Teoria - Matematica

TRASFORMATE DI LAPLACE
LUCIA GASTALDI
1. Definizione di trasformata di Laplace ed esempi
Definizione 1. Trasformata di Laplace Sia f : R → R una funzione nulla in (−∞, 0). Si dice
trasformata di Laplace di f , la funzione L[f ] definita per p ∈ C dalla formula:
Z +∞
(1)
L[f ](p) =
e−px f (x) dx.
0
Se esiste almeno un p ∈ C per cui l’integrale in (1) sia converegente allora f si dice
trasformabile secondo Laplace.
Proposizione 1. Condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata di Laplace Sia
f : R → R una funzione nulla in (−∞, 0). Se esistono M ed α numeri reli positivi, tali che
valga:
(2)
|f (x)| ≤ M eαx
per x sufficientemente grande,
allora f è trasformabile, L[f ] esiste nel semipiano complesso Re p > α ed inoltre
(3)
lim
L[f ](p) = 0.
Re p→+∞
Inoltre, se L[f ] esiste per p = p0 , allora L[f ] esiste in tutto il semipiano {p ∈ C : Re p >
Re p0 } e vale (3).
Sia
α0 = inf{α ∈ R : L[f ](p) esiste per Re p > α},
allora il semipiano {p ∈ C : Re p > α0 } si dice semipiano di convergenza.
Esempio 1. Funzione di Heaveside Sia
H(x) =
allora vale:
L[H](p) =
1
p
1 x≥0
0 x<0
per p > 0.
Esempio 2. Impulso unitario di durata ε Per ε > 0 sia
(
1
0≤x<ε
Iε (x) =
ε
0 x < 0, x ≥ ε
allora si ha:

 1 − e−pε
p 6= 0
L[Iε ](p) =
pε
 1
p=0
1
2
LUCIA GASTALDI
quindi la trasformata di Laplace dell’impulso unitario L[Iε ] è definita su tutto il piano complesso.
Esempio 3. Impulso unitario istantaneo o funzione di Dirac La funzione di Dirac nell’origine
viene indicata con il simbolo δ(x) e può essere ottenuta come limite per ε → 0 di Iε , ossia
poniamo
δ(x) = lim Iε (x).
ε→0
La definizione è del tutto formale e non va intesa come limite puntuale. Formalmente si
pone:
Z +∞
δ(x) = 0 per x 6= 0,
δ(0) = +∞,
δ(x) dx = 1.
−∞
La trasformata di Laplace della funzione di Dirac si ottiene come limite della trasformata di
Laplace dell’impulso unitario:
1 − e−pε
= 1.
ε→0
pε
L[δ](p) = lim L[Iε ](p) = lim
ε→0
Esempio 4. Esponenziale Sia
f (x) =
e−ax 0 ≤ x ≥ 0
0
x<0
con a ∈ C. Allora vale:
L[f ](p) = L[e−ax H(x)](p) =
1
p+a
per Re p > − Re a.
2. Trasformata inversa di Laplace
Data una funzione f , sia F (p) = L[f ](p) la sua trasformata di Laplace. Allora la funzione
di partenza f si dice trasformata inversa o antitraformata di Laplace di F e si scrive
f (x) = L−1 [F ](x).
Si può dimostrare che data una trasformata di Laplace F (p), è unica la funzione f tale che
L[f ] = F .
3. Proprietà della trasformata di Laplace
Linearità
Siano f e g trasformabili con semipiano di convergenza Re p > α e Re p > β rispettivamente.
Allora se λ, µ ∈ C, la funzione λf + µg è trasformabile e
L[λf + µg](p) = λL[f ](p) + µL[g](p) per Re p > max(α, β).
Formule di ritardo
1. Sia f trasformabile con semipiano di convergenza Re p > α. Allora si ha:
L[eax f (x)](p) = L[f ](p − a) per Re p > α + a.
3
2. Definiamo per a > 0
g(x) = f (x − a)H(x − a) =
f (x − a) x ≥ a
0
x<a
allora la trasformata di laplace di g è data da:
L[g](p) = L[f (x − a)H(x − a)](p) = e−pa L[f ](p) per Re p > α.
Trasformata di una funzione periodica
Sia f periodica di periodo T . Consideriamo
f (x) 0 ≤ x < T
f0 (x) =
0
x<0ox≥T
allora la funzione f (x)H(x) puo‘ essere ottenuta come somma di infinite traslazioni di f0
f (x)H(x) = f0 (x) + f0 (x − T ) + · · · + f (x − nT ) + · · · =
∞
X
f0 (x − nT ).
n=0
Quindi
L[f (x)H(x)](p) =
∞
X
L[f0 (x − nT )](p) = L[f0 ](p)
n=0
∞
X
enT p =
n=0
Trasformata di una derivata
L[f0 ](p)
.
1 − e−T p
Teorema 2. Sia f derivabile con derivata continua a tratti in [0, +∞). Supponiamo che f 0
sia trasformabile nel semipiano Re p > α. Allora f è trasformabile nel semipiano Re p >
max(α, 0) e vale la formula
L[f 0 ](p) = pL[f ](p) − f (0).
Trasformata di una primitiva
Consideriamo una funzione f : R → R continua a tratti e poniamo
Z x
F (x) =
f (t) dt.
0
Se f è trasformabile nel semipiano Re p > α, allora F è trasformabile nel semipiano Re p >
max(α, 0) e vale la formula
L[f ](p)
.
L[F ](p) =
p
Trasformata di un prodotto di convoluzione
Siano f e g nulle in (−∞, 0). Il prodotto di convoluzione è definito dalla formula
Z x
Z x
f (t)g(x − t) dt.
f (x − t)g(t) dt =
(f ∗ g)(x) =
0
0
Se f e |g| sono trasformabili nel semipiano Re p > α, allora anche f ∗ g è trasformabile nel
semipiano Re p > α e si ha
L[f ∗ g](p) = L[f ](p) · L[g](p).
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LUCIA GASTALDI
Derivata della trasformata di Laplace
Se la funzione f soddisfa la condizione (2), la derivata della trasformata di Laplace
Z +∞
L[f ](p) =
e−px f (x) dx
0
si ottiene derivando rispetto a p sooto il segno di integrale e si ottiene
d
L[f ](p) = −L[xf (x)](p) per Re p > α.
dp
Per induzione si ottiene per ogni n ≥ 0
dn
L[f ](p) = L[(−1)n xn f (x)](p).
dpn
Integrale della trasformata di Laplace
Se la funzione f soddisfa la condizione (2) ed esiste il limt→0+ f (t)/t, allora si ha
Z +∞
f (x)
L
(p) =
L[f ](s) ds
per p ∈ R con p > α.
x
p
Dipartimento di Matematica, Università di Brescia, Italy
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