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F. Fabrizi
P. Pennestrì
La Nuova Geometria del Compasso
“La Geometria del Compasso
è una testimonianza dell’ingegno
umano.”
(R. Bricard)
La Nuova Geometria del Compasso
Le costruzioni di Lorenzo Mascheroni
utilizzando il software GeoGebra
F. Fabrizi - P. Pennestrì
Coordinatrice Prof.ssa Noemi Stivali
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma
©Tutti i diritti riservati. Nessuna parte di questo testo può
essere riprodotta senza il consenso scritto degli autori.
2
Indice
1
2
1.1
1.2
1.3
17
Breve biografia di Lorenzo Mascheroni . . . . . . . . . . . 17
Il perché della Geometria del Compasso . . . . . . . . . . . 19
Le nostre motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1
Dividere una circonferenza a in 4 parti uguali con l’ausilio
del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dividere una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso, in otto parti congruenti . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in 12 parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
dividerla i 24 parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
dividerla i 48 parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in 5 parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in 10 parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
dividerla in centoventi parti uguali. . . . . . . . . . . . . .
2.9 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in venti parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in duecentoquaranta parti uguali. . . . . . . . . .
2.11 Dividere un arco CB in due parti uguali . . . . . . . . . .
3
23
. 23
. 25
. 27
. 30
. 33
. 37
. 40
. 43
. 45
. 48
. 50
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
55
Duplicare il segmento AB con l’ausilio del solo compasso . . 55
Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, triplicarlo, quadruplicarlo, ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Dato un segmento AB dividerlo in due parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Continuare a suddividere in maniera ricorsiva il segmento
AB con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . 61
Dividere un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso,
in tre parti uguali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Dividere un segmento BA, con l’ausilio del solo compasso,
dividerlo in n parti uguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ad un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, sottrarre in linea retta un segmento CD . . . . . . . . . . . .
Ad un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, aggiungere in linea retta un segmento CD . . . . . . . . . . .
Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, riportare da B verso A un segmento CD maggiore di quello
AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dati due punti A e B trovare con l’ausilio del solo compasso
un punto M tale che il segmento BM sia perpendicolare al
segmento AB in B e congruente ad un segmento CD dato .
Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso individuare una punto D tale che il segmento BD sia perpendicolare ad AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data una retta passante per i punti A e B ed un punto D,
che non appartiene alla retta, determinare con l’ausilio del
solo compasso E tale che il segmento avente per estremi
i punti D e E sia perpendicolare alla retta passante per i
punti A e B; inoltre sempre con l’ausilio del solo compasso
determinare M punto d’intersezione tra il segmento DE e la
retta passante per i punti A e B . . . . . . . . . . . . . . .
Individuare con l’ausilio del solo compasso una retta b che
sia perpendicolare al segmento DE in C, punto medio di tale
segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
69
. 69
. 71
. 73
. 75
. 78
. 80
. 83
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
6
6.1
6.2
6.3
Data una retta a ed un punto C fuori di essa, trovare la retta
passante per quest’ultimo che sia parallela ad a . . . . . . .
Tracciare un segmento LD parallelo ad una retta a e congruente ad un segmento MN con l’ausilio del solo compasso
Verificare se i punti A, B e C siano in linea retta . . . . . . .
Verifica se la retta passante per i punti A e D sia perpendicolare a quella passante per i punti A e B . . . . . . . . . . .
Verificare, con il solo compasso, se la retta che passa per
i punti D e F sia perpendicolare alla retta che passa per i
punti A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esaminare, con il solo compasso, se due rette siano parallele
Trovare, con l’ ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima
è maggiore della seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore della seconda, però maggiore della sua metà. . . .
Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore della seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trovare,con l’ausilio del solo compasso, la quarta proporzionale tra le distanze PQ;RS;TV . . . . . . . . . . . . . .
Dividere, con l’ ausilio del solo compasso, il segmento MN
in P così che sia proporzionale alle due distanze P1Q ed RS.
Dividere, con l’ ausilio del solo compasso,il segmento in
estrema e media ragione (sezione aurea). . . . . . . . . . .
85
87
91
93
95
98
101
. 102
. 104
. 106
. 108
. 111
. 114
117
Determinare con l’ausilio del solo compasso le radici quadrate dei primi 10 numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Trovare, con l’ausilio del solo compasso le radici quadrate
dei numeri dal 10 al 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Determinare con l’ausilio del solo compasso le metà delle
radici dei numeri interi da 1 fino a 25 . . . . . . . . . . . . 124
7
129
5
7.1
Dati due punti L e M di una retta e il centro A con il raggio
AB di un arco BCD; trovare con l’ ausilio del solo compasso,
i due punti P e Q nei quali la retta LM taglia l’ arco BCD. . 129
8
133
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Dato un angolo AB̂C e due punti A1 e B1, determinare, con
l’ausilio del solo compasso, il punto C1 tale che l’angolo
B1Â1C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duplicare, triplicare, quadruplicare, ecc. con l’ausilio del
solo compasso, un dato angolo . . . . . . . . . . . . . . .
Esaminare, con l’ausilio del solo compasso, se un angolo
sia di 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tracciare, con l’ausilio del solo compasso, la bisettrice di
un dato angolo, avente i lati disuguali . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco CI di
seno MN e raggio AB noti. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco NH di
coseno MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BQ di
tangente SB1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BC di
secante A1S1 e raggio AB noti. . . . . . . . . . . . . . . .
Su un dato segmento A1B1 costruire un triangolo A1B1C1
simile ad un dato triangolo ABC . . . . . . . . . . . . . .
Dato un poligono esalatro, costruirne un altro simile, le cui
aree abbiano un dato rapporto . . . . . . . . . . . . . . .
Ad una data circonferenza, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivere un triangolo equilatero . . . . . . . . . . . .
Circoscrivere ad un cerchio un quadrato, con l’ausilio del
solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ad un dato cerchio circoscrivere un pentagono regolare . .
Costruire, con l’ausilio del solo compasso, su un dato lato
AB un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ad un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso costruire un quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
. 133
. 137
. 140
. 142
. 144
. 146
. 148
. 150
153
. 153
. 155
. 159
. 161
. 164
. 167
. 169
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
10
10.1
10.2
10.3
10.4
11
Costruire su un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso, un pentagono regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un esagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un ottagono regolare sopra un dato lato AB, con l’
ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un decagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sopra un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso, costruire un qualsiasi poligono, purché si possa inscrivere in
una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un quadrato intorno ad una diagonale AB,con l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 172
. 175
. 177
. 181
. 185
. 188
191
Trovare il centro di una circonferenza con l’ausilio del solo
compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Dato un triangolo equilatero ABM di base AB, con l’ausilio del solo compasso,circoscrivergli ed inscrivergli una
circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Ad un quadrato BT FA, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivergli ed inscrivergli una circonferenza . . . . . . . 198
Circoscrivere una circonferenza, con l’ausilio del solo compasso, ad un qualsiasi poligono regolare . . . . . . . . . . . 202
11.1 Inscrivere, con l’ ausilio del solo compasso, un quadrato
ebcd in un triangolo equilatero ABC. . . . . . . . . . . . .
11.2 Inscrivere, con l’ausilio del solo compasso, nel quadrato
ABLF, un triangolo equilatero che abbia l’ angolo B compreso nell’ angolo LBA del quadrato. . . . . . . . . . . . .
11.3 In un quadrato ABLF, inscrivere, con l’ausilio del solo
compasso, un ottagono regolare. . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Dato un ottagono regolare ABhg f FGH, con l’ ausilio del
solo compasso, trovare:il lato regolare di un ottagono doppio di area e il di un ottagono triplo. . . . . . . . . . . . .
7
207
. 207
. 210
. 213
. 216
11.5 In un cerchio di raggio AB, con l’ausilio del solo compasso,
inscrivere quattro cerchi, che siano tangenti ad esso e tra di
loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Trovare, con l’ ausilio del solo compasso,un arco di cerchio
che abbia il coseno uguale alla corda. .p. . . . p
. . . . . . .
√
√
11.7 Trovare,con l’ausilio del solo compasso,
2e
3. . . .
11.8 Dividere, con l’ausilio del solo compasso, il segmento AB=1
in cinque parti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9 Costruire, con l’ ausilio del solo compasso, un triangolo
rettangolo che abbia i lati in proporzione aritmetica. . . . . .
11.10Dato il lato AB dei cinque corpi regolari,trovare con l’ausilio del solo compasso, il raggio delle diverse sfere che li
comprendono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.11Dati cinque punti A;B;C;D;E estremi di un pentagono regolare, trovare con l’ausilio del solo compasso, i punti a;b;c;d;e,
nei quali essi taglierebbero le diagonali di questo pentagono.
11.12Inscrivere in un cerchio sei pentagoni, con l’ ausilio del solo
compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.13In un cerchio di raggio dato AB,inscrivere,con l’ausilio del
solo compasso, sette esagoni regolari: uno dei quali sia
concentrico al cerchio e gli altri siano concentrici ad esso. . .
12
12.1 In un cerchio di raggio AB, trovare, con l’ausilio del solo compasso, una corda che sia uguale ad un quarto della
circonferenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 In un cerchio di raggio AB trovare, con l’ausilio del solo
compasso, l’arco uguale al raggio. . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Trovare, con l’ausilio del solo compasso, un lato di un quadrato, che sia uguale in area ad un cerchio di raggio AB. . . .
12.4 Dato il lato AB di un quadrato; trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il raggio di un cerchio che gli sia uguale in area. .
12.5 Dato il raggio AB di una sfera, trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il lato di un cubo che, sia uguale in solidità alla
medesima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Dato il lato AB di un cubo,trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il raggio di una sfera che gli sia uguale in solidità.
8
220
224
226
229
232
235
240
242
247
251
251
254
257
260
263
266
12.7 Duplicare, con l’ausilio del solo compasso, il cubo. . . . . . 268
12.8 Triplicare,quadruplicare.ecc fino all’ ottuplicazione il cubo,
con l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.9 Notizie sugli autori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9
10
Elenco delle figure
1.1
1.2
Timeline con le tapppe della vita di Mascheroni . . . . . . .
Immagine del quadrante astronomico costruito da Ticho Brahe (1546-1601) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Divisione di una circonferenza a in 4 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Divisione di una circonferenza a in 8 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Divisione di una circonferenza a in 12 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Divisione di una circonferenza a in 24 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Divisione di una circonferenza a in 48 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Divisione di una circonferenza a in 5 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Divisione di una circonferenza a in 10 parti uguali con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Divisione di una circonferenza a in centoventi parti uguali
con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Divisione di una circonferenza a in venti parti uguali con
l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Divisione di una circonferenza a in centoventi parti uguali
con l’ausilio del solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Divisione di un arco CB in due parti uguali con l’ausilio del
solo compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Duplicare, con l’ausilio del solo compasso un segmento AB .
3.2 Duplicare, con l’ausilio del solo compasso un segmento AB .
11
18
20
24
26
29
32
36
39
42
44
47
49
53
56
58
3.3
Dividere in due parti uguali, con l’ausilio del solo compasso
un segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Dividere in due parti uguali, con l’ausilio del solo compasso
un segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Dividere in due parti uguali, con l’ausilio del solo compasso
un segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Dividere in n parti uguali, con l’ausilio del solo compasso
un segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Sottrarre, con l’ausilio del solo compasso ad un segmento
AB un segmento CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Aggiungere in linea retta al segmento AB, con l’ausilio del
solo compasso, un segmento CD . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Aggiungere in linea retta al segmento AB, con l’ausilio del
solo compasso, un segmento CD . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Aggiungere in linea retta al segmento AB, con l’ausilio del
solo compasso, un segmento CD . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, determinarne un secondo, DB, che sia perpendicolare al primo
4.6 Data una retta passante per i punti A e B ed un punto D,
che non appartiene alla retta, determinare con l’ausilio del
solo compasso E tale che il segmento avente per estremi
i punti D e E sia perpendicolare alla retta passante per i
punti A e B; inoltre sempre con l’ausilio del solo compasso
determinare M punto d’intersezione tra il segmento DE e la
retta passante per i punti A e B . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Determinare una retta b che sia perpendicolare al segmento
DE nel suo punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Data una retta a ed un punto C fuori di essa, trovare la retta
passante per quest’ultimo che sia parallela ad a . . . . . . .
4.9 Tracciare un segmento LD parallelo ad una retta a e congruente ad un segmento MN con l’ausilio del solo compasso
4.10 Esaminare se tre punti A, B e C sono in linea retta . . . . . .
4.11 Tracciare un segmento LD parallelo ad una retta a e congruente ad un segmento MN con l’ausilio del solo compasso
4.12 Verificare, con il solo compasso, se la retta che passa per
i punti D e F sia perpendicolare alla retta che passa per i
punti A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
60
63
66
68
70
72
74
77
79
82
84
86
90
92
94
97
4.13 Esaminare, con il solo compasso, se due rette siano parallele
5.1 Trovare, con l’ ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima
è maggiore della seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore del- la seconda, però maggiore della sua metà. . . . .
5.3 Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore della seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Trovare,con l’ausilio del solo compasso, la quarta proporzionale tra le distanze PQ;RS;TV . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Dividere, con l’ ausilio del solo compasso, il segmento MN
in P così che sia proporzionale alle due distanze P1Q ed RS .
5.6 Dividere, con l’ ausilio del solo compasso,il segmento in
estrema e media ragione(sezione aurea). . . . . . . . . . . .
6.1 Determinare, con il solo compasso, le radici quadrate dei
primi dieci numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Determinare, con il solo compasso, le radici quadrate dei
numeri interi da 10 a 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Determinare, con l’uso del solo compasso, le metà delle
radici quadrate dei numeri da 1 a 25 . . . . . . . . . . . . .
7.1 Dati due punti L e M di una retta e il centro A con il raggio
AB di un arco BCD; trovare con l’ ausilio del solo compasso,
i due punti P e Q nei quali la retta LM taglia l’ arco BCD. . .
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Dato un angolo AB̂C e due punti A1 e B1, determinare, con
l’ausilio del solo compasso, il punto C1 tale che l’angolo
B1Â1C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duplicare, triplicare, quadruplicare, ecc. con l’ausilio del
solo compasso, un dato angolo . . . . . . . . . . . . . . .
Esaminare, con l’ausilio del solo compasso se un angolo sia
di 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tracciare, con l’ausilio del solo compasso, la bisettrice di
un dato angolo, avente i lati disuguali . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco CI di
seno MN e raggio AB noti. . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
99
103
105
107
110
113
115
120
123
127
131
. 136
. 139
. 141
. 143
. 145
8.6
8.7
8.8
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
10.1
10.2
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco NH di
coseno MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BQ di
tangente SB1 e raggio AB noti. . . . . . . . . . . . . . . .
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BC di
secante A1S1 e raggio AB noti. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dato un poligono esalatero, costruirne un altro simile, le cui
aree abbiano un dato rapporto . . . . . . . . . . . . . . . .
Ad una data circonferenza, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivere un triangolo equilatero . . . . . . . . . . . .
Circoscrivere ad un cerchio un quadrato,con l’ausilio del
solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ad un dato cerchio circoscrivere un pentagono regolare . .
Costruire un triangolo equilatero su un dato lato AE, con
l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un quadrato sopra un dato lato AB, con l’ausilio
del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire su un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso, un pentagono regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un esagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un ottagono regolare sopra un dato lato AB, con l’
ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un decagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sopra un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso, costruire un qualsiasi poligono, purché si possa inscrivere in
una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruire un quadrato intorno ad una diagonale AB,con l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trovare il centro di una circonferenza con l’ausilio del solo
compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dato un triangolo equilatero ABM di base AB, con l’ausilio del solo compasso,circoscrivergli ed inscrivergli una
circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
. 147
. 149
. 151
. 154
. 158
. 160
. 163
. 166
. 168
. 171
. 174
. 176
. 180
. 184
. 187
. 190
. 193
. 197
10.3 Ad un quadrato BT FA, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivergli ed inscrivergli una circonferenza . . . . . . .
10.4 Ad un quadrato BT FA, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivergli ed inscrivergli una circonferenza . . . . . . .
11.1 Inscrivere, con l’ ausilio del solo compasso, un quadrato
ebcd in un triangolo equilatero ABC. . . . . . . . . . . . . .
11.2 Inscrivere, con l’ausilio del solo compasso, nel quadrato
ABLF, un triangolo equilatero che abbia l’ angolo B compreso nell’angolo LBA del quadrato. . . . . . . . . . . . . .
11.3 In un quadrato ABLF, inscrivere, con l’ausilio del solo compasso, un ottagono regolare. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Dato un ottagono regolare ABhg f FGH, con l’ ausilio del
solo compasso, trovare:il lato regolare di un ottagono doppio di area e il di un ottagono triplo. . . . . . . . . . . . . .
11.5 In un cerchio di raggio AB, con l’ausilio del solo compasso,
inscrivere quattro cerchi, che siano tangenti ad esso e tra di
loro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Trovare, con l’ ausilio del solo compasso,un arco di cerchio
che abbia il coseno uguale alla corda. .p. . . . p
. . . . . . .
√
√
2e
3. . . .
11.7 Trovare,con l’ausilio del solo compasso,
11.8 Dividere, con l’ausilio del solo compasso, il segmento AB=1
in cinque parti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9 Costruire, con l’ ausilio del solo compasso, un triangolo
rettangolo che abbia i lati in proporzione aritmetica. . . . . .
11.10Dato il lato AB dei cinque corpi regolari,trovare con l’ausilio del solo compasso, il raggio delle diverse sfere che li
comprendono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.11Dati cinque punti A;B;C;D;E estremi di un pentagono regolare, trovare con l’ausilio del solo compasso, i punti a;b;c;d;e,
nei quali essi taglierebbero le diagonali di questo pentagono.
11.12Inscrivere in un cerchio sei pentagoni, con l’ ausilio del solo
compasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.13In un cerchio di raggio dato AB,inscrivere,con l’ausilio del
solo compasso, sette esagoni regolari: uno dei quali sia
concentrico al cerchio e gli altri siano concentrici ad esso. . .
15
201
205
209
212
215
219
223
225
228
231
234
239
241
246
249
12.1 In un cerchio di raggio AB, trovare, con l’ausilio del solo compasso, una corda che sia uguale ad un quarto della
circonferenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 In un cerchio di raggio AB trovare, con l’ausilio del solo
compasso, l’arco uguale al raggio. . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Trovare, con l’ausilio del solo compasso, un lato di un quadrato, che sia uguale in area ad un cerchio di raggio AB. . . .
12.4 Dato il lato AB di un quadrato; trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il raggio di un cerchio che gli sia uguale in area. .
12.5 Dato il raggio AB di una sfera, trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il lato di un cubo che, sia uguale in solidità alla
medesima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Dato il lato AB di un cubo,trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il raggio di una sfera che gli sia uguale in solidità.
12.7 Duplicare, con l’ausilio del solo compasso, il cubo. . . . . .
12.8 Triplicare,quadruplicare.ecc fino all’ ottuplicazione il cubo,
con l’ausilio del solo compasso. . . . . . . . . . . . . . . .
16
253
256
259
262
265
267
269
273
Libro 1
1.1
Breve biografia di Lorenzo Mascheroni
Lorenzo Mascheroni nasce a Castagneta in provincia di Bergamo il 13 maggio del 1750 da Paolo e Maria Cerimelli, una
ricca famiglia di proprietari terrieri. Fin da piccolo dimostrò
eccezionali doti nello studio. Il 28 maggio del 1774 fu ordinato
sacerdote. Dal 1778 insegnò Fisica e Matematica nel Seminario di Bergamo e nel 1780 occupò la cattedra di filosofia del
Collegio Mariano. Nel 1786 si trasferisce a Pavia dove gli viene assegnata la cattedra di Matematica Generale e poi quella
di Matematica applicata. Sarà per ben due volte rettore dell’università di Pavia e dal 1888 al 1891 principe dell’Accademia
degli Affiliati. Mascheroni oltre ad avere una carriera scientifica e letteraria, ne ebbe anche una politica: nel 1797 fu eletto
deputato della Repubblica Cisalpina che lo portò a partecipare
a Parigi nel 1798 alla commissione incaricata di stabilire definitivamente la lunghezza del metro. Mascheroni morirà due anni
dopo a Parigi all’età di cinquanta anni a seguito di una breve
malattia.
17
13 Maggio
nasce a
Castagneta in
provincia di
Bergamo
Inizia la sua
carriera quale
insegnante di
Retorica
Viene ordinato
sacerdote
3 Settembre è
ammesso
all'Accademia degli
Eccitati di
Bergamo
Passa
all'insegnamento
della Filosofia
Viene ordinato
Abate
1750
1767
1773
1774
1775
ne nominato
e di Algebra e
eometria
niversità di
Pavia
Pubblica
"Adnotationes ad
calculum integrale
Euleri "
1788
1789
1791
1792
1793
1797
Viene nominato
docente di Algebra e
Geometria
all'università di
Pavia
1785
1786
Partecipa a Parigi alla
commissione incaricata di
stabilire definitivamente la
lunghezza del metro
Diventa deputato
della Repubblica
Cisalpina
Rettore dell'Università di Pavia
1790
1778
Pubblica la
"Geometria del
Compasso"
Presidente dell'Accademia
degli Affidati
Pubblica "Nuove
ricerche
sull’equilibrio delle
volte"
a Bergamo
Mascheroni muore a
Parigi dopo
una breve malattia
1798
1800
Figura 1.1: Timeline con le tapppe della vita di Mascheroni
18
1788
1.2
Il perché della Geometria del Compasso
Mascheroni si domandò se fosse possibile, tornando indietro
nel progresso matematico, sviluppare qualche campo ancora
inesplorato. Si accorse che, negli Elementi, Euclide per dimostrare le sue tesi, si avvaleva sempre di due strumenti fondamentali: il compasso e la riga. Egli si propose di servirsi del
solo compasso per ottenere i punti necessari alla costruzione
geometrica; la scelta non fu casuale, il compasso infatti era uno
degli strumenti più precisi dell’epoca e meno soggetto ad errori rispetto alla riga. In un primo tempo decise di accantonare
l’idea di una geometria del compasso perché temeva di complicare ulteriormente le dimostrazioni ed inoltre non ne vedeva
alcuna utilità. Tuttavia Mascheroni si rendeva conto che l’impostazione delle costruzioni geometriche con il solo uso del
compasso costituiva:
...Un ramo finora inesplorato dai matematici, che soluzioni di simili genere sarebbero state per la loro costruzione
più elementare di ogni altra...
Il progetto fu ripreso quando, leggendo alla voce Quart de
Cercle mural sulla Encyclopèdie Mèthodique, apprese degli sforzi compiuti dai celebri astronomi inglesi Graham e Bird per
dividere esattamente il quarto di cerchio dei propri grandi strumenti astronomici e in particolare del frequente uso da essi fatto del compasso in tutte le principali operazioni geometriche.
Riportiamo ora la frase, tratta dal libro la Geometria del Compasso, in cui Mascheroni dichiara le ragioni che lo hanno spinto
alla stesura dell’opera:
Le costruzioni col solo compasso per trovare i punti della geometria elementare sarebbero state complicate a più
19
Figura 1.2: Immagine del quadrante astronomico costruito da
Ticho Brahe (1546-1601)
20
doppj sopra le già conosciute nelle quali interviene la riga. Avrebbe dunque la teoria mancato di eleganza e la
pratica di precisione. Sicché io era al procinto di abbandonare l’impresa. Mentre io era così irresoluto, m’accadde di rileggere la maniera colla quale Graham, e Bird
dividevano in Inghilterra i loro grandi quadranti astronomici.
Le perplessità di Mascheroni sull’utilità pratica della sua opera
rivelano l’impostazione illuministica dei suoi studi, volti a ricerche per la soluzione di problemi pratici.La celeberrima opera di Mascheroni fu tradotta in francese ed in tedesco. Una
nuova edizione in lingua italiana compare nel 1901.
1.3
Le nostre motivazioni
Il progetto, Mascheroni incontra GeoGebra, coordinato dalla
professoressa Noemi Stivali, inizia con una ricerca su alcune
figure geometriche. Viene fondato il 20 Maggio il Mascheroni
CAD Team con la finalità di ridisegnare utilizzando GeoGebra,
seguendo le originali istruzioni di Mascheroni, soltanto quattro
costruzioni notevoli. Svolte queste ultime, ci siamo appassionati all’argomento e abbiamo deciso di riportare in chiave moderna e accessibile a tutti, le costruzioni proposte da Mascheroni nel suo celebre libro La Geometria del Compasso. Durante il
nostro lavoro abbiamo incontrato delle difficoltà: i disegni, parte fondamentale dell’Opera, spesso sono di difficile interpretazione. Gli algoritmi, poiché scritti in un italiano settecentesco,
molte volte risultano di difficile interpretazione. GeoGebra si
è dimostrato un perfetto strumento per riportare ed interpretare in chiave moderna tutte le costruzioni della Geometria del
Compasso di Mascheroni.
21
La volontà di documentare il nostro lavoro, anche con mezzi multimediali, ci ha motivato a prendere confidenza con altri
software. In particolare, abbiamo caricato alcuni video da noi
realizzati sul canale YouTube Mascheroni CAD Team. Al fine di rendere accessibile a tutti gli interessati il nostro lavoro,
abbiamo altresì realizzato un sito web 1 da cui si potranno scaricare tutti i file GeoGebra ed i relativi file pdf contenenti gli
algoritmi delle costruzioni da noi realizzate.
Il lavoro da noi compiuto ha coinvolto anche una ricerca bibliografica dei testi che trattavano la Geometria del Compasso. Relativamente poche sono le monografie sull’argomento
[5, 7, 1, 2, 6, 3].
Mascheroni fu anticipato in alcune delle sue scoperte dal matematico Danese Georg Mohr che, nel 1672, scrisse la monografia Euclides Danicus. Tuttavia, tutti gli storici della matematica sono concordi nell’affermare che Mascheroni non abbiano
avuto conoscenza del lavoro di Mohr e che le sue deduzioni
siano da ritenere del tutto originali.
Ci auguriamo che la nostra metodologia di lavoro, possa essere impiegata per avvicinare i giovani allo studio della Geometria.
Federico e Pietro
(Il Mascheroni CAD Team)
Roma, 28 Settembre 2011
1
www.arduino96.it
22
Libro 2
2.1
Dividere una circonferenza a in 4 parti uguali con l’ausilio
del solo compasso
Riferimento: Libro secondo, pag. 14 §27, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.1).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti sei parti uguali
(vedi problema aggiuntivo 2): BC ∼
=
= CD ∼
= DE ∼
= ED1 ∼
D1C1 ∼
= C1B.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio BD (circonferenza c).
5. Indicare con A1 una delle intersezioni tra la circonferenza b
e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AA1 (circonferenza d).
7. Indicare con F e F1 le intersezioni tra la circonferenza a e d.
8. La circonferenza a resterà divisa in 4 parti congruenti: FE ∼
=
EF1 ∼
= F1B ∼
= BF
23
Costruzione pag.14 §27
Figura 2.1: Divisione di una circonferenza a in 4 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
24
2.2
Dividere una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
in otto parti congruenti
Riferimento: Libro secondo, pag. 16 §30,[4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.2).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti 6 parti uguali (vedi
problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
= BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AC (circonferenza d).
7. Indicare con H e M le intersezioni tra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AC (circonferenza e).
9. Indicare con F e N le intersezioni tra le circonferenze a e e.
10. La circonferenza a resterà divisa in 8 parti uguali: OH ∼
=
HB ∼
= BF ∼
= FP ∼
= PN ∼
= NG ∼
= GM ∼
= MO.
25
Costruzione pag.16 § 30
Figura 2.2: Divisione di una circonferenza a in 8 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
26
2.3
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in 12 parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 17 §31, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.2).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti 6 parti uguali (vedi
problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
= BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con T e H le intersezioni tra le circonferenze d e a.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con S e X le intersezioni tra le circonferenze e e a.
10. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio LA (circonferenza f ).
11. Indicare con F e I le intersezioni tra le circonferenze f e a.
12. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza g).
13. Indicare con M e N le intersezioni tra le circonferenze g e a.
27
14. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza h).
15. Indicare con O e P le intersezioni tra le circonferenze h e a.
16. La circonferenza resterà così divisa in dodici parti uguali:
BM∼∼
= MC∼∼
= CF ∼
= FE ∼
= EN ∼
= NG ∼
= GX ∼
= XJ ∼
= JI ∼
=
DI = DO = OB.
28
Costruzione pag.17 § 31
Figura 2.3: Divisione di una circonferenza a in 12 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
29
2.4
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
dividerla i 24 parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 18 §32, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.4).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti sei parti uguali
(vedi problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
=
BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con T e H le intersezioni tra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con S e X le intersezioni tra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AK (circonferenza f ).
11. Indicare con F e I le intersezioni tra le circonferenze a e f .
12. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio AB (circonferenza g).
13. Indicare con Z e Y le intersezioni tra le circonferenze a e f .
30
14. Tracciare una circonferenza di centro Z e di raggio ZT (circonferenza h).
15. Indicare con U la restante intersezione tra le circonferenze a
e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro Y e di raggio Y T (circonferenza i).
17. Indicare con W la restante intersezione tra le circonferenze a
e i.
18. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio AB (circonferenza l).
19. Indicare con Q e R le intersezioni tra le circonferenze a e l.
20. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QH (circonferenza m).
21. Indicare con V la restante intersezione tra le circonferenze a
e m.
22. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio RH (circonferenza n).
23. Indicare con L1 la restante intersezione tra le circonferenze
a e n.
24. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza o).
25. Indicare con P e O le intersezioni tra le circonferenze a e o.
26. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza p).
27. Indicare con S e N le intersezioni tra le circonferenze a e p.
28. Ogni punto sulla circonferenza a sarà una delle divisioni
della circonferenza in 24 parti uguali.
31
Costruzione pag.18 §32
Figura 2.4: Divisione di una circonferenza a in 24 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
32
2.5
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
dividerla i 48 parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 20 §38, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.5).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti sei parti uguali
(vedi problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
=
BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con T e H le intersezioni tra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con S e X le intersezioni tra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AK (circonferenza f ).
11. Indicare con F e I le intersezioni tra le circonferenze a e f .
12. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio AB (circonferenza g).
13. Indicare con Z e Y le intersezioni tra le circonferenze a e f .
33
14. Tracciare una circonferenza di centro Z e di raggio ZT (circonferenza h).
15. Indicare con U la restante intersezione tra le circonferenze a
e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro Y e di raggio Y T (circonferenza i).
17. Indicare con W la restante intersezione tra le circonferenze a
e i.
18. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio AB (circonferenza l).
19. Indicare con Q e R le intersezioni tra le circonferenze a e l.
20. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QH (circonferenza m).
21. Indicare con V la restante intersezione tra le circonferenze a
e m.
22. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio RH (circonferenza n).
23. Indicare con L1 la restante intersezione tra le circonferenze
a e n.
24. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza o).
25. Indicare con P e O le intersezioni tra le circonferenze a e o.
26. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza p).
27. Indicare con S e N le intersezioni tra le circonferenze a e p.
28. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio LP (circonferenza q).
34
29. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio LP (circonferenza r).
30. Indicare con E1 una delle intersezioni tra la circonferenza q
e quella r.
31. Tracciare una circonferenza di centro E1 e di raggio AB (circonferenza s).
32. Indicare con U1 e V1 le intersezioni tra le circonferenze a e s.
33. La distanza a tra il punto U1 e il suo successivo sarà la quarantottesima parte della circonferenza.
34. Riportare sulla circonferenza a la distanza a fino a quando la
circonferenza sarà divisa in quarantotto parti uguali.
35
Costruzione pag. 20 § 38
Figura 2.5: Divisione di una circonferenza a in 48 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
36
2.6
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in 5 parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 23 §40, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.6).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti 6 parti uguali (vedi
problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
= BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con T e H le intersezioni tra le circonferenze d e a.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con S e X le intersezioni tra le circonferenze e e a.
10. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio LA (circonferenza f ).
11. Indicare con F e I le intersezioni tra le circonferenze f e a.
12. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza g).
13. Indicare con M e N le intersezioni tra le circonferenze g e a.
37
14. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza h).
15. Indicare con O e P le intersezioni tra le circonferenze h e a.
16. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio LA (circonferenza i).
17. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio LA (circonferenza l).
18. Indicare con Q l’intersezione tra le circonferenze i e l. Tale
intersezione dovrà essere interna alla circonferenza a.
19. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BQ (circonferenza m).
20. Indicare con R e U le intersezioni tra le circonferenze m e a.
21. La distanza BR sarà la quinta parte della circonferenza. Riportare tale distanza sulla circonferenza a fino a quando la
circonferenza a non resterà divisa in 5 parti.
38
Costruzione pag.23 §40
Figura 2.6: Divisione di una circonferenza a in 5 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
39
2.7
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in 10 parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 24 §41, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.7).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti 6 parti uguali (vedi
problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
= BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con T e H le intersezioni tra le circonferenze d e a.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con S e X le intersezioni tra le circonferenze e e a.
10. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio LA (circonferenza f ).
11. Indicare con F e I le intersezioni tra le circonferenze f e a.
12. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza g).
13. Indicare con M e N le intersezioni tra le circonferenze g e a.
40
14. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza h).
15. Indicare con O e P le intersezioni tra le circonferenze h e a.
16. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio LA (circonferenza i).
17. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio LA (circonferenza l).
18. Indicare con Q l’intersezione tra le circonferenze i e l. Tale
intersezione dovrà essere interna alla circonferenza a.
19. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BQ (circonferenza m).
20. Indicare con R e U le intersezioni tra le circonferenze m e a.
21. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AQ (circonferenza n).
22. Indicare con B1 e C1 le intersezioni tra le circonferenze n e
a.
23. La distanza BB1 sarà la decima parte della circonferenza a.
Riportare tale distanza sulla circonferenza fino a quando non
risulterà divisa in 10 parti uguali.
41
Costruzione pag.24 §41
Figura 2.7: Divisione di una circonferenza a in 10 parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
42
2.8
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso,
dividerla in centoventi parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 25 §42, [4]
1. Eseguire l’algoritmo della divisione della circonferenza in
ventiquattro parti uguali di pagina 18 § 32 (v. Figura 2.8).
2. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio LA (circonferenza a1).
3. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio LA (circonferenza b1).
4. Indicare con B1 una delle intersezioni tra le circonferenze
a1 e b1. Tale intersezione dovrà essere contenuta all’interno
della circonferenza a.
5. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BB1 (circonferenza c1).
6. Indicare con C1 l’intersezione tra l’arco l’arco IB e la circonferenza c1.
7. C1V sarà la centoventesima parte della circonferenza a.
43
Costruzione pag.25 §42
Figura 2.8: Divisione di una circonferenza a in centoventi parti
uguali con l’ausilio del solo compasso
44
2.9
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in venti parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 30 §53, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 2.9).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti 6 parti uguali (vedi
problema aggiuntivo 2): BC ∼
= CE ∼
= EG ∼
= GJ ∼
= DJ ∼
= BD.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio BE (circonferenza c).
5. Indicare con L e K le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con T e H le intersezioni tra le circonferenze d e a.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con S e X le intersezioni tra le circonferenze e e a.
10. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio LA (circonferenza f ).
11. Indicare con F e I le intersezioni tra le circonferenze f e a.
12. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza g).
13. Indicare con M e N le intersezioni tra le circonferenze g e a.
45
14. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza h).
15. Indicare con O e P le intersezioni tra le circonferenze h e a.
16. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio LA (circonferenza i).
17. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio LA (circonferenza l).
18. Indicare con Q l’intersezione tra le circonferenze i e l. Tale
intersezione dovrà essere interna alla circonferenza a.
19. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BQ (circonferenza m).
20. Indicare con R e U le intersezioni tra le circonferenze m e a.
21. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AQ (circonferenza n).
22. Indicare con B1 l’intersezione tra la circonferenza n e l’arco
BS.
23. La distanza B1U sarà la ventesima parte della circonferenza.
Riportare tale distanza sulla circonferenza a fino a quando la
circonferenza a non resterà divisa in 20 parti uguali.
46
Costruzione pag.30 §53
Figura 2.9: Divisione di una circonferenza a in venti parti uguali
con l’ausilio del solo compasso
47
2.10
Data una circonferenza a, con l’ausilio del solo compasso
dividerla in duecentoquaranta parti uguali.
Riferimento: Libro secondo, pag. 31 §57, [4]
Riferimento: [1], Libro secondo, pagina 31
1. Eseguire l’algoritmo della divisione della circonferenza in
centoventi parti uguali di pagina 25 § 42.
2. Tracciare una circonferenza di raggio LP e di centro B (circonferenza a3).
3. Tracciare una circonferenza di raggio LP e di centro G (circonferenza b3).
4. Indicare con I5 le intersezioni tra le circonferenze a3 e b3.
5. Tracciare una circonferenza di raggio AB e di centro I5 (circonferenza c3).
6. Indicare con J5 le intersezioni tra le circonferenze a e c3.
7. La distanza tra il J5 e uno dei suoi punti consecutivi sarà la
duecentoquarantesima parte della circonferenza a.
48
Costruzione pag. 31 §57
Figura 2.10: Divisione di una circonferenza a in centoventi parti
uguali con l’ausilio del solo compasso
49
2.11
Dividere un arco CB in due parti uguali
Riferimento: Libro secondo, pag. 33 §60, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AC (circonferenza a0) (v. Figura 2.11)
2. Tracciare un arco CB di centro A.
3. Determinare sulla circonferenza a0 la semicirconferenza CK
(segui l’algoritmo del problema di pagina 33 § 64).
4. Se i punti C e B appartengono alla stessa semicirconferenza
e B non coincide con K, passare all’istruzione 5. Se i punti
C e B non appartengono alla stessa semicirconferenza o B
coincide con K, seguire le seguenti istruzioni:
- Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio arbitrario, che si intersechi con l’arco CB da dividere (circonferenza b0).
- Indicare con B0 l’intersezione tra la circonferenza b0 e
l’arco CB.
- Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio pari a
quello della circonferenza b0 (circonferenza c0)
- Indicare con C0 l’intersezione tra la circonferenza c0 e
l’arco CB.
- Passare all’istruzione 16
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CA (circonferenza a).
6. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BA (circonferenza b).
7. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio BC (circonferenza c).
50
8. Indicare con G uno dei punti d’intersezione della circonferenza c con quella a.
9. Indicare con H uno dei punti d’intersezione della circonferenza c con quella b.
10. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GB (circonferenza d).
11. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HC (circonferenza e).
12. Indicare con I uno dei punti d’intersezione fra le circonferenze d e e.
13. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio IA (circonferenza f ).
14. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio IA (circonferenza g).
15. Indicare con J il punto di intersezione fra le circonferenze g
e f e l’arco CB. Tale punto dividerà l’arco BC in due parti
uguali.
16. Tracciare una circonferenza di centro C0 e di raggio C0A
(circonferenza a).
17. Tracciare una circonferenza di centro B0 e di raggio B0A
(circonferenza b).
18. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio B0C0
(circonferenza c).
19. Indicare con G uno dei punti d’intersezione della circonferenza c con quella a.
20. Indicare con H uno dei punti d’intersezione della circonferenza c con quella b.
51
21. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GB (circonferenza d).
22. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HC (circonferenza e).
23. Indicare con I uno dei punti d’intersezione fra le circonferenze d e e.
24. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio IA (circonferenza f ).
25. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio IA (circonferenza g).
26. Indicare con J il punto di intersezione fra le circonferenze g
e f e l’arco CB. Tale punto dividerà l’arco B0C0 in due parti
uguali e di conseguenza anche l’arco BC.
52
Costruzione pag.33 §60
Figura 2.11: Divisione di un arco CB in due parti uguali con
l’ausilio del solo compasso
53
54
Libro 3
3.1
Duplicare il segmento AB con l’ausilio del solo compasso
Riferimento: Libro terzo, pag. 36 §64, [4]
1. Tracciare un segmento che abbia per estremi i punti A e B
(segmento a) (v. Figura 3.1).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
4. Indicare con C una delle intersezioni tra le circonferenze a e
b.
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
6. Indicare con D la restante intersezione tra le circonferenze a
e c.
7. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
8. Indicare con E la restante intersezione tra le circonferenze a
e d.
9. Il segmento BE sarà il doppio del segmento AB.
55
Costruzione pag.36 §64
Figura 3.1: Duplicare, con l’ausilio del solo compasso un
segmento AB
56
3.2
Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, triplicarlo, quadruplicarlo, ecc.
Riferimento: Libro terzo, pag. 37 §65, [4]
Il seguente algoritmo darà le istruzioni su come triplicare un
segmento.
1. Tracciare un segmento che abbia come vertici i punti A e B
(segmento a) (v. Figura 3.2).
2. Duplicare il segmento AB (vedi problema pagina 36 § 64).
3. Duplicare il segmento BE (vedi problema pagina 36 § 64).
57
Costruzione pag.65 §37
Figura 3.2: Duplicare, con l’ausilio del solo compasso un
segmento AB
58
3.3
Dato un segmento AB dividerlo in due parti uguali con l’ausilio del solo compasso
Riferimento: Libro terzo, pag. 37 §66, [4]
1. Tracciare un segmento che abbia come estremi i punti A e B
(segmento a) (v. Figura 3.3).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Determinare un punto E sulla circonferenza a opposto a B
rispetto a quello A (vedi problema pagina 36 § 64).
4. Indicare con b la circonferenza, tracciata nell’istruzione precedente, di centro A e di raggio AB.
5. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza c).
6. Indicare con P e P1 le intersezioni tra le circonferenze b e c.
7. Determinare un punto M1 sulla circonferenza b opposto a P1
rispetto a quello B (vedi problema pagina 36 § 64).
8. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PB (circonferenza c).
9. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio PM1 (circonferenza d).
10. Indicare con M una delle intersezioni tra le circonferenze c e
d. Il punto M dovrà essere contenuto nella circonferenza a.
11. Il punto M sarà il punto medio del segmento AB.
59
Costruzione pag.37 §66
Figura 3.3: Dividere in due parti uguali, con l’ausilio del solo
compasso un segmento AB
60
3.4
Continuare a suddividere in maniera ricorsiva il segmento
AB con l’ausilio del solo compasso
Riferimento: Libro terzo, pag. 42 §67, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 3.4).
2. Determinare un punto E sulla circonferenza a opposto al
punto B rispetto al punto A (vedi problema pagina 36 § 64).
3. Indicare con b la circonferenza, tracciata nell’istruzione precedente, di centro B e di raggio AB.
4. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza c).
5. Indicare con P e P1 le intersezioni tra le circonferenze b e c.
6. Determinare un punto L sulla circonferenza b opposto al
punto P1 rispetto al punto B (vedi problema pagina 36 § 64).
7. Indicare con d la circonferenza, tracciata nell’istruzione precedente, di centro P1 e di raggio AB.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio LP1 (circonferenza e).
9. Indicare con M una delle intersezioni tra la circonferenza d e
quella e. Il punto M dovrà essere contenuto all’interno della
circonferenza a.
10. Il segmento AM risulterà essere la metà del segmento AB.
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AP (circonferenza f ).
12. Indicare con Q e Q1 le intersezioni tra le circonferenze c e f .
61
13. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QB (circonferenza g).
14. Tracciare una circonferenza di centro Q1 e di raggio Q1B
(circonferenza h).
15. Indicare con N il restante punto d’intersezione tra la circonferenza g e h.
16. Il segmento AN risulterà essere la metà del segmento AM.
Si potrà continuare all’infinito a determinare la metà della
metà del segmento AB:
1. Tracciare una circonferenza a1 di centro A e di raggio la distanza tra il punto A e una degli ultimi due punti determinati
sulla circonferenza c.
2. Indicare con due lettere a piacere le intersezioni tra le circonferenze a1 e c.
3. Tracciare due circonferenze che abbiano come centro i punti determinati nell’istruzione precedente e come raggio la
distanza fra quest’ultimi e il punto B.
4. La restante intersezione tra le circonferenze dell’istruzione
precedente sarà una delle metà.
62
Costruzione pag.42 §67
Figura 3.4: Dividere in due parti uguali, con l’ausilio del solo
compasso un segmento AB
63
3.5
Dividere un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, in
tre parti uguali.
Riferimento: Libro terzo, pag. 47 §68, [4]
1. Aggiungere in linea retta al segmento BA un segmento BV
(vedi algoritmo di pagina 36 §64) (v. Figura 3.5).
2. Aggiungere in linea retta al segmento AE un segmento BV
(vedi algoritmo di pagina 36 §64).
3. Tracciare una circonferenza di centro V e di raggio V E (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio V E (circonferenza b).
5. Tracciare una circonferenza di centro V e di raggio VA (circonferenza c).
6. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza d).
7. Indicare con Q e Q1 le intersezioni tra la circonferenza a e
quella c.
8. Indicare con P e P1 le intersezioni tra la circonferenza b e
quella d.
9. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PE (circonferenza e).
10. Tracciare una circonferenza di centro P1 e di raggio P1E
(circonferenza f ).
11. Indicare con T la restante intersezione tra la circonferenza e
e quella f .
64
12. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QV (circonferenza g).
13. Tracciare una circonferenza di centro Q1 e di raggio Q1V
(circonferenza h).
14. Indicare con T1 la restante intersezione tra la circonferenza h
e quella i.
65
Costruzione pag.47 §68
Figura 3.5: Dividere in due parti uguali, con l’ausilio del solo
compasso un segmento AB
66
3.6
Dividere un segmento BA, con l’ausilio del solo compasso,
dividerlo in n parti uguali
Riferimento: Libro terzo, pag. 48 §69, [4]
1. Aggiungere in linea retta al segmento AB n−1 segmenti congruenti ad AB: ad esempio se si è deciso di dividere il segmento BA in cinque parti, bisognerà aggiungere, al segmento
AB, in linea retta, quattro segmenti congruenti a quest’ultimo
(vedi problema pagina 36 § 64).
2. Indicare il segmento pari a 5 · AB con AH.
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BA (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio BA (circonferenza b).
5. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HB (circonferenza c).
6. Indicare con C una delle intersezioni tra la circonferenza c e
quella a.
7. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio HB (circonferenza d).
8. Indicare con I una delle intersezioni tra la circonferenza c e
quella b.
9. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza e).
10. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio CI (circonferenza f ).
11. Indicare con K una delle intersezioni tra le circonferenza a e
quella f .
67
1
12. BK sarà del segmento AB.
n
Costruzione pag.48 §69
Figura 3.6: Dividere in n parti uguali, con l’ausilio del solo
compasso un segmento AB
68
Libro 4
4.1
Ad un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, sottrarre
in linea retta un segmento CD
Riferimento: Libro quarto, pag. 53 §72, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio CD (circonferenza a) (v. Figura 4.1).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio arbitrario
(circonferenza b).
3. Indicare con E ed F le intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
4. Dividere in due parti uguali l’arco EF in L (vedi pagina 33
§ 60). Il punto L dovrà essere contenuto all’interno della
circonferenza b.
69
Costruzione pag.53 §72
Figura 4.1: Sottrarre, con l’ausilio del solo compasso ad un
segmento AB un segmento CD
70
4.2
Ad un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, aggiungere in linea retta un segmento CD
Riferimento: Libro terzo, pag. 54 §73, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio CD (circonferenza a) (v. Figura 4.2).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio arbitrario
(circonferenza b).
3. Indicare con E ed F le intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
4. Dividere in due parti uguali l’arco EF in K (vedi pagina 33 §
60). Il punto K non dovrà essere contenuto all’interno della
circonferenza b.
71
Costruzione pag.54 §73
Figura 4.2: Aggiungere in linea retta al segmento AB, con l’ausilio
del solo compasso, un segmento CD
72
4.3
Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, riportare da B verso A un segmento CD maggiore di quello
AB
Riferimento: Libro terzo, pag. 55 §74, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio CD (circonferenza a) (v. Figura 4.3).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio arbitrario(circonferenza b).
3. Indicare con E e F le intersezioni tra le circonferenze a e b.
4. Determinare il punto medio J dell’arco dell’arco FE ( vedi
problema pagina 33 § 60).
5. Risulterà che il segmento JB è congruente a quello CD.
73
Costruzione pag.55 §74
Figura 4.3: Aggiungere in linea retta al segmento AB, con l’ausilio
del solo compasso, un segmento CD
74
4.4
Dati due punti A e B trovare con l’ausilio del solo compasso
un punto M tale che il segmento BM sia perpendicolare al
segmento AB in B e congruente ad un segmento CD dato
Riferimento: Libro quarto, pag. 56 §76, [4]
1. Tracciare un segmento AB (segmento a) (v. Figura 4.4).
2. Tracciare un segmento CD (segmento b).
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio CD (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza b).
5. Indicare con F e con E le intersezioni fra le circonferenze a
e b.
6. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza c).
7. Indicare con T una delle intersezioni fra le circonferenze c e
b.
8. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio TA (circonferenza d).
9. Indicare con H una delle intersezioni fra le circonferenze c e
d.
10. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio T H (circonferenza e).
11. Indicare con I una delle intersezioni fra le circonferenze c e
e.
12. Collegare B con I.
75
13. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio IB (circonferenza f ).
14. Indicare con O e con G le intersezioni fra le circonferenze a
e f.
15. Collegare i seguenti punti e verificare se si ottiene un trapezio (in caso contrario tornare all’istruzione precedente):
A con il punto E
E con il punto G
G con il punto I.
16. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza g).
17. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GB (circonferenza h).
18. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio EG (circonferenza i).
19. Indicare con J e con K le intersezioni delle circonferenze geh
con quella i.
20. Collegare i punti J, K, E e G in modo da ottenere un trapezio
e verificare se il segmento JK sia la base maggiore (in caso
contrario tornare all’istruzione precedente).
21. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio JG (circonferenza l).
22. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio KE (circonferenza m).
23. Indicare con L una delle intersezioni tra le circonferenze l e
m.
24. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio LB (circonferenza n).
76
25. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio LB (circonferenza o).
26. Indicare con M una delle intersezioni tra le circonferenze n
e o.
27. Collegare M con B.
Costruzione pag.56 §76
Figura 4.4: Aggiungere in linea retta al segmento AB, con l’ausilio
del solo compasso, un segmento CD
77
4.5
Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso individuare una punto D tale che il segmento BD sia perpendicolare ad AB
Riferimento: Libro quarto, pag. 57 §77, [4]
1. Tracciare un segmento AB (v. Figura 4.5).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza b).
4. Indicare con C una delle intersezioni fra le circonferenze a e
b.
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
6. Indicare con E una delle intersezione fra la circonferenza c
e quella a.
7. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza d).
8. Indicare con D una delle intersezioni fra la circonferenza c e
quella d.
9. Tracciare un segmento che abbia per estremi i punti B D.
78
Costruzione pag.57 §77
Figura 4.5: Dato un segmento AB, con l’ausilio del solo compasso, determinarne un secondo, DB, che sia perpendicolare al
primo
79
4.6
Data una retta passante per i punti A e B ed un punto D, che
non appartiene alla retta, determinare con l’ausilio del solo
compasso E tale che il segmento avente per estremi i punti
D e E sia perpendicolare alla retta passante per i punti A e
B; inoltre sempre con l’ausilio del solo compasso determinare
M punto d’intersezione tra il segmento DE e la retta passante
per i punti A e B
Riferimento: Libro quarto, pag. 58 §78, [4]
1. Tracciare una retta che passi per i punti A e B (retta a) (v.
Figura 4.6).
2. Arbitrariamente prendere sul piano un punto D.
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AD (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza b).
5. Indicare con E la restante intersezione fra le circonferenze a
e b.
6. Tracciare un segmento che abbia per estremi D ed E (segmento a). Tale segmento sarà perpendicolare alla retta a.
7. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio ED (circonferenza c).
8. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio ED (circonferenza d).
9. Indicare con con F e con R le intersezioni fra le circonferenze c e d.
80
10. Indicare con con P una delle intersezioni fra la circonferenza
d e b.
11. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FE (circonferenza e).
12. Indicare con con H le intersezioni fra le circonferenze e e c.
13. Indicare con con I le intersezioni fra le circonferenze e e d.
14. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio FH (circonferenza f ).
15. Indicare con con L la restante intersezione fra le circonferenza f e c.
16. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio LD (circonferenza g).
17. Indicare con N e V le intersezioni tra le circonferenza d e
quella g.
18. Individuare la semicirconferenza V Q sulla circonferenza d
(vedi l’algoritmo di pagina 36 §64).
19. Indicare con g1 la circonferenza di centro V e di raggio pari
a quello della circonferenza d.
20. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio QN (circonferenza h).
21. Indicare con M una delle intersezioni tra la circonferenza g1
e quella h. Tale intersezione dovrà essere contenuta all’interno della circonferenza a.
81
Costruzione pag.58 §78
Figura 4.6: Data una retta passante per i punti A e B ed un punto
D, che non appartiene alla retta, determinare con l’ausilio del solo compasso E tale che il segmento avente per estremi i punti D
e E sia perpendicolare alla retta passante per i punti A e B; inoltre sempre con l’ausilio del solo compasso determinare M punto
d’intersezione tra il segmento DE e la retta passante per i punti A
eB
82
4.7
Individuare con l’ausilio del solo compasso una retta b che
sia perpendicolare al segmento DE in C, punto medio di tale
segmento
Riferimento: Libro quarto, pag. 58 §79, [4].
1. Tracciare un segmento, che abbia per estremi i punti D ed E
(v. Figura 4.7).
2. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio arbitrario
(circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio arbitrario
(circonferenza b).
4. Indicare con A e con B le intersezioni delle circonferenze a
e b (se le circonferenze a e b non si intersecano, aumentare
il rag).
5. Tracciare una retta che passi per i punti A e B (retta b).
83
Costruzione pag.58 §79
Figura 4.7: Determinare una retta b che sia perpendicolare al
segmento DE nel suo punto medio
84
4.8
Data una retta a ed un punto C fuori di essa, trovare la retta
passante per quest’ultimo che sia parallela ad a
Riferimento: Libro quarto, pag. 59 §80, [4]
1. Tracciare una retta passante per i punti A e B (retta a) (v.
Figura 4.8).
2. Prendere un punto C non appartennete alla retta a
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AC (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AC (circonferenza b).
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
6. Indicare con D una delle intersezioni tra la circonferenza c e
quella b
7. Verificare se il punto D giaccia sullo stesso semipiano delimitato dalla retta a (in caso contrario ritornare all’istruzione
precedente).
8. Tracciare una retta che passi per i punti C e D (retta b).
85
Costruzione pag.59 §80
Figura 4.8: Data una retta a ed un punto C fuori di essa, trovare la
retta passante per quest’ultimo che sia parallela ad a
86
4.9
Tracciare un segmento LD parallelo ad una retta a e congruente ad un segmento MN con l’ausilio del solo compasso
Riferimento: Libro quarto, pag. 59 §81, [4]
1. Tracciare una retta passante per i punti A e B (retta a) (v.
Figura 4.9).
2. Tracciare un segmento avente per estremi i punti M e N.
3. Sul piano prendere arbitrariamente un punto C.
4. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AC (circonferenza a).
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza b).
6. Indicare con D una delle intersezioni fra la circonferenza a e
quella b.
7. Verificare se il segmento CD non intersechi la retta a (in caso
contrario ritornare all’istruzione precedente).
8. Verificare se il segmento CD sia maggiore o minore del segmento MN.
9. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio MN (circonferenza c).
10. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio MN (circonferenza d).
11. Indicare con E ed F le intersezioni fra la circonferenza c e
quella d.
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EC (circonferenza e).
87
13. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FC (circonferenza f ).
14. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio EF (circonferenza g); in alcuni casi tale circonferenza può coincidere o con la circonferenza b o con quella c.
Eseguire le seguenti istruzioni se la circonferenza g non coincide nè con quella b nè con quella c.
14.1 Indicare con G e L le intersezioni della circonferenza e con
quella g.
14.2 Indicare con H e K le intersezioni della circonferenza e con
quella f .
14.3 Collegare i punti G, L, H e K in modo da ottenere un trapezio. Nel caso
14.4 Verificare se il segmento GH sia la base maggiore del trapezio GLHK (in caso contrario, cambiare il nome dei punti
del trapezio in modo da far diventare il segmento GH la base
maggiore).
14.5 Cancellare i segmenti che uniscono i punti G, L, H e K.
Eseguire le seguenti istruzioni se la circonferenza g non coincide con quella b.
14.6 Indicare con G uno dei punti d’intersezione della circonferenza e con quella g; tale punto non dovrà coincidere con
D.
14.7 Indicare con H uno dei punti d’intersezione della circonferenza e con quella f ; tale punto non dovrà coincidere con
D.
Eseguire le seguenti istruzioni se la circonferenza g non coincide con quella c.
88
14.8 Indicare con G uno dei punti d’intersezione della circonferenza e con quella g; tale punto non dovrà coincidere con
E.
14.9 Indicare con H uno dei punti d’intersezione della circonferenza e con quella g; tale punto non dovrà coincidere con
F.
Le seguenti istruzioni sono valide per tutti:
15. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HE (circonferenza h).
16. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GF (circonferenza i).
17. Indicare con I una delle intersezioni tra la circonferenza i e
quella h.
18. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio IC (circonferenza l).
19. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio IC (circonferenza m).
20. Indicare con J una delle intersezioni delle circonferenze l e
m.
CJ sarà il segmento cercato.
89
Costruzione pag.59 §81
Figura 4.9: Tracciare un segmento LD parallelo ad una retta a e
congruente ad un segmento MN con l’ausilio del solo compasso
90
4.10
Verificare se i punti A, B e C siano in linea retta
Riferimento: Libro quarto, pag. 60 §82, [4]
1. Disegnare 3 punti A, B e C (v. Figura 4.10).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AC (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CA (circonferenza b).
4. Indicare con D e con E i punti d’intersezione fra le circonferenze D e E.
5. Verificare per ogni punto se sia equidistante da D e E.
Se si ottiene un riscontro positivo verificando l’ultima istruzione allora i punti A, B e C saranno in linea retta.
91
Costruzione pag.60 §82
Figura 4.10: Esaminare se tre punti A, B e C sono in linea retta
92
4.11
Verifica se la retta passante per i punti A e D sia perpendicolare a quella passante per i punti A e B
Riferimento: Libro quarto, pag. 61 §83, [4]
1. Tracciare una retta passante per i punti A e B (retta a) (v.
Figura 4.11).
2. Tracciare una retta passante per i punti A e D (retta b).
3. Tracciare una circonferenza di centro A e raggio AB (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro B e raggio BA (circonferenza b).
5. Indicare una delle intersezioni fra la circonferenza a e quella
b con C.
6. Tracciare una circonferenza di centro C e raggio AB (circonferenza c).
7. Indicare una delle intersezioni fra la circonferenza a e quella
c con F (l’altra intersezione fra le due circonferenze coincide
con B).
8. Tracciare una circonferenza di centro F e raggio AB (circonferenza d).
9. Indicare una delle intersezioni fra la circonferenza a e quella
d con E (l’altra intersezione fra le due circonferenze coincide
con C).
10. Verificare se la distanza fra ED sia equivalente a quella BD.
Se si ottiene un riscontro positivo all’ultima istruzione allora
le rette a e b saranno perpendicolari.
93
Costruzione pag.61 §83
Figura 4.11: Tracciare un segmento LD parallelo ad una retta a e
congruente ad un segmento MN con l’ausilio del solo compasso
94
4.12
Verificare, con il solo compasso, se la retta che passa per
i punti D e F sia perpendicolare alla retta che passa per i
punti A e B
Riferimento: Libro quarto, pag. 62 §84, [4]
1. Tracciare una retta passante per i punti A e B (retta a) (v.
Figura 4.12).
2. Tracciare una retta passante per i punti D e F (retta b).
3. Indicare con O il punto d’intersezione fra le rette a e b (tale
punto non dovrà coincidere con i punti A,B,D e F).
4. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AD(circonferen
a).
5. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD(circonferen
b).
6. Indicare con E uno dei due punti d’intersezione fra le circonferenze a e b (l’altro dovrà coincidere con il punto D).
7. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DE(circonferen
c).
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio ED(circonferen
d).
9. Indicare con G e H i punti d’intersezione fra le circonferenze
c e d.
10. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GD(circonferen
e).
11. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HD(circonfere
f ).
95
12. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GF(circonferen
g).
13. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HF(circonferen
h).
14. Verificare se la circonferenza e sia congruente alla circonferenza f .
15. Verificare se la circonferenza g sia congruente alla circonferenza h.
Se si ottiene un riscontro positivo verificando le ultime due
istruzioni allora le rette a e b saranno perpendicolari.
96
Costruzione pag.62 §84
Figura 4.12: Verificare, con il solo compasso, se la retta che passa
per i punti D e F sia perpendicolare alla retta che passa per i punti
AeB
97
4.13
Esaminare, con il solo compasso, se due rette siano parallele
Riferimento: Libro quarto, pag. 63 §85,[4]
1. Tracciare una retta passante per i punti A e B (v. Figura 4.13.
2. Tracciare una retta passante per i punti C e D.
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AD (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza b).
5. Indicare uno dei punti d’inerdezione tra le circonferenze a e
b con E (l’altro punto d’intersezione delle due circonferenze
dovrà coincidere con D).
6. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AC (circonferenza c).
7. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BC (circonferenza d).
8. Indicare uno dei punti d’inerdezione tra le circonferenze c e
d con F (l’altro punto d’intersezione delle due circonferenze
dovrà coincidere con C).
9. Verificare se la distanza tra i punti C e F e quella fra i punti
D e E sia equivalente. In caso contrario le rette non sono
parallele.
98
Costruzione pag.63 §85
Figura 4.13: Esaminare, con il solo compasso, se due rette siano
parallele
99
100
Libro 5
101
5.1
Trovare, con l’ ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
maggiore della seconda.
Riferimento: Libro quinto, pag. 64 § 86 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio Qp (
circonferenza a ). (v. Figura 5.1).
2. Tracciare un segmento MN che sia minore di Qp.
3. Tracciare una circonferenza di centro p e di raggio MN (
circonferenza b ).
4. Indicare con A e B le intersezioni fra le circonferenze a e b.
5. Tracciare una semicirconferenza di centro A.
6. Indicare S il punto dove finisce la semicirconferenza.
7. Unire il punto B con il punto S.
8. Verificare che BS sia la terza proporzionale tra le distanze
Qp e MN.
102
Costruzione pag.64 §86
Figura 5.1: Trovare, con l’ ausilio del solo compasso, la terza
proporzionale tra le due distanze103
Qp ed MN, sapendo che la prima
è maggiore della seconda
5.2
Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore della seconda, però maggiore della sua metà.
Riferimento: Libro quinto, pag. 65 § 87 [4]
1. Tracciare un segmento Qp che sia minore del secondo segmento MN, ma maggiore della sua metà. (v. Figura 5.2).
2. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio Qp (circonferenza a).
3. Tracciare un segmento MN.
4. Tracciare una circonferenza di centro p e di raggio MN (circonferenza b).
5. Indicare con A e B le intersezioni fra le circonferenze a e b.
6. Tracciare una semicirconferenza di centro A.
7. Indicare S il punto dove finisce la semicirconferenza.
8. Unire il punto B con il punto S.
9. Verificare che BS sia la terza proporzionale tra le distanze
Qp e MN.
104
Costruzione pag.65 §87
Figura 5.2: Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore del- la seconda, però maggiore della sua metà.
105
5.3
Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore della seconda.
Riferimento: Libro quinto, pag. 66 § 89 [4]
1. Tracciare un segmento MN. (v. Figura 5.3).
2. Tracciare una circonferenza di centro p e di raggio MN (
circonferenza a ).
3. Tracciare un segmento pQ che sia minore della metà del
segmento MN.
4. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio Qp (
circonferenza b .)
5. Indicare con Q1 il vertice in alto della circonferenza b.
6. Tracciare una circonferenza di centro Q1 e di raggio Q1 p (
circonferenza c ).
7. Indicare con A e B Ie intersezioni fra le circonferenze a e c.
8. Tracciare una semicirconferenza che inizi dal punto A.
9. Indicare con S il punto finale della semicirconferenza
10. Aggiungere in linea retta al punto S un segmento uguale a
BS.
11. Indicare con S1 il punto finale di questo segmento.
12. Sarà BS la terza proporzionale alle due distanze Qp e MN.
13. Verificare che BS sia la terza proporzionale.
106
Costruzione pag.66 §89
Figura 5.3: Trovare, con l’ausilio del solo compasso, la terza proporzionale tra le due distanze Qp ed MN, sapendo che la prima è
minore della seconda.
107
5.4
Trovare,con l’ausilio del solo compasso, la quarta proporzionale tra le distanze PQ;RS;TV .
Riferimento: Libro quinto, pag. 68 § 93 [4]
1. Tracciare tre distanze PQ;RS;TV di cui PQ sia la più lunga
e RS la più corta. (v. Figura 5.4).
2. Unire il punto P con il punto Q.
3. Unire il punto R con il punto S.
4. Unire il punto T con il punto V .
5. Tracciare un punto O.
6. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio PQ(circonferen
a).
7. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio RS (circonferenza b).
8. Indicare con B un punto qualsiasi sulla circonferenza a.
9. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio OB (circonferenza c).
10. Indicare C l’ intersezione tra la circonferenze a e c.
11. Indicare con D l’ intersezione fra la circonferenze b e c.
12. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio BD (circonferenza d).
13. Indicare con E l’ intersezione tra le circonferenze b e d.
14. Unire il punto C con il punto O.
15. Unire il punto O con il punto B.
16. Unire il punto O con il punto E.
108
17. Unire il punto O con il punto D.
18. Unire il punto C con il punto B.
19. Unire il punto B con il punto D.
20. Unire il punto E con il punto D.
21. Unire il punto E con il punto C.
22. Sarà ED la quarta proporzionale tra le distanze PQ;RS;TV .
23. Verificare che ED sia la quarta proporzionale.
109
Costruzione pag.68 §93
Figura 5.4: Trovare,con l’ausilio del solo compasso, la quarta
proporzionale tra le distanze PQ;RS;TV .
110
5.5
Dividere, con l’ ausilio del solo compasso, il segmento MN in
P così che sia proporzionale alle due distanze P1Q ed RS.
Riferimento: Libro quinto, pag. 70 § 96 [4]
1. Tracciare tre distanze P1Q;RS;MN di cui MN sia la più lunga
e RS la più corta (v. Figura 5.5).
2. Aggiungere i linea retta al segmento P1Q il segmento RS.
3. Indicare con V il punto finale di questo nuovo segmento.
4. Unire il punto P1 con il punto Q.
5. Unire il punto Q con il punto V .
6. Unire il punto R con il punto S.
7. Tracciare un punto O a caso.
8. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio P1V (circonferenza a).
9. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio MN (circonferenza b).
10. Indicare con B un punto qualsiasi sulla circonferenza a.
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio P1Q (circonferenza c).
12. Indicare C l’ intersezione tra la circonferenze a e c
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio P1Q (circonferenza d).
14. Indicare con D l’ intersezione fra la circonferenze b e d.
15. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio OB (circonferenza e).
111
16. Indicare con E l’ intersezione tra le circonferenze b e e.
17. Unire il punto E con il punto D.
18. Unire il punto M con il punto N.
19. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio ED: in
questo modo si sarà riportata la distanza ED sul segmento
MN (circonferenza f )
20. Indicare con P l’ intersezione fra la circonferenza f e il segmento MN.
21. In questo modo si sarà diviso il segmento MN in parti proporzionali alle distanze P1Q e RS.
112
Costruzione pag.70 §96
Figura 5.5: Dividere, con l’ ausilio del solo compasso, il segmento
MN in P così che sia proporzionale alle due distanze P1Q ed RS .
113
5.6
Dividere, con l’ ausilio del solo compasso,il segmento in estrema e media ragione (sezione aurea).
Riferimento: Libro quinto, pag. 71 § 97 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 5.6).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione tra le circonferenze a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’ intersezione tra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’ intersezione tra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’ intersezione tra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio BD (circonferenza g).
12. Indicare con a l’ intersezione tra le circonferenze f e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio Aa (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio Aa (circonferenza i).
114
15. Indicare con b l’ intersezione tra le circonferenze h e i.
16. Unire il punto B con il punto b.
17. Unire il punto b con il punto A.
Costruzione pag.71 §97
Figura 5.6: Dividere, con l’ ausilio del solo compasso,il segmento
in estrema e media ragione(sezione aurea).
115
116
Libro 6
6.1
Determinare con l’ausilio del solo compasso le radici quadrate dei primi 10 numeri interi
Riferimento: Libro sesto, pag. 73 §100,[4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB, che
dovrà avere valore unitario (circonferenza a) (Figura 6.1).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C e C1 le intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
5. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
7. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio ED (circonferenza e).
117
9. Indicare con D1 la restante intersezione tra la circonferenza
a e quella e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio BD (circonferenza g).
12. Indicare con A1 e A2 le intersezioni tra la circonferenza f e
quella g.
13. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DB (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro D1 e di raggio D1B
(circonferenza i).
15. Indicare con V la restante intersezione tra la circonferenza h
e quella i.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AA1 (circonferenza l).
17. Indicare con F una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella l.
18. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FA (circonferenza m).
19. Indicare con T la restante intersezione tra la circonferenza b
e quella m.
Le segueti distanze saranno le radici quadrate dei primi dieci
numeri interi:
1. La distanza AC sarà la radice quadrata di 1.
2. La distanza AA1 sarà la radice quadrata di 2.
3. La distanza BD sarà la radice quadrata di 3.
118
4. La distanza DC1 sarà la radice quadrata di 4.
5. La distanza ET sarà la radice quadrata di 5.
6. La distanza A1V sarà la radice quadrata di 6.
7. La distanza C1V sarà la radice quadrata di 7.
8. La distanza A1A2 sarà la radice quadrata di 8.
9. La distanza BV sarà la radice quadrata di 9.
10. La distanza TV sarà la radice quadrata di 10.
119
Costruzione pag.73 §100
Figura 6.1: Determinare, con il solo compasso, le radici quadrate
dei primi dieci numeri interi
120
6.2
Trovare, con l’ausilio del solo compasso le radici quadrate
dei numeri dal 10 al 36
Riferimento: Libro sesto, pag. 75 §101,[4]
Prima di iniziare la costruzione in GeoGebra eseguire le seguenti istruzioni:
1. Scegliere un numero che sia maggiore di 10 e minore di 36
(N) (Figura 6.2).
2. Trovare il quadrato perfetto che sia prossimamente maggiore
(N1).
3. Eseguire la seguente differenza N1 − N (il risultato di tale
sottrazione sarà indicato con N2)
1. Tracciare una circonferenza (a) di centro (G) arbitrario e di
raggio (GH) pari alla radice quadrata di N2(vedi algoritmo
di pagina 73 § 100).
2. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio GH (circonferenza b).
3. Indicare con I una delle intersezioni delle due circonferenze.
4. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio IH (circonferenza c).
5. Indicare la restante intersezione tra le circonferenze a e c con
J.
6. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio JI (circonferenza d).
7. Indicare la restante intersezione tra le circonferenze a e d
con K.
8. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio pari alla
radice quadrata di N1 (circonferenza e).
121
9. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio pari alla
radice quadrata di N1 (circonferenza f ).
10. Indicare con L una delle intersezioni tra la circonferenza e
ed f .
11. La distanza tra il centro della circonferenza a (G) e il punto
L sarà la radice quadrata del numero cercato.
122
Costruzione pag.75 §101
Figura 6.2: Determinare, con il solo compasso, le radici quadrate
dei numeri interi da 10 a 36
123
6.3
Determinare con l’ausilio del solo compasso le metà delle
radici dei numeri interi da 1 fino a 25
Riferimento: Libro sesto, pag. 78 §104,[4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB, che
sarà pari ad 1 (circonferenza a).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
5. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
7. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio ED (circonferenza e).
9. Indicare con D1 la restante intersezione tra la circonferenza
a e quella e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio BD (circonferenza g).
124
12. Indicare con A1 e A2 le intersezioni tra la circonferenza f e
g.
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AA1 (circonferenza h).
14. Indicare con M e M1 le intersezioni tra la circonferenza g e
h.
15. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AA1 (circonferenza i).
16. Indicare con N e N1 le intersezioni tra la circonferenza f e
quella i.
17. Indicare con F una delle intersezioni tra la circonferenza h e
quella i.
18. Indicare con P e P1 le intersezioni tra la circonferenza b e
quella i.
19. Indicare con Q e Q1 le intersezioni tra la circonferenza e e
quella h.
20. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PB (circonferenza l).
21. Tracciare una circonferenza di centro P1 e di raggio P1B (circonferenza m).
22. Indicare con R la restante intersezione tra la circonferenza l
e quella m.
23. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QE (circonferenza n).
24. Tracciare una circonferenza di centro Q1 e di raggio Q1E
(circonferenza o).
25. Indicare con T la restante intersezione tra la circonferenza n
e quella o.
125
26. Tracciare una circonferenza di centro A2 e di raggio AB (circonferenza p).
27. Indicare con G1 una delle intersezioni tra la circonferenza p
e quella a.
28. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio AB (circonferenza q).
29. Indicare con L ed L1 le intersezioni tra le circonferenze q e
a.
30. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio AB (circonferenza r).
31. Indicare con O una delle intersezioni tra le circonferenze a e
n.
32. Indicare con O1 una delle intersezioni tra le circonferenze a
e o.
33. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio OA (circonferenza s).
34. Tracciare una circonferenza di centro O1 e di raggio O1A
(circonferenza t).
35. Indicare la restante intersezione tra la circonferenza s e quella t con H.
36. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HT (circonferenza u).
37. Indicare con V e V1 le intersezioni tra la circonferenza u e
quella r.
38. Indicare con S la restante intersezione tra la circonferenza l
e quella a.
39. Indicare con I la restante intersezione tra la circonferenza l e
quella b.
126
Costruzione pag.78 §104
RA = 1/2 √1
RQ = 1/2 √2
RD = 1/2 √3
RP = 1/2 √4
RF = 1/2 √5
AM = 1/2 √6
Qq = 1/2 √7
Aa = 1/2 √8
BR = 1/2 √9
BL = 1/2 √10
pS = 1/2 √11
BD = 1/2 √12
HE = 1/2 √25
RA = 1/2 √13
RQ = 1/2 √14
RD = 1/2 √15
RP = 1/2 √16
RF = 1/2 √17
AM = 1/2 √18
Qq = 1/2 √19
Aa = 1/2 √20
BR = 1/2 √21
BL = 1/2 √22
pS = 1/2 √23
BD = 1/2 √24
Figura 6.3: Determinare, con l’uso del solo compasso, le metà
delle radici quadrate dei numeri da 1 a 25
127
128
Libro 7
7.1
Dati due punti L e M di una retta e il centro A con il raggio
AB di un arco BCD; trovare con l’ ausilio del solo compasso,
i due punti P e Q nei quali la retta LM taglia l’ arco BCD.
Riferimento: Libro settimo, pag. 92 § 110 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 7.1).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione fra le circonferenze a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze c e a.
6. Tracciare una retta passante per i punti M e L (retta a). Tale
retta si dovrà intersecare con la circonferenza a.
7. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio MA (circonferenza d).
8. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio LA (circonferenza e).
129
9. Indicare con V l’ intersezione fra le circonferenze d e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro V e di raggio AB (circonferenza f ).
11. Indicare con P l’ intersezione fra le circonferenze f e a.
12. Indicare con Q l’ intersezione fra le circonferenze f e a.
13. Unire il punto M con il punto L .
14. Saranno i punti P e Q dove la retta LM taglia l’ arco BCD.
130
Costruzione pag.92 §110
Figura 7.1: Dati due punti L e M di una retta e il centro A con il
raggio AB di un arco BCD; trovare con l’ ausilio del solo compasso, i due punti P e Q nei quali la retta LM taglia l’ arco
BCD.
131
132
Libro 8
8.1
Dato un angolo AB̂C e due punti A1 e B1, determinare, con
l’ausilio del solo compasso, il punto C1 tale che l’angolo B1Â1C1
Riferimento: Libro ottavo, pag. 98 §114,[4]
d (Figura 8.1).
1. Tracciare un angolo ABC
2. Arbitrariamente prendere sul piano i punti A1,B1,D e I.
3. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza a).
4. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio BC (circonferenza b).
5. Prendere arbitrariamente sulla circonferenza a un punto E
6. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio A1B1
(circonferenza c).
7. Indicare con F una delle intersezioni tra le circonferenze a e
c.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio arbitrario
(circonferenza d).
133
9. Indicare con G una delle intersezioni tra le circonferenze b e
d.
10. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio EG (circonferenza e).
11. Indicare con H una delle intersezioni tra la circonferenza b e
quella e.
12. Tracciare una retta passante per i punti ED (retta a).
13. Verificare se i punti G e H giacciono sulla stessa semicirconferenza individuata dalla retta a (in caso contrario ritornare
al punto 7).
14. Tracciare un segmento passante per i punti G e H (segmento
a).
15. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio AB (circonferenza f ).
16. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio A1B1 (circonferenza g).
17. Prendere arbitrariamente sulla circonferenza f un punto J
18. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio AC (circonferenza h).
19. Indicare con K una delle intersezioni tra le circonferenze f e
h.
20. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio arbitrario
(circonferenza i).
21. Indicare con L una delle intersezioni tra le circonferenze g e
i.
22. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio JL (circonferenza l).
134
23. Indicare con M una delle intersezioni tra la circonferenza b
e quella l.
24. Tracciare una retta passante per i punti IJ (retta b).
25. Verificare se i punti L e M giacciono sulla stessa semicirconferenza individuata dalla retta b (in caso contrario ritornare
al punto 19).
26. Tracciare un segmento passante per i punti L e M (segmento
b).
27. Tracciare una circonferenza di centro B1 e di raggio LM
(circonferenza m).
28. Tracciare una circonferenza di centro A1 e di raggio GH
(circonferenza n).
29. Indicare con C1 una delle intersezioni tra la circonferenza m
e quella n.
30. Collegare B1 con A1 e quest’ultimo con C1.
135
Costruzione pag.98 §114
Figura 8.1: Dato un angolo AB̂C e due punti A1 e B1, determinare, con l’ausilio del solo compasso, il punto C1 tale che l’angolo
B1Â1C1
136
8.2
Duplicare, triplicare, quadruplicare, ecc. con l’ausilio del
solo compasso, un dato angolo
Riferimento: Libro ottavo, pag. 99 §116,[4]
d (non tracciare i lati
1. Arbitrariamente tracciare un angolo BAC
dell’angolo congruenti) (Figura 8.2).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AC (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
5. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella c.
6. Collegare D con A.
d sia il doppio dell’angolo BAC
d (in
7. Verificare se l’angolo DAB
caso contrario tornare al punto 2).
8. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
9. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza b
e quella d.
10. Collegare E con A.
d sia il triplo dell’angolo BAC
d (in
11. Verificare se l’angolo EAB
caso contrario tornare al punto 8).
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio ED (circonferenza e)
137
13. Indicare con F la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella e.
14. Collegare F con A.
d sia il quadruplo dell’angolo BAC
d
15. Verificare se l’angolo FAB
(in caso contrario tornare al punto 12).
138
Costruzione pag.99 §116
Figura 8.2: Duplicare, triplicare, quadruplicare, ecc. con l’ausilio
del solo compasso, un dato angolo
139
8.3
Esaminare, con l’ausilio del solo compasso, se un angolo sia
di 45°
Riferimento: Libro ottavo, pag. 100 §117,[4]
d (angolo a) (Figura 8.3).
1. Tracciare un angolo BAG
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GB (circonferenza b).
4. Indicare con F la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella b.
5. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza c).
6. Indicare con C una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella c.
7. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza d).
8. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella d
9. Tracciare una circonferenza di centro D e raggio DC (circonferenza e).
10. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella e.
11. Prendere in considerazione le distanze BF ed FE:
d sarà minore di 45◦.
Se BF < FE l’angolo BAG
d sarà maggiore di 45◦.
Se BF > FE l’angolo BAG
140
d sarà di 45◦.
Se BF ∼
= FE l’angolo BAG
Costruzione pag.100 §117
Figura 8.3: Esaminare, con l’ausilio del solo compasso se un
angolo sia di 45°
141
8.4
Tracciare, con l’ausilio del solo compasso, la bisettrice di un
dato angolo, avente i lati disuguali
Riferimento: Libro ottavo, pag. 101 §118,[4]
d avente i lati disuguali (Figura 8.4).
1. Tracciare un angolo BAC
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio BC (circonferenza b).
4. Indicare la restante intersezione tra la circonferenza a e quella b con D.
5. Dividere in H l’arco BD (vedi algoritmo problema pagina 33
§60).
6. Dividere in M l’arco BH (vedi algoritmo problema pagina
33 §60).
d
7. La semiretta AM sarà la bisettrice dell’angolo BAC.
142
Costruzione pag.101 §118
Figura 8.4: Tracciare, con l’ausilio del solo compasso, la bisettrice
di un dato angolo, avente i lati disuguali
143
8.5
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco CI di
seno MN e raggio AB noti.
Riferimento: Libro ottavo, pag. 105 § 120, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 8.5).
2. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio MN
(circonferenza b).
3. Duplicare il segmento MN come fatto nel problema di pagina 36 § 64.
4. Prendere sulla circonferenza a un punto C.
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio 2MN
(circonferenza f ).
6. Indicare con C1 una delle intersezioni tra la circonferenza a
e quella f .
7. Dividere l’arco CC1 in I come eseguito nel problema di pagina 33 § 60.
8. CI sarà l’arco cercato.
144
Costruzione pag.105 §120
Figura 8.5: Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco
CI di seno MN e raggio AB noti.
145
8.6
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco NH di
coseno MA.
Riferimento: Libro ottavo, pag. 105 §121, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BA (circonferenza a) (v. Figura 8.6).
2. Duplicare il segmento MA1 come eseguito nel problema di
pagina 36 § 64.
3. Prendere sulla circonferenza a un punto C1.
4. Tracciare una circonferenza di centro C1 e di raggio 2MA1
(circonferenza b).
5. Indicare con K una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
6. Individuare la semicirconferenza KC1H come eseguito nel
problema 36 § 64.
7. Dividere l’arco C1H in N come eseguito nel problema di
pagina 33 § 60.
8. L’arco NH sarà l’arco cercato.
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco NH di
coseno MA
146
Costruzione pag.105 §121
Figura 8.6: Determinare, con l’ausilio del solo compasso,1 l’arco
NH di coseno MA.
147
8.7
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BQ di
tangente SB1
Riferimento: Libro ottavo, pag. 106 §122, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 8.7).
2. Tracciare un segmento BS1 che sia perpendicolare ad AB e
congruente ad SB1 (vedi problema pagina 56 § 76).
3. Tracciare un segmento che abbia per estremi i punti A e S1
(segmento a).
4. Individuare il punto d’intersezione del segmento a con la circonferenza a (vedi problema pagina 94 § 111). Tale punto
sarà indicato con Q.
5. L’arco BQ sarà l’arco cercato.
148
Costruzione pag.106 §122
Figura 8.7: Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco
BQ di tangente SB1 e raggio AB noti.
149
8.8
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BC di
secante A1S1 e raggio AB noti.
Riferimento: Libro ottavo, pag. 107 123, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 8.8).
2. Tracciare un segmento BS perpendicolare al segmento AB
(vedi problema pagina 56 § 76).
3. Tracciare un segmento che abbia per estremi i punti S e A
(segmento a).
4. Individuare il punto C d’intersezione tra la circonferenza a e
il segmento a (vedi problema pagina 94 § 111).
5. BC sarà l’arco cercato.
Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco BC di
secante A1S1 e raggio AB noti.
150
Costruzione pag.107 §123
Figura 8.8: Determinare, con l’ausilio del solo compasso, l’arco
BC di secante A1S1 e raggio AB noti.
151
152
Libro 9
9.1
Su un dato segmento A1B1 costruire un triangolo A1B1C1
simile ad un dato triangolo ABC
Riferimento: Libro secondo, pag. 108 §125, [4]
La costruzione è equivalente a quella presentata nel paragrafo
8.1 di p. 133 del nostro testo.
153
Costruzione pag.108 §125
Figura 9.1:
154
9.2
Dato un poligono esalatro, costruirne un altro simile, le cui
aree abbiano un dato rapporto
Riferimento: Libro nono, pag. 109 §126, [4]
1. Tracciare un poligono esalatero ABCEFD.
2. Decidere quale rapporto debbano avere le aree dei due poligoni. Nel caso che segue le aree avranno un rapporto di
2
5.
3. Prendere sul piano un punto M.
√
4. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio 2 (circonferenza a). Per brevità è accettato di non ripetere la costruzione di pagina 75 § 101.
√
5. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio 5 (circonferenza b). Per brevità è accettato di non ripetere la costruzione di pagina 75 § 101.
6. Prendere un punto V1 sulla circonferenza a.
7. Tracciare un segmento che abbia per estremi i punti M e V1
(segmento a).
8. Tracciare un segmento che abbia per estremi V1 ed un punto
V sulla circonferenza b (segmento b). Tale segmento dovrà
essere ortogonale al segmento a (vedi problema aggiuntivo
1).
9. Dividere l’esalatero in 4 triangoli.
10. Numerare i lati dei triangoli in cui è stato diviso l’esalatero:
AB → d1
AC → d2
155
BC → d3
CD → d4
AD → d5
CE → d6
DE → d7
DF → d8
EF → d9
11. Tracciare una circonferenza di centro V e di raggio d1 (circonferenza c).
12. Indicare con R1 una delle intersezioni tra la circonferenza c
e quella b.
13. Ripetere le ultime 2 operazioni per le altre distanze facendo
centro ogni volta nell’ultimo punto determinato, che dovrà
essere indicato con R avente come pedice il numero della
distanza che ha per raggio la circonferenza a cui appartiene.
Ad esempio la circonferenza a cui appartiene il punto R2 avrà
come centro il punto R1 e come raggio d2.
14. Tracciare una circonferenza di centro R1 e di raggio VV1
(circonferenza d).
15. Indicare con P1 una delle intersezioni tra la circonferenza d
e quella a.
16. Ripetere la stessa operazione per i punti trovati nell’istruzione precedente, mantenendo come raggio VV1.
17. Indicare i punti determinati con P aventi come pedice il pedice del centro della circonferenza a cui appartengono. Ad
esempio il punto P5 apparterrà ad una circonferenza avente
come centro il punto R5 e come raggio d5.
156
La seguente tabella riporta le lunghezze dei lati del poligono
in proporzione:
V1P1 AB
P1P2 AC
P2P3 BC
P3P4 DC
P4P5 AD
P5P6 CE
P6P7 DE
P7P8 DF
P8P9 EF
157
Costruzione pag.109 §126
Figura 9.2: Dato un poligono esalatero, costruirne un altro simile,
le cui aree abbiano un dato rapporto
158
9.3
Ad una data circonferenza, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivere un triangolo equilatero
Riferimento: Libro nono, pag. 116 §131,[4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (Figura 9.3).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C una delle intersezioni tra le circonferenze a e
b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
5. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza c
e quella a.
6. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BC (circonferenza d).
7. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza d
e quella a.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DB (circonferenza f ).
10. Indicare con N la restante intersezione tra la circonferenza e
e quella f .
11. Indicare con L la restante intersezione tra la circonferenza f
e quella c.
12. Indicare con M la restante intersezione tra la circonferenza e
e quella c.
159
Costruzione pag.116 §131
Figura 9.3: Ad una data circonferenza, con l’ausilio del solo
compasso, circoscrivere un triangolo equilatero
160
9.4
Circoscrivere ad un cerchio un quadrato, con l’ausilio del
solo compasso.
Riferimento: Libro nono, pag. 117 § 132 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 9.4).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione fra le circonferenze a e b.
4. Indicare con c la restante intersezione fra le circonferenze a
e b.
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
6. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze a e c.
7. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
8. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze a e d.
9. Tracciare una circonferenza di centro c e di raggio AB (circonferenza e).
10. Indicare con d l’ intersezione fra le circonferenze a e e.
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Dd (circonferenza f ).
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza g).
13. Indicare con a l’ intersezione fra le circonferenze g e f .
14. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza h).
161
15. Indicare con F e f le intersezioni fra le circonferenze a e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro f e di raggio A f (circonferenza i).
17. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AF (circonferenza l).
18. Indicare con S l’ intersezione fra le circonferenze b e i.
19. Indicare con T l’ intersezione fra le circonferenze a e l.
20. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza m).
21. Indicare con V l’ intersezione fra le circonferenze l e m.
22. Indicare con S l’ intersezione fra le circonferenze i e m.
23. Unire il punto V con il punto T .
24. Unire il punto V con il punto R.
25. Unire il punto R con il punto S.
26. Unire il punto S con il punto T .
27. Verificare che RSTV sia un quadrato.
162
Costruzione pag.117 §132
Figura 9.4: Circoscrivere ad un cerchio un quadrato,con l’ausilio
del solo compasso.
163
9.5
Ad un dato cerchio circoscrivere un pentagono regolare
Riferimento: Libro nono, pag. 118 §133, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 9.5).
2. Dividere la circonferenza a in 5 parti uguali nei punti B, C,
D, E e F (vedi problema pagina 23 § 40).
3. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CD (circonferenza b).
4. Individuare la semicirconferenza BDP sulla circonferenza b
(vedi problema pagina 36 § 64).
5. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza c).
6. Indicare con P1 la restante intersezione tra la circonferenza b
e quella c.
7. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio PP1 (circonferenza d).
8. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio PP1 (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio PP1 (circonferenza f ).
10. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio PP1 (circonferenza g).
11. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio PP1 (circonferenza h).
12. Indicare con M una delle intersezioni tra la circonferenza d
e quella e, tale punto non dovrà essere contenuto all’interno
della circonferenza a.
164
13. Indicare con L una delle intersezioni tra la circonferenza d
e quella h, tale punto non dovrà essere contenuto all’interno
della circonferenza a.
14. Indicare con K una delle intersezioni tra la circonferenza g
e quella h, tale punto non dovrà essere contenuto all’interno
della circonferenza a.
15. Indicare con J una delle intersezioni tra la circonferenza f
e quella g, tale punto non dovrà essere contenuto all’interno
della circonferenza a.
16. Indicare con I una delle intersezioni tra la circonferenza f
e quella e, tale punto non dovrà essere contenuto all’interno
della circonferenza a.
17. I punti M, I, L, K e J saranno i vertici del pentagono circoscritto.
165
Costruzione pag.118 §133
Figura 9.5: Ad un dato cerchio circoscrivere un pentagono
regolare
166
9.6
Costruire, con l’ausilio del solo compasso, su un dato lato AB
un triangolo
Riferimento: Libro nono, pag. 121 §135, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 9.6).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con D una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
4. Collegare i punti A, B e C.
Costruire, con l’ausilio del solo compasso, su un dato lato AB
un triangolo
167
Costruzione pag.121 §135
Figura 9.6: Costruire un triangolo equilatero su un dato lato AE,
con l’ausilio del solo compasso.
168
9.7
Ad un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso costruire
un quadrato
Riferimento: Libro nono, pag. 121 §136, [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB(circonferen
a)(v. Figura 9.7).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C e C1 le intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
5. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
7. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio ED (circonferenza e).
9. Indicare con D1 la restante intersezione tra la circonferenza
a e quella e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio BD (circonferenza g).
169
12. Indicare con A1 e A2 le intersezioni tra la circonferenza f e
quella g.
13. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DB (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro D1 e di raggio D1B
(circonferenza i).
15. Indicare con V la restante intersezione tra la circonferenza h
e quella i.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AA1 (circonferenza l).
17. Indicare con F una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella l.
18. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FA (circonferenza m).
19. Indicare con T la restante intersezione tra la circonferenza b
e quella m.
170
Costruzione pag.121 §136
Figura 9.7: Costruire un quadrato sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso.
171
9.8
Costruire su un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso,
un pentagono regolare
Riferimento: [1], Libro nono, pagina 122 Riferimento: Libro
nono, pag. 122 §137,[4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (Figura 9.8).
2. Dividere la circonferenza a nelle seguenti 6 parti uguali: BC ∼
=
CD ∼
= DE ∼
= ED1 ∼
= D1D2 ∼
= D2B (vedi problema aggiuntivo
2).
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza b).
4. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EC (circonferenza c).
5. Indicare con A1 una delle intersezioni tra la circonferenza b
e quella c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AA1 (circonferenza d).
7. Tracciare una circonferenza di centro D1 e di raggio AA1
(circonferenza e).
8. Indicare con B1 una delle intersezioni tra la circonferenza d e
quella e. Tale intersezione dovrà essere contenuta all’interno
della circonferenza a.
9. Indicare con b1 la circonferenza di centro B e di raggio BA,
tracciata durante l’algoritmo del problema aggiuntivo 1.
10. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB1 (circonferenza f ).
172
11. Indicare con H l’intersezione tra la circonferenza f e l’arco
AC.
12. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HA (circonferenza g).
13. Indicare con K la restante intersezione tra la circonferenza
b1 e g.
14. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio KH (circonferenza h).
15. Indicare con L la restante intersezione tra la circonferenza b1
e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB1 (circonferenza i).
17. Indicare con Q la restante intersezione tra la circonferenza i
e l’arco BCD.
18. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio AB1 (circonferenza l).
19. Indicare con P la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella l.
20. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio AB1 (circonferenza m).
21. Indicare con N la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella m.
22. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio AB (circonferenza n).
23. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza o).
173
24. Indicare con M una delle intersezioni tra la circonferenza
n e quella o. Tale intersezione non dovrà essere contenuta
all’interno della circonferenza a.
25. Collegare i punti A, N, M, L e B.
Costruzione pag.122 §137
Figura 9.8: Costruire su un dato lato AB, con l’ausilio del solo
compasso, un pentagono regolare
174
9.9
Costruire un esagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso.
Riferimento: Libro nono, pag. 125 § 138 [4]
1. Tracciare un segmento AB.
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 9.9).
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza b).
4. Indicare con O l’ intersezione fra le circonferenze a e b.
5. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio AB (circonferenza c).
6. Indicare con C l’ intersezione fra le circonferenze c e a.
7. Indicare con F l’ intersezione fra le circonferenze b e c.
8. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AB (circonferenza d).
9. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza e).
10. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze e e c.
11. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze c e d.
12. Unire il punto C con il punto F.
13. Unire il punto D con il punto A.
14. Unire il punto E con il punto B.
15. Unire il punto D con il punto C.
16. Unire il punto C con il punto B.
175
17. Unire il punto A con il punto F.
18. Unire il punto F con il punto E.
19. Unire il punto E con il punto D.
20. Sarà ABCDEF l’ esagono inscritto nel cerchio.
21. Verificare che ABCDEF sia un esagono.
Costruzione pag.125 §138
Figura 9.9: Costruire un esagono regolare sopra un dato lato AB,
con l’ausilio del solo compasso.
176
9.10
Costruire un ottagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ ausilio del solo compasso.
Riferimento: Libro nono, pag. 125 § 139 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 9.10).
2. Tracciare una circonferenza di centro b e di raggio AB (circonferenza b).
3. Unire il punto A con il punto B.
4. Indicare con C l’intersezione fra le circonferenze a e b.
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
6. Indicare con N l’intersezione fra le circonferenze b e c.
7. Indicare con O l’intersezione fra le circonferenze c e a.
8. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio AB (circonferenza d).
9. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio AB (circonferenza e).
10. Indicare con e l’intersezione fra le circonferenze d e b.
11. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e e.
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio CE (circonferenza g).
14. Indicare con a l’ intersezione fra le circonferenze f e g.
177
15. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio AB (circonferenza h).
16. Indicare con S e H le due intersezioni fra le circonferenze h
e a.
17. Tracciare una circonferenza di centro e e di raggio Ba ( circonferenza i.
18. Indicare con a1 l’ intersezione fra le circonferenze h e g.
19. Tracciare una circonferenza di centro a1di raggio AB (circonferenza l).
20. Indicare con H e J le due intersezioni fra le circonferenze l
eb.
21. Tracciare una circonferenza di centro h e di raggio AB (circonferenza m).
22. Indicare con g l’ intersezione fra le circonferenze i e m.
23. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio AB (circonferenza n).
24. Indicare con G l’ intersezione fra le circonferenze n e f .
25. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio Ea (circonferenza o).
26. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio ea1 (circonferenza p).
27. Tracciare una circonferenza di centro g e di raggio AB (circonferenza q).
28. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio AB (circonferenza r).
29. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio Aa (circonferenza s).
178
30. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio Aa (circonferenza t).
31. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio a1B (circonferenza u).
32. Indicare con F e R le due intersezioni fra le circonferenze u
e r.
33. Indicare con f e M le due intersezioni fra le circonferenze q
e l.
34. Unire il punto B con il punto M.
35. Unire il punto M con il punto g.
36. Unire il punto g con il punto f .
37. Unire il punto f con il punto F.
38. Unire il punto F con il punto G.
39. Unire il punto G con il punto H.
40. Unire il punto H con il punto A.
41. Sarà ABhg f FGH l’ ottagono.
42. Verificare che ABhg f FGH sia un ottagono.
179
Costruzione pag.125 §139
Figura 9.10: Costruire un ottagono regolare sopra un dato lato AB,
con l’ ausilio del solo compasso.
180
9.11
Costruire un decagono regolare sopra un dato lato AB, con
l’ausilio del solo compasso.
Riferimento: Libro nono, pag. 132 § 139 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 9.11).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione fra le circonferenze a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze c e a.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze d e a.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’ intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Dd (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E di raggio Dd ( circonferenza g).
12. Indicare con a l’ intersezione fra le circonferenze f e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio Aa (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio Aa (circonferenza i).
181
15. Indicare con b l’ intersezione fra le circonferenze i e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio bE (circonferenza l).
17. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio bE (circonferenza m).
18. Indicare con V l’ intersezione fra le circonferenze l e i.
19. Tracciare una circonferenza di centro V e di raggio V B (circonferenza n).
20. Indicare con L l’ intersezione fra le circonferenze n e b.
21. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio AB (circonferenza o).
22. Indicare con M l’ intersezione fra le circonferenze n e o.
23. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio AB (circonferenza p).
24. Indicare con N l’ intersezione fra le circonferenze n e p.
25. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio AB (circonferenza q).
26. Indicare con O l’ intersezione fra le circonferenze n e q.
27. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio AB (circonferenza r).
28. Indicare con P l’ intersezione fra le circonferenze n e r.
29. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio AB (circonferenza s).
30. Indicare con Q l’ intersezione fra le circonferenze n e s.
31. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio AB (circonferenza t).
182
32. Indicare con R l’ intersezione fra le circonferenze n e t.
33. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio AB (circonferenza u).
34. Indicare con S l’ intersezione fra le circonferenze n e u.
35. Unire il punto A con il punto B.
36. Unire il punto B con il punto L.
37. Unire il punto L con il punto M.
38. Unire il punto M con il punto N.
39. Unire il punto N con il punto O.
40. Unire il punto O con il punto P.
41. Unire il punto P con il punto Q.
42. Unire il punto Q con il punto R.
43. Unire il punto S con il punto S.
44. Unire il punto S con il punto A.
45. Sarà ABLMNOPQRS il decagono.
46. Verificare che ABLMNOPQRS sia un decagono.
183
Costruzione pag.132 §139
Figura 9.11: Costruire un decagono regolare sopra un dato lato
AB, con l’ausilio del solo compasso.
184
9.12
Sopra un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso, costruire un qualsiasi poligono, purché si possa inscrivere in
una circonferenza
Riferimento: Libro nono, pag. 133 §140, [4]
1. Decidere quale poligono si voglia costruire sul lato AB (v.
Figura 9.12).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Inscrivere nella circonferenza a il poligono scelto nella prima istruzione (vedi problema pagina 113 § 128).
4. Determinare la terza proporzionale tra un lato QP del poligono e AB:
Se QP > AB vedi il problema di pagina 64 § 86.
AB
vedi il problema di pagina 65 § 87.
Se QP < AB; QP >
2
AB
vedi l’avvertimento
Per determinare se QP < AB; QP >
2
di pagina 65.
AB
Se QP <
vedi il problema di pagina 65 § 87. Per
2
AB
determinare se QP <
vedi l’avvertimento di pagina 65.
2
5. Indicare la terza proporzionale trovata con t1.
6. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio t1 (circonferenza b).
185
7. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio t1 (circonferenza c).
8. Indicare una delle intersezioni tra la circonferenza b e quella
c con V .
9. Tracciare una circonferenza di centro V e di raggio VA (circonferenza d).
10. Riportare sulla circonferenza d fino quando è possibile la
distanza AB.
186
Costruzione pag.133 §140
Figura 9.12: Sopra un dato lato AB, con l’ausilio del solo compasso, costruire un qualsiasi poligono, purché si possa inscrivere
in una circonferenza
187
9.13
Costruire un quadrato intorno ad una diagonale AB,con
l’ausilio del solo compasso.
Riferimento: Libro nono, pag. 134 § 141 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 9.13).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione fra le circonferenze b e a.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio CE (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
10. Indicare con a l’ intersezione fra le circonferenze f e e.
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio Aa (circonferenza g).
12. Indicare con P l’ intersezione fra le circonferenze g e b.
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AP (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AP (circonferenza i).
188
15. Indicare con L l’ intersezione fra le circonferenze i e h.
16. Indicare con M l’ intersezione fra le circonferenze i e h.
17. Unire il unto M con il unto A.
18. Unire il unto M con il unto B.
19. Unire il unto B con il unto L.
20. Unire il unto L con il unto A.
21. Sarà MBLA un quadrato costruito intorno ad una data diagonale AB.
22. Verificare che MBLA sia un quadrato.
189
Costruzione pag.134 §141
Figura 9.13: Costruire un quadrato intorno ad una diagonale
AB,con l’ausilio del solo compasso.
190
Libro 10
10.1
Trovare il centro di una circonferenza con l’ausilio del solo
compasso
Riferimento: Libro decimo, pag. 136 §142,[4]
1. Sul piano prendere 3 punti a piacere Z, Z1 e Z2 (Figura 10.1).
2. Tracciare una circonferenza a che passi per i punti Z, Z1 e
Z2 (si consiglia di usare lo strumento Circonferenza per 3
punti);
3. Rendere invisibili i punti Z, Z1 e Z2.
4. Sulla circonferenza a prendere i punti A e B.
5. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza b).
6. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza c).
7. Indicare con C una delle intersezioni tra la circonferenza b e
quella c.
8. Verificare se il punto C sia contenuto all’interno della circonferenza a (in caso contrario ritornare all’istruzione precedente).
191
9. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza d).
10. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza d
e quella b.
11. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza e).
12. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza e
e quella b.
13. Indicare con M la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella e.
14. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EM (circonferenza f ).
15. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio EM (circonferenza g).
16. Indicare con L e G le intersezioni tra le circonferenze f e g.
Se tali circonferenze non si intersecano si dovrà necessariamente aumentare la distanza tra punti A e B.
17. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio LA (circonferenza h).
18. Indicare con Q la restante intersezione tra la circonferenza h
e b.
19. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BQ (circonferenza i).
20. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio BQ (circonferenza l).
21. L’intersezione tra la circonferenza i e quella l, contenuta all’interno della circonferenza a, sarà il centro di quest’ultima.
192
Costruzione pag.136 §140
Figura 10.1: Trovare il centro di una circonferenza con l’ausilio
del solo compasso
193
10.2
Dato un triangolo equilatero ABM di base AB, con l’ausilio del solo compasso,circoscrivergli ed inscrivergli una
circonferenza
Riferimento: Libro decimo, pag. 139 §145,[4]
1. Prendere sul piano due punti A e B (Figura 10.2).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
4. Indicare con M una delle intersezioni tra la circonferenza a
e quella b.
5. Unire i punti A, B e M.
6. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio MB (circonferenza c).
7. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella c.
8. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DM (circonferenza d).
9. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella d.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BD (circonferenza e).
11. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio BD (circonferenza f ).
12. Indicare con L una delle intersezioni tra le circonferenze e
ed f .
194
13. Verificare se il punto L sia contenuto nella circonferenza c
(in caso contrario ritornare all’istruzione precedente).
14. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio LB (circonferenza g).
15. Indicare con Q la restante intersezione tra la circonferenza a
e quella g.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio QE (circonferenza h).
17. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio QE (circonferenza i).
18. Indicare con O una delle intersezioni tra la circonferenza h e
i.
19. Verificare se il punto L si trovi all’interno del triangolo ABM
(in caso contrario tornare all’istruzione precedente).
20. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio OA (circonferenza l).Tale circonferenza sarà circoscritta al triangolo
equilatero ABM.
21. Tracciare un segmento FG (tale segmento dovrà essere maggiore di QE).
22. Prendere arbitrariamente sul segmento FG un punto H.
23. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio QE (circonferenza m).
24. Indicare con I una delle intersezioni tra la circonferenza m e
il segmento FG.
25. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio IH (circonferenza n).
26. Indicare con J e K le intersezioni tra le circonferenze n e m
195
27. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio JI (circonferenza o).
28. Indicare con N la restante intersezione tra la circonferenza m
e quella o.
29. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio NJ (circonferenza p).
30. Indicare con P la restante intersezione tra la circonferenza m
e quella p.
31. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PI (circonferenza q).
32. Indicare con R e S le intersezioni della circonferenza q con
quella n.
33. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio SI (circonferenza r).
34. Indicare con T una delle intersezioni della circonferenza r
con quella n.
35. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio T S (circonferenza s).
36. Indicare con U la restante intersezione tra la circonferenza s
e quella n.
37. Tracciare una circonferenza di centro U e di raggio UT (circonferenza t).
38. Indicare con V la restante intersezione tra la circonferenza t
e quella n.
39. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio RV (circonferenza u). Tale circonferenza sarà inscritta nel triangolo
MAB.
196
Costruzione pag.139 §145
Figura 10.2: Dato un triangolo equilatero ABM di base AB,
con l’ausilio del solo compasso,circoscrivergli ed inscrivergli una
circonferenza
197
10.3
Ad un quadrato BT FA, con l’ausilio del solo compasso,
circoscrivergli ed inscrivergli una circonferenza
Riferimento: Libro ottavo, pag. 140 §146
1. Prendere arbitrariamente sul piano due punti A e B (Figura
10.3).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BA (circonferenza a).
3. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio BA (circonferenza b).
4. Indicare con C uno dei punti d’intersezione tra la circonferenza a e quella b.
5. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
6. Indicare con D il restante punto d’intersezione tra la circonferenza a e quella c.
7. Indicare con E1 il restante punto d’intersezione tra la circonferenza b e quella c.
8. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
9. Indicare con S il restante punto d’intersezione tra la circonferenza a e quella d.
10. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio SC (circonferenza e).
11. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AD (circonferenza f ).
198
12. Indicare con G uno dei punti d’intersezione tra la circonferenza e e quella f .
13. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio GB (circonferenza g).
14. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio GB (circonferenza h).
15. Indicare con T l’intersezione tra le circonferenze g e h e la
semicirconferenza SDCA.
16. Tracciare una circonferenza di centro E1 e di raggio T D (circonferenza i).
17. Indicare con F l’intersezione tra la circonferenza i e l’arco
BCE1.
18. Collegare B con T .
19. Collegare T con F.
20. Collegare F con A.
21. Collegare B con A.
22. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FB (circonferenza l).
23. Indicare con E il restante punto d’intersezione tra la circonferenza l e quella b.
24. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio FB (circonferenza m).
25. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EA (circonferenza n).
26. Indicare con Q e Q1 le intersezioni tra le circonferenze m ed
n.
199
27. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio EA (circonferenza o).
28. Tracciare una circonferenza di centro Q1 e di raggio EA (circonferenza p).
29. Indicare con M l’intersezione tra le circonferenze o e p. Tale
punto dovrà appartenere al segmento BA.
30. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AQ (circonferenza q).
31. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AQ (circonferenza r).
32. Indicare con O il punto d’intersezione tra le circonferenze q
ed r.
33. Verificare se il punto O sia contenuto nel quadrato BT FA
34. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio OM (circonferenza s). Tale circonferenza sarà inscritta al quadrato
BT FA.
35. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio OA (circonferenza t). Tale circonferenza sarà circoscritta al quadrato BT FA.
200
Costruzione pag.140 §146
Figura 10.3: Ad un quadrato BT FA, con l’ausilio del solo
compasso, circoscrivergli ed inscrivergli una circonferenza
201
10.4
Circoscrivere una circonferenza, con l’ausilio del solo compasso, ad un qualsiasi poligono regolare
Riferimento: Libro ottavo, pag. 142 §147
1. Disegnare un qualsiasi poligono regolare (usare il comando
Poligono regolare) (Figura 10.4).
2. Indicare con A, B e M tre vertici del poligno.
3. Verificare che A sia equidistante sia da B che da M (in caso
contrario ritornare all’istruzione precedente).
4. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
5. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
6. Indicare con C una delle intersezioni tra la circonferenza a e
quella b.
7. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CB (circonferenza c).
8. Indicare con D la restante intersezione tra la circonferenza c
e quella a.
9. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DC (circonferenza d).
10. Indicare con E la restante intersezione tra la circonferenza d
e quella a.
11. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio EM (circonferenza e).
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EM (circonferenza f ).
202
13. Indicare con L una delle intersezioni tra la circonferenza e e
quella f .
14. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio LE (circonferenza g).
15. Indicare con Q una delle intersezioni tra la circonferenza g e
quella a.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BQ (circonferenza h).
17. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio BQ (circonferenza i).
18. Indicare con O una delle intersezioni tra la circonferenza h e
quella i.
19. Verificare se il punto O sia contenuto nel poligono (in caso
contrario ritornare all’istruzione precedente).
20. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio OF (circonferenza l). Tale circonferenza sarà circoscritta al poligono.
21. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FG (circonferenza m).
22. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio FG (circonferenza n).
23. Indicare con H una delle intersezioni tra la circonferenza m
e quella n (si consiglia di scegliere l’intersezione non contenuta nel poligono).
24. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio HF (circonferenza o).
25. Indicare con I la restante intersezione tra la circonferenza n
e quella o.
203
26. Tracciare una circonferenza di centro I e di raggio IH (circonferenza p).
27. Indicare con J la restante intersezione tra la circonferenza n
e quella p.
28. Tracciare una circonferenza di centro J e di raggio JF (circonferenza q).
29. Indicare con N e K le intersezioni tra la circonferenza m e
quella q.
30. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio NF (circonferenza r).
31. Indicare con P una delle intersezioni tra la circonferenza m e
quella r.
32. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PN (circonferenza s).
33. Indicare con R la restante intersezione tra la circonferenza m
e quella s.
34. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio RP (circonferenza t).
35. Indicare con S la restante intersezione tra la circonferenza m
e quella t.
36. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio SK (circonferenza u).
37. Indicare con T l’intersezione tra la circonferenza u e il segmento FG.
38. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio OT (circonferenza v).
204
Costruzione pag.142 §147
Figura 10.4: Ad un quadrato BT FA, con l’ausilio del solo
compasso, circoscrivergli ed inscrivergli una circonferenza
205
206
Libro 11
11.1
Inscrivere, con l’ ausilio del solo compasso, un quadrato
ebcd in un triangolo equilatero ABC.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 151 § 160 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 11.1).
2. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Unire il punto A con il punto B.
5. Unire il punto B con il punto C.
6. Unire il punto C con il punto A.
7. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
8. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze b e c.
9. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
10. Indicare con E l’ intersezione fra la circonferenza b e d.
207
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza e).
12. Indicare con b l’ intersezione fra la circonferenza e e il lato
AB del triangolo.
13. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio Bb (circonferenza f ).
14. Indicare con e l’ intersezione fra la circonferenza f e il lato
AB del triangolo.
15. Tracciare una circonferenza di centro b e di raggio be (circonferenza g).
16. Tracciare una circonferenza di centro e e di raggio be (circonferenza h).
17. Indicare con c l’ intersezione fra la circonferenza g e il lato
BC del triangolo.
18. Indicare con d l’ intersezione fra la circonferenza h e il lato
AC del triangolo.
19. Unire il punto b con il punto c.
20. Unire il punto c con il punto d.
21. Unire il punto d con il punto e.
22. Sarà il quadrato bcde inscritto nel triangolo equilatero.
208
Costruzione pag.151 §160
Figura 11.1: Inscrivere, con l’ ausilio del solo compasso, un
quadrato ebcd in un triangolo equilatero ABC.
209
11.2
Inscrivere, con l’ausilio del solo compasso, nel quadrato
ABLF, un triangolo equilatero che abbia l’ angolo B compreso nell’ angolo LBA del quadrato.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 155 § 161 [4]
1. Tracciare quattro punti L,F ( nella parte superiore ) ,B,A (
nella parte inferiore ) in modo da formare un quadrato (v.
Figura 11.2).
2. Unire il punto B con il punto A.
3. Unire il punto B con il punto L.
4. Unire il punto L con il punto F.
5. Unire il punto F con il punto A.
6. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio FA (circonferenza a).
7. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FB (circonferenza b).
8. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze a e b .
9. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio BE (circonferenza c).
10. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EB (circonferenza d).
11. Indicare con Q l’ intersezione fra le circonferenze c e d.
12. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FQ (circonferenza e).
13. Indicare con M l’ intersezione fra la circonferenza e e il lato
LF del quadrato.
210
14. Indicare con N l’ intersezione fra la circonferenza e e il lato
FA del quadrato.
15. Unire il punto N con il punto B.
16. Unire il punto N con il punto M.
17. Unire il punto M con il punto B .
18. Sarà il triangolo BNM inscritto nel quadrato ABLF.
211
Costruzione pag.155 §161
Figura 11.2: Inscrivere, con l’ausilio del solo compasso, nel
quadrato ABLF, un triangolo equilatero che abbia l’ angolo B
compreso nell’angolo LBA del quadrato.
212
11.3
In un quadrato ABLF, inscrivere, con l’ausilio del solo compasso, un ottagono regolare.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 158 § 163 [4]
1. Tracciare quattro punti L,F ( nella parte superiore ) ,B,A (
nella parte inferiore ) in modo da formare un quadrato (v.
Figura 11.3).
2. Unire il punto B con il punto A.
3. Unire il punto B con il punto L.
4. Unire il punto L con il punto F.
5. Unire il punto F con il punto A.
6. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio FA (circonferenza a).
7. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
8. Indicare con C l’ intersezione fra le circonferenze a e b.
Questa intersezione si trova all’ interno del quadrato.
9. Tracciare circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
10. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze a e c.
11. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
12. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze a e d.
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio FB (circonferenza e).
213
14. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza f ).
15. Indicare con Q l’ intersezione fra le circonferenze f e e .
16. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AQ (circonferenza g).
17. Indicare con b l’ intersezione fra la circonferenza g e il lato
AB del quadrato.
18. Indicare con g l’ intersezione fra la circonferenza g e il lato
AF del quadrato.
19. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Ab (circonferenza h).
20. Tracciare una circonferenza di centro L e di raggio Ab (circonferenza i) .
21. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio Ab (circonferenza l).
22. Indicare con d l’ intersezione fra la circonferenza h e il lato
BL del quadrato.
23. Indicare con c l’ intersezione fra la circonferenza i e il lato
BL del quadrato.
24. Indicare con f l’ intersezione fra la circonferenza i e il lato
LF del quadrato.
25. Indicare con e l’ intersezione fra la circonferenza l e il lato
LF del quadrato .
26. Indicare con h l’ intersezione fra la circonferenza l e il lato
FA del quadrato.
27. Indicare con a l’ intersezione fra la circonferenza h e il lato
AB del quadrato.
214
28. Unire il punto d con il punto e.
29. Unire il punto c con il punto b.
30. Unire il punto a con il punto h.
31. Unire il punto g con il punto f .
32. Sarà abcde f gh il esagono inscritto nel quadrato ABLF.
Costruzione pag.158 §163
Figura 11.3: In un quadrato ABLF, inscrivere, con l’ausilio del
solo compasso, un ottagono regolare.
215
11.4
Dato un ottagono regolare ABhg f FGH, con l’ ausilio del solo compasso, trovare:il lato regolare di un ottagono doppio
di area e il di un ottagono triplo.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 160 § 164 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 11.4).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (
circonferenza b ).
3. Unire il punto A con il punto B.
4. Trovare il punto e opposto al punto A rispetto al punto B
(vedi problema pagina 36§64).
5. Trovare il punto E opposto al punto B rispetto al puntoA
(vedi problema pagina 36§64).
6. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza c).
7. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Ce (circonferenza d).
8. Indicare con a l’ intersezione fra la circonferenza c e d.
9. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio AB. (circonferenza e).
10. Indicare con S e H le intersezioni fra la circonferenza a e e .
11. Tracciare una circonferenza di centro e e di raggio Ce (circonferenza f ).
12. Indicare con a1 l’ intersezione fra la circonferenza e e f .
216
13. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio AB. (circonferenza g).
14. Indicare con h e j le intersezioni fra la circonferenza a e g.
15. Tracciare una circonferenza di centro h e di raggio AB (circonferenza h).
16. Indicare con g l’ intersezione fra la circonferenza h e f .
17. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio AB. (circonferenza i).
18. Indicare con G l’ intersezione fra la circonferenza c e i.
19. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio Ba. (circonferenza l).
20. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio Aa1 (circonferenza m).
21. Tracciare una circonferenza di centro g e di raggio AB (circonferenza n).
22. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio AB (circonferenza o).
23. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio Aa (circonferenza p).
24. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio Aa (circonferenza q).
25. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio Ba1 (circonferenza r).
26. Indicare con F e R le intersezione fra la circonferenza o e r.
27. Indicare con f l’ intersezione fra la circonferenza n e l
28. Unire il punto B con il punto h.
217
29. Unire il punto h con il punto g.
30. Unire il punto g con il punto f .
31. Unire il punto f con il punto F.
32. Unire il punto F con il punto G.
33. Unire il punto G con il punto H.
34. Unire il punto H con il punto A.
35. Sarà a1A il lato dell’ottagono doppio.
36. Sarà ag il lato dell’ottagono triplo.
218
Costruzione pag.160 §164
Figura 11.4: Dato un ottagono regolare ABhg f FGH, con l’ ausilio
del solo compasso, trovare:il lato regolare di un ottagono doppio
di area e il di un ottagono triplo.
219
11.5
In un cerchio di raggio AB, con l’ausilio del solo compasso,
inscrivere quattro cerchi, che siano tangenti ad esso e tra di
loro.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 166 § 168 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 11.5).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
10. Indicare con a l’ intersezione fra la circonferenza e e f .
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza g).
12. Indicare con F e f le intersezioni fra le circonferenze a e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AF (circonferenza h).
220
14. Indicare con N e O le intersezioni fra le circonferenze a e h.
15. Tracciare una circonferenza di centro N e di raggio NO (circonferenza i).
16. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio NO (circonferenza l).
17. Indicare con P l’ intersezione fra le circonferenze i e l .
18. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio Pa (circonferenza m).
19. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio B f (circonferenza n).
20. Indicare con Q l’ intersezione fra le circonferenze m e n .
21. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio EQ (circonferenza o).
22. Indicare con R l’ intersezione fra le circonferenze o e m.
23. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio QE (circonferenza p).
24. Indicare con S l’ intersezione fra le circonferenze p e m.
25. Tracciare una circonferenza di centro f e di raggio SQ (circonferenza q).
26. Indicare con T l’ intersezione fra le circonferenze o e q.
27. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio BT (circonferenza r).
28. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QF (circonferenza s).
29. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio RE (circonferenza t).
221
30. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio S f (circonferenza u).
31. In questo modo in un cerchio di raggio dato AB si saranno
inscritti quattro cerchi che siano tangenti ad esso e tra di loro.
222
Costruzione pag.166 §168
Figura 11.5: In un cerchio di raggio AB, con l’ausilio del solo
compasso, inscrivere quattro cerchi, che siano tangenti ad esso e
tra di loro.
223
11.6
Trovare, con l’ ausilio del solo compasso,un arco di cerchio
che abbia il coseno uguale alla corda.
Riferimento: Libro undicesimo pag. 169 § 170 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 11.6).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Indicare con P l’intersezione fra le circonferenze c e d.
9. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza e).
10. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE. (circonferenza f ).
11. Indicare con a l’intersezione fra le circonferenze e e f .
12. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa. (circonferenza g).
13. Indicare con F l’intersezione fra le circonferenze a e g.
14. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio FP (circonferenza h).
224
15. Indicare con Q l’intersezione fra le circonferenze a e h.
16. Sarà l’arco BQ che avrà il coseno uguale alla corda.
Costruzione pag.169 §170
Figura 11.6: Trovare, con l’ ausilio del solo compasso,un arco di
cerchio che abbia il coseno uguale alla corda.
225
11.7
p√ p√
Trovare,con l’ausilio del solo compasso,
2e
3.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 173 § 173 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 11.7).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB. (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB. (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE. (circonferenza f ).
10. Indicare con a l’intersezione fra la circonferenza e e f .
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa. (circonferenza g).
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza h).
13. Indicare con P l’intersezione fra la circonferenza g e h.
14. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio AB (circonferenza i).
226
15. Indicare con H l’intersezione fra la circonferenza a e i.
16. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio AB (circonferenza l).
17. Indicare con l l’intersezione fra la circonferenza a e l.
18. Tracciare una circonferenza di centro l e di raggio AB (circonferenza m).
19. Indicare con K l’intersezione fra la circonferenza a e m.
20. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio PA (circonferenza n).
21. Tracciare una circonferenza di centro H e di raggio PA (circonferenza o).
22. Indicare con M e L e le intersezioni fra le circonferenze o e
n.
23. Unire il punto L con il punto M.
24. Tracciare una circonferenza di centro K e di raggio AB. (circonferenza p).
25. Indicare con Q e R I punti di intersezione tra le circonferenze
p e i.
26. Unire il punto Q con il punto R .
p√
27. Sarà LM
2.
p√
28. Sarà BR
3.
227
Costruzione pag.173 §173
p√
Figura
2 e
p√ 11.7: Trovare,con l’ausilio del solo compasso,
3.
228
11.8
Dividere, con l’ausilio del solo compasso, il segmento AB=1
in cinque parti.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 179 § 177 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 11.8).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
10. Indicare con a e a1le intersezione fra la circonferenza e e f .
11. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio AB (circonferenza g).
12. Indicare con g l’intersezione fra le circonferenze a e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio BE (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro g e di raggio AB (circonferenza i).
229
15. Indicare con n l’intersezione fra le circonferenze i e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio nE (circonferenza l).
17. Indicare con P e p le intersezioni fra le circonferenze l e a.
18. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PB (circonferenza m).
19. Tracciare una circonferenza di centro p e di raggio pB (
circonferenza n).
20. Indicare con Q l’intersezione fra le circonferenze n e m .
21. Unire il punto A con il punto Q.
22. Sarà AQ la quinta parte del segmento AB.
230
Costruzione pag.179 §177
Figura 11.8: Dividere, con l’ausilio del solo compasso, il
segmento AB=1 in cinque parti.
231
11.9
Costruire, con l’ ausilio del solo compasso, un triangolo
rettangolo che abbia i lati in proporzione aritmetica.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 181 § 179 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 11.9).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
10. Indicare con a e a1le intersezione fra la circonferenza e e f .
11. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio AB (circonferenza g).
12. Indicare con g l’intersezione fra le circonferenze a e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio BE (circonferenza h).
14. Tracciare una circonferenza di centro g e di raggio AB (circonferenza i).
232
15. Indicare con n l’intersezione fra le circonferenze i e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio nE (circonferenza l).
17. Indicare con P e p le intersezioni fra le circonferenze l e a.
18. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PB (circonferenza m).
19. Tracciare una circonferenza di centro p e di raggio pB (circonferenza n).
20. Indicare con Q l’intersezione fra le circonferenze n e m.
21. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio QE (circonferenza o).
22. Indicare con N e l le intersezioni fra le circonferenze a e o .
23. Unire il punto N con il punto B.
24. Unire il punto N con il punto E.
25. Unire il punto E con il punto B.
26. Sarà il BNE triangolo rettangolo i cui lati siano il proporzione aritmetica.
233
Costruzione pag.181 §179
Figura 11.9: Costruire, con l’ ausilio del solo compasso, un
triangolo rettangolo che abbia i lati in proporzione aritmetica.
234
11.10
Dato il lato AB dei cinque corpi regolari,trovare con l’ausilio del solo compasso, il raggio delle diverse sfere che li
comprendono.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 185 § 182 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 11.10).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’ intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’ intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’ intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’ intersezione fra le circonferenze a e e
10. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio Dd (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Bd (circonferenza g).
12. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza h) .
13. Indicare con a e a1 le intersezioni fra le circonferenze g e h.
235
14. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio aa1 (circonferenza i).
15. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio aE (circonferenza l).
16. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio AB (circonferenza m).
17. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio BE (circonferenza n) .
18. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio aA (circonferenza o).
19. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio aA (circonferenza p).
20. Indicare con b l’ intersezione fra le circonferenze o e p.
21. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio bA (circonferenza q).
22. Indicare con L l’ intersezione fra le circonferenze a e q.
23. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio AB (circonferenza r).
24. Indicare con P l’ intersezione fra le circonferenze r e i.
25. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio AB (circonferenza s).
26. Indicare con M1 l’ intersezione fra le circonferenze s e a.
27. Tracciare una circonferenza di centro M1 e di raggio AB (circonferenza t).
28. Indicare con Q l’ intersezione fra le circonferenze t e n.
29. Indicare con M l’ intersezione fra le circonferenze n e a.
236
30. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio aA (circonferenza u).
31. Indicare con R l’ intersezione fra le circonferenze u e n
32. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio M1b
(circonferenza v).
33. Indicare con S l’ intersezione fra le circonferenze v e n .
34. Tracciare una circonferenza di centro M e di raggio LB (circonferenza z).
35. Indicare con T l’ intersezione fra le circonferenze z e n.
36. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio Ea1 (circonferenza a1).
37. Indicare con p l’ intersezione fra le circonferenze a1 e l.
38. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio MB (circonferenza b1) .
39. Indicare con q l’ intersezione fra le circonferenze b1 e l.
40. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio Qq (circonferenza c1) .
41. Indicare con s l’ intersezione fra le circonferenze c1 e l.
42. Indicare con g l’ intersezione fra le circonferenze m e a.
43. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio Qq (circonferenza d1) .
44. Indicare con r l’ intersezione fra le circonferenze d1 e m.
45. Tracciare una circonferenza di centro T e di raggio Qq (circonferenza e1).
46. Unire il punto B con il punto p.
47. Unire il punto B con il punto q.
237
48. Unire il punto g con il punto r.
49. Unire il punto B con il punto s.
50. Unire il punto g con il punto t.
51. Sarà Bp il raggio della sfera che comprende il tetraedro.
52. Sarà Bq il raggio della sfera che comprende il cubo.
53. Sarà gr il raggio della sfera che comprende l’ ottaedro.
54. Sarà Bs il raggio della sfera che comprende il dodecaedro.
55. Sarà gt il raggio della sfera che comprende l’ icosaedro.
238
Costruzione pag.185 §182
Figura 11.10: Dato il lato AB dei cinque corpi regolari,trovare
con l’ausilio del solo compasso, il raggio delle diverse sfere che li
comprendono.
239
11.11
Dati cinque punti A;B;C;D;E estremi di un pentagono regolare, trovare con l’ausilio del solo compasso, i punti a;b;c;d;e,
nei quali essi taglierebbero le diagonali di questo pentagono.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 194 § 186 [4]
1. Posizionare i punti B;C;D;A;E in modo che formino un pentagono al contrario (v. Figura 11.11).
2. Unire il punto B con il punto E.
3. Unire il punto E con il punto C.
4. Unire il punto C con il punto A.
5. Unire il punto A con il punto D.
6. Unire il punto D con il punto B.
7. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a).
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
9. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
10. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e ).
12. Indicare con b l’intersezione fra le circonferenze a e d.
13. Indicare con a l’intersezione fra le circonferenze c e e.
240
14. Indicare con e l’intersezione fra le circonferenze b e d.
15. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e c.
16. Indicare con c l’intersezione fra le circonferenze b e e.
17. Saranno b;a;e;d;c I punti nei quali si taglierebbero le diagonali di questo pentagono.
Costruzione pag.194 §186
Figura 11.11: Dati cinque punti A;B;C;D;E estremi di un pentagono regolare, trovare con l’ausilio del solo compasso, i punti a;b;c;d;e, nei quali essi taglierebbero le diagonali di questo
pentagono.
241
11.12
Inscrivere in un cerchio sei pentagoni, con l’ ausilio del
solo compasso.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 195 § 187 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 11.12).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza g).
12. Indicare con a l’intersezione fra la circonferenza f e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza h).
14. Indicare con F l’intersezione fra la circonferenza h e a.
242
15. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio Aa (circonferenza i).
16. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio Aa (circonferenza l).
17. Indicare con b l’intersezione fra la circonferenza i e l.
18. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio bF (circonferenza m).
19. Indicare con P l’intersezione fra la circonferenza a e m.
20. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PB (circonferenza n).
21. Indicare con Q l’intersezione fra la circonferenza a e n.
22. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio QP (circonferenza o).
23. Indicare con R l’intersezione fra la circonferenza a e o.
24. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio RQ (circonferenza p).
25. Indicare con S l’intersezione fra la circonferenza a e p.
26. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio SB (circonferenza q).
27. Indicare con p l’intersezione fra la circonferenza p e m.
28. Indicare con b1 l’intersezione fra la circonferenza q e o.
29. Indicare con q l’intersezione fra la circonferenza q e n.
30. Indicare con s l’intersezione fra la circonferenza p e n.
31. Indicare con r l’intersezione fra la circonferenza o e m.
32. Unire il punto s con il punto b1.
33. Unire il punto b1 con il punto p.
243
34. Unire il punto p con il punto q.
35. Unire il punto q con il punto r.
36. Unire il punto r con il punto s.
37. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio pq (circonferenza r) .
38. Tracciare una circonferenza di centro b1 e di raggio pq (circonferenza s).
39. Indicare con c l’intersezione fra le circonferenze r e s.
40. Tracciare una circonferenza di centro p e di raggio pq (circonferenza t) .
41. Indicare con d1 l’intersezione fra le circonferenze t e r.
42. Unire il punto P con il punto c.
43. Unire il punto P con il punto d1.
44. Unire il punto d1 con il punto p.
45. Unire il punto c con il punto b1.
46. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio pq (circonferenza u).
47. Indicare con e l’intersezione fra le circonferenze u e t.
48. Tracciare una circonferenza di centro q e di raggio pq (circonferenza v).
49. Indicare con f l’intersezione fra le circonferenze v e u.
50. Unire il punto e con il punto Q.
51. Unire il punto Q con il punto f .
52. Unire il punto f con il punto q.
53. Unire il punto e con il punto p.
244
54. Tracciare una circonferenza di centro R e di raggio pq (circonferenza z).
55. Indicare con g l’intersezione fra le circonferenze v e z.
56. Tracciare una circonferenza di centro r e di raggio pq (circonferenza a1).
57. Indicare con h l’intersezione fra le circonferenze a1 e z.
58. Unire il punto R con il punto g.
59. Unire il punto R con il punto h.
60. Unire il punto h con il punto r.
61. Unire il punto g con il punto q.
62. Tracciare una circonferenza di centro S e di raggio pq (circonferenza b1) .
63. Indicare con t l’intersezione fra le circonferenze b1e a1.
64. Tracciare una circonferenza di centro s e di raggio pq (circonferenza c1).
65. Indicare con h1 l’intersezione fra le circonferenze c1 e b1.
66. Unire il punto S con il punto 1.
67. Unire il punto S con il punto t.
68. Unire il punto h1 con il punto s.
69. Unire il punto t con il punto r.
70. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio pq (circonferenza d1).
71. Indicare con l l’intersezione fra le circonferenze d1 e c1.
72. Indicare con m l’intersezione fra le circonferenze d1 e s.
73. Unire il punto B con il punto l.
245
74. Unire il punto B con il punto m.
75. Unire il punto m con il punto b1.
76. Unire il punto l con il punto s.
77. Saranno: slBmb1;b1cPd1 p;peQ f q;qgRhr;rtSh1s;sb1 pqr i sei
pentagoni inscritti in un dato cerchio AB.
Costruzione pag.195 §187
Figura 11.12: Inscrivere in un cerchio sei pentagoni, con l’ ausilio
del solo compasso.
246
11.13
In un cerchio di raggio dato AB,inscrivere,con l’ausilio del
solo compasso, sette esagoni regolari: uno dei quali sia
concentrico al cerchio e gli altri siano concentrici ad esso.
Riferimento: Libro undicesimo, pag. 200 § 190 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 11.13).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DB (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio Dd (circonferenza g).
12. Indicare con V l’intersezione fra le circonferenze g e f .
13. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CV (circonferenza h).
247
14. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio CV (circonferenza i).
15. Indicare con P l’intersezione fra le circonferenze i e h.
16. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PA (circonferenza l).
17. Indicare con F l’intersezione fra le circonferenze l e a.
18. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio Fd (circonferenza m).
19. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio Fd (circonferenza n).
20. Indicare con a1 l’intersezione fra le circonferenze n e m.
21. Tracciare una circonferenza di centro a1 e di raggio Fd (circonferenza o).
22. Indicare con m l’intersezione fra le circonferenze o e m.
23. Indicare con q l’intersezione fra le circonferenze o e n.
24. Indicare con p l’intersezione fra le circonferenze o e e.
25. Indicare con n l’intersezione fra le circonferenze o e d.
26. Unire il punto n con il punto m.
27. Unire il punto n con il punto p.
28. Unire il punto p con il punto q.
29. Unire il punto q con il punto d.
30. Unire il punto d con il punto F.
31. Unire il punto F con il punto m.
32. Usando lo stesso procedimento si possono trovare gli altri
sei esagoni da inscrivere nel cerchio.
248
Costruzione pag. 200§190
Figura 11.13: In un cerchio di raggio dato AB,inscrivere,con l’ausilio del solo compasso, sette esagoni regolari: uno dei quali sia
concentrico al cerchio e gli altri siano concentrici ad esso.
249
250
Libro 12
12.1
In un cerchio di raggio AB, trovare, con l’ausilio del solo compasso, una corda che sia uguale ad un quarto della
circonferenza.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 248 § 266 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.1).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza e).
251
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
10. Indicare con a l’intersezione fra le circonferenze e e f .
11. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio Ca (circonferenza g).
12. Indicare con b l’intersezione fra le circonferenze g e a.
13. Unire il unto B con il punto b.
14. Sarà la corda Bb uguale prossimamente ad un quarto della
circonferenza.
252
Costruzione pag.248 §266
Figura 12.1: In un cerchio di raggio AB, trovare, con l’ausilio
del solo compasso, una corda che sia uguale ad un quarto della
circonferenza.
253
12.2
In un cerchio di raggio AB trovare, con l’ausilio del solo
compasso, l’arco uguale al raggio.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 249 § 268 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.2).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b .
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio DB (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio Dd (circonferenza g).
12. Indicare con a l’intersezione fra le circonferenze g e f .
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza h).
14. Indicare con F l’intersezione fra le circonferenze h e a.
254
15. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio FB (circonferenza i).
16. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio FB (circonferenza l).
17. Indicare con b l’intersezione fra le circonferenze l e i.
18. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio Aa (circonferenza m).
19. Indicare con L l’intersezione fra le circonferenze m e a.
20. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FA (circonferenza n).
21. Indicare con O l’intersezione fra le circonferenze n e a.
22. Indicare con H l’intersezione fra le circonferenze l e a .
23. Tracciare una circonferenza di centro O e di raggio Fb (circonferenza o).
24. Indicare con M l’intersezione fra e circonferenze o e n.
25. Sarà LM l’arco uguale prossimamente al raggio
255
Costruzione pag.249 §268
Figura 12.2: In un cerchio di raggio AB trovare, con l’ausilio del
solo compasso, l’arco uguale al raggio.
256
12.3
Trovare, con l’ausilio del solo compasso, un lato di un quadrato, che sia uguale in area ad un cerchio di raggio AB.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 250 § 269 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a)(v. Figura 12.3).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Indicare con c l’intersezione fra la circonferenza a e b.
11. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio Cc (circonferenza f ).
12. Indicare con M l’intersezione fra la circonferenza f e e.
13. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio Dd (circonferenza g).
14. Indicare con N l’intersezione fra la circonferenza f e g.
15. Indicare con L l’intersezione fra le circonferenze b e g.
257
16. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Ld (circonferenza h).
17. Indicare con P l’intersezione fra le circonferenze h e a.
18. Tracciare una circonferenza di centro P e di raggio PB (circonferenza i).
19. Indicare con Q l’intersezione fra le circonferenze i e a.
20. Tracciare una circonferenza di centro Q e di raggio LM (circonferenza l).
21. Indicare con R l’intersezione fra le circonferenze l e a.
22. Unire il punto R con il punto B.
23. Unire il punto B con il punto L.
24. Unire il punto L con il punto d.
25. Unire il punto d con il punto R.
26. Dividere a metà in F il segmento BL.
27. Unire il punto F con il unto R.
28. Unire il punto L con il unto R.
29. Dividere a metà in H il segmento Ld.
30. Unire il punto H con il unto R.
31. Sarà BR il lato di un quadrato prossimamente uguale in area
ad un cerchio di dato raggio AB.
258
Costruzione pag.250 §269
Figura 12.3: Trovare, con l’ausilio del solo compasso, un lato di
un quadrato, che sia uguale in area ad un cerchio di raggio AB.
259
12.4
Dato il lato AB di un quadrato; trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il raggio di un cerchio che gli sia uguale in area.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 253 § 271 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.4).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza g).
12. Indicare con a l’intersezione fra la circonferenza f e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio AB (circonferenza h).
14. Indicare con G l’intersezione fra le circonferenze h e a.
260
15. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio AB (
circonferenza i).
16. Indicare con N l’intersezione fra le circonferenze i e f .
17. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CN (circonferenza l).
18. Indicare con P l’intersezione fra le circonferenze l e a.
19. Unire il punto P con il punto G.
20. Sarà il lato di un cubo uguale prossimamente in solidità al
raggio AB di una sfera.
261
Costruzione pag.253 §271
Figura 12.4: Dato il lato AB di un quadrato; trovare, con l’ausilio
del solo compasso, il raggio di un cerchio che gli sia uguale in
area.
262
12.5
Dato il raggio AB di una sfera, trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il lato di un cubo che, sia uguale in solidità alla
medesima.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 255 § 272 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.5).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza f ).
11. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza g).
12. Indicare con a l’intersezione fra la circonferenza f e g.
13. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio AB (circonferenza h).
263
14. Indicare con G l’intersezione fra le circonferenze h e a.
15. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio AB (circonferenza i).
16. Indicare con N l’intersezione fra le circonferenze i e f .
17. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio CN (circonferenza l).
18. Indicare con P l’intersezione fra le circonferenze l e a.
19. Unire il punto P con il punto G.
20. Sarà il lato di un cubo uguale prossimamente in solidità al
raggio AB di una sfera.
264
Costruzione pag.255 §272
Figura 12.5: Dato il raggio AB di una sfera, trovare, con l’ausilio
del solo compasso, il lato di un cubo che, sia uguale in solidità
alla medesima.
265
12.6
Dato il lato AB di un cubo,trovare, con l’ausilio del solo
compasso, il raggio di una sfera che gli sia uguale in solidità.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 256 § 273 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.6).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza f ).
10. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza g).
11. Indicare con a l’intersezione fra la circonferenza f e g .
12. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza h).
13. Indicare con F l’intersezione fra le circonferenze h e a.
14. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio Fa (circonferenza i).
266
15. Indicare con M l’intersezione fra le circonferenze i e a.
16. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio AF (circonferenza l).
17. Indicare con L l’intersezione fra le circonferenze l e a.
18. Unire il punto L con il punto M.
19. Sarà LM il raggio di una sfera prossimamente uguale in solidità al raggio AB di un cubo.
Costruzione pag.256 §273
Figura 12.6: Dato il lato AB di un cubo,trovare, con l’ausilio del
solo compasso, il raggio di una sfera che gli sia uguale in solidità.
267
12.7
Duplicare, con l’ausilio del solo compasso, il cubo.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 257 § 275 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.7).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b.
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza e).
9. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio CE (circonferenza f ).
10. Indicare con a l’intersezione fra la circonferenza f e e.
11. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza g).
12. Indicare con F l’intersezione fra le circonferenze g e a.
13. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FA (circonferenza h).
14. Indicare con N l’intersezione fra le circonferenze h e a.
15. Unire il punto N con il punto A.
268
16. Sarà LM il lato del cubo duplicato.
Costruzione pag.257 §275
Figura 12.7: Duplicare, con l’ausilio del solo compasso, il cubo.
269
12.8
Triplicare,quadruplicare.ecc fino all’ ottuplicazione il cubo,
con l’ausilio del solo compasso.
Riferimento: Libro dodicesimo, pag. 259 § 276 [4]
1. Tracciare una circonferenza di centro A e di raggio AB (circonferenza a) (v. Figura 12.8).
2. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio AB (circonferenza b).
3. Indicare con C l’intersezione tra la circonferenza a e b .
4. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio AB (circonferenza c).
5. Indicare con D l’intersezione fra le circonferenze a e c.
6. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio AB (circonferenza d).
7. Indicare con E l’intersezione fra le circonferenze a e d.
8. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio AB (circonferenza e).
9. Indicare con d l’intersezione fra le circonferenze a e e.
10. Tracciare una circonferenza di centro d e di raggio AB (circonferenza f ).
11. Indicare con c l’intersezione fra la circonferenza b e f .
12. Tracciare una circonferenza di centro c e di raggio AB (circonferenza g).
13. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio DB (circonferenza h).
14. Indicare con r l’intersezione fra le circonferenze h e d.
270
15. Indicare con V e l le intersezioni fra le circonferenze h e f .
16. Tracciare una circonferenza di centro E e di raggio EC (circonferenza i).
17. Indicare con a l’intersezione fra le circonferenze i e h.
18. Tracciare una circonferenza di centro C e di raggio EC (circonferenza l).
19. Indicare con p l’intersezione fra le circonferenze l e e.
20. Indicare con q l’intersezione fra le circonferenze l e g.
21. Tracciare una circonferenza di centro D e di raggio Dd (circonferenza m).
22. Indicare con J l’intersezione fra le circonferenze m e f .
23. Indicare con H l’intersezione fra le circonferenze m e B.
24. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Aa (circonferenza n).
25. Indicare con F l’intersezione fra le circonferenze n e a.
26. Tracciare una circonferenza di centro F e di raggio FA (circonferenza o).
27. Indicare con O l’intersezione fra le circonferenze o e a.
28. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio FA (circonferenza p).
29. Indicare con G l’intersezione fra le circonferenze p e a
30. Tracciare una circonferenza di centro G e di raggio GA (circonferenza q)
31. Indicare con L l’intersezione fra le circonferenze q e a.
32. Tracciare una circonferenza di centro a e di raggio EL (circonferenza r).
271
33. Indicare con w l’intersezione ra le circonferenze r e a.
34. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio Hr (circonferenza s).
35. Indicare con E1 l’intersezione fra le circonferenze s e a.
36. Tracciare una circonferenza di centro B e di raggio pV (
circonferenza t ).
37. Indicare con U l’intersezione fra e circonferenze t e a.
38. Tracciare una circonferenza di centro U e di raggio qr (circonferenza u).
39. Indicare con v l’intersezione fra le circonferenze u e a.
40. Unire il punto a con il punto O.
41. Unire il punto C con il punto V .
42. Unire il punto G con il punto O.
43. Unire il punto w con il punto O.
44. Unire il punto E1 con il punto c.
45. Unire il punto v con il punto c.
46. Unire il punto B con il punto E .
47. Sarà il segmento aO il lato del cubo duplicato.
48. Sarà il segmento CV il lato del cubo triplicato.
49. Sarà il segmento OG il lato del cubo quadruplicato.
50. Sarà il segmento Ow il lato del cubo quintuplicato.
51. Sarà il segmento cE1 il lato del cubo sestuplicato.
52. Sarà il segmento cv il lato del cubo settuplicato.
53. Sarà il segmento BE il lato del cubo ottuplicato.
272
Costruzione pag.259 §276
Figura 12.8: Triplicare,quadruplicare.ecc fino all’ ottuplicazione
il cubo, con l’ausilio del solo compasso.
273
274
Bibliografia
[1] O. Byrne. The Geometry of Compasses: Or Problems
Resolved By The Mere Description Of Circles. Crosby,
Lockwood, and Co., 1877.
[2] H. Geppert. Georg Mohr e la Geometria del Compasso.
Periodico di Matematiche, IX:149–160, 1929.
[3] A. Kostovskii. Geometrical constructions with compasses
only. Mir Publishers, Moscow, 1986.
[4] L. Mascheroni. La Geometria del Compasso. Eredi Pietro
Galeazzi, 1797. Ristampa anastatica di Moretti & Vitali.
[5] G. Mohr. Euclides Danicus. 1672.
[6] A. Quemper de Lanascol. Géométrie du Compas. Librarie
Scientifique Albert Blanchard, 1925.
[7] Capitano Sacchi. Problemi di Geometria dell’abate Lorenzo Mascheroni. Giovanni Silvestri, Milano, terza edizione
edition, 1832.
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12.9
Notizie sugli autori
Federico Fabrizi nasce a Roma il 14 Maggio del 1996, frequenta la scuola elementare presso le suore Pallottine di Roma.
Finita la quinta elementare si iscrive alla scuola media Vincenzo Bellini. Finita la scuola media decide di iscriversi al liceo
scientifico Isacco Newton, dove attualmente frequenta la seconda classe. È appassionato di matematica e pratica il basket.
Pietro Pennestrì nasce a Roma il 3 Maggio del 1996, frequenta
la scuola elementare presso l’Istituto dei Salesiani San Giovanni Bosco di Roma. Frequenta la scuola media Vincenzo Bellini. Finita la scuola media si iscrive al liceo scientifico Isacco
Newton di Roma, dove attualmente frequenta la seconda classe. Le sue passioni sono i progetti di elettronica con la scheda Arduino, la falegnameria ed il karate. Colleziona macchine
fotografiche.
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