anche ∂σ = σ|∂A , che parametrizza ∂A, deve indurre lo stesso orientamento. Un vettore normale (nello spazio tridimensionale) a im (σ) che induca un orientamento antiorario su ∂A rispetto al versore fondamentale dell’asse z è ∂σ ∂σ (x, y) ∧ (x, y) = (0, 0, 1). ∂x ∂y N (x, y) = Applicando il Teorema di Stokes a G e σ si ottiene I (1.9) G · dP = ∂σ Z rotG · n. σ Una parametrizzazione equivalente di ∂σ è η : [a, b] → R3 definita da η(t) = (γ(t), 0) = (γ1 (t), γ2 (t), 0). Ne segue che I = = Z Z b a b a I G · dP = ∂σ G · dP = η = Z A 0 G(η(t)) · η (t) dt = f1 (γ(t)), f2 (γ(t)), 0 · f1 (γ(t)), f2 (γ(t)) · Z Z b G(γ(t), 0) · (γ 0 (t), 0) dt = a rotG · n = σ b a Inoltre Z Z γ10 (t), γ20 (t), 0 γ10 (t), γ20 (t) dt = Z dt = bh a Z b 0 F (γ(t))·γ (t) dt = a Z F ·dP = γ rotG(σ(x, y)) · N (x, y) dx dy = A Z i f1 (γ(t))γ10 (t) + f2 (γ(t))γ20 (t) dt = I F ·dP. ∂A rotG(x, y, 0) · (0, 0, 1) dx dy = A rot(f1 (x, y), f2 (x, y), 0)·(0, 0, 1) dx dy = = Z A Z 0, 0, A ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) ·(0, 0, 1) dx dy = ∂x ∂y ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy. ∂x ∂y Quindi (1.9) diventa I ∂A F · dP = Z A ∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) dx dy ∂x ∂y che è la formulazione del Teorema di Green. 14 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II 1.3 Teorema di Gauss (di Gauss (o della divergenza)) Siano Ω ⊆ R3 un aperto (1.10) Teorema non vuoto, F : Ω → R3 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 , f3 ), D ⊆ Ω un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω. Allora il flusso uscente del campo F dal bordo di D è dato da Z F ·n= ∂D Z divF (x, y, z) dx dy dz, D dove divF è la divergenza del campo F , definita da ∀(x, y, z) ∈ Ω : divF (x, y, z) = ∂f1 ∂f2 ∂f3 (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z). ∂x ∂y ∂z Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema nel caso particolare in cui D è un insieme convesso4 nelle tre direzioni degli assi coordinati. Dobbiamo dimostrare che (1.11) Z ∂D (f1 , f2 , f3 ) · n = Z D ∂f1 ∂f2 ∂f3 (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) ∂x ∂y ∂z dx dy dz. Essendo F = (f1 , f2 , f3 ) = (f1 , 0, 0) + (0, f2 , 0) + (0, 0, f3 ), è sufficiente dimostrare che (1.12) Z Z ∂D (1.13) ∂D Z (1.14) ∂D (f1 , 0, 0) · n = Z ∂f1 (x, y, z) dx dy dz, ∂x (0, f2 , 0) · n = Z ∂f2 (x, y, z) dx dy dz, ∂y (0, 0, f3 ) · n = Z ∂f3 (x, y, z) dx dy dz. ∂z D D D Infatti, sommando (1.12), (1.13) e (1.14) si ottiene (1.11). Proviamo (1.14). In modo simile si provano anche (1.12) e (1.13). Per semplicità espositiva supponiamo che, essendo D un aperto con bordo convesso nella direzione di z, si abbia che D = D ∪ ∂D è della forma n o D = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y) , dove K ⊆ R2 è un compatto e α, β : K → R sono di classe C 1 con α(x, y) ≤ β(x, y) per ogni (x, y) ∈ K.5 4 3 Un insieme D ⊆ R è convesso se per ogni X, Y ∈ D e per ogni t ∈ [0, 1] si ha che X + t(Y − X) ∈ D, 15 1.3 Teorema di Gauss z z = β(x, y) Σ3 Σ2 Σ1 z = α(x, y) y K x Fig. 1.4: Una possibile (semplice) rappresentazione dell’insieme D. Si ha che ∂D = Σ1 ∪ Σ2 ∪ Σ3 con n o n o Σ1 = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, z = α(x, y) , n o Σ2 = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ ∂K, α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y) , Σ3 = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, z = β(x, y) . Quindi Z ∂D (0, 0, f3 ) · n = Z Σ1 (0, 0, f3 ) · n + Z Σ2 (0, 0, f3 ) · n + Z Σ3 (0, 0, f3 ) · n. Essendo Σ1 il grafico della funzione α : K → R, si ha che Σ1 = σ1 (K) dove σ1 (x, y) = (x, y, α(x, y)). Quindi Z Σ1 (0, 0, f3 ) · n = Z K (0, 0, f3 (σ1 (x, y))) · N1 (x, y) dx dy, ovvero se il segmento che unisce X e Y è tutto contenuto in D. 5 In generale si ha che α(K) = n [ i=1 tali che K = n [ i=1 Ki = m [ αi (Ki ) e β(K) = m [ βj (Hj ), dove Ki , Hj sono compatti di R2 j=1 Hj , Ki ∩ Kp e Hj ∩ Hq hanno al più in comune solo parti dei loro bordi, e j=1 αi : Ai → R e βj : Bj → R sono funzioni di classe C 1 definite rispettivamente su Ai e Bj aperti di tali che Ki ⊆ Ai e Hj ⊆ Bj . R2 16 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II dove N1 (x, y) è un vettore normale al piano tangente a Σ1 in σ1 (x, y) uscente da D. Essendo N1 (x, y) = − − si ottiene Z Σ1 = Z K ∂α ∂α (x, y), − (x, y), 1 = ∂x ∂y Z (0, 0, f3 ) · n = K ∂α (0, 0, f3 (σ1 (x, y))) · N1 (x, y) dx dy = ∂α 0, 0, f3 (x, y, α(x, y)) · (x, y), (x, y), −1 ∂x ∂y ∂α ∂α (x, y), (x, y), −1 , ∂x ∂y dx dy = − Z K f3 (x, y, α(x, y)) dx dy. Essendo Σ3 il grafico della funzione β : K → R, si ha che Σ3 = σ3 (K) dove σ3 (x, y) = (x, y, β(x, y)). Quindi Z Σ3 (0, 0, f3 ) · n = Z K (0, 0, f3 (σ3 (x, y))) · N3 (x, y) dx dy, dove N3 (x, y) è un vettore normale al piano tangente a Σ3 in σ3 (x, y) uscente da D. Essendo ∂β ∂β N3 (x, y) = − (x, y), − (x, y), 1 , ∂x ∂y si ottiene Z Σ3 = Z K Z (0, 0, f3 ) · n = K ∂β 0, 0, f3 (x, y, β(x, y)) · − ∂x (0, 0, f3 (σ3 (x, y))) · N3 (x, y) dx dy = (x, y), − ∂β (x, y), 1 ∂y dx dy = Z K f3 (x, y, β(x, y)) dx dy. Infine, osserviamo che Σ2 è la porzione del cilindro retto generato dalle rette parallele all’asse z passanti per il bordo di K. Quindi in ogni punto di Σ2 il vettore normale N2 al piano tangente a Σ2 in tale punto è ortogonale a una di queste rette e di conseguenza è ortogonale al versore k = (0, 0, 1). In particolare N2 · (0, 0, f3 ) = 0. Ne segue che se σ2 : K2 → R3 è una parametrizzazione di Σ2 , allora Z Σ2 (0, 0, f3 ) · n = Z K2 (0, 0, f3 (σ2 (u, v))) · N2 (u, v) du dv = 0. In definitiva Z ∂D (0, 0, f3 ) · n = (1.15) = Z K Consideriamo ora Z Σ1 (0, 0, f3 ) · n + Z Σ2 (0, 0, f3 ) · n + Z Σ3 (0, 0, f3 ) · n = f3 (x, y, β(x, y)) − f3 (x, y, α(x, y)) dx dy. Z D ∂f3 (x, y, z) dx dy dz. ∂z 17 1.3 Teorema di Gauss Integrando per fili paralleli all’asse z, si ha che Z ∂f3 (x, y, z) dx dy dz = ∂z D = Z K che è (1.14). Z K Z β(x,y) α(x,y) ∂f3 (x, y, z) dz ∂z f3 (x, y, β(x, y)) − f3 (x, y, α(x, y)) dx dy. = x (1.15) ! Z ∂D dx dy = (0, 0, f3 ) · n, (1.16) Osservazione Il Teorema di Green altro non è che il Teorema di Gauss in due dimensioni. Infatti, siano F = (f1 , f2 ), A e γ = (γ1 , γ2 ) soddisfacenti le ipotesi del Teorema di Green (supponiamo per semplicità espositiva che γ sia regolare; se fosse solo regolare a tratti, a patto di fare qualche piccola modifica, si riotterrebbe lo stesso risultato). Un vettore normale a ∂A = im (γ) nel punto γ(t) è N (t) = (γ20 (t), −γ10 (t)). Infatti, essendo γ 0 (t) il vettore tangente a im (γ) in γ(t), si ha che N (t) · γ 0 (t) = (γ20 (t), −γ10 (t)) · (γ10 (t), γ20 (t)) = γ20 (t)γ10 (t) − γ10 (t)γ20 (t) = 0. Il versore associato è n(t) = (γ 0 (t), −γ 0 (t)) N (t) = 2 0 1 . kN (t)k kγ (t)k y γ 0 (t) A γ20 (t) γ(t) γ10 (t) N (t) −γ10 (t) γ20 (t) O Fig. 1.5: L’insieme A e i vettori tangenti e normali a ∂A. x 18 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Osserviamo (vedi Fig. 1.5) che questo versore è esterno ad A. Consideriamo il campo vettoriale G = (−f2 , f1 ). Anche G è di classe C 1 e applicando il Teorema di Green al campo G si ottiene I (1.17) G · dP = ∂A Z A ∂f1 ∂f2 (x, y) + (x, y) dx dy = ∂x ∂y Z divF (x, y) dx dy, A ∂f1 ∂f2 (x, y) + (x, y) è la divergenza del campo vettoriale F . Con∂x ∂y sideriamo ora l’integrale curvilineo (di prima specie) della funzione f = F · n lungo il dove divF (x, y) = bordo di A orientato positivamente. Si ha che Z F ·n ds = ∂A F ·n ds = γ = Z b a = Z Z b a Z bh i F (γ(t))·n(t) kγ 0 (t)kdt = a −f2 (γ(t)), f1 (γ(t) ·(γ10 (t), γ20 (t)) dt = Da (1.17) segue che (1.18) Z F · n ds = ∂A Z bh F (γ(t))· a f1 (γ(t)), f2 (γ(t) · (γ20 (t), −γ10 (t)) dt = Z Z Z bh a b N (t) i 0 kγ (t)kdt = kN (t)k i f1 (γ(t))γ20 (t) − f2 (γ(t))γ10 (t) dt = G(γ(t))·γ 0 (t) dt = a Z G·dP = γ I G·dP. ∂A divF (x, y) dx dy, A che è la versione bidimensionale del Teorema della divergenza, dove l’integrale di sinistra (che è un integrale curvilineo di prima specie) rappresenta il flusso uscente del campo F dal bordo di A. Una conseguenza diretta dei teoremi di Green e Gauss è la cosidetta Formula di integrazione per parti negli integrali multipli, che estende la ben nota Formula di integrazione per parti negli integrali definitivi (di funzioni reali di una variabile) alle funzioni di più variabili. Una prima formulazione vettoriale per i campi di R3 è la seguente. (1.19) Teorema (Formula di integrazione per parti per i campi vettoriali in R3 ) Siano Ω ⊆ R3 un aperto non vuoto, F : Ω → R3 un campo vettoriale di classe C 1 , g : Ω → R una funzione di classe C 1 , D ⊆ Ω un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω e n il versore normale a ∂D uscente da D. Allora, posto x = (x1 , x2 , x3 ), si ha che Z D ∇g(x) · F (x) dx1 dx2 dx3 = Z ∂D g F · n dσ − Z dove divF è la divergenza del campo vettoriale F .6 D g(x) divF (x) dx1 dx2 dx3 , 19 1.3 Teorema di Gauss Dimostrazione. Consideriamo il campo vettoriale H : Ω → R3 definito da H = gF . Applicando il Teorema di Gauss ad H si ha che Z (1.20) D divH(x) dx1 dx2 dx3 = Z H · n dσ. ∂D Posto F = (f1 , f2 , f3 ), si ha che H = (gf1 , gf2 , gf3 ) e quindi per ogni x ∈ Ω divH(x) = ∂(gf2 ) ∂(gf3 ) ∂(gf1 ) (x) + (x) + (x) = ∂x1 ∂x2 ∂x3 = ∂g ∂f1 ∂g ∂f2 ∂g ∂f3 (x) f1 (x)+g(x) (x)+ (x) f2 (x)+g(x) (x)+ (x) f3 (x)+g(x) (x) = ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 = ∂g ∂g ∂g ∂f1 ∂f2 ∂f3 (x), (x), (x) · f1 (x), f2 (x), f3 (x) +g(x) (x) + (x) + (x) = ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 = ∇g(x) · F (x) + g(x)divF (x). Sostituendo in (1.20) si ha Z D ∇g(x) · F (x) + g(x)divF (x) dx1 dx2 dx3 = Z gF · n dσ. ∂D da cui segue immediatamente la tesi. Una formulazione analoga per i campi vettoriali di R2 è la seguente (1.21) Teorema (Formula di integrazione per parti per i campi vettoriali in R2 ) Siano Ω ⊆ R2 aperto non vuoto, F : Ω → R2 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 ), A ⊆ Ω un aperto limitato tale che ∂A ⊆ Ω è il sostegno di una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti γ : [a, b] → Ω. Supponiamo che ∂A sia orientamento positivamente. Allora, posto x = (x1 , x2 ), si ha che Z A ∇g(x) · F (x) dx1 dx2 = Z g F · n ds − ∂A Z D g(x) divF (x) dx1 dx2 , ∂f1 ∂f2 (x) + (x) è la divergenza del campo vettoriale F e n è il ∂x1 ∂x2 versore normale a ∂A uscente da A.7 dove divF (x) = 6 7 L’integrale L’integrale Z Z ∂D ∂A g F · n dσ è il flusso uscente del campo vettoriale g F dal bordo di D. g F · n ds è il flusso uscente del campo vettoriale g F dal bordo di A, ovvero l’integrale curvilineo di prima specie della funzione gF · n lungo il bordo di A. 20 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Dimostrazione. Si applica (1.18) al campo vettoriale H = gF e poi si procede come nella dimostrazione del teorema precedente. Da questi teoremi scendono immediatamente le Formule di integrazione per parti negli integrali doppi e tripli. (1.22) Teorema (Formula di integrazione per parti negli integrali tripli) Siano Ω ⊆ R3 un aperto non vuoto, f, g : Ω → R due funzioni di classe C 1 , D ⊆ Ω un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω e n il versore normale a ∂D uscente da D. Allora, posto x = (x1 , x2 , x3 ), per ogni i = 1, 2, 3 si ha che Z D ∂g (x) f (x) dx1 dx2 dx3 = ∂xi Z ∂D f g ni dσ − Z g(x) D ∂f (x) dx1 dx2 dx3 , ∂xi dove ni è la componente i-esima del versore normale n.8 Dimostrazione. Per ogni i = 1, 2, 3 si applica il Teorema (1.19) al campo vettoriale F avente la componente i-esima uguale a f e le altre nulle. (1.23) Teorema (Formula di integrazione per parti negli integrali doppi) Siano Ω ⊆ R2 un aperto non vuoto, f, g : Ω → R due funzioni di classe C 1 , A ⊆ Ω un aperto limitato tale che ∂A ⊆ Ω è il sostegno di una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti γ : [a, b] → Ω e n il versore normale a ∂A uscente da A. Allora, posto x = (x1 , x2 ), per ogni i = 1, 2 si ha che Z A ∂g (x) f (x) dx1 dx2 = ∂xi Z ∂A f g ni ds − Z g(x) A ∂f (x) dx1 dx2 , ∂xi dove ni è la componente i-esima del versore normale n.9 Dimostrazione. Per ogni i = 1, 2 si applica il Teorema (1.21) al campo vettoriale F avente la componente i-esima uguale a f e l’altra nulla. 8 9 L’integrale L’integrale bordo di A. Z f g ni dσ è l’integrale di superficie della funzione reale f g ni sul bordo di D. Z∂D ∂A f g ni ds è l’integrale curvilineo di prima specie della funzione reale f g ni lungo il