Fisica Atomica-Effetti magnetici

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Effetti di un campo
magnetico
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Lezioni di Fisica Atomica
Effetti di un campo magnetico
Perturbazioni
II
Enrico
Silva - proprietà
intellettuale non ceduta
Accoppiamento
Non è permessa,
in particolare,spin-orbita
la riproduzione anche parziale
Effettodella
Zeeman
normale
presente
opera.
EffettoaZeeman
anomalo
Per l’autorizzazione
riprodurre
in parte o in tutto la presente
Effettoil Paschen-Back
opera è richiesto
permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Effetti di un campo magnetico
Ragionamento semiclassico.
1– Un elettrone circolante su un’orbita (grandezza interessata: L) equivale
a una corrente,Enrico
che genera
un campo
magnetico
“interno” che
Silva quindi
- proprietà
intellettuale
non ceduta
interagisce
con
il
momento
magnetico
proprio
dell’elettrone
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche (grandezza
parziale
interessata: S): L ed S sono della
accoppiati.
Accoppiamento
spin-orbita.
presente
opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
2– Un elettrone
L ed Silinteragisce
con undell’autore
campo magnetico
esterno
opera ècon
richiesto
permesso scritto
(E. Silva)
(analogia: barretta magnetizzata in un campo esterno), esiste una energia di
interazione: effetto Zeeman.
3– un campo magnetico molto forte può distruggere l’accoppiamento spinorbita, e interagire singolarmente con L ed S. Effetto Paschen-Back.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Richiami
1– Un elettrone circolante su un’orbita (grandezza interessata: L) equivale
a una corrente,Enrico
che genera
un campo
magnetico
“interno” che
Silva quindi
- proprietà
intellettuale
non ceduta
interagisce
il momento
magnetico la
proprio
dell’elettrone
Non con
è permessa,
in particolare,
riproduzione
anche (grandezza
parziale
interessata: S): L ed S sono della
accoppiati.
Accoppiamento
spin-orbita.
presente
opera.
z
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presenteL
Richiami:
opera è richiesto il permesso
e scritto dell’autore
e
µB(E. Silva)
r
vr n =
L=
L
Momento magnetico “orbitale”: m =
m, –e
2
2m
v
= m/L = ge µB / N.B.: m ⇥ L
Rapporto giromagnetico (solo momento orbitale):
(carica negativa)
si ha ge = 1.
Esperimenti di Stern-Gerlach e di Einstein-de Haas: spin, con ms =
e si ha ge = 2.
e
S=
m
2
µB
S
g è detto “fattore di Landé”
Magnetone di Bohr:
e
⇥ 9.274 · 10
2m
µB =
24
JT
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momenti angolari: quantizzazione
2
L
= l(l + 1)
2
l = 0, 1, 2, ..., n–1
1
2
Lz
L
0
Ly
l⇥m⇥l
–1
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Lx –2
Non
è
permessa,
in particolare, la riproduzione anche parziale
notare: la “lunghezza” di L, l(l + 1) , è sempre maggiore della grandezza
della presente
opera.
di Lz, m , a indicare che la conoscenza
di una
componente non determina L.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Sz
S
S 2 = s(s + 1) 2
1/2
Lz
=m
Sz = ms
ms = ±1/2
Sy
Sx
–1/2
notare: la “lunghezza” di S, s(s + 1) , è sempre maggiore della grandezza
di Sz, ms , a indicare che la conoscenza di una componente non determina S.
V(r) influenza esclusivamente la dipendenza radiale R(r).
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Accoppiamento spin-orbita
Esistono due momenti magnetici: m e ms. Essi interagiscono.
Si possono dare i casi:
m ⇥m
s
m
mintellettuale
s
Enrico Silva - proprietà
non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
essi hanno energia differente,
daranno
dellae quindi
presente
opera.contributi di segno opposto
all’hamiltoniana
generale.a riprodurre in parte o in tutto la presente
Per l’autorizzazione
La struttura
deiillivelli
è la cosiddetta
struttura fine.
opera risultante
è richiesto
permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)
NOTA: questo effetto esiste se il momento magnetico orbitale è diverso da
zero, ovvero: l ≠ 0 (altrimenti, m = 0). Quindi, non riguarda gli orbitali s.
L ed S sono quindi accoppiati: non danno più numeri quantici “buoni”,
ovvero fra loro indipendenti!
È necessario individuare una diversa rappresentazione, e quindi un diverso
numero quantico (che sarà comunque esprimibile come funzione di l e s): il
momento angolare totale.
V(r) influenza esclusivamente la dipendenza radiale R(r).
1
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Combinazione dei momenti angolari orbitali
e di spin: il modello vettoriale
Numerosi elettroni: momento angolare totale J = L + S.
Momento magnetico totale: mJ = ml + ms.
ml || L, e ms || L, ma non necessariamente mJ || J: è diverso il rapporto giromagnetico:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
e
µB
ms =
S = 2dellaSpresente opera.
m
S
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
e
µB
opera
scritto dell’autore (E. Silva)
m = è richiesto
L = il permesso
L
2m
J
L
ml
J: regole di quantizzazione del momento
angolare:"
con j = |l ± s|
j(j + 1)
mJ
Quantizzazione lungo un asse: jz = mj
"
"
con mj= –j,...,j
mS
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Interazione spin-orbita
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interazione spin-orbita
Il campo magnetico Bl dovuto a L sarà Bl ~ L.
⇤
µ ⇤ ⇤
Allora l’interazione fra il momento proprio e L sarà: Vl,s = m⇤s · Bl ⌅ 2 B S · L
⇤ ⇤
a⇤ ⇤
a ⇤ ⇤
che si scrive:
L · S intellettuale
= 2 | L || Snon
| cos(
L, S )
l,s =- proprietà
Enrico V
Silva
ceduta
2
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
con il termine di proporzionalità a (costante di accoppiamento spindella presente opera.
orbita)dato dal calcolo quantistico.
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
Si noti che a ~ Z4 : l’effetto è forte in atomi con numerosi elettroni.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Usando la regola per cui a L2 si sostituisce l(l+1)
Vl,s
⇥ ⇥
⇥ ⇥
a ⇥ ⇥
a
= 2 | L || S | cos( L , S ) = 2 | L + S |2
2
⇥
| L |2
2
(e simili per J2 e S2), si ha:
⇥ ⇥ a
| S |2 = [j(j + 1)
2
S
Si ricordi che, per due vettori a e b,
⇤
⇤
⇤
|⇤
a + b |2 = |⇤
a |2 + | b |2 + 2⇤
a · b
L
J
l(l + 1)
s(s + 1)]
If instead we use the above-defined average value r~^, we obtain for atoms similar to H
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Z'
Struttura fine
«^/(/+i)(/+l)
(12.31)
which will not be derived here.
Let us again summarise what we know about the fine structure of one-electron
a states:
V
=
[j(j
+ 1) l(l
+ 1)
1)]orbital angular momentum or the orbital
- Interaction
of the
electrons(s
with+the
l,s
L’interazione spin-orbita risulta:
2
moment splits each level into two. The result is doubletslevels; for example in the
upper state of the sodium D lines, the 3P state is split into the 'iPxn and the 3P3/2
Negli atomi alcalini, gli stati con l ≠ 0 sono splittati,
perché
si hanno vari
12.17).
Enrico Silva - proprietà intellettualestates
non(Fig.
ceduta
possibili valori di j.
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Ad esempio, in un orbitale p è possibile
p^
della presente opera.
a/2
avere j = l ± 1/2 -> 3/2, 1/2.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente Esercizio:
Fig. 12.17. Fine structure splitting of the P state in the one elecI due stati hanno shift di energie, rispetto allo
-a
tron system into the two states P3/2 and Py2' The magnitude of
verificare
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)p
the spHtting is given by (12.29). Since only one electron is instato singolo imperturbato, dati da Vl,s come
'1/2
volved, one can also use lower case "/?"
in figura (verificare).
Numero
Forquantico
s terms thereprincipale
is no sphtting, because there is no magnetic field with which the
Nomenclatura:
n 2S+1LJ
spindell’elettrone
can align itself.di valenza)
(usualmente
Levels with higher values of the quantum number y have higher energies (12.29).
Molteplicità
spin splitting P^ g is proportional to the fourth power of the nuclear
The fine di
structure
charge.
Momento
angolare
The fine structure orbitale
is therefore difficult to observe in the H atom. For the H„, H^,
and Hy lines of the Balmer series (6562.79, 4861.33 and 4340.46 A), the splitting is
0.14, angolare
0.08 and 0.07
A, respectively. This corresponds to a wavenumber of 0.33
Momento
totale
cm ~ ^ for the H„ line, which is in the microwave range - if one wished to observe it
directly. A direct observation of the splitting of optical spectral lines into two very
close components is not possible by conventional spectroscopy because of Doppler
broadening of the lines. In the lithium atom, the sphtting of the first resonance Une
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Un esempio: il Na
Spettro del sodio: dominato dal doppietto (“linee D del sodio”)
originante dalle transizioni 3p->3s.
(altre righe sono estremamente deboli).
Enrico Silva
- proprietàsintellettuale
cedutaschermato (non
Degenerazione
<–> p rimossa:non
potenziale
coulombiano).
s ha energia
inferiore:
meno
Non è permessa, in
particolare,L’orbitale
la riproduzione
anche
parziale
schermato,
più accoppiato.
della presente
opera.
Per l’autorizzazione
riprodurre
in parte
in tutto
la spin-orbita.
presente
Duearighe:
due livelli
a stessoo n,l:
splitting
opera è richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E.
Silva)
Rimossa una degenerazione in j.
Lunghezze d’onda: 588.9950 nm e 589.5924 nm.
-> luce gialla
(infatti:
la fiamma del gas si tinge di giallo quando ci finisce sopra il
sale da cucina - NaCl,
le lampade al sodio fanno una luce gialla)
Figure da http://unicorn.ps.uci.edu/151/handouts/Sodium/sodium.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Identificazione di elementi
Spettro di assorbimento del sole
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Spettro di emissione del Na
C’è sodio nel Sole.
Foto Christopher Jones, da
http://www.union.edu/PUBLIC/PHYDEPT/jonesc/
Spettro da
http://unicorn.ps.uci.edu/151/handouts/Sodium/sodium.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Identificazione di elementi
Spettro di emissione del Fe
(lampada ad arco di ferro)
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Spettro di
assorbimento
del sole a riprodurre in parte o in tutto la presente
Per
l’autorizzazione
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
C’è ferro nel Sole.
Foto Christopher Jones, da
http://www.union.edu/PUBLIC/PHYDEPT/jonesc/
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Effetti di un campo
magnetico esterno:
effetto Zeeman,
effetto Paschen-Back
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in212particolare, 13.laAtoms
riproduzione
in a Magnetic Field: anche
Experiments parziale
and Their Semiclassical Description
della
presente
opera.
The frequency change has the magnitude:
Per l’autorizzazione a riprodurre1 ine parte o in tutto la presente
(13.10)
da)/2n =
^oopera è richiesto ildv=
permesso
dell’autore (E. Silva)
4nscritto
rriQ
For a magnetic field strength
BQ=\T,
this yields the value
(13.11)
(Jv= 1.4.10^^5-^:^ 0.465 c m - ^
Independently of the frequency v, we obtain the same frequency shift dv for each
spectral line with a given magnetic field ^o- Theory and experiment agree completely
here. For the polarisation of the Zeeman components, we find the following predictions: component electron oscillator 1 has the radiation characteristics of a Hertzian
dipole oscillator, oscillating in a direction parallel to ^o- In particular, the E vector of
the emitted radiation oscillates parallel to BQ, and the intensity of the radiation is zero
in the direction of BQ. This corresponds exactly to the experimental results for the unshifted Zeeman component; it is also called the n component (TT for parallel). If the
radiation from the component electron oscillators 2 and 3 is observed in the direction
of BQ, it is found to be circularly polarised; observed in the direction perpendicular to
BQ, it is linearly polarised. This is also in agreement with the results of experiment. This
radiation is called a^ and G~ light, were a stands for perpendicular (German "senkrecht") and the + and - signs for an increase or a decrease of the frequency. The a^
light is right-circular polarised, the G~ light is left-circular polarised. The direction is
defined relative to the lines of force of the ^o field, not relative to the propagation
direction of the light.
The differing polarisations of the Zeeman components are used in optical pumping.
In this technique, the exciting light can be polarised so as to populate individual
selectively,
and inthus
to produce
a spin
orientation. More about this in
Enrico Silva - diritti riservati - Non Zeeman
è permessa, fralevels
l’altro, l’inclusione
anche parziale
altre opere
senza il consenso
scritto dell’autore
Sect. 13.5.
Effetto Zeeman
13.3.3 Description of the Ordinary Zeeman Effect by the Vector Model
In the preceding section, we gave a purely classical treatment of the ordinary Zeeman
effect; we now take the first step towards a quantum mechanical description. For this
pupose, we employ the vector model which has
in aSect.
12.2Field: Experiments and Their Semiclassical Description
13. Atoms in
Magnetic
214 been already introduced
(cf. Fig. 13.9 and 13.11. Note that this figure illustrates the somewhat more complex
case in which both orbital and spin
magnetism
play
a
role).
A
complete
quantum
0
mechanical treatment will be given in Chap. 14. The angular momentum vector 7 and
the magnetic moment fij, which is coupled to y, precess together around the field axis
^0- The additional energy of the atom due to the magnetic field is then (Chap. 12 and
Fig. 13.9 and 13.11)
Si osserva in un campo
magnetico esterno B
z,Bn
Enrico
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Jz=mjh
/ j
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
(13.12)
Vrnj = - Of/ )z • ^0 = + ^jOjUB^o
-j
della
presente opera. with mj=j,j-l,...
^J.2 = ^ j gJ^lB
9
fj/
Here the factor gi in (12.10) was replaced by gj, because the total angular momenPer
l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
tum is being considered.
^
(2y-l-l)-fold scritto
directionaldell’autore
degeneracy is thus
and the term is spUt into
opera è richiesto2j+1
ilThe
permesso
(E.Hfted,
Silva)
components. These are energetically equidistant. The distance between two com1
~^^
Fig. 13.9. Precession of / and
^j about the direction of the
applied field BQ. ordinary Zeeman effect, i.e., J = L
ponents with Amj= 1 is
AE
= QJ-JUBBO .
Effetto Zeeman “normale”:
quando il momento angolare
totale origina da L oppure da S,
ovvero quando J || mj.
Figura da H. Haken, H.C. Wolf, "The Physics of Atoms and Quanta - Introduction to
Experiments and Theory", 7th revised edition, Springer Berlin Heidelberg, 2005.
Fig. 13.11. Left: The relation between the angular momentum /, the magnetic moment Hj and their orientation with respect to the magnetic field BQ for strong spin-orbit coupling, cf. also Fig. 13.13. The angular
momentum vectors S and L combine to form /. Likewise, the associated magnetic moments //^ and fi^ combine to ft J. Because spin and orbital magnetism have different gyromagnetic ratios, the directions of the
vectors / and Hj do not coincide. What can be observed is the projection of fij on /, as the time average
of many precession cycles. That is, one observes the component (Wy)/, which is therefore represented as fij
or fig, see the right-hand diagram. In the one-electron system, lower case letters can be used instead of 5,
L and /, as is done in the text. Right: The projection of Hjon the vector / i s (jij)j, see Fig. 13.14. The projection of (jij)j on ^0 is calculated using the Lande factor. Because the angular momenta S and L are
strongly coupled, the vector fij precesses rapidly around the negative extension of the vector / . Only the
time average (jij)j in the / direction can be observed. This precesses slowly, because of weak coupHng,
j
around the axis of BQ. The magnetic energy is the product of the field strength BQ and the component of
{^j)j in the direction of BQ, i.e. (jij)j^z ^^ (MJ)Z'^0' Lower case letters can be used instead of S, L, / in the
one electron system.
Figure 13.11 illustrates the anomalous Zeeman effect (Sect. 13.3.4). The ordinary Zeeman effect
(Sect. 13.3.3) is more simple. From 5 = 0 follows fij = ju^, and the directions of the vectors - /ij and J = L
coincide; see Fig. 13.9
Effetto Zeeman “anomalo”:
quando il momento angolare
totale origina da L e da S,
ovvero quando J non è || a m .
13.3.4 The Anomalous Zeeman Effect
light is right-circular polarised, the G~ light is left-circular polarised. The direction is
defined relative to the lines of force of the ^o field, not relative to the propagation
direction
of èthe
light.
Enrico Silva - diritti
riservati - Non
permessa,
fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
The differing polarisations of the Zeeman components are used in optical pumping.
In this technique, the exciting light can be polarised so as to populate individual
Zeeman levels selectively, and thus to produce a spin orientation. More about this in
Sect. 13.5.
Effetto Zeeman “normale”
13.3.3
of the
Ordinary Zeeman
by the Vector
Si ha quando
il Description
momento
angolare
totaleEffect
origina
da LModel
oppure
In the preceding section, we gave a purely classical treatment of the ordinary Zeeman
da
S,
ovvero
quando
J
||
m
.
j
effect; we now take the first step towards a quantum mechanical description. For this
pupose, we employ the vector model which has been already introduced in Sect. 12.2
(cf. Fig. 13.9 and 13.11. Note that this figure illustrates the somewhat more complex
Enrico
proprietà
non
ceduta
case Silva
in which -both
orbital andintellettuale
spin magnetism play
a role).
A complete quantum
digiven
interazione
è quella
di
un momento
mechanical L’energia
treatment will be
in Chap. 14. The
angular momentum
vector 7 and
Non è permessa,
in
particolare,
la
riproduzione
anche
parziale
the magnetic moment fij, which is coupled to y, precess together around the field axis
di
dipolo
magnetico
m
con
il
campo
B0. and
j
^0- The additional
energy
of the atomopera.
due to the magnetic field is then (Chap. 12
della
presente
Jz=mjh
/ j
Fig. 13.9 and 13.11)
⇤o in tutto la presente
Per l’autorizzazione
a riprodurre
inwith
parte
⇤
Vrnj = - Of/ )z • ^0 =V+
= m
B0 = mj gj-jµB B0 (13.12)
m^jOjUB^o
j · mj=j,j-l,...
j
opera
è
richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E. Silva)
^J.2 = ^ j gJ^lB
9
fj/
z,Bn
^
1
~^^
Fig. 13.9. Precession of / and
^j about the direction of the
applied field BQ. ordinary Zeeman effect, i.e., J = L
Here the factor gi in (12.10) was replaced by gj, because the total angular momentum is being considered.
The (2y-l-l)-fold directional degeneracy is
thus Hfted,
and the
term isalspUt into
fattore
di Landé
relativo
2j+1 components. These are energetically equidistant. The distance between two commomento angolare J.
ponents with Amj= 1 is
AE
= QJ-JUBBO .
Poiché" mj= –j, –j+1,..., j–1, j"la degenerazione in mj è rimossa.
I (2j+1) livelli sono separati da intervalli equidistanti:
E = gj µB B0
Figura da H. Haken, H.C. Wolf, "The Physics of Atoms and Quanta - Introduction to
Experiments and Theory", 7th revised edition, Springer Berlin Heidelberg, 2005.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Effetto Zeeman “normale”
Splitting Zeeman
nel Cadmio
Spin
antiparallelo:
2S+1=1
Vmj =
⇤
⇤·B
m
j
0 = mj gj µB B0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non
ceduta
fattore
di Landé relativo al
esiste un la
livello
angolare J.
Non è permessa, in particolare,
riproduzionemomento
anche parziale
imperturbato
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre
parte o in tuttoEla=presente
livelliinequispaziati
gj µB B0
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Con il solo momento angolare orbitale (possibile
quando due elettroni si collocano con spin
antiparallelo: ricordarsi che, in generale, i numeri
quantici si riferiscono al sistema), gj = 1.
Richiamo: regole di selezione.
∆m = 0, ±1
∆l = ±1
Richiamo:
gJ = 1 +
J(J + 1)
L(L + 1) + S(S + 1)
2J(J + 1)
Spin antiparallelo: S=0
Figura da H. Haken, H.C. Wolf, "The Physics of Atoms and Quanta - Introduction to
Experiments and Theory", 7th revised edition, Springer Berlin Heidelberg, 2005.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Effetto Zeeman “anomalo”
214
Quando il momento angolare totale origina da L e da S,
13. Atoms
in a Magnetic
Field: Experiments
ovvero
quando
J non è and
|| aTheir
mj.Semiclassical Description
Esiste quindi anche lo spin-orbita
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
(N.B.:
è il caso
più usuale)
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
anche
parziale
della presente opera. ⇤ ⇤
Vm = mj · B0 = mj gj µB B0
Per l’autorizzazione a riprodurre inj parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
fattore di Landé relativo al momento angolare J.
Adesso gj dipende sia da l che da s, e quindi:
Poiché mj= –j, –j+1,..., j–1, j" la degenerazione in mj è rimossa.
Ma i (2j+1) livelli non sono separati da intervalli equidistanti:
Fig. 13.11. Left: The relation between the angular momentum /, the magnetic moment Hj and their orientation with respect to the magnetic field BQ for strongEspin-orbit coupling,
Fig. 13.13. The angular
=magnetic
gcf.j µalso
B
mthe
Bmoments
0 //^ and fi^ comj ,m
j 1
momentum vectors S and L combine to form /. Likewise,
associated
bine to ft J. Because spin and orbital magnetism dipende
have different
gyromagnetic
ratios,
the directions
of the gj.
anche dai numeri quantici
l e s attraverso
vectors / and Hj do not coincide. What can be observed is the projection of fij on /, as the time average
of many precession cycles. That is, one observes the component (Wy)/, which is therefore represented as fij
or fig, see the right-hand diagram. In the one-electron system, lower case letters can be used instead of 5,
L andda/, H.asHaken,
is doneH.C.
in the
text.
The
projection
of Hjon
the vectorto/ i s (jij)j, see Fig. 13.14. The proFigura
Wolf,
"TheRight:
Physics
of Atoms
and Quanta
- Introduction
Experiments
revised edition,
Springer
Berlin Heidelberg,
2005. the angular momenta S and L are
jection of and
(jij)jTheory",
on ^0 7th
is calculated
using
the Lande
factor. Because
strongly coupled, the vector fij precesses rapidly around the negative extension of the vector / . Only the
time average (jij)j in the / direction can be observed. This precesses slowly, because of weak coupHng,
around the axis of BQ. The magnetic energy is the product of the field strength BQ and the component of
tum numbers /, s, andy:
^Emj,mj_x
(13.16)
~ ^y^B^O •
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Experimentally, it is found that gj = 2 for the ground state ^Si/2, 2/3 for the state
^Pi/2 and 4/3 for the state ^Ps/i- We shall explain these gj factors in the next section. For
optical transitions, the selection rule is again Zlm^ = 0, ± 1. It yields the 10 lines shown
215
in Fig. 13.12. The spectrum
which is, in fact, observed is shown schematically in
Fig. 13.13.
Effetto Zeeman “anomalo”
D-i line
D2 line
nrij
mjQj
Fig. 13.12. Anomalous Zeeman effect. Splitting of tlie D^ and D2
lines of the neutral Na atom, transitions '^^\/2-'^P\/2 and
^5|/2 - "^^3/2) into 4 and 6 components, respectively, in a magnetic
field. Here, *S=0 and we are dealing with purely orbital magnetism. The ^^3/2 state is higher in energy than the ^P\a state; this is
not shown in the figure. Compare also Fig. 12.18
La separazione dei livelli non è la
medesima.
gj varia con
l ed
s.
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non
ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
(13.16)
della presente opera.
round state ^Si/2, 2/3 for the state
Richiamo:
J(J + 1) L(Lla
+ 1) + S(S + 1)
Per l’autorizzazione
a riprodurre
se gj factors in the next section.
For
2.35
0.47 presente
1.41
gJin=parte
1 + o in tutto
-0.93 -0.93
0, ± 1. It yields the 10 lines shown
1.41 +0.47
2J(J
1) 2.35
opera
è
richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E.
Silva)
served is shown schematically in
Fig. 13.13. Energy splitting (in cm~^) of the D^ and D2 lines in a
(13.15)
nrij rrijgj
.+3/2 -1-6/3
-+1/2 +2/3
.+1/2 +V3
is given by mj and is again 2y
.-1/2+-11 .^
ent values of nij - the so-called
l terms, but depends on the quan-
Qj
3
3
^
• -1/2 - 2 ^
'-3/2
¥
on
•+1/2
.1
--1/2
-1
UG
*
-If *
-6/3
*
^1/2
+1/2
+1
•-I/2
-1
G OTITIG 0
-1.88
-1.88
Spin S≠0
magnetic field of 3 T (Zeeman effect)
Fig. 13.12. Anomalous Zeeman effect. Splitting of tlie D^ and D2
significance
the Zeeman
effect'^^\/2-'^P\/2
is primarily
lines The
of the
neutral Naof atom,
transitions
andits contribution to empirical term
^5|/2
- "^^3/2)Term
into 4 splitting
and 6 components,
in a magnetic
analysis.
dependsrespectively,
unequivocally
on the quantum numbers /, s andy or,
field.
Here, *S=0 and atoms,
we are dealing
with/(Chap.
purely orbital
in many-electron
L, S and
17). magnetThe quantum numbers can therefore be
ism. The ^^3/2 state is higher in energy than the ^P\a state; this is
determined empirically from measurements of the Zeeman effect.
mj ,mj
not shown in the figure. Compare also Fig. 12.18
E
1
= gj µB B0
3
13.3.5 Magnetic Moments with Spin-Orbit Coupling
In anomalous Zeeman splitting, other values of g^ than 1 (orbital magnetism) or 2 (spin
magnetism) are found. We can understand these quantitatively through the vector
model.
The gj factor
links the magnitude of the magnetic moment of an atom to its total
-1.88
-1.88
2.35
0.47
1.41
angular
The magnetic moment
is the2.35vector sum of the orbital and spin
-0.93 momentum.
-0.93
1.41
0.47
magnetic
Figura da moments.
H. Haken, H.C. Wolf, "The Physics of Atoms and Quanta - Introduction to
Fig. 13.13. Energy splitting (in cm~^) of the D^ and D2 lines in a
Experiments and Theory", 7th revised edition, Springer Berlin Heidelberg, 2005.
magnetic field of 3 T (Zeeman effect)
/l, = /ls + ///.
y its contribution to empirical term
he quantum numbers /, s andy or,
quantum numbers can therefore be
Zeeman effect.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
g
Un esempio: il Na
han 1 (orbital magnetism) or 2 (spin
quantitatively through the vector
ic moment of an atom to its total
vector sum of the orbital and spin
Effetto Zeeman:
un campo magnetico fornisce una
direzione preferenziale
–> rimuove la degenerazione in mj.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Notare lo splitting
in:
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
anche parziale
" due j=1/2 –> mj = ±1/2
della presente opera.
+
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
in tutto
la –>
presente
" oquattro
j=3/2
mj = ±3/2, ±1/2
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore
ulteriori livelli(E. Silva)
con tutte le combinazioni
possibili di righe
Figure da http://unicorn.ps.uci.edu/151/handouts/Sodium/sodium.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Effetto di un campo magnetico esterno
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Foto da http://www.oberlin.edu/physics/catalog/demonstrations/modern/zeeman.html
Campo magnetico
spento: la fiamma
produce un’ombra
LaNon
fiamma
assorbe in particolare, la riproduzione anche parziale
è permessa,
la luce della lampada
della presente opera.
al sodio: le righe
Per
l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente 209
13.3 The Zeeman
Effect
sono le stesse.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore
Silva)
Campo(E.
magnetico
Fig. 13.4. Demonstration
experiment for the Zeeman effect. A flame coloured
acceso: l’ombra
with sodium or NaCl appears dark when projected using light from a Na
svanisce,
vapour lamp. Upon switching on a magnetic field, it brightens, since the resonance between the Ught from the lamp and the light of the sodium flame is defiamma
nonThe wavelength of the light from the flame is
stroyed by theLa
Zeeman
effect.
assorbe
lamagnetic
luce della
shifted slightly
by the
field; this suffices to remove the resonance
lampada al sodio: le
righe sono variate.
Figura da H. Haken, H.C. Wolf, "The Physics of Atoms and Quanta - Introduction to
Experiments and Theory", 7th revised edition, Springer Berlin Heidelberg, 2005.
by Zeeman, The effect is small; for its observation, spectral apparatus of very high re-
m-,
+ 1 +1/2
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
+ 3/2^+ 1/2 "
'-1/2-3/2-
Effetto Paschen-Back
3/2
0 +1/2
with the Dj and D2 Hnes of the neutral sodium atom (a). In the
limiting case of strong magnetic fields, one observes one unshifted and two symmetrically split lines, as in the ordinary
Zeeman effect
-1 *\l2
+1 -1/2
Effetto Zeeman: campo magnetico “debole”: la
0 -1/2
+ 1/2.
separazione dei livelli è ~piccola
rispetto alla struttura fine.
-1/2Ovvero: permane l’accoppiamento L S, che non viene -1 -1/2
distrutto dal campo
Enricomagnetico.
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
0 +1/2
Effetto Paschen-Back:
della presente opera.
B0 sufficientemente intenso
.1/2.da produrre un accoppiamento forte
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
•1/21/2
fra i singoli momenti
magnetici
(m ed ms) e il campo stesso.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
L’effetto spin-orbita diviene (in prima approssimazione) 0 -1/2
trascurabile.
C Tl 0
j non ha più significato: L ed S sono indipendenti.
Fig. 13.16. Paschen-Back effect. In the limiting case of a strong
magnetic field BQ, the spin S and orbital L angular momenta
a
–> l’interazione diventa:
Vms ,ml =
con la separazione:
⇤
align independently with the field BQ. A total angular momen⇤) · B
(⇤
m+m
2m
)µdefined
s
0 = (m +
B B0
tum
/ issnot
atoms, where the single-electron quantum
E = (empirical
m + 2termmanalysis.
)µ BIn0 many-electron
numbers y, /, andss areBreplaced
by the many-electron quantum numbers /, L and S, this
method is especially important (Chap. 17).
The area between the limiting cases of weak fields (Zeeman effect) and strong fields
(Paschen-Back effect) is difficult to analyse, both theoretically and experimentally.
Figura da H. Haken, H.C. Wolf, "The Physics of Atoms and Quanta - Introduction to
Experiments and Theory", 7th revised edition, Springer Berlin Heidelberg, 2005.
13.5 Double Resonance and Optical Pumping
One can make use of the difference in polarisation of the various Zeeman components
in order to populate selectively individual Zeeman levels, even when the spectral resolution is insufficient or the Hnewidth is too great to obtain the excited state otherwise.
This is the simplest case of optical pumping.
13. Atoms in a Magnetic Field: Experiments and Their Semiclassical Description
218
The first experiment of this type is represented in Fig. 13.17 {Brossel, Bitter and
Paschendiventa:
KastlerL’interazione
1949
- a1952).
Mercury
in an effect
external
magnetic field ^o ^re excited by irFig.
13.15
- c . Paschen-Back
effectatoms
(c) and Zeeman
(b)
m-, Zeeman
Back
the Dj Unearly
and D2 Hnespolarised
of the neutral sodium
the
radiationwith
with
light atom
in a(a).TTIn transition
to the mj = 0 level of the ^P^
+ 1 +1/2
anomalo
limiting case of strong magnetic fields, one observes one un= symmetrically
(m + 2m
)µ
excitedVstate.
The
from
these
atoms
is also linearly polarised n Hght. Now one
shifted
and
splitslines,
as B
in
ms ,m
B
0the ordinary
l twoemission
Zeeman
effect
+ 3/20 +1/2
can induce transitions Am = ± 1 with a high-frequency coil perpendicular to BQ, as
^+ 1/2 "
shown con
in Fig.
and thus populate the Zeeman substates m = 1 and m = -1. The
'-1/2la 13.17,
separazione:
-1 *\l2
- 3 / 2 - Enrico Silva - proprietà
+1 -1/2 intellettuale non ceduta
light emitted from these levels, however, is circularly polarised a Ught. The emission
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche
of circularly
direction
perpendicular to that of the n emission can
E =polarised
( m +Hght
2 inmasparziale
)µ
0 -1/2
B B0
+ 1/2.
thus beopera.
used for the detection and measurement of Am = ±1 transitions between
della presente
~-1/2Zeeman substates.
-1 -1/2
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Effetto Paschen-Back
3/2
1/2
numero
transizioni
è come
Per l’autorizzazione a riprodurre inIl parte
o inditutto
la presente
nell’effetto
Zeeman
normale
(ma
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
non
le
frequenze:
la
separazione
non
0 +1/2
.1/2.
è uguale per ciascun livello, alcune
•1/213. Atoms in a Magnetic Field: Experiments and Their Semiclassical Description
218
righe provengono da più transizioni)
0 -1/2
m-,
C
Tl
0
+ 1 +1/2
+ 3/2^+ 1/2 "
'-1/2-3/2-
3/2
a
0 +1/2
Fig. 13.15 a - c . Paschen-Back effect (c) and Zeeman effect (b)
with the Dj and D2 Hnes of the neutral sodium atom (a). In the
limiting
strong magnetic
one case
observes
one unFig. case
13.16.ofPaschen-Back
effect. Infields,
the limiting
of a strong
shifted
and two
split
lines,
as in the
ordinary
magnetic
field symmetrically
BQ, the spin S and
orbital
L angular
momenta
Zeeman
aligneffect
independently with the field BQ. A total angular momentum / is not defined
- 1 *\l2
+1 -1/2
empirical term analysis. In many-electron atoms, where the single-electron quantum
Figura da H. Haken, H.C. Wolf, "Thenumbers
Physics ofy,Atoms
Quanta
- Introduction
to
/, andand
s are
replaced
by the many-electron
quantum numbers /, L and S, this
Experiments and Theory", 7th revised
edition, is
Springer
Berlin
Heidelberg,(Chap.
2005. 17).
0 -1/2
method
especially
important
+ 1/2.
The
area
between
the
limiting
cases
of
weak
fields
(Zeeman effect) and strong fields
~-1/2(Paschen-Back effect)
-1 -1/2 is difficult to analyse, both theoretically and experimentally.
13.5 Double Resonance and Optical Pumping
.1/2.
•1/2-
1/2
a
0 of
+1/2the difference in polarisation of the various Zeeman components
One can make use
in order to populate selectively individual Zeeman levels, even when the spectral resolution is insufficient or the Hnewidth is too great to obtain the excited state otherwise.
This is the simplest case of optical pumping.
The first experiment of this type is represented in Fig. 13.17 {Brossel, Bitter and
0 -1/2
Kastler 1949 - 1952).
Mercury atoms in an external magnetic field ^o ^re excited by irradiation
with
Unearly
polarised light in a TT transition to the mj = 0 level of the ^P^
C Tl 0
excited state. The emission from these atoms is also linearly polarised n Hght. Now one
can induce transitions Am = ± 1 with a high-frequency coil perpendicular to BQ, as
Fig. 13.16. Paschen-Back effect. In the limiting case of a strong
shown in Fig. 13.17, and thus populate
the Zeeman substates m = 1 and m = -1. The
magnetic field BQ, the spin S and orbital L angular momenta
light emitted from these levels,align
however,
is circularly
a Ught.
emission
independently
with polarised
the field BQ.
A totalThe
angular
momenof circularly polarised Hght in tum
a direction
to that of the n emission can
/ is not perpendicular
defined
thus be used for the detection and measurement of Am = ±1 transitions between
Zeeman substates.
empirical term analysis. In many-electron atoms, where the single-electron quantum
numbers y, /, and s are replaced by the many-electron quantum numbers /, L and S, this
method is especially important (Chap. 17).
The area between the limiting cases of weak fields (Zeeman effect) and strong fields
(Paschen-Back effect) is difficult to analyse, both theoretically and experimentally.
13.5 Double Resonance and Optical Pumping
One can make use of the difference in polarisation of the various Zeeman components
in order to populate selectively individual Zeeman levels, even when the spectral resolution is insufficient or the Hnewidth is too great to obtain the excited state otherwise.
This is the simplest case of optical pumping.
The first experiment of this type is represented in Fig. 13.17 {Brossel, Bitter and
Kastler 1949 - 1952). Mercury atoms in an external magnetic field ^o ^re excited by irradiation with Unearly polarised light in a TT transition to the mj = 0 level of the ^P^
excited state. The emission from these atoms is also linearly polarised n Hght. Now one
can induce transitions Am = ± 1 with a high-frequency coil perpendicular to BQ, as
shown in Fig. 13.17, and thus populate the Zeeman substates m = 1 and m = -1. The
light emitted from these levels, however, is circularly polarised a Ught. The emission