INTRODUZIONE AL GPS 1. Introduzione La determinazione della

INTRODUZIONE AL GPS
1. Introduzione
La determinazione della posizione di un punto con il sistema GPS si basa sulle misure di distanza fra il
ricevitore e un certo numero di satelliti. Poichè la posizione nello spazio fisico è individuata da 3 coordinate, è necessario misurare simultaneamente le distanze da almeno 3 satelliti, di cui sia nota la posizione.
Poichè inoltre, come si vedrà, è necessario utilizzare le osservazioni per sincronizzare la scala dei tempi del
ricevitore con quella dei satelliti, occorre introdurre un’incognita tempo accanto alle coordinate del punto
nelle equazioni di osservazione, e di conseguenza devono essere almeno 4 i satelliti da cui vanno misurate le
distanze.
I satelliti, che costituiscono il segmento spaziale del sistema, sono previsti in numero di 24, disposti su 6
orbite circolari con un raggio di circa 26000km (quindi a una distanza dalla superficie terrestre di circa
20000km), corrispondente ad un periodo orbitale di mezzo giorno sidereo (11 ore e 58 minuti). Tali orbite
sono inclinate di 55◦ sull’equatore e distanziate di 60◦ in longitudine (fig.1). In realtà oggi i satelliti
presenti sono in numero superiore a 24. I lanci sono iniziati nel 1978. Quelli attualmente in orbita, che fanno
parte dei blocchi II e IIA, sono stati lanciati a partire dal 1989. Sono previsti lanci di nuovi blocchi, con
caratteristiche tecnologiche aggiornate, per rimpiazzare i satelliti che via via concludono la loro fase attiva.
La gestione dell’intero sistema è affidata a 5 stazioni a terra, che costituiscono il segmento di controllo. 4 di
esse (Hawaii, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein) sono nella fascia tropicale, uniformemente distribuite in
longitudine attorno al globo; la quinta (Colorado Springs, negli Stati Uniti) svolge funzioni di coordinamento
centrale dell’intero sistema (fig.2). La loro funzione consiste nella raccolta dei dati per la determinazione
delle orbite dei satelliti, la loro elaborazione e la loro memorizzazione sui satelliti stessi, insieme con altre
informazioni da trasmettere ai ricevitori a terra, la correzione delle orbite, quando queste si discostano troppo
dalle orbite nominali, il controllo della scala dei tempi sugli orologi a bordo dei satelliti.
Le stazioni riceventi a terra, che costituiscono il segmento di utilizzo, ricevono dai satelliti un segnale elettromagnetico che, oltre a consentire di misurare la distanza, contiene tutte le informazioni sulla posizione e
sullo stato del satellite che permettono di elaborare le misure per ricavare la posizione del ricevitore.
Inizialmente il sistema GPS è stato concepito essenzialmente per scopi militari; la sua funzione principale
era di assistere la navigazione, ossia di consentire a un veicolo in movimento la determinazione della propria
posizione in tempo reale con l’accuratezza di un centinaio di metri. Successivamente sono state sviluppate
tecniche di elaborazione dei segnali ricevuti che consentono di determinare con accuratezza sub-centimetrica,
sia pure non in tempo reale, il vettore congiungente due diverse stazioni in posizione fissa che ricevono
contemporaneamente segnali GPS. Negli ultimi tempi si stanno sviluppando tecniche per la determinazione
precisa e in tempo reale delle posizioni di stazioni in movimento.
2. Il segnale GPS
Il segnale elettromagnetico inviato dai satelliti GPS è costituito da due onde portanti sinusoidali, indicate
con L1 e L2 , con frequenze f1 =1575.42MHz e f2 =1227.60MHz, corrispondenti a 154 e 120 volte la
frequenza fondamentale dell’oscillatore a bordo dei satelliti, che è f0 = 10.23MHz . Le lunghezze d’onda
di L1 e L2 , ricavate dalla formula λ = c/f , dove c ' 3 ∗ 108 m/sec, sono rispettivamente di circa 19cm
e 24cm. Le informazioni sono trasmesse sotto forma di modulazioni delle onde portanti. Fra i ricevitori in
commercio, i più semplici (monofrequenza) ricevono soltanto la frequenza L1; i ricevitori bifrequenza sono
naturalmente più costosi e sono essenziali per rilievi di alta precisione.
L’espressione analitica di un’onda sinusoidale in funzione del tempo ha la forma y(t) = A cos(ωt + φ) , dove
φ è la fase e A un’ampiezza costante; una modulazione di ampiezza appare come un fattore moltiplicativo
dipendente dal tempo, per cui l’espressione di un’onda modulata è y(t) = B(t)cos(ωt + φ) .
Di particolare interesse per lo studio del GPS è il caso in cui B(t) è una funzione costante a tratti che assume
1
i valori +1 e -1 (fig.3). Nei punti in cui B(t) cambia il suo valore si ha un cambiamento di segno di y(t) ,
corrispondente ad un cambiamento di fase di 180◦ (fig.4). Modulazioni di questo tipo sono introdotte nel
segnale usato per la misura della distanza. Più precisamente, sono presenti due distinte modulazioni, in cui la
sequenza di +1 e -1 è definita da codici pseudo-random, che debbono essere conosciuti dai ricevitori per poter
eseguire la misura. Nel codice detto C/A (coarse acquisition), che modula la portante L1 ed è di pubblico
dominio, la sequenza pseudocasuale di +1 e -1 ha frequenza f0 /10 , pari a circa 1MHz (corrispondente
ad una lunghezza d’onda di circa 300m), e si ripete ogni millisecondo. Il codice C/A è diverso da satellite
a satellite, ed è quindi utilizzato anche come segnale identificativo. Il codice detto P (precision) ha una
sequenza pseudocasuale di frequenza f0 (corrispondente ad una lunghezza d’onda di circa 30m) e si ripete
ogni circa 267 giorni; modula sia una componente della portante L1 sfasata di π/2, sia la portante L2. Per
fare in modo che questo codice sia riservato esclusivamente all’uso militare, esso viene criptato con il codice
W, dando luogo al codice Y. A questi codici si aggiunge il cosiddetto messaggio D, di frequenza 50Hz, che
contiene informazioni sulla posizione e sullo stato di salute dei satelliti.
Il segnale GPS può quindi essere espresso nella forma
S(t) = AC C(t)D(t) sin(2πf1 t + φ1 ) + AP P (t)D(t) cos(2πf1 t + φ1 ) + AP P (t)D(t) cos(2πf2 t + φ2 )
(1)
dove C(t) rappresenta il codice C/A, P (t) il codice P, D(t) il messaggio; AC , AP sono le ampiezze,
f1 , f2 , φ1 , φ2 le frequenze e le fasi di L1 e L2.
Si noti che il codice C/A modula soltanto la frequenza L1, e che le portanti L1 modulate dai due diversi
codici sono sfasate di π/2.
Se τ è il tempo di percorrenza del segnale dal satellite al ricevitore, il segnale ricevuto al tempo t è
Sr (t) = S(t − τ ) . Il ricevitore determina τ , da cui si può ricavare la distanza fra satellite e ricevitore,
d = cτ .
L’espressione della distanza fra l’i-esimo ricevitore e il k-esimo satellite in funzione delle loro coordinate è
dki = [(xk − xi )2 + (y k − yi )2 + (z k − zi )2 ]1/2
(2)
dove la posizione del satellite è riferita all’istante di emissione, quella del ricevitore all’istante di ricezione.
Il metodo per la determinazione di τ è sostanzialmente simile a quello usato nei distanziometri terrestri, e
si basa sulla determinazione dello sfasamento fra S(t) e Sr (t) (fig.5). C’è però una differenza sostanziale:
mentre nei distanziometri terrestri il segnale segue un percorso di andata e ritorno, e generatore e ricevitore
sono parti di uno stesso strumento, nel GPS il segnale segue un percorso di sola andata dal satellite al
ricevitore a terra, e quindi il ricevitore deve essere in grado di produrre una copia del segnale inviato per
poterlo confrontare con il segnale ricevuto. E’ quindi necessario che la scala dei tempi del ricevitore sia
sincronizzata con quella del satellite. Si osservi che un errore di sincronizzazione di 10−9 sec comporta un
errore di 30cm nella misura della distanza.
La misura eseguita utilizzando il segnale modulato dai codici C/A e P è detta pseudo-range. Poichè il
ricevitore deve essere in grado di riprodurre una copia del segnale, il codice deve essere noto. L’accuratezza
con cui è possibile rilevare lo sfasamento fra il segnale ricevuto e quello prodotto è stimata dell’ordine di
1/100 della lunghezza d’onda caratteristica, quindi 3m per il codice C/A e 30cm per il codice P. Come si
è detto, il periodo del codice C/A è 1msec, corrispondente ad una lunghezza di 300km. Di conseguenza,
l’errore commesso utilizzando nella misura una copia sbagliata del codice è molto maggiore dell’incertezza a
priori sulla posizione del ricevitore, e non c’è quindi rischio di ambiguità; l’argomento vale a maggior ragione
per il codice P.
Per misure di alta precisione è possibile utilizzare la differenza di fase delle portanti che, come si è visto,
hanno una lunghezza d’onda dell’ordine di 20cm, e consentono quindi un’accuratezza molto più elevata nella
determinazione della differenza di fase, dell’ordine di 2mm (ma, come si vedrà più avanti, il contributo
2
più grande all’incertezza della misura non viene da questo errore casuale, ma dai ben più rilevanti errori
sistematici). Nelle misure di differenza di fase si pone il problema dell’ambiguità, dato che la lunghezza d’onda
è molto più piccola dell’incertezza a priori sulla distanza misurata. Quindi, per determinare la distanza
non basta conoscere la parte frazionaria dello sfasamento, ma occorre anche conoscere il numero intero di
lunghezze d’onda. Il numero intero di cicli prodotti fra l’emissione e la ricezione del segnale è dell’ordine di
108 , e deve essere noto esattamente se si vuole conoscere la posizione con precisione centimetrica.
Il problema può essere risolto sfruttando il fatto che, per tutto il tempo del collegamento del ricevitore con un
satellite, viene tenuta memoria della variazione del numero intero di lunghezze d’onda (che non è costante,
dato che la distanza fra satellite e ricevitore varia nel tempo), anche se le acquisizioni dei dati vengono
fatte a tempi discreti (ad esempio, ogni secondo, ogni 5sec, ogni 30sec, a seconda delle condizioni operative);
l’unica quantità incognita è quindi l’ambiguità iniziale. E’ pertanto possibile utilizzare la ridondanza delle
osservazioni durante una sessione per stimare il numero intero di lunghezze d’onda all’istante iniziale, ad
esempio con il metodo dei minimi quadrati. E’ da notare che il risultato di questa procedura di stima non è
in generale un numero intero e l’algoritmo di stima deve quindi prevedere anche una procedura per la scelta
di un numero intero (la scelta più immediata è quella dell’intero più vicino). Bisogna tener presente che in
ogni caso, a causa degli errori nelle misure, il risultato è stocastico, e presenta un’incertezza che diminuisce
con l’aumentare della ridondanza, e quindi con la durata della sessione. Se il valore intero ottenuto viene
trattato come se fosse una quantità deterministica fissata, si ha alla fine una sottostima degli errori quadratici
medi delle coordinate del punto.
E’ chiaro da quanto visto sopra che l’osservazione della differenza di fase non consente la determinazione
istantanea della posizione, e non è quindi adatta all’uso del GPS per navigazione. Per la sua elevata accuratezza è invece adatta per il posizionamento di alta precisione, con lunghe sessioni di osservazione e
post-processing dei dati.
Bisogna inoltre tener presente che durante una sessione ci possono essere interruzioni fortuite del collegamento
fra ricevitore e satellite, dovute a presenza di ostacoli o a difetti di trasmissione. In questo caso si ha
un’interruzione nel conteggio del numero intero di lunghezze d’onda (cycle slip) e la procedura di stima
dell’ambiguità deve essere ricominciata da capo.
3. Gli errori sistematici
Si è accennato sopra all’errore casuale dovuto a imprecisioni nella determinazione dello sfasamento fra segnale
ricevuto e segnale riprodotto. A questo si aggiungono errori sistematici dovuti all’inaccurata conoscenza della
posizione dei satelliti, a difetti di sincronizzazione fra gli orologi, a perturbazioni nella propagazione e nella
ricezione del segnale. L’entità di questi errori può essere molto superiore a quella degli errori casuali; per
questo sono stati studiati attentamente, per cercare di modellizzarli al meglio. Non è però possibile stimare
i loro effetti ad un livello soddisfacente per una determinazione di precisione centimetrica della posizione di
un singolo punto. Come si vedrà più avanti, è tuttavia possibile utilizzare come osservabili differenze fra
distanze per la determinazione dei vettori congiungenti due stazioni che acquisiscono contemporaneamente
(baselines). Poichè nel fare le differenze diversi errori si cancellano o si riducono di molto, la determinazione
delle baselines risulta molto più accurata del posizionamento di un singolo punto. Per questo è importante
poter fare stazione su punti di cui sia nota la posizione precisa, come i vertici della rete IGM95, o, in
prospettiva, le stazioni permanenti.
Come si è detto, la posizione del satellite è comunicata all’utilizzatore mediante un messaggio contenuto
nel segnale. Si è già visto che le orbite sono approssimativamente circolari; tuttavia esse si discostano da
quelle previste dalle leggi di Keplero in primo luogo perchè il campo di gravità della terra non è esattamente
a simmetria sferica, a causa delle irregolarità nella distribuzione delle masse, in secondo luogo perchè alla
gravità si sommano forze non gravitazionali (la più rilevante è la pressione di radiazione, dovuta alla luce
proveniente direttamente dal sole o riflessa dalla terra). Queste perturbazioni, pur essendo piccole, fanno
sì che l’orbita reale si discosti da quella kepleriana di una quantità rilevante e crescente nel tempo. La
loro modellizzazione, necessaria per il calcolo dell’orbita mediante soluzione numerica delle equazioni del
moto, eseguita dal segmento di controllo e trasmessa ai satelliti, dipende da un certo numero di parametri
3
che possono essere stimati sulla base delle osservazioni dei satelliti stessi. Poichè queste orbite calcolate
sono ancora affette da errori crescenti nel tempo, è necessario aggiornare continuamente (ad esempio, ogni
giorno) la soluzione, utilizzando le osservazioni immediatamente precedenti. Gli errori su queste soluzioni
possono essere dell’ordine del centinaio di metri. Un’accuratezza più elevata (errori dell’ordine del metro
sulla posizione del satellite) può essere ottenuta utilizzando, anzichè le orbite trasmesse dai satelliti, orbite
calcolate sulla base di osservazioni eseguite nello stesso intervallo di tempo, adottando quindi una procedura
di interpolazione anzichè di predizione, reperibili via Internet. Naturalmente questi dati non sono utilizzabili
per il posizionamento in tempo reale. Per avere un’idea dell’effetto dell’errore d’orbita sulle baselines, si può
fare riferimento alla regola empirica δr/r = δb/b , dove r è la distanza fra satellite e stazione e b è la
lunghezza della baseline; quindi, ad esempio, su una base di 20km l’errore è dell’ordine di 1/1000 dell’errore
d’orbita.
Per quanto riguarda gli errori dovuti alla sincronizzazione fra gli orologi, va detto che il sistema GPS adotta
una sua scala dei tempi, e fornisce informazioni sulla sincronizzazione degli orologi dei satelliti rispetto a
questa scala; inoltre, una stima dell’errore di sincronizzazione dell’orologio del ricevitore rispetto alla scala dei
tempi GPS viene, come si è già accennato, dalla ridondanza delle osservazioni eseguite contemporaneamente
dalla stazione. E’ anche importante tenere conto dell’instabilità degli orologi, e della deriva che ne consegue,
di maggior entità per gli orologi al quarzo, più contenuta per gli orologi atomici (quelli al cesio sono più
stabili di quelli al rubidio).
Il tempo di percorrenza del segnale fra satellite e ricevitore viene alterato dal fatto che la velocità della
luce varia nell’attraversamento dei diversi strati dell’atmosfera. Occorre distinguere fra la ionosfera, che è
al di sopra dei 40-50km di altezza, in cui la radiazione elettromagnetica interagisce con elettroni liberi, e la
troposfera, ad altezza inferiore, in cui sono presenti atomi e molecole neutre. Va inoltre osservato che l’errore
dovuto all’attraversamento dell’atmosfera è più rilevante, ovviamente, se il satellite è basso sull’orizzonte,
tanto che, in generale, le osservazioni al di sotto dei 15◦ vengono considerate inaffidabili e scartate. Gli
stessi ricevitori possono essere tarati in modo da registrare soltanto osservazioni di satelliti la cui altezza
sull’orizzonte supera un dato valore.
L’errore ionosferico è variabile nel tempo a causa di variazioni di densità degli elettroni liberi dovute per
esempio all’attività solare, e dipende dalla lunghezza d’onda della radiazione incidente. Più precisamente, la
variazione del tempo di percorrenza è approssimativamente proporzionale all’inverso del quadrato della frequenza; di conseguenza, confrontando i risultati ottenuti con L1 e L2, è possibile stimare l’entità dell’effetto,
e anche costruire una combinazione delle due osservazioni che non è affetta dall’errore. Per questa ragione
per rilievi di alta precisione è essenziale disporre di ricevitori bifrequenza.
L’errore troposferico, al contrario, è indipendente dalla frequenza, ed è costituito da due termini, le cosiddette
componenti secca e umida. In particolare, il termine umido dipende dalla quantità di vapore acqueo contenuto
nell’atmosfera, ed è difficilmente stimabile a causa della difficoltà di avere informazioni accurate sull’umidità
atmosferica, che è rapidamente variabile sia con la quota sia con la posizione planimetrica. Per questa
ragione l’errore troposferico costituisce il limite principale all’accuratezza delle determinazioni GPS di alta
precisione.
Infine, altri errori possono avere origine dalle condizioni di ricezione del segnale. L’errore di multipath è
dovuto al fatto che il segnale può giungere al ricevitore non solo per via diretta, ma anche dopo riflessione
su superfici presenti nelle vicinanze. Inoltre sono possibili interferenze di altri segnali elettromagnetici nella
stessa banda di frequenze. Questi inconvenienti possono essere evitati con un’accurata scelta del sito per la
messa in stazione dello strumento; a volte anche piccoli spostamenti possono modificare significativamente
la qualità del segnale.
Si riportano qui di seguito alcune formule relative alle osservabili GPS, in cui è esplicitato il contributo degli
errori sistematici.
Si indica con t(k) il tempo misurato dall’orologio del k-esimo satellite, con t(i) il tempo misurato dall’orologio
dell’i-esimo ricevitore, con tGP S il tempo riferito alla scala dei tempi del sistema GPS.
4
t(k) = tGP S + δt(k)
t(i) = tGP S + δt(i)
(3)
Se il segnale è inviato al tempo tGP S,1 ed è ricevuto al tempo tGP S,2 , il tempo di trasmissione è ∆tGP S =
(k)
tGP S,2 − tGP S,1 . All’istante dell’invio il tempo indicato dall’orologio del satellite è t,1 = tGP S,1 + δt(k) ;
all’istante della ricezione il tempo indicato dall’orologio del ricevitore è t(i),2 = tGP S,2 + δt(i) . Il tempo di
(k)
trasmissione determinato dalla stazione è τ = t(i),2 − t,1 = ∆tGP S + δt(i) − δt(k) . Lo pseudo-range è quindi
pki = cτ = c∆tGP S + cδt(i) − cδt(k)
(4)
A sua volta, c∆tGP S non rappresenta esattamente la distanza da misurare, dato che l’attraversamento della
ionosfera e della troposfera modifica la velocità del segnale. In ultima analisi, l’equazione di osservazione per
lo pseudo-range si può scrivere
pki = dki + ∆dion + ∆dtrop + cδt(i) − cδt(k) + ² + ν
(5)
dove con ² sono indicati errori sistematici dovuti al moto del satellite e alle condizioni di ricezione e con ν
il rumore di osservazione (errori casuali a media nulla).
Se vengono osservati gli sfasamenti ψ (misurati in cicli: il valore iniziale di ψ è compreso fra 0 e 1), la
distanza che risulta dalla misura è (ψ + N )c/f , dove N è l’ambiguità iniziale del numero intero di cicli,
f è la frequenza del segnale. Quindi
ψik = dki
f
+ ∆ψion + ∆ψtrop + f δt(i) − f δt(k) − Nik + ² + ν
c
(6)
4. L’uso di osservazioni differenziate
Si è già accennato al fatto che, usando come osservabili differenze fra distanze misurate, gli errori sistematici
possono essere cancellati o significativamente ridotti. Ad esempio, l’errore dell’orologio del ricevitore è
cancellato nella differenza delle distanze misurate fra una singola stazione e due diversi satelliti; se uno
stesso satellite viene osservato da due stazioni vicine (fig.6), in modo che i percorsi del segnale attraversano
porzioni di atmosfera vicine fra loro, è presumibile che gli errori atmosferici siano fra loro non molto diversi
e si cancellino quasi completamente nell’eseguire la differenza.
Si è anche detto che le osservazioni differenziate, quando riguardano stazioni diverse, vengono utilizzate per
determinare le baselines. Infatti la differenziazione produce in ogni caso una perdita di informazione, e si
può provare che l’uso di osservazioni differenziate per determinare la posizione assoluta di un singolo punto
è, se non impossibile, tale in ogni caso da causare inaccettabili amplificazioni degli errori di osservazione, che
cancellano il vantaggio della riduzione degli errori sistematici; questo problema non si presenta, al contrario,
nelle determinazioni delle baselines.
I vantaggi nella cancellazione degli errori che si ottengono differenziando da un lato osservazioni da una stessa
stazione, dall’altro osservazioni di uno stesso satellite, possono essere combinati costruendo differenze doppie,
ossia differenze delle differenze relative ad una stessa coppia di stazioni e a due distinti satelliti (o, equivalentemente, ad una stessa coppia di satelliti e a due distinte stazioni)(fig.7). In effetti, le differenze doppie delle
misure di sfasamento sulla portante sono le quantità normalmente utilizzate per il posizionamento relativo
(determinazione delle baselines) di alta precisione.
Si è visto che gli sfasamenti della portante misurati nel corso di una sessione tengono memoria della variazione
del numero intero di cicli e che l’incognita da determinare è unicamente il numero intero di cicli all’istante
iniziale. Quando si presenta un cycle slip, questa memoria si perde, e si ha una discontinuità dello sfasamento
5
misurato. Questa discontinuità ovviamente si mantiene quando si fanno le differenze, se il cycle slip si
manifesta su uno solo degli sfasamenti misurati. In particolare, nelle differenze doppie, che sono funzioni
lentamente variabili nel tempo, il cycle slip si evidenzia chiaramente come un gradino in una funzione liscia.
Se si eseguono differenze fra le differenze doppie degli sfasamenti relativi ad una stessa coppia di stazioni e
ad una stella coppia di satelliti ad istanti diversi, t1 e t2 , con t2 > t1 , separati da un intervallo di tempo
costante τ , si ottengono le differenze triple (fig.8), in cui, se nell’intervallo fra t1 e t2 non si verifica alcun
cycle slip, si cancella l’incognita del numero intero di cicli. Se si osserva una differenza tripla nel corso di una
sessione, un cycle slip al tempo t̄ dà luogo ad una discontinuità per t2 = t̄ e ad una discontinuità di segno
opposto per t1 = t̄ . Il cycle slip si presenta quindi come un picco nel segnale che può essere facilmente
evidenziato da un’analisi automatica dei dati.
Vengono qui riportate le espressioni esplicite dei vari tipi di differenze di misure di fase:
- Differenze singole di osservazioni simultanee di due ricevitori su uno stesso satellite:
i
∆ψjk
= ψki − ψji
(7)
- Differenze singole di osservazioni simultanee di due satelliti distinti da parte di una stessa stazione:
∇ψijk = ψik − ψij
(8)
- Differenze doppie (due satelliti e due stazioni):
hk
k
h
∇∆ψij
= ∆ψij
− ∆ψij
= ∇ψjhk − ∇ψihk
(9)
- Differenze triple (differenze fra differenze doppie ad epoche diverse):
hk
hk
hk
δ∇∆ψij
(t1 , t2 ) = ∇∆ψij
(t2 ) − ∇∆ψij
(t1 )
(10)
5. Il sistema di riferimento
Le posizioni determinate con il GPS sono espresse in un sistema di riferimento solidale con la terra denominato
WGS84 (World Geodetic System 1984). Vengono fornite coordinate cartesiane riferite ad una terna di
assi geocentrica (ossia con l’origine nel centro di massa della terra) con l’asse z nella direzione dell’asse
convenzionale di rotazione e l’asse x diretto verso il meridiano di Greenwich. Queste possono essere facilmente
trasformate in coordinate geografiche φ , λ , h riferite ad un ellissoide geocentrico di parametri geometrici
noti a , f (GRS80: Geodetic Reference System 1980).
In realtà il sistema di riferimento è definito dal fatto che le posizioni di un certo numero di stazioni sono
considerate note; esso subisce piccole variazioni nel tempo, dovute a movimenti crostali. Nell’ultimo decennio
sono state istituite reti di stazioni permanenti GPS, che acquisiscono dati in continuo, elaborati da appositi
organismi internazionali. Annualmente vengono fornite stime aggiornate delle posizioni delle stazioni che
definiscono il sistema di riferimento e della loro velocità di variazione. Attualmente in Italia sono attive circa
dieci stazioni permanenti gestite dal Centro di Geodesia Spaziale dell’ASI (Agenzia Spaziale Italiana), ed è
prevista l’istituzione di nuove stazioni nel prossimo futuro.
Inoltre, l’Istituto Geografico Militare ha istituito la rete IGM95 (fig.9) , costituita di circa 1200 vertici,
uniformemente distribuiti su tutto il territorio nazionale, con distanze dell’ordine di 20km, di cui sono note
le coordinate determinate con il GPS. E’ quindi possibile, facendo stazione su questi vertici, determinare
delle baselines che possono poi essere utilizzate per calcolare, partendo dalle posizioni note dei vertici IGM95,
le coordinate di altri punti di stazione.
6
Inoltre, l’IGM fornisce, insieme con le coordinate dei vertici IGM95, i parametri delle trasformazioni (rototraslazioni con variazione di scala) necessarie per ricavare le coordinate geodetiche nel sistema di riferimento
Roma40, che sono la base per il calcolo delle coordinate cartografiche Gauss-Boaga. A causa delle deformazioni presenti nella rete Roma40, questi parametri sono in generale diversi da punto a punto, e la loro
applicabilità è limitata ad una piccola area intorno a ciascun vertice. Naturalmente l’unione di queste aree
ricopre l’intero territorio; se un punto appartiene a più di una di queste aree, l’applicazione dei diversi insiemi
di parametri ammissibili comporta scarti inferiori alle tolleranze normalmente accettate.
6. GPS differenziale
Con la sigla DGPS (GPS differenziale) si indica quella modalità di posizionamento puntuale che si avvale
della stima degli errori eseguita da una stazione posta nelle vicinanze la cui posizione è nota. Infatti, se
la posizione di una certa stazione è nota, si può calcolare la sua distanza dai satelliti GPS, e, sottraendo
da essa la distanza osservata, si ottiene l’errore di osservazione, che, come si è visto, è somma degli errori
orbitali, degli errori di orologio dei satelliti e delle stazioni e degli errori nella propagazione del segnale. Se
la stazione di cui si vuole determinare la posizione è posta nelle vicinanze, e osserva lo stesso satellite nello
stesso istante, si può assumere che gli errori di propagazione non siano molto differenti, e gli errori dovuti al
satellite sono identici. L’errore stimato per la prima stazione può quindi essere applicato anche alla seconda,
e solo l’errore di orologio delle stazioni deve essere trattato a parte.
Questa procedura di correzione può essere applicata sia ad osservazioni di codice sia di fase. Le informazioni
dalla stazione di riferimento possono essere acquisite in tempo reale via radio o tramite telefono cellulare, e
sono standardizzate secondo un protocollo internazionale indicato con la sigla RTCM.
Si noti che il DGPS consente il posizionamento puntuale, e comporta un trattamento dei dati differente
da quello usato per determinare le baselines con le osservazioni di differenze di distanze. Concettualmente,
tuttavia, le due procedure non sono molto dissimili: in ogni caso, per ottenere una sensibile riduzione
dell’errore, è necessario che sia nota la posizione di un’altra stazione non molto distante.
7. GPS cinematico
L’uso del GPS per la navigazione, basato sul posizionamento puntuale in tempo reale con misure di codice,
non è sufficientemente accurato per essere adottato su un veicolo terrestre che si muove su un sistema
stradale. Per questa ragione l’applicazione del GPS ai veicoli terrestri si è sviluppata soltanto in tempi
recenti, utilizzando anche le misure di fase e i metodi differenziali, sia DGPS sia misure differenziate.
Si assume quindi che sia disponibile nelle vicinanze una stazione di posizione nota, e, per il posizionamento
in tempo reale (RTK, real time kinematics), è necessario poter ricevere i dati relativi alle osservazioni di
questa stazione via radio o mediante telefono cellulare; sono stati istituiti servizi di trasmissione basati su
satelliti di telecomunicazioni. In Italia non è ancora disponibile un servizio di trasmissione funzionante su
tutto il territorio; nell’Italia settentrionale è possibile utilizzare servizi forniti da paesi confinanti.
La possibilità di utilizzare misure di fase, come si è visto, è legata alla determinazione dell’ambiguità del
numero intero di cicli. Nel caso che la misura venga eseguita per una posizione fissa, si sfrutta il fatto che, nel
corso di una sessione di misura, viene eseguito un numero elevato di misure riferite tutte alla stessa posizione
della stazione ed allo stesso valore dell’ambiguità iniziale, mentre i satelliti si muovono nel tempo. Se invece
la stazione è in movimento, le incognite di posizione sono diverse ad ogni misura. Questo non esclude che si
possa avere ridondanza, dato che ad ogni nuova misura si aggiungono 3 coordinate incognite, ma i satelliti
osservati sono in generale 4 o più. Tuttavia è necessario, specialmente se si è interessati al posizionamento
in tempo reale, che la determinazione dell’ambiguità sia fatta nel tempo più breve possibile.
Nell’uso cinematico del GPS si richiedono osservazioni eseguite ad intervalli molto brevi, ad esempio 1sec,
mentre nel caso di una stazione fissa sono preferibili intervalli maggiori, ad esempio 30sec, con stazionamento
più lungo, in modo da ottenere differenze maggiori nelle configurazioni della costellazione dei satelliti durante
7
la sessione.
Nelle prime applicazioni del GPS cinematico differenziale (ad esempio, l’uso del GPS a bordo di un aereo
che esegue riprese fotogrammetriche, in modo da ridurre la necessità di punti di appoggio a terra), la determinazione dell’ambiguità (inizializzazione) veniva effettuata mantenendo fissa la stazione; questa procedura
richiedeva però che durante il moto non ci fossero cycle-slips. Questa condizione si verifica difficilmente
nel caso del moto di un veicolo a terra in ambiente urbano, dove sono continuamente presenti ostacoli alla
visibilità della volta celeste. Diventa dunque disagevole (quando non impossibile, come nel moto di un aereo)
fermare il veicolo per l’inizializzazione ogni volta che si verifica un cycle-slip. Sono stati elaborati algoritmi
(indicati con la sigla OTF, on the fly) che, utilizzando contemporaneamente misure di fase e di codice e
adottando metodi di stima di tipo sequenziale, consentono la stima dell’ambiguità iniziale con un numero
molto piccolo di misure, e quindi con un ritardo molto breve.
Nelle applicazioni più avanzate il ricevitore GPS viene integrato da un sistema INS (inerziale) in grado di
misurare le accelerazioni, e di ricostruire quindi il moto negli intervalli di interruzione della ricezione GPS.
Si tratta però di apparecchiature molto costose, la cui utilizzazione è ancora in fase sperimentale.
L’accuratezza raggiungibile nel GPS cinematico è senz’altro inferiore al metro e può raggiungere pochi cm.
Non è certamente paragonabile all’accuratezza del posizionamento di una stazione fissa con stazionamento di
lunga durata, ma è senz’altro di gran lunga migliore di quella del posizionamento puntuale, ed è sufficiente
per la maggior parte delle applicazioni pratiche.
La modalità cinematica (ossia con il ricevitore acceso durante gli spostamenti) viene spesso utilizzata anche
per rilievi speditivi su piccole aree, con brevi stazionamenti nei vertici da rilevare.
8. Reti GPS
Come si è già accennato, la determinazione precisa della posizione delle stazioni GPS richiede lo stazionamento per un periodo di tempo abbastanza lungo (anche diverse ore), per avere un’ampia ridondanza di
dati indipendenti, relativi a configurazioni di satelliti molto diverse. Inoltre, poichè l’accuratezza elevata
si ottiene sulle baselines e non nella determinazione puntuale della posizione, è necessario che almeno due
ricevitori acquisiscano contemporaneamente e che uno almeno sia stazionato in un punto noto; quest’ultimo
può essere il sito di una stazione permanente, nel qual caso il ricevitore è già installato e i dati possono essere
acquisiti via rete, oppure un vertice della rete IGM95, che è individuato da un caposaldo su cui l’operatore
deve mettere in stazione un suo strumento, le cui coordinate sono fornite a pagamento dall’IGM. Si ottiene
un livello maggiore di accuratezza usando strumenti bifrequenza, che consentono la correzione dell’errore
ionosferico.
Disponendo di più di due ricevitori, è possibile determinare più di una baseline per ogni sessione. Va però
osservato che tutte le misure di baselines uscenti da un vertice utilizzano gli stessi dati relativi a quel vertice,
e non sono quindi fra loro indipendenti. Occupando n vertici in una sessione è possibile determinare soltanto
n − 1 basi (algebricamente) indipendenti; le misure delle altre basi, che utilizzano gli stessi dati relativi a
ciascun vertice, sono completamente determinate dalle misure delle n − 1 basi indipendenti, e non possono
quindi essere utilizzate in una compensazione di rete come misure ridondanti. Inoltre, due basi aventi un
vertice comune, anche se sono algebricamente indipendenti, sono statisticamente correlate, poichè usano gli
stessi dati relativi al vertice comune.
L’elaborazione dei dati può essere fatta separatamente per ciascuna delle baselines, oppure, utilizzando i
programmi di elaborazione più avanzati, anche in modalità multibase, con cui tutte le baselines indipendenti
di una sessione vengono trattate simultaneamente. Soltanto con quest’ultima procedura si possono ottenere
le correlazioni fra le diverse basi.
Per compensare una rete è quindi necessario eseguire più sessioni di misure, spostando i ricevitori in maniera
da ottenere le ridondanze necessarie. I dati di ingresso della compensazione sono le componenti cartesiane
delle baselines, e la ridondanza ha origine dal fatto che le somme dei lati di poligonali chiuse devono avere
componenti nulle. La procedura di compensazione, quindi, è simile a quella per le reti altimetriche, e se ne
8
differenzia soltanto per il fatto che ogni lato ha 3 componenti. Dal punto di vista della scelta della forma
ottimale della rete e delle baselines da misurare in ogni sessione, va osservato che, poichè le quantità misurate
sono le distanze dai satelliti, la geometria complessiva della rete comprende anche i satelliti, e i criteri di
ottimalità sono quindi diversi da quelli che si seguono quando le misure sono fatte con strumenti a terra.
Per la compensazione della rete devono essere fornite le matrici di covarianza delle baselines determinate. Se
l’elaborazione è stata fatta separatamente per ciascuna delle baselines, sono disponibili soltanto le correlazioni
fra le diverse componenti di una stessa baseline, mentre baselines diverse devono essere necessariamente
trattate come se fossero incorrelate.
Le singole baselines, a loro volta, vengono stimate utilizzando le osservazioni di distanza dai satelliti nel corso
dell’intera sessione, che sono ridondanti; viene quindi eseguita una compensazione. In questo caso, essendo
le equazioni di osservazione non lineari, debbono essere note le coordinate approssimate delle stazioni e i
loro errori di orologio approssimati. Questi dati possono essere ottenuti in tempo reale da osservazioni di
pseudo-range. La compensazione fornisce anche le matrici di covarianza delle componenti, che dipendono
soprattutto dalle condizioni geometriche di osservazione.
E’ intuitivo che l’accuratezza con cui una posizione puntuale o una baseline viene determinata dipende dalla
configurazione geometrica dei satelliti osservati. Al limite, se tutti i satelliti fossero allineati nella stessa
direzione, la determinazione della posizione sarebbe impossibile; se i satelliti sono raggruppati in una piccola
porzione di volta celeste, la determinazione è possibile, ma piccoli errori di osservazione comportano grossi
errori nelle coordinate della stazione o nelle componenti della baseline. Si dice in questo caso che il sistema
di equazioni è mal condizionato. I migliori risultati, viceversa, si ottengono se i satelliti sono uniformemente
distribuiti su tutta la volta celeste. Il parametro che stabilisce il rapporto fra errori di osservazione e errori
di stima è indicato con la sigla DOP (dilution of precision), ed un suo valore troppo grande è indice di una
cattiva qualità della determinazione. Sono stati introdotti diversi DOP, a seconda dei parametri di interesse
per il particolare rilievo; ad esempio, il DOP relativo alla posizione puntuale è indicato con PDOP, quello
riferito alla posizione relativa con RDOP.
Appendice
A1. Determinazione della posizione in tempo reale
Misure pseudorange da una stazione a 4 satelliti
di = |rsi − rr | + c δt = ((xi − xr )2 + (yi − yr )2 + (zi − zr )2 )1/2 + c δt
(1)
dove δt è l’errore di sincronizzazione fra l’orologio della stazione e il tempo a cui sono riferiti i segnali GPS.
Le posizioni dei satelliti rsi sono supposte note. Se si assume di conoscere la posizione approssimata della
(0)
stazione rr , si possono linearizzare le equazioni:
(0)
δdi = −
r si − r r
(0)
|rsi − rr |
· δrr + c δt ≡ −ei · δrr + c δt
(0)
(2)
(0)
dove per le distanze si è scelto il valore approssimato di = |rsi − rr | ; i vettori ei sono versori nelle
direzioni ricevitore-satellite. In forma matriciale esplicita l’equazione è

 
δd1
−e1x
 δd2   −e2x

=
δd3
−e3x
δd4
−e4x
−e1y
−e2y
−e3y
−e4y
−e1z
−e2z
−e3z
−e4z
9


c
δxr
µ
¶
c   δyr 
δrr

≡A
c
δzr
δt
c
δt
(3)
Data la precisione delle misure di distanza, la precisione che ne consegue nella determinazione della posizione
e della scala dei tempi è legata a det A : quanto più piccolo è det A , tanto più vengono amplificati gli
errori.
| det A| = c · |(e2 ∧ e3 ) · e4 − (e3 ∧ e4 ) · e1 + (e4 ∧ e1 ) · e2 − (e1 ∧ e2 ) · e3 |
(4)
Detti Pi , i = 1, 2, 3, 4 gli estremi (sulla sfera unitaria) dei versori ei , si prova che i singoli termini
al secondo membro sono proporzionali ai volumi delle piramidi OPi Pj Pk (vedi fig.10); quindi, det A è
proporzionale al volume della piramide P1 P2 P3 P4 (punti in generale non complanari). Se P1 , P2 , P3 , P4
sono complanari, esiste un versore v (quello da O al centro della calotta tagliata dal piano P1 P2 P3 P4
sulla sfera) tale che v · ei è uguale per ogni i . Quindi, si può scegliere δt tale che −v · ei + c δt = 0 ,
e pertanto A(v δt)T = 0 . Quindi la matrice A è singolare, e non è possibile determinare univocamente
posizione e scala dei tempi.
Inoltre det A è piccolo se gli ei sono quasi allineati.
A2. Differenze di misure di fase come osservabili
L’osservazione di differenze di fase porta alla determinazione di differenze di distanza, da cui si devono
ricavare informazioni sulla posizione dei ricevitori. Si scrivono ora le equazioni linearizzate. Indicando con
Rk la posizione del k-esimo satellite, con ri la posizione dell’i-esimo ricevitore, partendo dall’equazione
non lineare dki = |ri − Rk | + c δt , si ottiene (nel caso più generale, in cui si tiene conto anche dei possibili
errori nelle posizioni dei satelliti)
δdki =
ri − Rk
· (δri − δRk ) + cδt ≡ eki · (δri − δRk ) + cδt
|ri − Rk |
(9)
da cui, per differenza,
δdkj − δdki = ekj · (δrj − δRk ) − eki · (δri − δRk ) =
1
1
= (ekj − eki ) · (δri + δrj − 2δRk ) + (eki + ekj ) · (δrj − δri )
2
2
(10)
In quest’ultima espressione il secondo addendo dipende solo dalla posizione relativa delle due stazioni (vettore
di base), mentre il primo contiene informazioni sulla posizione assoluta e sull’errore d’orbita. È importante
osservare che, essendo le due stazioni in generale relativamente vicine (almeno rispetto alla distanza dai
satelliti), i versori eki e ekj sono poco differenti; quindi la loro differenza, che compare a fattore nel primo
addendo, è piccola, mentre la loro semisomma, che compare nel secondo addendo, è approssimativamente
un versore, specificamente il versore ekm della direzione congiungente il punto medio della base con il
satellite. Di conseguenza, usando differenze prime con due stazioni e un satellite, le posizioni relative sono
determinabili con precisione molto maggiore che le posizioni assolute. Lo stesso discorso vale per le differenze
doppie, che sono differenze di differenze prime, le cui equazioni si ottengono semplicemente come differenze
di quelle sopra ottenute:
(δdkj − δdki ) − (δdhj − δdhi ) = (ekm − ehm ) · (δrj − δri )
(11)
(si è qui trascurato il primo termine al secondo membro della (10)).
In una rete GPS si ottengono quindi vettori di base; per avere le posizioni assolute di tutti i vertici è sufficiente
conoscere quella di una singola stazione. Questa è in generale dotata di grandi apparecchiature scientifiche
che le consentono di determinare la posizione assoluta con altri metodi (VLBI, laser ranging), mentre le
stazioni GPS possono essere attivate con spesa relativamente piccola.
10
Laser ranging: misure distanziometriche con impulsi laser inviati dalla stazione stessa ad un satellite puramente passivo, dotato di una superficie sferica riflettente, la cui orbita è determinabile con altissima
precisione; la distanza è determinata dal tempo intercorso fra l’invio dell’impulso e la ricezione dell’impulso
riflesso (non presenta quindi problemi di sincronizzazione fra orologi diversi).
VLBI (Very Long Baseline Interferometry): misure di posizione relativa fra stazioni molto lontane, basate
sulla differenza di fase con cui le stazioni ricevono uno stesso segnale radio (onda piana) proveniente da
sorgenti extra-galattiche.
A3. Espressioni matriciali delle differenze. Matrici di covarianza
Differenze singole:
µ
i
∆ψab
j
∆ψab
¶
µ
=
−1 1
0 0
0 0
−1 1
¶


ψai
µ
¶ µ
∇ψaij
−1
 ψbi 
=
 j ;
ij
ψa
∇ψb
0
ψbj
0 1 0
−1 0 1
¶


ψai
 ψbi 
 j ;
ψa
ψbj
Assumendo che le singole osservazioni di fase siano tra loro indipendenti e con uguale varianza ( Cψψ = σ 2 I )
e applicando la regola di propagazione della covarianza, si ottiene

−1 0
−1 1 0 0
0 
 1
2
=
Cψψ 
 = 2σ I
0 0 −1 1
0 −1
0
1


−1
0
µ
¶
−1 0 1 0
 0 −1 
2
=
Cψψ 
 = 2σ I
0 −1 0 1
1
0
0
1
µ
C∆∆
C∇∇
¶

Quindi due differenze prime relative alla stessa coppia di stazioni e a due satelliti distinti, oppure alla stessa
coppia di satelliti e a due stazioni distinte sono fra loro incorrelate e hanno varianza doppia della varianza
delle singole fasi.
Differenze doppie:
si considerino le differenze doppie relative alla stessa coppia di stazioni e a tre coppie di satelliti di cui la
prima ha un satellite a comune con la seconda, la seconda un satellite a comune con la terza:


ij 
∇∆ψab
−1
 ∇∆ψ jk  =  0
ab
kl
0
∇∆ψab
1
−1
0


i
 ∆ψab
0 0 
j 
∆ψab

1 0
 ∆ψ k 
ab
−1 1
l
∆ψab
La matrice di covarianza è

C∇∆,∇∆
−1
= 0
0
1
−1
0


−1
0 0
1

1 0  C∆∆ 
0
−1 1
0
0
−1
1
0


0
2
0 
2
=
2σ
−1

−1
0
1
−1
2
−1

0
−1 
2
Le differenze doppie aventi un satellite a comune sono quindi correlate; inoltre la varianza è quadrupla di
quella delle fasi singole.
11
Differenze terze:
dalle differenze doppie definite come sopra si costruiscono differenze terze fra due epoche t1 e t2 :



ij 
δ∇∆ψab
−1 1
 δ∇∆ψ jk  =  0 0
ab
kl
0 0
δ∇∆ψab

ij
∇δψab
(t1 )
ij
  ∇δψab (t2 ) 

0 0 0 0 
 ∇δψ jk (t1 ) 


ab
−1 1 0 0  

jk
∇δψ
(t
)

ab 2 
0 0 −1 1 
kl
∇δψab (t1 ) 
kl
∇δψab
(t2 )
Assumendo che le differenze doppie ad epoche diverse siano incorrelate, la loro matrice di covarianza è

C∇∆,∇∆
2
0


2  −1
= 2σ 
 0

0
0
0
2
0
−1
0
0
−1
0
2
0
−1
0
0
−1
0
2
0
−1
0
0
−1
0
2
0

0
0 

0 

−1 

0
2
Quindi la matrice di covarianza delle differenze triple è


Cδ∇∆,δ∇∆
−1 1
= 0 0
0 0
−1

 1
0 0 0 0

 0
−1 1 0 0  C∇∆,∇∆ 
 0
0 0 −1 1

0
0
0
0
−1
1
0
0

0

0 
2

0 
 = 4σ 2  −1
0 
0

−1
1
−1
2
−1

0
−1 
2
La struttura delle correlazioni è uguale a quella delle differenze doppie, ma la varianza è ulteriormente
raddoppiata.
12