Impulso e quantità di moto - web

Impulso e quantità di moto
Impulso di una forza
L’applicazione di una forza produce una variazione dello stato di moto di un corpo. A parità di
forza, questa variazione è tanto maggiore quanto più è lungo l’intervallo di tempo durante il quale la
forza agisce. Per tener conto di questo fatto introduciamo una nuova grandezza fisica chiamata
impulso della forza e definita come il prodotto tra la forza agente sul corpo e l’intervallo di
tempo durante il quale la forza agisce. Poiché la forza è una grandezza vettoriale mentre il tempo
è uno scalare positivo l’impulso è un vettore parallelo e concorde alla forza. Solitamente l’impulso
si indica con la lettera I; la sua unità di misura è il newton per secondo (N⋅s). L’impulso di una forza
r r
r
F che agisce per un tempo ∆t è I = F ⋅ ∆t . Nel caso in cui la forza non sia costante nel tempo,
suddividiamo l’intervallo ∆t in tanti sottointervalli sufficientemente piccoli affinché su ognuno di
essi la forza si possa considerare approssimativamente costante, calcoliamo l’impulso su ognuno di
essi e infine sommiamo tutti i contributi. Osserviamo che si possono avere forze che agiscono per
un intervallo di tempo estremamente breve ma che, essendo di intensità elevata, producono valori
dell’impulso non trascurabili. È il caso, per esempio, di due palle da biliardo che urtano, del calcio
tirato ad un pallone, del colpo della racchetta sulla pallina da tennis. Le forze che hanno la
caratteristica di essere molto intense e di agire per un tempo breve si chiamano forze impulsive.
Quantità di moto
Un’altra grandezza rilevante per lo studio dei sistemi meccanici è la quantità di moto di un corpo.
Essa una grandezza vettoriale definita come il prodotto tra la massa del corpo e la sua velocità
istantanea. La direzione e il verso della quantità di moto sono quelle della velocità istantanea.
m
r
L’unità di misura della quantità di moto è il kg ⋅ . La quantità di moto si indica con la lettera p .
s
Esempio 1 – Calcolo della variazione della quantità di moto in un moto circolare
Un corpo di massa 10 kg si sta movendo di moto circolare uniforme in senso antiorario con una velocità di
8,0
m
. Calcola la variazione della sua quantità di moto quando ha cambiato la sua direzione di 30°.
s
Scriviamo i dati del problema
Massa del corpo: m = 10 kg
Velocità del corpo: v = 8,0
m
s
Direzione della velocità finale del corpo: θ = 30° rispetto alla direzione iniziale.
Incognita
Variazione della quantità di moto
Analisi e soluzione
r
r
Prendendo l’asse x nella direzione iniziale del moto la quantità di moto iniziale è p i = m⋅ vi = 10 kg ·
( )
m
m
m
; 0) = (80 kg ⋅ ; 0). Le componenti della velocità finale sono: vfx = v⋅cos(θ) = 8,0
⋅ cos 30 o =
s
s
s
r
r
m
m
m
m
6,9
e vfy = v⋅sin(θ) = 8,0
⋅ sin 30 o = 4,0 . La quantità di moto finale è p f = m⋅ v f = (69 kg ⋅ ;
s
s
s
s
r
r
m
r
m
m
m
40 kg ⋅ ). La variazione di quantità di moto è: ∆p = p f – p i = (69 kg ⋅ ; 40 kg ⋅ ) – (80 kg ⋅ ;
s
s
s
s
(8,0
( )
0) = (– 11 kg ⋅
m
m
; 40 kg ⋅ ). Il modulo di questo vettore si trova con il teorema di Pitagora:
s
s
2
2
m 
m
m

∆p =  − 11 kg ⋅  +  40 kg ⋅  = 41 kg ⋅ .
s 
s
s

Il teorema dell’impulso
Ci proponiamo adesso di trovare una relazione tra l’impulso di una forza e la quantità di moto di un
corpo a cui tale forza è applicata. Consideriamo quindi un corpo di massa m, che inizialmente
r
possiede una velocità vi e sul quale agisce una forza costante di intensità F per un intervallo di
r
tempo ∆t al termine del quale il corpo possiede una velocità v f . Il corpo è soggetto a un moto con
r
r
r
r
accelerazione costante a parallela e concorde ad F . La relazione tra a ed F è data dal secondo
r
r
principio della dinamica: F = m ⋅ a . Moltiplichiamo ora ambo i membri dell’uguaglianza per
r
r
r
r
l’intervallo di tempo ∆t: F ⋅∆t = m⋅ a ⋅∆t. Osserviamo che il prodotto F ⋅∆t è l’impulso I della forza
r
r
r
r
r
r
F, mentre a ⋅∆t è la variazione di velocità v f – vi . Possiamo dunque scrivere I = m⋅( v f – vi ) =
r
r
r
r
m⋅ v f – m⋅ vi = p f – p i . Abbiamo così ottenuto un risultato molto importante che è noto come
teorema dell’impulso: l’impulso di una forza applicata ad un corpo per un certo intervallo di
tempo è uguale alla variazione di quantità di moto del corpo in quell’intervallo di tempo.
Osserviamo che le unità di misura di impulso e quantità di moto, anche se apparentemente diverse,
m
m
sono in realtà equivalenti. Infatti: 1 N⋅s = 1 kg ⋅ 2 × 1s = 1 kg ⋅ .
s
s
Impulso e quantità di moto nel quotidiano
Il teorema dell’impulso è molto importante per comprendere parecchie situazioni fisiche di esperienza
comune. Per esempio uno dei più antichi metodi di propulsione è quello della barca a vela. La sua
spiegazione è basata sullo stesso effetto visto nell’esempio 5. Infatti anche qui abbiamo un gran numero di
piccoli corpi (le molecole dell’aria) che urtando contro un ostacolo (la vela) perdono la loro quantità di moto
e quindi, in base al teorema dell’impulso e al terzo principio della dinamica, comunicano una forza
all’ostacolo stesso.
Vi sono anche dei casi in cui, a parità di impulso, quello che conta è l’intensità della forza, anche se agisce
per un tempo molto breve. Supponiamo per esempio di dover spingere sul pavimento un pesante pianoforte.
La nostra azione è contrastata dall’attrito statico che, come sappiamo, sparisce quando la forza a cui si
oppone supera un certo valore di soglia. Se dunque noi forniamo un certo impulso spingendo il pianoforte
con una forza non troppo intensa per un lungo intervallo di tempo esso non si sposterà, ma se invece
forniamo lo stesso impulso attraverso brevi spinte di intensità sufficientemente elevata da superare la soglia
dell’attrito statico riusciremo a muoverlo. Sullo stesso principio si basa anche la tecnica “della spallata” per
buttare giù una porta che tanto spesso appare nei film di azione.
Verifiche di comprensione
1.
Come si definisce l’impulso di una forza?
2.
L’impulso di una forza è una grandezza scalare o vettoriale?
3.
Quali sono le unità di misura nel SI dell’impulso?
4.
Come si calcola l’impulso nel caso di una forza la cui intensità è variabile nel tempo?
5.
Cosa si intende per forza impulsiva?
6.
Fai tre esempi di forza impulsiva
7.
Come è definita la quantità di moto di un corpo?
8.
Quali sono la direzione e verso della quantità di moto di un corpo?
9.
Quali sono le unità di misura nel SI della quantità di moto?
10. Enuncia il teorema dell’impulso
11. Dimostra il teorema dell’impulso
12. Mostra che le unità di misura dell’impulso e quelle della quantità di moto sono equivalenti
13. Su quale principio è basata la propulsione delle barche a vela?
14. In quali casi, a parità di impulso, è importante avere una forza intensa che agisce per un intervallo di
tempo breve?
Verifiche di conoscenza
1. Due forze aventi la stessa intensità agiscono: la prima per un certo intervallo di tempo, la seconda per un
intervallo di tempo più breve. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. l’impulso della prima è maggiore di quello della seconda
b. i due impulsi sono uguali
c. l’impulso della seconda è maggiore di quello della prima
2. Una forza F1 agisce per 3,0 s su un corpo di massa 5,00 kg, mentre una seconda forza F2 agisce per 2,4 s
su un corpo di massa 6,25 kg. Si sa che gli impulsi delle due forze sono uguali. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
a. F1 è maggiore di F2
b. Le accelerazioni dei due corpi sono uguali
c. Le due forze sono uguali
d. F2 è maggiore di F1
3. Per avere lo stesso impulso di una forza F che agisce per un certo intervallo di tempo in un intervallo di
tempo che sia la metà di questo, dobbiamo applicare una forza che sia:
a. La metà di F
b. Il doppio di F
c. Quattro volte F
d. Un quarto di F
4. Se devo calcolare l’impulso della forza che una molla esercita su una massa su un intervallo di 0,8 s
sapendo che il periodo del moto armonico descritto dal sistema è di 4,8 s, posso procedere nella seguente
maniera:
a. moltiplico la forza che la molla esercita a metà dell’intervallo per 0,8 s
b. calcolo la media tra la forza esercitata dalla molla all’inizio e alla fine dell’intervallo e moltiplico per
0,8 s
c. suddivido l’intervallo in 40 parti, per ogni sottointervallo calcolo il valore medio della forza
all’inizio e alla fine, moltiplico tale valore per 0,002 s e infine sommo tutti i 40 contributi così
ottenuti
d. calcolo la media tra la forza esercitata dalla molla all’inizio e alla fine dell’intervallo, suddivido
l’intervallo in 40 parti, per ogni sottointervallo moltiplico il valore medio precedentemente trovato
per 0,002 s e infine sommo i 40 contributi così ottenuti
5. Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo o l’espressione adeguata scelto tra alcuni di quelli indicati:
Una forza impulsiva agisce per un … estremamente … ma ha una … molto …, cosicché … assume
valori …. (enorme, tratto di spazio, intensità, intervallo di tempo, direzione, non trascurabili,
piccolissimi, la forza, breve, lungo, elevata, l’impulso)
6. Per un corpo che si trova in caduta libera la quantità di moto:
a. aumenta proporzionalmente al tempo
b. rimane costante e uguale al prodotto della massa per la velocità iniziale
c. rimane costante e uguale al prodotto della massa per la velocità media
d. aumenta proporzionalmente alla radice quadrata del tempo
7. La quantità di moto in un moto circolare uniforme:
a. è sempre zero
b. è diretta perpendicolarmente al raggio
c. ha il modulo che varia periodicamente
d. è un vettore costante in modulo diretto lungo il raggio
8. Se due corpi si muovono con la stessa velocità e la massa del primo è doppia di quella del secondo
possiamo dire che:
a. le due quantità di moto sono uguali
b. la quantità di moto del primo è la metà della quantità di moto del secondo
c. la quantità di moto del secondo è la metà della quantità di moto del primo
d. le due quantità di moto potrebbero essere uguali (dipende dal valore della velocità)
9. Se una forza F agisce su un corpo per un intervallo di tempo ∆t:
a. la quantità di moto finale del corpo è data da F⋅∆t più la quantità di moto che possedeva inizialmente
b. la quantità di moto finale del corpo è data da F⋅∆t
c. il rapporto tra le quantità di moto iniziale e finale è dato dall’impulso di F
d. l’accelerazione finale del corpo è data da F⋅∆t
10. Un pallone di 0,5 kg di massa colpisce perpendicolarmente una parete con una velocità di 4
m
e
s
rimbalza indietro con la stessa velocità. L’impulso della reazione del muro sul pallone vale:
kg ⋅
a. 2
b. 0
m
s
m
s
c. 8
m
kg ⋅
s
d. 4
kg ⋅
Problema svolto 1 – Calcolo dell’impulso di forza dovuto alla forza peso e della quantità di moto finale
di un corpo che cade
Un libro di 1,50 kg di massa cade da un tavolo alto 80,0 cm. Quanto vale l’impulso della forza peso agente
sul corpo durante il tempo di caduta? Quanto vale la sua quantità di moto alla fine della caduta? [figura 4. Un
libro che sta cadendo da un tavolo; il libro viene ritratto circa a metà altezza e il disegno deve dare l’idea
del movimento; una freccia verticale verso il basso con la coda nel libro porta la didascalia “P=mg”.
Didascalia: Problema svolto 1]
Scriviamo i dati del problema
Massa del libro: m = 1,50 kg
Altezza di caduta: h = 80,0 cm = 0,800 m
Incognite
Impulso della forza peso I
Quantità di moto p alla fine della caduta
Analisi e soluzione
La forza agente è il peso del libro: P = m ⋅ g = 1,50 kg ⋅ 9,8
ricava dalla formula: h =
N
= 14,7 N , mentre il tempo di caduta ∆t si
kg
1
1
m
2
2
g (∆t ) , cioè 0,800 m = ⋅ 9,8 2 ⋅ (∆t ) , da cui ∆t =
2
2
s
2 ⋅ 0,800 m
= 0,404 s .
m
9,8 2
s
L’impulso è quindi: I = F⋅∆t = 14,7 N ⋅0,404 s = 5,94 N⋅s
La velocità finale di un corpo che cade per un tratto h partendo da fermo è data da
v = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,8
m
m
m
m
⋅ 0,800 m = 3,96 , da cui: p = m⋅v = 1,50 kg ⋅ 3,96 = 5,94 kg ⋅ .
2
s
s
s
s
Problema svolto 2 – Calcolo della forza media dovuta a una variazione di quantità di moto
Con un idrante viene sparato un getto d’acqua contro una finestra; la finestra viene colpita da 250 gocce al
secondo, mediamente la massa di una goccia è di 0,6 grammi e la velocità delle gocce è di 3
m
. Quanto vale
s
l’intensità della forza sentita dalla finestra? [figura 5. Un uomo con un idrante in mano spruzza un potente
getto contro una finestra che sotto la spinta dell’acqua si apre. Didascalia: Problema svolto 2]
Scriviamo i dati del problema
Massa di una goccia: m = 0,6 g = 6⋅10-4 kg
Velocità delle gocce: 3
m
s
Intensità del getto: N = 250
gocce
secondo
Incognita
Intensità F della forza sulla finestra
Analisi e soluzione
Quando una goccia colpisce la finestra la sua quantità di moto passa dal valore iniziale p = 6⋅10-4 kg × 3 m/s
m
a zero. La forza F agente sul getto (uguale alla forza che il getto esercita sulla finestra) è
s
data dal rapporto tra la variazione di quantità di moto del getto e ∆t = 1 s; quindi F = ∆pgetto = N⋅p = 250
gocce
m
× 1,8⋅10-3 kg ⋅ = 0,45 N
secondo
s
= 1,8⋅10-3 kg ⋅
Problemi
1. Calcola l’impulso di una forza di 5,5 N che agisce su un corpo per 12 s
2. Un corpo di massa 8,0 kg viene lasciato libero con velocità iniziale nulla su un piano inclinato di 30°
rispetto all’orizzontale lungo 5,0 m. Quanto vale l’impulso della componente del peso parallela al piano?
3. Una forza di 3000 N agisce su un corpo di massa 2,00 kg per un tempo di 0,100 s. Per quanto tempo
dovrebbe agire la forza peso per sviluppare lo stesso impulso?
4. Calcola il modulo della variazione di quantità di moto di un corpo di massa 1,0 kg che percorre una pista
circolare con velocità costante di 12
m
quando ha cambiato la propria direzione di moto di 90°.
s
5. Calcola la variazione di quantità di moto di una palla di 0,250 kg di massa quando colpisce
perpendicolarmente una parete alla velocità di 2,56
m
e rimbalza indietro con la stessa velocità.
s
6. Quanto vale la variazione di quantità di moto del corpo del problema 4 quando ha percorso mezzo giro?
E quando ha percorso un giro intero?
7. Calcola, utilizzando il teorema dell’impulso, quanto tempo impiega a fermarsi un corpo di massa 2,0 kg
che affronta un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale con una velocità iniziale di 16
m
s
(Suggerimento: la variazione di quantità di moto è…, questa deve essere data dal prodotto della forza
per il tempo di salita…)
8. Un calcio tirato ad un pallone di massa 0,400 kg lo fa salire in verticale fino ad una altezza di 9,86 m. Se
durante il calcio il piede resta a contatto con il pallone per 0,01 s, quanto vale la forza sviluppata dal
calciatore? (Suggerimento: dall’altezza raggiunta possiamo determinare la velocità iniziale, e da questa,
con l’aiuto del teorema dell’impulso…)
9. Un calciatore batte un calcio di punizione comunicando a un pallone di 500 g di massa un impulso di 10
N⋅s. Per quanto tempo dovrebbe agire la forza peso per comunicare al pallone lo stesso impulso? Da
quale altezza dovrebbe cadere il pallone (partendo da fermo) per permettere alla forza peso di agire per
un tale intervallo di tempo?