Errore a regime per segnali canonici

Comportamento a regime dei
sistemi in retroazione
per segnali di ingresso canonici
Errore a regime ed inseguimento
• Un obiettivo primario nella progettazione dei
sistemi di controllo è l’inseguimento del segnale
di riferimento
• Analizziamo le proprietà di inseguimento dei
sistemi di controllo in retroazione a regime per
segnali canonici calcolando l’errore di
inseguimento
(ogni segnale può essere sviluppato in serie di
Taylor ed essere approssimato da una c.l. di
segnali canonici)
R(s)
+
E(s)
-
L(s)
Y(s)
L(s)
1
E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) R( s ) =
R( s)
1 + L(s)
1 + L( s )
Analizziamo il comportamento a regime di E(s) per segnali di ingresso
canonici (gradino, rampa, parabola..)
tk
R ( s ) = k +1 ⇒ r (t ) =
k!
s
k = 0 → gradino
1
k = 1 → rampa
k = 2 → parabola
Nell’ipotesi che il sistema a ciclo chiuso sia stabile, possiamo applicare
il teorema del valore finale
1
1
1
e∞ = limt →∞ e(t ) = lim s→0 E ( s ) = lim s→0 s
R( s ) = lim s→0 s
1 + L( s )
1 + L( s ) s k +1
1
1
e∞ = lim s→0
1 + L( s ) s k
Affinchè l’errore a regime sia finito, devono semplificarsi i k poli nell’origine
Poiché:
1
D( s)
=
1 + L( s ) N ( s ) + D ( s )
con L( s ) =
N ( s)
D( s)
il numero di poli nell’origine di L(s) coincide con il numero di zeri nell’origine
di 1/(1+L(s))
Definiamo ‘tipo di un sistema’ il numero di
poli nell’origine che possiede:
Sistema di tipo zero: non ha poli nell’origine
Sistema di tipo uno: ha un polo nell’origine
Sistema di tipo due: ha due poli nell’origine
….
Errore al gradino
per un sistema di tipo zero
e∞ = lim s→0
1
1
1 + L( s ) s k
e∞ = lim s→0
con k=0
1
1
1
=
=
1 + L ( s ) 1 + L ( 0) 1 + k p
k p = lim s→0 L( s )
costante di posizione
L’errore è finito e diminuisce all’aumentare del guadagno di Bode di L(s)
Errore al gradino
per un sistema di tipo uno
e∞ = lim s→0
1
1
1 + L( s ) s k
con k=0
e∞ = lim s→0
perchè
1
=0
1 + L( s )
lim s→0 L( s ) = ∞
L’errore è nullo, a regime si ottiene l’inseguimento perfetto
Lo stesso accade per sistemi di tipo due, tre….
Errore alla rampa
per un sistema di tipo zero
e∞ = lim s→0
1
1
1 + L( s ) s k
con k=1
1
1
1
D( s)
= lim s→0
=∞
e∞ = lim s→0
1 + L( s ) s
s N ( s) + D( s)
Errore alla rampa
per un sistema di tipo uno
e∞ = lim s→0
e∞ = lim s→0
1
1
1 + L( s ) s k
con k=1
s
1
1
1
1
1
1
1
= lim s→0
= lim s→0
=
=
~
~
1
~
s s + L ( s ) L ( 0) k v
1 + L( s ) s
s 1 + L ( s)
s
~
L (0) = sL( s )
kv = lim s→o sL( s )
costante di velocità
Errore alla rampa
per un sistema di tipo due
e∞ = lim s→0
1
1
1 + L( s ) s k
con k=1
s2
1
1
1
1
1
= lim s→0
= lim s→0 2 ~ = 0
e∞ = lim s→0
1
~
s s + L ( s)
s 1 + L ( s)
1 + L( s ) s
s2
•
Se un sistema non ha il numero di poli nell’origine necessari a garantire
l’errore a regime richiesto, è possibile introdurli tramite il controllore
•
Analogamente il controllore può modificare il valore dell’errore a regime
introducendo un guadagno opportuno
•
Le proprietà di inseguimento a regime possono quindi essere modificate
da un controllore del tipo:
con k ed l opportuni
k
C ( s) = l
s
C(s) è detto ‘controllore statico’
L’inserimento del controllore statico riduce il
margine di fase del sistema e può renderlo instabile
Esempio
1
• Dato il processo con f.d.t.: P ( s ) =
s+2
progettare un controllore che garantisca:
- errore a regime per un ingresso a gradino nullo
- errore a regime per un ingresso a rampa <1
Il processo è di tipo zero, quindi se venisse
chiuso in retroazione unitaria presenterebbe
errore al gradino finito e pari a:
e∞ =
1
1
1
=
=
= 0.6
1 + k p 1 + lim s→0 P( s ) 1 + 0.5
Verifichiamolo:
0. 3
0.25
Amplitude
>> p=1/(s+2);
>> w=feedback(p,1)
Transfer function: 1-----s + 3
>> step(w)
St ep Response
0.35
0. 2
0.15
0. 1
0.05
0
0
0. 2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Per avere errore al gradino nullo è necessario che L(s)=C(s)*P(s)
sia di tipo 1, per avere errore alla rampa <=1 è necessario che il
guadagno di L(s) sia opportuno, la f.d.t. di C(s) dovrà quindi essere
del tipo C(s)=k/s
Calcoliamo k:
e∞ramp =
1
1
1
2
=
=
= <= 1
k
kv lim s→0 sL( s ) lim s k 1
s →0
s s+2
k >= 2
C ( s) =
2
s
St ep Response
1. 4
1. 2
A mplitude
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Linear Simulation Results
10
9
8
7
6
Amplitude
>> c=2/s;
>> l=c*p;
>> w=feedback(l,1)
Transfer function:
2
------------s^2 + 2 s + 2
>> step(w)
>> figure
>> t=[0:.1:10];
>> lsim(w,t,t)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
Analisi della stabilità
• Verifichiamo l’effetto che ha l’aggiunta di C(s) sulla
stabilità robusta del sistema a ciclo chiuso:
B ode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec ) , P m = 65.5 deg (at 0.91 rad/ sec)
0
40
-10
20
Magn itude (dB)
Magn itude (dB)
B ode Diagram
Gm = Inf , Pm = Inf
-20
-30
-40
0
-20
-40
-60
-80
-90
Phase (deg )
P hase (de g)
-50
0
-45
-135
-90
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
-180
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
margin(p)
margin(c*p)
2
10
Nyquist Diagram
Nyquist Diagram
1
8
0. 8
6
0. 6
4
Imag inary Axis
Imagin ary A xis
0. 4
0. 2
0
-0. 2
2
0
-2
-0. 4
-4
-0. 6
-6
-0. 8
-1
-1
-0.5
0
Real Axis
nyquist(p)
0.5
-8
-1
-0. 9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
Real Axis
nyquist(c*p)
-0.2
-0.1
0
Analisi in frequenza del sistema a ciclo chiuso
B od e D ia g ra m
0
Magn itude (dB)
-1 0
-2 0
-3 0
-4 0
-5 0
-6 0
-7 0
0
w1
Phase (deg )
>> w1=feedback(p,1)
Transfer function:
1
----s+3
>> w2=feedback(c*p,1)
Transfer function:
2
------------s^2 + 2 s + 2
>> bode(w1,w2)
w2
-4 5
-9 0
-1 3 5
Con l’inserimento di C(s):
-1 8 0
10
-2
-
Si nota che la w2(s) ha modulo 1 (0db)
alle basse frequenze, garantendo un
buon inseguimento a regime per
segnali sinusoidali di pulsazione
inferiore alla banda passante
-
Si ha una riduzione della banda
passante
10
-1
10
F req u e nc y
0
(ra d / s ec )
10
1
10
2
Analisi tramite luogo delle radici
Root Locus
Root Locus
0. 8
1
0. 8
Sys tem: untitled1
Gain: 0.748
Pole: -1 + 0.704i
Damping: 0. 818
Overshoot (%): 1.15
Frequency (rad/sec): 1.22
0. 6
0. 6
0. 4
Imagin ary A xis
Imagin ary Axis
0. 4
0. 2
0
-0. 2
0. 2
0
-0. 2
-0. 4
-0. 4
-0. 6
-0. 6
-0. 8
-1
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1. 5
-1
-0.5
0
-0. 8
-2
-1. 8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
Real Axis
rlocus(p)
rlocus(p*c)
Il sistema a ciclo chiuso ha sempre
una dinamica di primo ordine
Il sistema a ciclo chiuso al crescere di k può
avere una dinamica di secondo ordine con:
Ta=cost
Ts crescente
S% crescente
esempio
• Dato il processo con f.d.t.:
5
P( s) =
s ( s + 2)
progettare il compensatore statico in modo da
avere:
- errore al gradino nullo
- errore alla rampa<=0.1
Il processo è di tipo uno, quindi messo in retroazione
unitaria ha già errore al gradino nullo ed errore alla
rampa finito e pari a:
1
e∞ramp =
lim s→0 s
5
s ( s + 2)
=
2
= 0.4 > delle specifiche
5
Linear Simulation Results
St ep Response
10
1. 4
9
1. 2
8
7
1
Amplitude
Amplitude
6
0. 8
0. 6
5
4
3
0. 4
2
0. 2
1
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
• Si deve introdurre un controllore per
aumentare opportunamente il guadagno:
e∞ramp =
1
5k
lim s→0 s
s ( s + 2)
0.4
k >=
=4
0.1
C ( s) = 4
2
=
<= 0.1
5k
St ep Response
Linear Simulation Res ults
1. 5
10
w
9
w1
8
7
1
Amplitude
A mplitude
6
5
4
0. 5
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
>> w=feedback(p,1);
>> w1=feedback(4*p,1);
>> step(w,w1)
Il sistema è più veloce
La sovraelongazione è aumentata
L’errore alla rampa è diminuito
6
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
>> lsim(w,t,t)
>> hold
Current plot held
>> lsim(w1,t,t)
6
7
8
9
10
Analisi in frequenza del sistema a ciclo
aperto (stabilità robusta)
B ode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec ) , P m = 25.2 deg (at 4.25 rad/ sec)
Nyquist Diagram
80
60
40
System: p
Real: -1.25
Imag: 45
Frequency (rad/s ec): -0.0622
20
20
0
-20
-40
-60
0
-80
-90
-20
Phase (deg )
I maginary Axis
40
Magn itude (dB)
60
-40
-60
-80
-5
-135
-180
-4. 5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-1
10
Real Axis
La pulsazione di attraversamento è aumentata
Il margine di fase è diminuito
Il sistema a ciclo chiuso è comunque stabile
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Analisi in frequenza del sistema a ciclo chiuso
B ode Diagram
Magn itude (dB)
20
0
-20
-40
-60
-80
0
bode(w,w1)
Phase (deg )
w
w1
-45
-90
-135
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Sono aumentati modulo alla risonanza e banda passante
esempio
• Dato il processo con f.d.t.:
P( s) =
5
s( s + 2)( s + 1)
progettare il compensatore statico in modo da
avere:
- errore al gradino nullo
- errore alla rampa<=0.001
• È lo stesso del precedente ma deve essere:
1
e∞ramp =
lim s→0 s
5k
s( s + 2)( s + 1)
=
2
<= 0.001
5k
0.4
= 400
0.001
C ( s ) = 400
k >=
St ep Response
5
St ep Response
2
4. 5
1. 8
4
1. 4
3. 5
1. 2
3
Amplitude
A mplitude
1. 6
1
0. 8
2. 5
2
0. 6
1. 5
0. 4
1
0. 2
0. 5
0
0
20
40
60
80
100
120
Time (sec)
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0. 4
Time (sec)
Sistema a ciclo chiuso senza
compensatore statico
Sistema a ciclo chiuso con
compensatore statico:
È diventato instabile
0.45
B ode Diagram
Gm = -50.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -76.4 deg (at 12.5 rad/sec)
100
150
50
100
Magnit ude (dB)
Magnit ude (dB)
Bode Diagram
Gm = 1.58 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = 5.02 deg (at 1.29 rad/sec)
0
-50
-100
0
-50
-150
-90
-100
-90
-135
-180
-225
Phase (deg )
Phase (deg )
50
-135
2
-270
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
-2
10
-1
10
0
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Senza compensatore
Con compensatore
In questi casi è necessario introdurre, oltre al compensatore statico, un altro
compensatore che stabilizzi il sistema a ciclo chiuso senza modificare guadagno
E tipo di L(s)
Errore a regime per disturbi
‘canonici’ sulla catena diretta
R(s)
+
+
-
C(s)
P(s)
Df(s)
+
Consideriamo un sistema di controllo in retroazione su cui agisce un disturbo
additivo Df(s) sulla catena diretta
Obiettivo del controllore è quello di rendere trascurabile l’azione del
disturbo sull’uscita del sistema controllato
Ci occupiamo dell’effetto a regime di disturbi costanti (gradino) o a rampa
• Agendo per sovrapposizione degli effetti consideriamo
nullo R(s) e calcoliamo la f.d.t. tra uscita e disturbo
1
1
Y ( s) =
D f ( s) =
D f ( s)
1 + C ( s) P( s)
1 + L( s )
La f.d.t ha lo stesso denominatore della f.d.t. tra ingresso
ed uscita, se il sistema è stabile per calcolare l’uscita a
regime quando agisce il disturbo si può usare Il teorema
del valore finale
D( s)
1
D f ( s)
y∞ = lim s→0 s
D f ( s ) = lim s→0 s
N ( s) + D( s)
1 + L( s )
• Se il disturbo è un gradino ed il sistema è di tipo 0 si ha:
1
1
1
1
1
D f ( s ) = lim s→0 s
=
=
L( s ) che a regime
1 +ilLdisturbo
( s ) s 1 +abbia
L(0) una
1+ kp
quindi se 1si+ vuole
y∞ = lim s→0 s
scarsa influenza sull’uscita si deve aumentare il
guadagno di L(s)
Analogamente a quanto visto precedentemente si ottiene
che per annullare l’uscita per un disturbo a gradino è
necessario avere un sistema di tipo 1 o superiore
• Anche per disturbi di tipo ‘rampa’ valgono i
risultati ottenuti precedentemente:
sistema di tipo 0: uscita a rampa
sistema di tipo 1: uscita a gradino,
inversamente
proporzionale a kv
sistema di tipo 2: uscita nulla
• Consideriamo ora un disturbo agente sull’uscita del
controllore:
R(s)
+
Df(s)
+
-
C(s)
+
P(s)
La f.d.t. tra uscita e disturbo è:
P( s)
D f ( s)
Y ( s) =
1 + C ( s ) P( s )
N p ( s)
Dp ( s)
P( s)
D ( s) =
Y ( s) =
D f ( s) =
N c ( s) N p ( s) f
1 + C ( s ) P( s )
1+
Dc ( s ) D p ( s )
=
N p ( s)
Dc ( s ) D p ( s )
D p ( s ) Dc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s )
D f ( s) =
Dc ( s ) N p ( s )
Dc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s )
D f ( s)
Consideriamo un disturbo a gradino e applichiamo il teorema del valore finale:
y∞ = lim s→0 s
Dc ( s ) N p ( s )
1
Dc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s ) s
Se sia C(s) che P(s) sono di tipo 0, l’uscita a regime ha un valore finito e non nullo
y∞ =
Dc (0) N p (0)
Dc (0) D p (0) + N c (0) N p (0)
Se P(s) è di tipo 1:
y∞ = lim s→0
Dc ( s ) N p ( s )
Dc (0) N p (0) Dc (0)
=
=
~
Dc ( s ) sD p ( s ) + N c ( s ) N p ( s ) N c (0) N p (0) N c (0)
Se C(s) è di tipo 1:
~
sDc ( s ) N p ( s )
=0
y∞ = lim s→0 ~
sDc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s )
In generale:
Per annullare l’effetto di un disturbo a gradino è necessario
che sia presente un polo nell’origine nella f.d.t. del sistema
a monte del punto di ingresso del disturbo