Gervasoni Silvia 1CT MATE

ALGEBRA
Dopo avere ripassato:
la divisione tra polinomi,
le tecniche di scomposizione,
la procedura di somma di frazioni algebriche,
la risoluzione di equazioni intere e fratte,
svolgi i seguenti esercizi:
Divisione tra polinomi:
Scomporre in fattori irriducibili:
Dopo avere calcolato le C.E., esegui le seguenti somme di frazioni algebriche:
Risolvi le seguenti equazioni intere:
Svolgi le seguenti equazioni fratte:
GEOMETRIA
Dopo aver ripassato la teoria (argomenti elencati nel programma personalizzato) svolgi SUL QUADERNO i
seguenti esercizi guidati, riscrivendo anche ipotesi, tesi e figura.
TRIANGOLI
Ricorda che, per dimostrare che DUE ANGOLI o DUE SEGMENTI sono congruenti occorre:
1. PRENDERE IN CONSIDERAZIONE DUE TRIANGOLI;
2. ELENCARE TRE CONGRUENZE TRA I LORO LATI O ANGOLI;
3. APPLICANDO UNO DEI TRE CRITERI STUDIATI, DIMOSTRARE CHE I TRIANGOLI SONO
CONGRUENTI;
4. DEDURRE CHE, IN PARTICOLARE, SONO CONGRUENTI I DUE ANGOLI O I DUE SEGMENTI
INDICATI NELLA TESI.
ESERCIZI:
Disegna due triangoli ABC e DEF che abbiano AB DE, AC DF e in cui l’angolo esterno di vertice A sia
congruente a quello esterno di vertice D. Dimostra che i triangoli sono congruenti.
Hp:
1. ABC, DEF triangoli;
2. AB DE;
3. AC DF;
^
HDE angolo esterno di vertice
4.
D;
^
GAB angolo esterno di vertice
5.
GAB
HDE
6.
Th: ABC
D;
^
^
DEF
Dimostrazione: Considero ABC e DEF. Essi hanno:
......
…… per …………….;
…..
…….per …………….;
^
^
^
EDF BA C perché essi sono …………………………. di angoli …………………… ( HDE
ABC
DEF per il ……. Criterio di congruenza.
^
GAB per ipotesi 6.)
C.V.D.
^
^
Nell’angolo aOb disegna la bisettrice Os. Sui lati dell’angolo aOb scegli due punti, rispettivamente A su Oa e B su
Ob, in modo che risulti OA OB. Congiungi un punto E della bisettrice con A e B. Dimostra che la semiretta Os è
^
anche bisettrice dell’angolo AEB.
Hp:
^
1.
aOb angolo;
2.
3.
aOs s O b (Os bisettrice di aOb );
OA OB ;
^
^
^
^
^
Th: AEs s E B
Dimostrazione: Considero i triangoli OEA e OBE. Essi hanno:
OE ... ……………………….;
…… per …………….;
..........
^
^
AOE E O B per ………………….;
OEA
OBE per il ……. Criterio di congruenza.
^
^
In particolare OEA O E B .
^
^
AEs s E B perché, per dimostrazione precedente, essi sono …………………………. di angoli ……………..
c.v.d.
^
Dato l’angolo a O b non piatto, sul lato Oa fissa due punti, A e
B, e sul lato Ob altri due punti, C e D, in modo che risulti
OA OC e OB OD . Dimostra che i triangoli OCB e OAD
sono congruenti.
Hp:
Th: OCB OAD
^
a O b angolo non piatto;
A Oa ; B Oa ;
C Ob ; D Ob ;
OA OC ;
OB OD .
1.
2.
3.
4.
5.
Dimostrazione:
Considero OCB e OAD. Essi hanno:
^
a O b è ………………………………..;
……… …….. per ………………….;
……… ………per ………………….;
OBC OAD per il ……. Criterio di congruenza.
C.V.D.
Disegna due triangoli congruenti ABC e A'B'C'. Sui lati congruenti AB e A'B', considera i punti D e D' in modo
^
^
che AD A' D' . Dimostra che gli angoli CDB e C' D' B' sono congruenti.
Hp:
1.
2.
3.
ABC, A'B'C' triangoli;
ABC A' B' C' ;
AD A' D' .
^
^
Th: C D B C' D' B'
Dimostrazione (1):
Considero i triangoli ADC e A'D'C'. Essi hanno:
…….. ………. per ipotesi n° ……..;
…….. ………. per ipotesi n° ……..;
…….. ………. per ipotesi n° ……..;
ADC A'D'C' per il ……. Criterio di congruenza.
^
^
^
^
C D B C' D' B' perché, per dimostrazione precedente, essi sono
In particolare A D C A' D' C' .
…………………………………………………… C.V.D.
Dimostrazione (2):
Considero i triangoli BDC e B'D'C'. Essi hanno:
…….. ………. per ipotesi n° ……..;
…….. ………. per ipotesi n° ……..;
BD B'D' per differenza di …………………………….. (…..
……………….).
BDC B'D'C' per il ……. Criterio di congruenza.
In particolare ……... ……………………………C.V.D.
…... per …………………; …..
…...per
^
Sulla bisettrice Oc dell’angolo acuto aOb scegli un punto E. Traccia poi la retta per E, che formi con la bisettrice
stessa quattro angoli retti e intersechi i lati dell’angolo nei punti A e B. Dimostra che OA OB.
Hp:
Th: OA OB
^
1.
aOb angolo;
2.
3.
aOc c O b (Oc bisettrice);
E r ; r Oc ;
^
^
Dimostrazione:
Considero OEA e OBE. Essi hanno:
OE ………………………… ;
^
^
n° …..;
^
^
n° …..;
........ ..........per ipotesi
........ ..........per ipotesi
OEA OBE per il ……. Criterio di congruenza.
In particolare ….. …… C.V.D.
Disegna i triangoli ABC e RST in modo che si abbia AB RS e che siano congruenti gli angoli esterni di vertici A
e R e quelli di vertici B e S. Dimostra che i triangoli sono congruenti.
Hp:
1. ABC, RST triangoli;
2. AB RS;
^
^
3. B A F e D B C angoli esterni di ABC, di vertici A e B;
^
^
4. G R S e E S T angoli esterni di RST, di vertici R e S;
^
^
5. B A F G R S ;
^
^
6. D B C E S T .
Th: ABC
RST
Dimostrazione: Considero ABC e RST. Essi hanno: ……. …… per ………………………;
^
^
…………………….. di angoli ………………… ( ........ ..........per ipotesi n ° ….. e ……);
^
^
…………………….. di angoli ………………… ( ........ ..........per ipotesi n ° ….. e ……);
........ ..........perché
........ ..........perché
ABC
RST per il ……. Criterio di congruenza.
^
^
^
^
C.V.D.
Dato un triangolo ABC, si prolunghi la mediana AM di un segmento
.
Hp:
……………………….
……………………….
; dimostrare che
e
Ts:
……………………….
……………………….
Dimostrazione: Consideriamo i triangoli AMC e ……………….., essi hanno:
…………………………. Per hp 1
…………………………. Per hp 2
……………… Perché ……………………………………………………………
Quindi per il ………. criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
In particolare ………………………
Consideriamo ora i triangoli AMB e ……………….., essi hanno:
…………………………. Per hp 1
…………………………. Per hp 2
……………… Perché ……………………………………………………………
Quindi per il ………. criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
In particolare ……………………… C.V.D.
Del triangolo qualunque ABC sia r la semiretta bisettrice dell’angolo
segmenti
e
. Dimostrare che
.
Hp:
. Considerare su questa bisettrice i
………………………….
………………………….
…………………………..
Ts:
…………………………..
Dim: consideriamo i triangoli ABF e ……………….., essi hanno:
…………………………. Per hp 1
…………………………. Per hp 2
………………………….. Per hp 3
Quindi per il ………. criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
In particolare ……………………… C.V.D.
Sia P un punto qualsiasi della base AB del triangolo isoscele ABC.
Sul lato AC si prenda il punto R tale che AR≅PB; mentre si prenda su BC il punto S tale che SB≅AP. Si dimostri
che gli angoli PRS e PSR sono congruenti.
Ipotesi:
……………………………………
……………………………………
…………………………………..
Tesi:
…………………………………..
Dimostrazione: Consideriamo i triangoli APR e BSP, essi hanno:
AR≅……….
SB≅……….
per ……………
per ……………
perché …………………………………………………………………………..
Quindi per il …………. criterio di congruenza sono congruenti.
Di conseguenza risulta anche PR≅..……… e quindi PRS è un triangolo ………………………….e per il teorema
…………………………………… risulta che
. C.V.D.
Nel triangolo isoscele ABC di base AB si prolunghi il lato AC di un segmento CE dalla parte di C e si prolunghi
BC di un segmento CD dalla parte di C, in modo che CE≅CD.
Sia F il punto d'intersezione di AD con EB. Dimostrare che ABF è un triangolo isoscele.
Ipotesi:
Tesi: ……………………….
……………………………………
……………………………………
Dimostrazione:
Consideriamo i triangoli ACD e ……….., essi hanno:
AC≅……….
CD≅……….
per ……………
per ……………
perché …………………………………………………………………………..
Quindi per il …………. criterio di congruenza sono congruenti.
Di conseguenza risulta anche
..……….. e quindi
perché …………………………………………………
Pertanto, per il teorema ……………………………………….. risulta che ABF è un triangolo isoscele. C.V.D.
Dimostra i seguenti teoremi applicando i criteri di congruenza e i teoremi relativi al triangolo isoscele:
Dato un triangolo isoscele di vertice A, sui prolungamenti della base BC, prendi due segmenti congruenti
BD e CE. Dimostra che il triangolo ADE è isoscele. (Suggerimenti: Considera il triangolo ABC, isoscele per
l’ipotesi (1):
per il teorema diretto del triangolo isoscele. Considera poi BDC e BCE……)
Sui lati congruenti AB e AC di un triangolo isoscele ABC prendi due punti D ed E tali che BD sia
congruente a CE. Detto M il punto medio della base BC, dimostra che i triangoli ADM e AEM sono
congruenti.(Suggerimenti: considera i triangoli BMD e MCE….)
Considera su due lati di un angolo di vertice O i punti A e B tali che OA è congruente a OB. Traccia poi la
bisettrice dell’angolo, e su di essa individua un qualsiasi punto P. Dimostra che i segmenti congiungenti i
punti A e B con P sono tra di loro congruenti.(Suggerimenti: considera i triangoli OPA e OBP…..)
Dato un triangolo ABC, e scelto un punto O qualunque del piano, congiungi
O con i vertici del triangolo. Prolunga poi AO, BO e CO rispettivamente di tre
segmenti OD, OE e OF, ad essi ordinatamente congruenti.Dimostra che il
triangolo COB è congruente al triangolo EOF , e che il triangolo ABC è
congruente al triangolo DEF (Aiutati con la figura qui a lato, sulla quale devi
rappresentare graficamente le ipotesi. Usa il primo criterio, poi il terzo criterio
di congruenza).
Dato un triangolo isoscele, congiungi i punti medi dei tre lati. Dimostra che
il triangolo così ottenuto è anch’esso isoscele.
RETTE PARALLELE
Sulle rette parallele, ricorda che:
1. PER DIMOSTRARE CHE DUE RETTE SONO PARALLELE UNA STRATEGIA VALIDA E’
DIMOSTRARE LA CONGRUENZA DI UNA COPPIA DI ANGOLI (alterni, corrispondenti..)
2. SOLO QUANDO SAPPIAMO CHE DUE RETTE SONO PARALLE (perché lo dicono le ipotesi o
perché precedentemente dimostrato) POSSIAMO DIRE GLI ANGOLI (alterni, corrispondenti..) SONO
CONGRUENTI.
Svolgi i seguenti esercizi, tratti dal libro di testo, sul quaderno:
pag.G89 dal n° 25 al n° 28, pag.G91 dal n° 37 al n° 40.