Esercizi su verifiche di ipotesi

ESERCIZI
In caso non vi tornassero i risultati non esitate a farmelo sapere. Potrebbero esserci errori di battitura. Non ho
avuto tempo di ricontrollarli uno per uno.
Esercizio 1
Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale
1.1 3.1 4.2 4.6 5.0 5.2 5.3 6.5 8.4 9.6
verificare l’ipotesi H0: =4 al livello di significatività=0.01
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 1.6811, il quantile di riferimento vale 3.2498. Non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 2
Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale
10 12 15 16 16 17 20 22
verificare l’ipotesi H0: =15 al livello di significatività=0.01
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 0.7268, il quantile di riferimento vale 3.4495. Non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 3
Su un campione casuale di 200 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 24 e una
varianza corretta pari a 40. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 25 al livello di significatività=0.05
attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 2.24, il p-valore corrispondente è pari a 0.0252, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 4
Su un campione casuale di 1000 elementi si è ottenuta una media pari a 11.2 e una varianza corretta pari a 8. Verificare
l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività=0.10 attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 13.42, il p-valore corrispondente è pari a 0.0000…, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 5
Su un campione casuale di 40 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 11.2 e una
varianza corretta pari a 8. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività=0.10
attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 2.68, il p-valore corrispondente è pari a 0.0074, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 6
Su un campione casuale di 2000 elementi 972 presentano una certa caratteristica A. Verificare l’ipotesi che la proporzione di
individui con tale caratteristica nella popolazione sia pari al 50% al livello di significatività=0.05 attraverso il calcolo del
p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 1.25, il p-valore corrispondente è pari a 0. 2114, per cui non si ha motivo di rifiutare
H0.
Esercizio 7
Su un campione casuale di 102 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni
riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di
significatività=0.05.
X\Y A B C
a
32 10 0 42
b
0 10 30 40
c
0 0 20 20
32 20 50 102
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 87.3071, il quantile di riferimento è pari a 9.4877, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 8
Su un campione casuale di 2000 elementi 478 presentano una certa caratteristica A. Verificare l’ipotesi che la proporzione di
individui con tale caratteristica nella popolazione sia pari a 0.25 ai due livelli di significatività=0.05 e=0.10.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 1.1361, i due quantili di riferimento sono 1.645 e 1.96, per cui in entrambi i casi non si
ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 9
Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi
alla numerosità, alla media e alla varianza corretta
n1=9, x1  10 , s12  12
n2=13, x2 10.5 , s22  14.2
Si verifichi l’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.05.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 0.31594, il quantile di riferimento vale 2.0860, per cui non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 10
Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi
alla numerosità, alla media e alla varianza corretta
n1=8, x1  5 , s12  10
n2=10, x2  6 , s 22  8
Si verifichi l’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.01.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 0.70766, il quantile di riferimento vale 2.9208, per cui non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 11
Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi
alla numerosità, alla media e alla varianza corretta
n1=80, x1  10 , s12  12
n2=70, x2 12 , s22  14.2
Si calcoli il p-valore della statistica test che si utilizza nella verifica dell’ipotesi H0: 1=2.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 3.39 a cui corrisponde un p-valore pari a 0.0007.
Esercizio 12
Su un campione casuale di 100 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni
riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di
significatività=0.01.
X\Y A B C
a
8 12 30 50
b
40 10 0 50
48 22 30 100
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 51.5152, il quantile di riferimento è pari a 9.2104, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 13
Su un campione casuale di 80 individui su cui sono state
riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che
significatività=0.10.
X\Y
a
b
c
rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni
le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di
A B
28 32
5 5
3 7
36 44
60
10
10
80
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 1.0774, il quantile di riferimento è pari a 4.6052, per cui non si ha motivo di rifiutare
H0.
Esercizio 14
Su un campione casuale di 80 individui su cui sono state
riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che
significatività=0.10.
X\Y
a
b
c
rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni
le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di
A B
28 32
5 5
3 7
36 44
60
10
10
80
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 1.0774, il quantile di riferimento è pari a 4.6052, per cui non si ha motivo di rifiutare
H0.
Esercizio 15
Su un campione casuale di 50 individui su cui sono state
riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che
significatività=0.05.
X\Y
a
b
rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni
le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di
A B
14 21 35
6 9 15
20 30 50
Soluzione
Le frequenze interne corrispondono a quelle teoriche sotto ipotesi di indipendenza. La statistica test risulta uguale a zero e
l’ipotesi di indipendenza non può essere quindi rifiutata (il quantile di riferimento è pari a 3.8415).
Esercizio 16
Su due campioni casuali indipendenti rispettivamente di numerosità n1=700 e n2=800 provenienti da due popolazioni diverse
il numero di individui con la caratteristica di interesse è risultato rispettivamente pari a n 11=200 e n21=300. Verificare
l’ipotesi che le proporzioni di individui con la caratteristica di interesse sia uguale nelle due popolazioni al livello di
significatività=0.05.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 3.65963, il quantile di riferimento è pari a 1.96, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 17
Su due campioni casuali indipendenti rispettivamente di numerosità n1=300 e n2=400 provenienti da due popolazioni diverse
il numero di individui con la caratteristica di interesse è risultato rispettivamente pari a n11=200 e n21=300.
Calcolare il p-valore associato alla statistica test che si utilizza per la verifica dell’ipotesi che le proporzioni di individui con
la caratteristica di interesse è uguale nelle due popolazioni.
Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 2.42, il p-valore è pari a 0.0156.