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Progetto dei Filtri IIR con le Trasformazioni 2
I modelli di Chebyshev Si può ottenere una velocità di caduta più rapida in prossimità della frequenza di taglio rispetto a quella del modello di Butterworth, a discapito di una diminuzione di monotonicità nel passa-banda o attenua-banda. I modelli di Chebyshev (tipo I e II) mantengono la monotonicità in una banda, ma non presentano oscillazioni (equiripple ) nell’altra banda come illustrato in fig. 8.4. Figura 8.4 Risposte di ampiezza per filtri a fase lineare del I° e II° tipo di Chebyshev con N=4 M. Usai Circuiti digitali 8_2 1 La risposta di ampiezza al quadrato per il modello Chebyshev-I (piatto nella stop-banda) è della forma: 2 H c ( jΩ ) = 1 , 2 2 1 + ε T N (Ω / Ω c ) La risposta di ampiezza al quadrato per il modello Chebyshev-II (piatto nella banda passante) è della forma: 1 2 , H c ( jΩ ) = 2 2 1 + ε TN (Ω c / Ω) (8.1.6) (8.1.6) dove TN(x) è il polinomio di ordine N di Chebyshev definito da : TN(x)=cos(N cos-1x)=cosh [N cosh-1 x] (8.1.7) I polinomi di Chebyshev possono essere generati ricorsivamente ponendo: T0(x)=1, T1(x)=x → TN+1(x)= 2xTN(x)-TN-1(x) per cui: T2(x)=2x-1 etc. M. Usai Circuiti digitali 8_2 2 Poiché T1(1)=1 per tutti i valori di N, la risposta di ampiezza al quadrato, alla frequenza di taglio eguaglia 1 2 è quindi , e ε 1+ ε 2 determinato dall’oscillazione (ripple) del passabanda, δ1 come : (1 − δ1)2 = 1 1 + ε 2 *1*(Ωc / Ωc ) ⇒ ε2 = 1 (1 − δ1)2 −1 (8.1.8) Quindi il modello di Chebyshev-I è caratterizzato da: • frequenza di taglio; • dall’oscillazione (ripple) del passabanda; • dall’ordine N, e infine • dalla determinazione delle specifiche dello stop-banda. Il valore richiesto di N per determinate specifiche stop-banda è ottenuto dalla (8.1.6) e (8.1.7) come: cosh −1 (1 / δ 2ε ) N≈ . −1 cosh (Ω r Ω c ) M. Usai Circuiti digitali 8_2 (8.1.9) 3 I poli di Hc(s) vengono determinati da quelli di Hc(s) Hc(-s) come nel caso Butterworth e giacciono su una ellisse del piano s . Gli zeri di Hc(s) sono tutti all’infinito per un filtro di tipo I, e quindi questo è un altro modello tutto-poli (all-pole) continuo nel tempo. Per ottenere Hc(s) Hc(-s) dalla (8.1.6), è necessario fare il quadrato del polinomio di Chebyshev TN(x) di ordine N. E’ facile dimostrare che: TN2 ( x) = T2 N ( x) + 1 2 , ed è più facile calcolarlo ricorsivamente che fare direttamente il quadrato di TN(x). M. Usai Circuiti digitali 8_2 4 Analogamente il modello di Chebyshev-II è caratterizzato da: • frequenza di taglio; • dall’oscillazione (ripple) nella stop-banda; • dall’ordine N, e infine • dalla determinazione delle specifiche del passa-banda. Si sottolinea che il filtro di Chebyshev di tipo I passa-basso è complementare di potenza del filtro di Chebyshev di tipo II passa-alto e viceversa (cioè I passa-alto e II passa-basso). M. Usai Circuiti digitali 8_2 5 Modello ellittico Con il modello ellittico (o Cauer) si ottiene la più netta transizione dal passa-banda alla stop-banda per δ1 , δ2 e N dati. La risposta di ampiezza di un filtro ellittico è equiripple (ugualmente oscillante) sia nel passa-banda che nella stop-banda come illustrato in figura 8.5. Figura 8.5 Risposta in ampiezza del filtro ellittico a fase lineare per N=3. La risposta di ampiezza al quadrato è della forma: 1 2 , (8.1.14) H c ( jΩ ) = 2 2 1 + ε U N (Ω / Ω c ) dove UN(Ω) è una funzione ellittica jacobiana. Una discussione delle funzioni ellittiche va oltre gli scopi del corso, si fa presente la disponibilità e la larga diffusione di software per ottenere il modello del filtro ellitico come nei toolbox di MATLAB. M. Usai Circuiti digitali 8_2 6 Si può osservare quindi dalla figura 8.5 che gli zeri di Hc(s) devono giacere lungo l’asse jΩ come per il caso Chebyshev II. E’ ragionevole a questo punto chiedersi perché non si sceglie sempre il modello ellittico che soddisfa le specifiche del tipo in figura 8.1, con un ordine N più basso rispetto a ogni altro modello di filtro. • Il filtro ellitico o di Cauer non è monotonico in nessuna banda mentre i modelli di Chebyshev sono monotonici in una banda e il modello di Butterworth è monotonico in entrambe. • Un altro importante motivo è che la risposta di fase nel modello ellittico risulta meno lineare nel passa-banda, soprattutto vicino alla frequenza di taglio, rispetto alla risposta degli altri modelli. M. Usai Circuiti digitali 8_2 7 Trasformazione analogiche in frequenza s→s Si utilizzano per passare da un filtro passa-banda agli altri tipi ( Passa Alto, Passa Banda , Attenua Banda) mediante cambiamento di variabili con l’ausilio di tabelle o programmi CAD. Trasformazioni s→z Si vuole risolvere il seguente problema: data una funzione Hc(s) razionale (equazione differenziale) trovare una corrispondente funzione H(z) razionale (equazione alle differenze finite) tale che: • mantenga il più possibile inalterata la risposta in ampiezza e fase (Ω → ω); ω [rad] frequenza discreta e Ω frequenza continua [rad/sec]: ω=ΩT o Ω= ω/T • mantenga la caratteristica di stabilità. Si stabilisce un opportuno mappaggio tra il piano s e il piano z : H(z) Hc(s) equazioni differenziali ⇒ eq. differenze finite h(t) h(n) M. Usai Circuiti digitali 8_2 8 Esistono numerosi metodi disponibili: 1. 2. 3. Approssimazione dell’equazione differenziale, approssimando le derivate con le differenze finite; Invarianza all’impulso, campionando la soluzione dell’equazione (risposta impulsiva); Trasformazione bilineare approssimando l’integrale soluzione (metodo trapezoidale). Approssimazione dell’equazione differenziale L'approssimazione dell’equazione differenziale consiste nel sostituire le derivate con le differenze finite relative agli ultimi due valori assunti. Se T è il periodo di campionamento: dy (n) y (n) − y (n − 1) → = ∇1 y (n) dt T e per il termine generico iesimo: d i y ( n) ∇i −1 ( y (n) ) − ∇i −1 ( y (n − 1) ) → i T dt M. Usai Circuiti digitali 8_2 9 La procedura può essere così schematizzata: Hc(s) ↓ k N d yc (t ) M d k xc (t ) = ∑ bk ∑ ak k k =0 k =0 dt dt k ↓ N M ∑ ak ∇ k ( y (n) ) = ∑ bk ∇ k ( x(n) ) k =0 N dove: yc(t) xc(t) x(n) y(n) M. Usai k ↓ k ⎛1 − z ⎞ ⎛1 − z ⎞ ⎟ Y ( z ) = ∑ bk ⎜ ⎟ X ( z) k = 0 ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ ↓ H(z) ∑ ak ⎜ k =0 k =0 −1 M −1 uscita continua ingresso continuo ingresso campionato con periodo T uscita campionata con periodo T e risulta Circuiti digitali 8_2 10 k k ⎛1 − z ⎞ ⎛1 − z ⎞ ⎟ Y ( z ) = ∑ bk ⎜ ⎟ X ( z) k =0 ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ N ∑ ak ⎜ k =0 −1 M −1 k 1 − ⎛ ⎞ 1− z 1− z Z [∇1 x(n)] = Y ( z) ⎟ Y ( z) Z [ ∇ k x ( n) ] = ⎜ ⎜ T T ⎟ ⎝ ⎠ −1 1 1− z z= s= 1 − sT T equivalente a un mappaggio del piano s e nel piano z come riportato in figura: −1 jΩ Im immagine di σ<0 piano s 1 piano z immagine di jΩ σ<0 1 σ Re s=σ+jΩ T= periodo di campionamento M. Usai Circuiti digitali 8_2 11 Le caratteristiche di questo metodo sono le seguenti: 1. conserva la stabilità: Re[s]<0 →|z|<1 2. conserva la risposta in frequenza solo in un piccolo intervallo intorno z=1 (tangenza fra 2 cerchi). Per utilizzare questa procedure é necessario che Hc(s) sia limitata in banda e che T sia opportuno ( sovracampionamento alto). Si usa poco e solo per filtri passa-basso. M. Usai Circuiti digitali 8_2 12 8.2 Trasformazione invariante all’impulso Si possono usare differenti trasformazioni per convertire modelli di filtri continui nel tempo in modelli discreti nel tempo, i metodi più semplici sono: • l’invarianza all’impulso e • la trasformazione bilineare. Metodo della l’invarianza all’impulso Il metodo consiste nel campionare la risposta impulsiva. Poniamo che hc(t) sia la risposta impulsiva corrispondente ad Hc(s), e definiamo la trasformazione da continua nel tempo a discreta nel tempo ponendo: h(n) = hc(nT) M. Usai Circuiti digitali 8_2 (8.2.1) 13 In questo modo si campiona la risposta all’impulso continua nel tempo per ottenere la risposta del filtro discreto nel tempo. Come si è visto nel paragrafo 6.3, la risposta in frequenza H1(ω) corrispondente alla (8.2.1) è la trasformata di Fourier della funzione continua ∞ nel tempo: (8.2.2) hs (t ) = ∑ hc ( nT )δ (t − nT ) n = −∞ e quindi dalla (6.3.10), 1 ∞ ⎡ j (ω − 2πk ) ⎤ H ' (ω ) = ∑ H c ⎢ . (8.2.3) ⎥ T k =−∞ ⎣ T ⎦ La funzione di trasferimento corrispondente alla h(n) = hc(nT), è analogamente: 1 ∞ 2π ⎞ ⎛ H ( z ) | z =e sT = ∑ H c ⎜ s − jk ⎟, T k =−∞ ⎝ T ⎠ (8.2.4) che è una trasformazione del tipo many-to-one dal piano s al piano z. M. Usai Circuiti digitali 8_2 14 Dalla (8.2.4) si vede facilmente che la trasformazione varianza all’impulso mappa l’asse jΩ e il semipiano sinistro s, nel cerchio di raggio unitario e nel suo interno, mediante z=esT come riportato in figura: jΩ 3π/T Im π/T -π/T -π/2T π/T Re -π/T Piano z -3π/T M. Usai Circuiti digitali 8_2 Piano s 15 Le caratteristiche del metodo sono le seguenti: 1. ogni striscia di larghezza 2π/T viene mappata all’intero del cerchio di raggio unitario nel piano Z; 2. preserva la stabilità : Re[s]→|z|<1; 3. se non c'è aliasing, preserva la risposta in frequenza: all’asse jΩ (+π/T, -π/T) → corrisponde il cerchio unitario. Può essere utilizzato solo per filtri limitati in banda, in genere passa-basso. Sebbene la risposta all’impulso del filtro continuo nel tempo è garantita secondo (8.2.1) dalla sua trasformazione, la risposta in frequenza spesso può essere alterata in modo significativo, al punto da non essere usata. M. Usai Circuiti digitali 8_2 16 In particolare la (8.2.3) implica che la H’(ω) sia una versione aliased di Hc(jω/T), come illustrato in figura 8.6 per un modello passa-basso. Figura 8.6 Risposta di ampiezza risultante dalla trasformazione della invarianza all’impulso. Quindi le caratteristiche stop-banda sono preservate nella risposta di frequenza discreta nel tempo, soltanto se le code (tails) aliased di Hc(jω/T) sono sufficientemente piccole. Anche il passa-banda è influenzato, ma questo effetto è generalmente meno pronunciato rispetto allo stop-banda. M. Usai Circuiti digitali 8_2 17 E’ chiaro dalla figura 8.6 che i modelli passa-basso di Butterworth e di Chebyshev-I sono più appropriati per la trasformazione invarianza all’impulso rispetto i modelli di Chebyshev-II ed ellittico perché i primi sono monotonici nella stop-banda, mentre i secondi non lo sono. In particolare la caratteristica equiripple dello stop-banda dei modelli di Chebyshev-II ed ellittico sarà generalmente perduta, se si utilizza la trasformazione invarianza all’impulso. Allo stesso modo questa trasformazione non può essere applicata direttamente ai modelli passa-alto e stop-banda, perché essi non sono a banda limitata. Prima di fare la trasformazione invarianza all’impulso a Hc(s), essa deve essere sviluppata in fratti : Ak H c ( s) = ∑ , k =1 s − s k dove si assume che non ci siano poli multipli. N M. Usai Circuiti digitali 8_2 (8.2.5) 18 Quindi poiché: N h c (t) = ∑ A k e sk t u(t) , (8.2.6) k =1 si ha dalla (8.2.1) ponendo t=nT, che : N h(n) = ∑ A k e sk nT u(n) e quindi (8.2.7) k =1 N H(z) = ∑ k =1 Ak , s k T −1 1− e z (8.2.8) Perciò i parametri di H(z) possono essere ottenuti direttamente da Hc(s) senza preoccuparsi di valutare hc(t) o h(n). Si noti che i poli sul piano s in sk sono tracciati come poli nel piano z in pk=eskT attraverso la trasformazione varianza all’impulso. Comunque questa trasformazione non è semplicemente una mappatura di Hc o H(z) attraverso il cambiamento di variabile z=esT come si può vedere dalla (8.2.4). In particolare, gli N zeri di Hc(s), che comprendono quelli all’infinito, non possono essere mappati in questo modo. M. Usai Circuiti digitali 8_2 19 Può essere definita una trasformazione che mappa gli zeri così come i poli, direttamente da z=esT ed è infatti chiamata matched zeta transform. Comunque, sebbene possono essere progettati in questo modo dei filtri perfettamente utilizzabili , attraverso questa trasformazione non viene conservata nessuna specifica proprietà nel dominio della frequenza e del tempo per cui questo metodo non é molto usato. Una osservazione relativa alla trasformazione invarianza all’impulso è che per T<<1 (cioè Ωt >>1), il fattore 1/T nella (8.2.3) implica un guadagno grande nel filtro risultante discreto nel tempo. Per mantenere il massimo di |H’(ω)| confrontabile con quello di |Hc(jΩ)|, la trasformazione viene spesso definita nella forma: N H ( z) = ∑1 − e k =1 M. Usai Ak T s k T −1 z , Circuiti digitali 8_2 (8.2.9) 20 che implica: h(n)=T hc(nT) (8.2.10) Quindi la risposta impulsiva viene attenuata del fattore T, e la risposta in frequenza risulta semplicemente: ⎡ j (ω − 2πk ) ⎤ H ' (ω ) = ∑ H c ⎢ . ⎥ k = −∞ T ⎣ ⎦ ∞ M. Usai Circuiti digitali 8_2 (8.2.11) 21