qui - Dipartimento di Scienze Ambientali, Informatica e Statistica

Tutorato di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
Università Ca’ Foscari di Venezia
Dipartimento di informatica
20 maggio 2006
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica
Densità congiunta e indipendenza . . .
Definition
Definiamo la funzione di ripartizione congiunta di X e Y la
funzione
F (x, y ) = P{X ≤ x, Y ≤ y }
Definition
Diciamo che X e Y hanno densità congiunta f se esiste una
funzione f integrabile ≥ 0 tale che
Z x Z y
F (x, y ) =
f (x, y ) dy dx
−∞
−∞
Se una densità congiunta esiste deve valere che
Z
f (x, y ) dx dy = 1
R2
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. . . Densità congiunta e indipendenza
Ricavare le f.r. marginali a partire da quella congiunta
FX (x) = lim F (x, y )
y →+∞
Ricavare le densità marginali da quella congiunta
Z ∞
fX (x) =
f (x, y ) dy
−∞
Teorema
Dua v.a. X e Y sono indipendenti sse
f (x, y ) = fX (x) · fY (y )
Un criterio di indipendenza dice che se la densità congiunta è
scomponibile nella forma
f (x, y ) = f1 (x) · f2 (y )
allora c’è indipendenza.
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Densità condizionata
Definition
Si chiama densità condizionata di X dato Y = y la quantità
fX |Y (x|y ) =
f (x, y )
fY (y )
con fY (y ) > 0.
naturalmente come nel caso discreto continuano a valere il
teorema di Bayes e quello delle probabilitá totali
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Legge dei grandi numeri . . .
Definition
Siano X , X1 , X2 , . . . v.a. . Diremo che Xn converge a X quasi
q.c.
certamente (Xn → X ) se l’insieme degli ω ∈ Ω tali che
lim Xn (ω) = X (ω)
n→∞
ha probabilità 1. Diremo che Xn converge a X in probabilità
P
(Xn → X ) sse per ogni η > 0 fissato si ha che
lim P{|Xn − X | > η} = 0
n→∞
q.c.
P
Se Xn → X allora Xn → X
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. . . Legge dei grandi numeri
Legge dei grandi numeri
Sia {Xn } una successione di v.a. indipendenti ed aventi tutte la
stessa legge. Supponiamo che esse abbiano speranza matematica
µ e varianza finita σ 2 . Allora posto
Xn =
1
· (X1 + . . . + Xn )
n
q.c.
P
si ha X n → µ (e quindi anche X n → µ)
Negli esercizi trovate la dimostrazione che usa la
disuguaglianza di Chebyshev ovvero
P{|X − E [X ]| > η} ≤
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Var [X ]
η2
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Convergenza in legge
Definition
Siano X , X1 , X2 , . . . v.a. reali e indichiamo con F , F1 , F2 . . . le
L
rispettive f.r. . Diremo che Xn converge a X in legge (Xn → X ) sse
lim Fn (x) = F (x)
n→∞
per ogni punto x ∈ R di continuità per F .
La convergenza in legge dipende solo dalla distribuzione delle
v.a. ed è più debole della convergenza in probabilità dunque
L
P
se Xn → X allora Xn → X .
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Teorema del limite centrale . . .
Teorema del limite centrale
Sia {Xn }n una successione di v.a. indipendenti equidistribuite, di
media µ e varianza σ 2 . Allora posto
Sn∗ =
X1 + . . . + Xn − n · µ
√
σ· n
Sn∗ converge in legge ad una v.a. N(0, 1).
Possiamo utilizzare questo risultato per effettuare
approssimazione normali
x −n·µ
x −n·µ
∗
√
√
P{X1 +. . .+Xn ≤ x} = P Sn ≤
'Φ
σ· n
σ· n
dove Φ rappresenta la f.r. della legge N(0, 1).
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. . . Teorema del limite centrale
Nel caso in cui le v.a. Xi assumono solo valori interi
P{X1 + . . . + Xn ≤ n}
per ottenere una migliore approssimazione con la normale
consideriamo
1
P{X1 + . . . + Xn ≤ n + }
2
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