Estremi e punti di accumulazione

Cenni di topologia di ℝ
1. Sottoinsiemi dei numeri reali
Studieremo le proprietà dei sottoinsiemi dei numeri reali, E ⊆ ℝ , che hanno ad esempio la forma:
−3
3
2
5
E = (−3,2) ∪ (3, 5)
2
1
5
8
6
E = [1,2] ∪ {5; 6; 8}
−1
1
2
3
2
E = (−∞, −1) ∪
4
{21 } ∪ (2, 3) ∪ [4, +∞)
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E ⊆ ℝ , allora diremo maggiorante di E un qualunque numero M
tale che ∀x ∈ E risulti x ≤ M .
Definizione: Se esiste almeno un maggiorante di E diremo che E è limitato superiormente
x ∈E
M
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E ⊆ ℝ , allora diremo minorante di E un qualunque numero m tale
che ∀x ∈ E risulti x ≥ m .
Definizione: Se esiste almeno un minorante di E diremo che E è limitato inferiormente
m
x∈E
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E ⊆ ℝ ,
superiormente che limitato inferiormente.
allora diremo che
E è limitato se è sia limitato
E
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Il più piccolo dei maggioranti di E lo chiameremo massimo di E se
appartiene ad E; altrimenti lo chiameremo estremo superiore di E
1
E
Massimo
E
Estremo superiore
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Il più grande dei minoranti di E lo chiameremo minimo di E se appartiene
ad E; altrimenti lo chiameremo estremo inferiore di E
E
minimo
E
Estremo inferiore
Esempio 1
Trovare gli estremi inferiore e superiore degli insiemi: E1 = {−2;1;2} ∪ (3; 6) , E2 = (−4; 3) ∪ (5; 7] ,
E 3 = (−∞; 3] ∪ (5; +∞) e dire se ammettono massimo o minimo.
L’insieme dei minoranti di E1 è (−∞; −2] , l’insieme dei maggioranti [6; +∞) quindi:
min (E1 ) = −2 ,
sup (E1 ) = 6 , non ammette massimo
l’insieme dei minoranti di E2 è (−∞; −4] , l’insieme dei maggioranti [7; +∞) quindi:
inf (E1 ) = −4 , non ammette minimo
max (E2 ) = 7
mentre E 3 è illimitato.
Esempio 2
Trovare gli estremi inferiore e superiore dell’insieme E = { x − 3 < 2} e dire se ammette massimo o minimo.
Riscriviamo la condizione data risolvendo la disequazione:
−2 < x − 3 < 2
1<x <5
risulta quindi inf(E ) = 1 , sup(E ) = 5 . L’insieme non ammette né massimo né minimo.
Esempio 3
{
Trovare gli estremi inferiore e superiore dell’insieme E = x n =
{
n −1
,n ∈ ℕ0
n
} e dire se ammette massimo o minimo.
}
1 2 3
Vediamo qualche elemento: E = 0, , , , … . Riscriviamo la condizione che definisce x n :
2 3 4
2
n −1 n 1
1
= − = 1−
n
n n
n
1
è sempre positiva e minore di 1, e la x diviene sempre più grande al
n
crescere di n , tendendo ad 1 senza raggiungerlo mai. Quindi si ha sup(E ) = 1 , e non ammette massimo,
essendo n intero positivo la quantità
mentre se n = 1 l’insieme assume il suo valore più piccolo, min(E ) = 0 .
Esempio 4
{
Trovare gli estremi inferiore e superiore dell’insieme E = x =
{
}
2n + 1
, n ∈ ℕ 0 e dire se ammette massimo o minimo.
3n
}
5 7
Vediamo qualche elemento: E = 1, , , … . Riscriviamo la condizione:
6 9
2n + 1 2n
1
2
1
x=
=
+
= +
3n
3n 3n
3 3n
1
1
Essendo n > 0 , risulta sempre
< , quindi
3n
3
2 1
x ≤ + =1
3 3
valore che viene assunto per n = 1 cui max(E ) = 1 . Viceversa i numeri dell’insieme si ottengono sommando
2
1
2
, che diventa arbitrariamente piccola al crescere di n . Si ha dunque x > ,
a la quantità positiva
3
3n
3
2
valore che non viene mai assunto e quindi inf(E ) = .
3
Esempio 5




n2 + 1
Studiare il sottoinsieme di ℝ : E = 
,n ∈ ℕ0
x =
.


n




Possiamo riscrivere il generico elemento nella forma:
n2 + 1 n2
1
1
=
+ =n+
xn =
n
n
n
n
1
1
5
Come si vede risulta sempre x n ≥ 2 , ad esempio x1 = 1 + = 2 , x 2 = 2 + =
ecc. Nel caso generale è
1
2
2
1
1
vero che n + ≥ 2 in quanto se n = 1 si ha n + = 2 , mentre se n > 1 l’espressione è pari ad un numero
n
n
1
maggiore di 2 sommata ad un altro addendo positivo
. Se ne deduce che min(E ) = 2 . Per quanto
n
riguarda la ricerca dell’eventuale massimo dell’insieme osserviamo che comunque si scelga un numero k è
1
sempre possibile trovare un x n > k . Basta che si scelga n = k ed avremo x n = k + > k . Ne concludiamo
k
che E risulta illimitato superiormente perché i suoi elementi possono essere grandi quanto si desidera, da
cui sup(E ) = +∞
Studiare ReF p. 10-12; es. p. 305 n. 1,3,4
3
2. Intorno e punto di accumulazione
Definizione: siano a ∈ ℝ e b ∈ ℝ . Diremo intervallo aperto il sottoinsieme
a
] a, b [ di ℝ tale che a < x < b
b
Definizione: siano a ∈ ℝ e b ∈ ℝ . Diremo intervallo chiuso il sottoinsieme
a
[ a, b ] di ℝ tale che a ≤ x ≤ b
b
Definizione: sia x 0 ∈ ℝ . Diremo intorno di x 0 , I (x 0 ) ogni intervallo aperto contente
Se δ1 ∈
ℝ +0
e δ2 ∈
ℝ +0
x0 .
avremo pertanto: I (x 0 ) = ] x 0 − δ1, x 0 + δ2 [
x 0 − δ1
x0
x 0 + δ2
{
Inoltre se δ1 = δ2 ≡ δ l’intorno si dirà sferico o anche simmetrico: I (x 0 ) = x ∈ R :
x0 − δ
x0
| x − x 0 |< δ
}
x0 + δ
Si definiscono anche l’ intorno destro: I (x 0 ) = ] x 0 , x 0 + δ [ ; l’ intorno sinistro I (x 0 ) = ] x 0 − δ, x 0 [ .
+∞ un qualunque insieme della forma (a, +∞) , intorno di −∞
qualunque insieme della forma (−∞, b) , intorno di ∞ qualunque insieme tipo (−∞, a ) ∪ (b, +∞) .
Definizione: diciamo intorno di
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Si dice che
cade almeno un elemento di E diverso da
x0 è punto di accumulazione per E se in ogni intorno di x0
x0 .
E
sono punti di accumulazione
non è punto di accumulazione
Si noti che i punti di frontiera di un intervallo sono punti di accumulazione per esso, pertanto diremo anche
che un intervallo è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Notare:
1) se cade almeno un punto di E in un intorno di un punto di accumulazione allora ce ne cadono
infiniti
2) non è detto che il punto di accumulazione appartenga ad E. esempi ne sono tutti gli intervalli aperti,
l’insieme dei reali pari ai naturali
1
con n ∈ ℕ 0 dove zero è un punto di accumulazione ma non
n
lo è nessun numero dell’ insieme.
3) Se esiste almeno un intorno del punto che non contiene altri elementi di E il punto si dice isolato
4
Esempio 6
{
Trovare i punti di accumulazione dell’insieme E = x = 5 +
}
1
; n ∈ ℕ 0 , l’estremo superiore e quello inferiore e dire
n
se ammette massimo e minimo.
Si tratta di un insieme dove tutti gli elementi sono numeri razionali.
n =1⇒x =6
11
n =2⇒x =
2
16
n =3⇒x =
3
21
n =4⇒x =
4
26
n =5⇒x =
5
…
Comunque si scelgano due elementi di E, nell’ intervallo fra di loro non sono compresi altri elementi
dell’insieme quindi si può trovare sempre per ogni punto un intorno che non contiene altri punti di E. Ne
concludiamo che nessun elemento dell’insieme è punto di accumulazione. Invece è punto di accumulazione
x = 5 perché qualunque δ si scelga come raggio dell’intervallo di centro 5 esiste sempre un valore di n
1
abbastanza grande per cui risulti < δ .
n
5 26
5
21
4
16
3
11
2
6
Per lo stesso motivo si ha che inf(E ) = 5 , l’insieme non ammette minimo, ed inoltre max(E ) = 6 .
Esempio 7
{
Studiare il sottoinsieme di ℝ : E = x =
}
1 1 1 1 1
1
E : {1, , , , , … } .
4 9 16 25 36 n
1
,n ∈ ℕ0 .
n2
1
ha sempre
n2
denominatore maggiore del numeratore quindi l’insieme dato è limitato superiormente da 1 . Dato che
x = 1 appartiene all’insieme avremo max(E ) = 1 . Inoltre gli elementi di E sono sempre positivi, pertanto
Scriviamo prima qualche elemento di
2
La frazione
inf(E ) = 0 . Notare che x = 0 non è minimo dell’insieme dato che non vi appartiene. D’altra parte x = 0 è
punto di accumulazione per E , dato che comunque si fissi un intorno centrato in x = 0 , al suo interno
cadono infiniti altri punti dell’insieme. Se ad esempio δ è il raggio di un qualunque intorno centrato in
 1 
1
 (significa che bisogna prendere la parte
x = 0 , basterà individuare quel valore 2 < δ cioè per n > 
 δ 
n
intera del numero fra parentesi quadre) ed avremo che da quel numero in poi tutti gli altri elementi cadranno
entro l’intorno di raggio δ . Da ultimo osserviamo che tutti gli altri elementi di E sono punti isolati.
1
0 36
1
25
1
16
1
9
1
4
5
Esempio 8
{
}
5n + 2
,n ∈ ℕ 0 .
4n
5n + 2
5n
2
5
1
Riscriviamo il generico elemento:
=
+
= +
.
4n
4n 4n
4 2n
1
1
5
1
5 1
7
Dato che risulta sempre
≤
a causa del minor denominatore, abbiamo: x n = +
≤ + = .
2n
2
4 2n
4 2
4
7
7
7
∈ E ed x n ≤
abbiamo max(E ) = . Viceversa i numeri dell’insieme si ottengono
Allora poiché
4
4
4
1
5
, che diventa arbitrariamente piccola al crescere di n . Si ha dunque
sommando a la quantità positiva
4
2n
5
5
x > , valore che non viene mai assunto e quindi inf(E ) = . Inoltre questo è l’unico punto al quale ci si
4
4
possa avvicinare a piacimento, cioè di accumulazione: tutti gli altri elementi dell’insieme sono punti isolati.
7 12 17 11 27 4 37
Rappresentiamone qualche elemento per capire: E =
, , , , , , ...
4 8 12 8 20 3 28
Studiare il sottoinsieme di ℝ : E = x =
{
7
4
12
8
}
17
12
11 27
8 20
5
4
Esempio 9


n
,n ∈ ℕ0
Studiare il sottoinsieme di ℝ : E = 
x n =



n
+
1




Si tratta di un insieme limitato superiormente dato che il denominatore è sempre maggiore del numeratore.
Sommando e sottraendo 1 al numeratore si ottiene:
n
n +1−1
1
=
= 1−
.
n +1
n +1
n +1
Si vede bene che il generico elemento così riscritto cresce al crescere di n , dato che si tratta di sottrarre ad 1
1
la quantità sempre più piccola
. Quindi è sempre x n < 1 e questo valore non viene mai raggiunto (lo si
n +1
1
avrebbe se
fosse zero, il che è approssimativamente vero per valori di n infinitamente grandi). Inoltre, il
n +1
1
1
e sup(E ) = 1 . I punti di E sono
fato che x n cresca con n comporta x n ≥ x1 = . Ne segue min(E ) =
2
2
tutti isolati mentre l’unico punto di accumulazione risulta x = 1 (non appartenete all’insieme).
Rappresentiamone qualche elemento per capire: E =
1
2
2
3
{21 , 23 , 43 , 54 , 65 , 76 , 78 ...}
3
4
4 5
5 6
1
(Re Fraschini pp.12-14, es. P. 305 n.8, 9,13)
6