Polinomi

Scuola Secondaria di Primo Grado
CLASSE 3 / A
COLOGNA VENETA
APPUNTI DI
CALCOLO LETTERALE
prof. Sergio Bravin
2. POLINOMI.
1) DEFINIZIONE DI POLINOMIO: Diremo polinomio la somma algebrica di due
o più monomi.
I monomi che compongono un polinomio si dicono termini del
polinomio.
es: 3a2b - 4xy -a4bc3 è un polinomio.
i monomi 3a2b ; - 4xy ; -a4bc3 sono termini del polinomio.
2) DEFINIZIONE DI POLINOMIO RIDOTTO A FORMA NORMALE:
Diremo che un polinomio è ridotto a forma normale se tutti i suoi termini sono
monomi non simili tra di loro.
In base a questa ultima definizione è abbastanza ovvio capire che per ridurre un
polinomio a forma normale è sufficiente ridurre in esso i monomi simili.
Per esempio se si vuol ridurre a forma normale il seguente polinomio:
3ab + 2ab - 3a - 2a
ricordando l'addizione algebrica di monomi simili
3ab + 2ab - 3a -2a = ( 3 + 2 )ab + ( -3 -2 )a = 5ab - 5a ;
Questo procedimento viene detto anche riduzione dei monomi simili.
NOMENCLATURA:
Un polinomio ridotto a forma normale si dice:
binomio
se formato da due soli termini;
trinomio
se formato da tre termini;
quadrinomio se formato da quattro termini;
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e così via. (In generale, quando si hanno oltre quattro termini si parla semplicemente
di polinomio)
Da tutto ciò si può dedurre che un monomio non è nient'altro che un polinomio
avente un solo termine.
3) DEFINIZIONE DI POLINOMIO NULLO: Un polinomio viene detto
polinomio nullo se tutti i suoi termini sono monomi nulli.
0 : polinomio nullo.
Nota Bene: In un polinomio è conveniente omettere i monomi nulli.
es: 2xy + 3xy - 5xy + 2x = (2 + 3 - 5)xy + 2x = 0xy + 2x = 2x ;
4) DEFINIZIONE DI GRADO RELATIVO AD UNA LETTERA : Diremo
grado relativo ad una lettera in un polinomio, non nullo e ridotto a forma normale, il
massimo dei gradi dei suoi termini rispetto a quella lettera.
es: dato il polinomio - 3x3y2z - 4x2y5z + 3xy
grado rispetto alla lettera x è : 3
grado rispetto alla lettera y è : 5
grado rispetto alla lettera z è : 1
anche in questo caso, il polinomio è di grado zero rispetto a tutte le lettere che non
compaiono in nessuno dei suoi termini; il precedente polinomio è di grado zero
rispetto alla lettera a, b, ecc.
5) DEFINIZIONE DI GRADO COMPLESSIVO (O ASSOLUTO) DI UN
POLINOMIO: Diremo grado complessivo (o assoluto), o più semplicemente grado,
di un polinomio, ridotto a forma normale e non nullo, il massimo dei gradi dei suoi
termini.
es: dato il polinomio
3abc3 - 3a3b2c + 5a3c - ab4c3d3
poiché il grado di 3abc3
è: 5
3 2
è: 6
il grado di - 3a b c
3
il grado di 5a c
è: 4
4 3 3
il grado di - ab c d
è : 10
essendo 10 il maggiore fra i precedenti numeri, il grado del polinomio dato sarà 10.
In base a quanto detto finora un numero è anch'esso un polinomio ed avrà
grado 0 (zero).
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es:
- 6 è un polinomio di grado zero.
Nota Bene: Al polinomio nullo non si può attribuire grado.
6) DEFINIZIONE DI POLINOMIO OMOGENEO: Diremo omogeneo un
polinomio in cui tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
es:
a2 + 2ab + b2 ;
ADDIZIONE e SOTTRAZIONE DI POLINOMI.
Come per i monomi l'addizione o la sottrazione di due o più polinomi si esegue
scrivendo i polinomi uno di seguito all'altro preceduti rispettivamente dal segno " + "
o dal segno " - " :
es: dati i polinomi (3ab + 4a + 3c) e (6ab + 5c + 2a)
si scriverà :
(3ab + 4a +3c) + (6ab + 5c + 2a) =
ricordando la regola dei segni davanti parentesi :
= 3ab + 4a + 3c + 6ab + 5c + 2a =
a questo punto si è ricaduti in una situazione conosciuta, cioè riducendo i monomi
simili si ottiene :
= 9ab + 6a + 8 c ;
Quindi:
La somma di due o più polinomi è un polinomio che ha per termini tutti i termini dei
polinomi addendi.
Per eseguire una sottrazione la regola non cambia. Basta solo ricordare che il segno
meno davanti parentesi cambia TUTTI i segni
interni.
es : dati i polinomi ( 6a + 3b - 2c ) e ( 4a - 2b )
si scriverà :
( 6a + 3b - 2c ) - ( 4a - 2b ) =
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ricordando ancora la regola dei segni davanti parentesi :
= 6a + 3b - 2c - 4a + 2b = 2a + 5b - 2c ;
MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI.
Per il prodotto di polinomi bisogna distinguere due casi:
1) prodotto di un polinomio per un monomio;
2) prodotto di due polinomi;
PRIMO CASO:
Ancora in prima media quando si sono studiate le proprietà delle operazioni con
numeri Naturali si è fatto uso di lettere per definire tali proprietà. In particolare si è
definita la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione nel
seguente modo: ( non considerando le condizioni sulle lettere)
a ( b + c ) = ab + ac
oppure
( a + b ) c = ac + bc
il prodotto di un polinomio per un monomio, o viceversa, si esegue esattamente allo
stesso modo. Vale perciò la seguente regola:
REGOLA PER CALCOLARE IL PRODOTTO DI UN POLINOMIO PER UN
MONOMIO: Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio che ha per
termini i monomi ottenuti moltiplicando il monomio per ciascun termine del
polinomio.
es : 3ab ( 2a + 3ab )= 6a2b + 9a2b2 ;
(- ab + c - 2b ) 2bc = - 2ab2c +2bc2 - 4b2c
SECONDO CASO:
Per eseguire il prodotto fra due polinomi consideriamo il
seguente esempio:
( a + b )( c + d ) =
applichiamo la proprietà distributiva immaginando il secondo fattore come un
monomio:
=a(c+d) +b(c+d)=
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a questo punto siamo in grado di proseguire il calcolo. Infatti come nel primo caso:
= ac + ad + bc + bd ;
Vale perciò la seguente regola:
REGOLA PER ESEGUIRE LA MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI: Il
prodotto di due polinomi è un polinomio avente per termini i polinomi che si
ottengono moltiplicando il primo termine del primo polinomio con TUTTI i termini
del secondo polinomio, il secondo termine del primo polinomio ancora con tutti i
termini del secondo, e così via fino al termine degli elementi del primo polinomio. (o
viceversa moltiplicando il primo termine del secondo polinomio per tutti i termini del
primo, e così via ...).
es :
( 2ac - b )(3a + 2ac + 3b ) =6a2c +4a2c2 + 6 abc - 3ab - 2abc - 3b2
PRODOTTI NOTEVOLI.
Molto spesso nelle espressioni di polinomi vi sono dei prodotti particolari di
polinomi. Appunto perchè capitano molto spesso sono degni di nota, cioè notevoli.
Anche se, in ogni caso, valgono le regole per il prodotto di polinomi, è comodo per
tali calcoli definire delle regole pratiche, che vanno ben imparate a
memoria. E` una fatica iniziale che farà,successivamente, risparmiare molta energia,
e non pochi errori di calcolo.
Tali prodotti notevoli sono:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
QUADRATO DI UN BINOMIO.
PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE TERMINI PER LA LORO DIFFERENZA.
CUBO DI UN BINOMIO.
QUADRATO DEL TRINOMIO.
SOMMA DI DUE CUBI.
DIFFERENZA DI DUE CUBI.
1) QUADRATO DI UN BINOMIO.
Consideriamo il binomio ( a + b ) ed eleviamolo alla seconda potenza. Eseguiamo i
calcoli usando la definizione di potenza e la precedente regola per il prodotto di
polinomi.
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( a + b )2 = ( a + b )( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ;
Consideriamo ora il binomio ( a - b ) e, come prima eseguiamo i calcoli:
( a - b )2 = ( a - b )( a - b ) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 ;
Possiamo enunciare la seguente regola:
REGOLA : Il quadrato di un binomio è un trinomio ottenuto eseguendo il quadrato
del primo termine , il doppio prodotto dei due termini ed il quadrato del secondo
termine.
Più sinteticamente :
(a ± b )2
= a 2 ± 2ab + b 2
Vale la pena notare che se i due termini del binomio sono concordi il doppio
prodotto sarà positivo, mentre se sono discordi esso sarà negativo. I quadrati saranno
sempre positivi. Infatti basta ricordare che una potenza con esponente pari è sempre
positiva.
es : ( 3x - 2y ) 2 = ( 3x )2 - 2( 3x )( 2y ) + ( 2y )2 = 9x2 - 12xy + 4y2 ;
( -ab2 - a2 b ) 2= ( -ab2 )2 + 2( -ab2 )( -a 2b ) + ( -a 2b )2 = a2b4 +2a3b3 + a2b4 ;
Dopo i primi esercizi e con un po’ di esperienza, dal testo si calcolerà subito il
risultato tralasciando il passaggio intermedio.
2) PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE TERMINI PER LA LORO
DIFFERENZA.
Siano dati i binomi ( a + b ) e ( a - b ). Calcoliamo con la
regola della moltiplicazione di polinomi il loro prodotto:
( a + b )( a - b ) = a 2 - ab + ab – b2 = a2 - b2 ;
Possiamo enunciare la seguente regola:
REGOLA: Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è il
quadrato del primo termine meno il quadrato del
secondo termine.
Più sinteticamente:
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
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es :
( 3a + 2b )( 3a - 2b ) = ( 3a )2 - ( 2b )2 = 9a2 - 4b2 ;
( xy - a b )( xy + a b ) = ( xy )2 - ( -a b ) 2 = x2 y2 -a2b2 ;
Anche in questo caso, e questo vale anche per i prodotti notevoli seguenti, dopo i
primi esercizi e con un po’ di esperienza, dal testo si calcolerà subito il risultato
tralasciando il passaggio intermedio.
E’ consuetudine chiamare questo prodotto notevole anche DIFFERENZA DI DUE
QUADRATI, considerando il risultato.
3) CUBO DI UN BINOMIO.
Consideriamo il binomio ( a + b ) ed eleviamolo alla terza potenza. Come nel primo
caso utilizziamo la def. di potenza, e la regola del prodotto di polinomi e la regola del
paragrafo 1 :
( a + b )3 = ( a + b )( a + b )2 = ( a + b )( a2 + 2ab + b2 ) =
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ;
Consideriamo ora il binomio ( a - b ) e come prima:
( a - b )3 = ( a - b )( a - b )2 = ( a - b )( a2 - 2ab + b2 ) =
= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 =
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 ;
Vale la seguente regola:
REGOLA: Il cubo di un binomio è un quadrinomio ottenuto eseguendo il cubo del
primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, il
triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo ed il cubo del secondo
termine.
Più sinteticamente:
(a ± b )3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Vale la pena ricordare, e può essere tranquillamente dimostrato eseguendo i calcoli,
che se i termini del binomio sono concordi tutti i termini del risultato sono concordi
ad essi. Se i termini del binomio sono discordi, calcolato il segno del primo termine
del risultato, gli altri segni saranno alterni.
es :
( 3a - 2b )3 = ( 3a )3 - 3( 3a )2 ( 2b ) + 3( 3a )( 2b )2 + ( 2b )3 =
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= 27a3 - 54a2 b + 36ab2 + 8b3 ;
( -x + 3xy2 )3 = ( -x)3 + 3( -x)2( 3xy2 ) + 3(-x)( 3xy2 )2 + (3xy2)3 =
= - x3 + 9x3y2 - 27x 3y4 + 27x3y6 ;
I seguenti prodotti notevoli, come per quello al paragrafo n° 2, è consuetudine
chiamarli come i loro risultati. Si lascia allo studente il divertimento di dimostrarne la
verità (con procedimenti analoghi ai precedenti)
4) QUADRATO DEL TRINOMIO
(a ± b ± c )2
= a 2 + b 2 + c 2 ± 2ab ± 2ac ± 2bc
5) SOMMA DI DUE CUBI
(a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
6) DIFFERENZA DI DUE CUBI
(a − b )(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
E’ utile ricordare anche un ulteriore prodotto notevole che si ottiene moltiplicando i
trinomi presenti nei due prodotti notevoli precedenti:
(a
2
)(
)
+ ab + b 2 a 2 − ab + b 2 = a 4 + a 2 b 2 + b 4
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