Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz

UNIVERSITA’ DI PARMA
FACOLTA’ DI ECONOMIA
Corso di pianificazione finanziaria
A.a. 2003/2004
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
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Indice
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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Le curve di indifferenza sulla
frontiera di Markowitz
• Markowitz ha mostrato l’esistenza della Frontiera Efficiente
• Ma quale portafoglio è preferibile?
• Dipende dall’avversione/propensione al rischio dell’investitore (la
scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza )
E (R)
=
b
=
a
σσ
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1
Come misurare il rischio e il
rendimento di un portafoglio?
• Il rendimento atteso complessivo di portafoglio E[R(p)],
formato dai titoli A e B (con pesi: a + b = 1)
E(Rp) = a · E(RA) + b · E(RB)
• Il rischio del portafoglio è dato dalla varianza σσ ²p:
σσ ²p
= a²·σσ ²A+b²·σσ ²B+2·a·b·σσ A·σσ B·ρρ AB
σσ A : sqm rendimenti titolo A
σσ ²A : varianza rendimenti del titolo A
σσ B : sqm rendimenti del titolo B
σσ ²B : varianza rendimenti del titolo B
ρρ AB : correlazione tra i rendimenti
σσ A·σσ B·ρρ AB: covarianza tra i rendimenti
Le Ipotesi della Capital Market Theory
1. Gli investitori sono razionali
2. Tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo
modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri
3. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valut azione
4. Gli investimenti sono infinitamente divisibili
5. Non esistono costi di negoziazione
6. Non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse o di
inflazione è anticipata
7. I mercati dei capitali sono in equilibrio
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Indice
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital
Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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Investimento al tasso privo di rischio
• Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi
• Tobin ipotizza ora l’esistenza di un titolo caratterizzato da
rischio nullo (σ = 0) che garantisce quindi un rendimento
sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate.
• E’ ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando
quelli sulla frontiera efficiente con il titolo privo di rischio.
σσ ²p
= a²·σσ ²A+b²·σσ ²B+2·a·b·σσ A·σσ B·ρρ AB
La frontiera efficiente diventa una spezzata, è possibile costruire
portafogli caratterizzati da minor rischio a parità
parità di rendimento
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Il teorema della separazione di Tobin
La nuova frontiera efficiente è una spezzata
E (R)
=
b
=
m
a’
=
Rf
=
P’
a
p
=
=
=
σσ
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Indebitamento al tasso privo di rischio
• Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di
rischio.
• Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso
Risk Free, e usare il finanziamento per comprare ulteriori
quote del portafoglio di mercato.
• Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera efficiente
che diventa una semiretta.
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3
La nuova frontiera efficiente: una semiretta
b’
E (R)
=
=
b
=
m
a’
=
Rf
P’
a
p
=
=
=
=
σσ
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La Capital Market Line
R(p) = Rf +
E (R)
R(m) - Rf
σσ (m)
=
σσ (p)
CML
Pendenza CML
R(m)
=
m
Rf = Risk Free Rate
Rf
R(m)= rendimento atteso
del portafoglio di mercato
=
σσ (m)=
σσ (m)
σσ
sqm del portafoglio
di mercato
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Il portafoglio di mercato
• Il portafoglio m , detto Portafoglio di Mercato, è
oggettivamente migliore e domina qualsiasi altro portafoglio.
• La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato
costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è detta Capital
Market Line (CML).
• Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato
da una quota del titolo privo di rischio e da una del
portafoglio di mercato.
• La scelta in merito al portafoglio rischioso diventa oggettiva :
è indipendente dalla propensione al rischio dell’investitore.
• La quota di portafoglio rischioso da detenere dipende dalla
propensione/avversione al rischio del singolo investitore.
= i due momenti decisionali sono “separati”
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Il prezzo di mercato del rischio
• La pendenza della CML è il prezzo di mercato del
rischio: esprime il premio per ogni unità di rischio; misura
quindi l’aumento di rendimento richiesto da un investitore
per assumersi una unità di rischio addizionale.
• Il rendimento di un portafoglio efficiente è determinato
dall’equazione della CML.
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Il teorema della separazione di Tobin
• L’introduzione del tasso privo di rischio e la costruzione della
nuova frontiera efficiente (CML) separa:
– l’individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta
oggettiva indipendente dalla propensione al rischio;
– la scelta soggettiva del posizionamento lungo la CML, cioè
la quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel
titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di
indifferenza).
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Indice
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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Il Capital Asset Pricing Model
• Il portafoglio rischioso è unico!
• Come misurare il contributo di ogni singolo titolo alla
rischiosità del portafoglio di mercato?
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Evoluzione della teoria del rischio finanziario
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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La varianza di un portafoglio: la matrice
varianza-covarianza
σσ ²P
A
= a²·σσ ²A+b²·σσ ²B+ c²·σσ ²C + 2·a·b·σσ AB+2·a·c·σσ AC+2·b·c·σσ BC
A
B
C
a²· σσ ²A
b·a· σσ BA
c·a· σσ CA
B
a·b·σσ AB
b²·σσ ²B
c·b·σσ CB
C
a·c·σσ AC
b·c·σσ AC
c²·σσ²C
a = peso del titolo A nel
portafoglio
b = peso del titolo B nel
portafoglio
c = peso del titolo C nel
portafoglio
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Ipotizziamo che il portafoglio di
mercato sia composto da 8 titoli
Matrice Varianza-Covarianza portafoglio di mercato con 8 titoli.
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
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Aggiungendo il titolo I al portafoglio…
Il contributo del nuovo titolo alla varianza del portafoglio di mercato
è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
B
C
D
E
F
G
H
I
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Il contributo di rischio portato da un
titolo al portafoglio di mercato
• Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è
dato soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze
del titolo con gli altri titoli sul mercato.
• La varianza del titolo ha una componente minima.
• All’aumentare del numero di titoli sul mercato il contributo
della sola varianza diventa sempre più piccolo: in tal modo
viene realizzata la diversificazione
diversificazione.
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Il rischio sistematico e quello
diversificabile
• Il rischio di un qualsiasi portafoglio può essere distinto in
due componenti
– rischio non sistematico (o diversificabile)
– rischio sistematico
• Rischio non sistematico: deriva da fattori legati alla società
emittente il titolo. E’ eliminabile con la diversificazione.
• Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici, è
ineliminabile e corrisponde al rischio del portafoglio di
mercato.
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La riduzione della varianza di un
portafoglio con la diversificazione
σσ
Rischio non sistematico
Rischio sistematico
n
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Evoluzione della teoria del rischio finanziario
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
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Diversificazione e valore
• La diversificazione consente di ridurre il rischio di un
portafoglio di titoli.
• Si può dire allora che un portafoglio ha un valore
maggiore della somma del valore dei singoli titoli ?
(poiché è meno rischioso a parità di rendimento)
No.
• Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore del
fondo è dato dalla somma del valore dei titoli presenti nel
fondo stesso. Non viene riconosciuto nessun premio per la
diversificazione.
• Perché?
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Perché è implicita.
• E’ talmente razionale la diversificazione che il mercato non
la premia.
• E’ al contrario sprovveduto chi non la effettua.
• Il rischio che viene premiato è il contributo fornito dal
singolo titolo al rischio (ineliminabile) del portafoglio di
mercato. Come misurarlo?
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L’intuizione di Sharpe
• Il σσ 2 di un titolo è un indicatore inadatto poiché misura la
componente eliminabile tramite la diversificazione.
• Ciò che conta è l’insieme delle covarianze ponderate del singolo
titolo con tutti gli altri titoli presenti sul mercato.
• L’indicatore migliore è quindi dato dal rapporto della covarianza
tra titolo e mercato con la varianza del mercato: il Beta
Beta.
σσ
(i, m)
σσ 2
(m)
= βi
• Per visualizzare l’equazione che definisce il rapporto rischio
rendimento occorre dunque passare dal piano (R, σσ ) al piano (R,ββ ).
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La Security Market Line
SML
E (R)
Alto
ritorno
R(m) =
MRP
Basso
ritorno
Rf
E[R(i)] = Rf +βi = [ R(m) – Rf]
=
m
Pendenza SML
=
Market risk Premium (MRP)
=
Basso
rischio
β(m) = 1 Alto
rischio
ββ
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L’indice Beta
• La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e
quelli del portafoglio di mercato.
• Il β rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di
un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato.
• Il β del mercato è per definizione pari ad uno poichè la
covarianza tra il mercato e sé stesso è pari alla varianza.
• Il β del mercato è la media ponderata dei β dei diversi
titoli presenti sul mercato.
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Il Beta
• Un titolo che fornisce un modesto contributo al rischio
sistematico del mercato ha un β inferiore ad 1.
• Un titolo che fornisce un grosso contributo al rischio
sistematico del mercato ha un β superiore ad 1.
• Il MRP è il premio per il rischio del mercato, indica quante
unità di rendimento vengono remunerate per essersi
assunti un’unità addizionale di rischio.
• Uno studio dell’Aiaf ha rilevato l’utilizzo di un MRP medio
del 4,5%.
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Applicazioni della SML
• Un’applicazione molto importante della SML è la stima del
costo-opportunità del capitale azionario.
R(i) = Rf +βi = [ R(m) – Rf]
Costo del capitale azionario
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