Trasformazione tra sistemi di coordinate

Trasformazione tra sistemi di coordinate
Sistemi di riferimento
Si definisce sistema di riferimento un insieme di regole e osservazioni che permettono di stimare
coordinate ad una generica epoca.
Un generico Sistema di Riferimento è:
 Definito mediante convenzioni l’insieme delle regole che determinano teoricamente e in
modo univoco la posizione e l’orientamento degli assi
 Realizzato mediante misure le misure che determinano il Sistema di Riferimento

Distribuito  le coordinate dei caposaldi fondamentali
Sistemi di coordinate
Sistemi di coordinate:
-
Coordinate geodetiche / ellissoidiche
 (,,h)
-
Coordinate geocentriche cartesiane  (X,Y,Z)
Definiamo una terna geocentrica cartesiane avente le seguenti caratteristiche:
-
Origine nel centro di massa della terra
-
Asse Z diretto secondo l’asse polare
medio
-
Asse X diretto secondo il meridiano
fondamentale
-
Asse Y in modo da formare una terna
destrorsa
Ed un ellissoide di riferimento
Coordinate geodetiche
-
Latitudine angolo fra la normale all’ellissoide passante per P e il piano equatoriale [X,Y];
-
Longitudine: angolo antiorario fra il piano meridiano per P e il piano meridiano origine
[X,Z];
-
Quota h: (quota ellissoidica) distanza lungo la normale all’ellissoide fra l’ellissoide stesso e
P.
Coordinate cartesiane
Lunghezza delle proiezioni ortogonali del punto P sui tre assi.
1
Trasformazione tra sistemi di coordinate
Trasformazione di coordinate: da geodetiche a cartesiane geocentriche.
Date le coordinate geodetiche di un punto P(,λ,h) rispetto ad un dato ellissoide, di cui sono noti:
-
semiasse maggiore a
-
schiacciamento f = (a-b)/a = 1 – b/a
le coordinate di P nel sistema cartesiano geocentrico associato all’ellissoide sono legate a quelle
geodetiche dalle relazioni seguenti:
X = (RN + h) cos ( ) cos ( )
Y = (RN + h) cos ( ) sin ( )
Z = [ R N (1 - e2 ) + h] sin ( )
in cui:
RN è la grannormale, e2 è l’eccentricità dell’ellissoide e b il suo semiasse minore.
RN 
a
1  e 2 sin2 
a 2  b2
b2
e 
 1  2  1  (1  f )2
2
a
a
2
Esempio
Le coordinate geodetiche di un punto P, rispetto all’ellissoide di GRS80, sono:
P(,λ,h) =( 45°4’48.308’’ , 7°46’5.093’’ ,310.764 m)
I parametri dell’ellissoide sono:
a = 6378137m
f = 1/ 298.257222101
Ricavare le coordinate cartesiane geocentriche XYZ di P.
1 - Trasformiamo latitudine e longitudine da gradi sessagesimali a sessadecimali e quindi
in
radianti.

Da sessagesimali a sessadecimali: GRA° PRI‘ SEC,ddd’’  GRA,dddddd°
2
Trasformazione tra sistemi di coordinate
GRA,dddddd° = GRA + PRI/60 + SEC/3600
LAT(sessadec)=45 + 4/60 + 48.308/3600 = 45.0800855556°
LON(sessadec)=7 + 46/60 + 5.093/3600 = 7.7680813889°

Da sessadecimali a radianti:
RADrad = GRA,dddddd°  /180
LAT(rad)= 45.0800855556° /180= 0.786795920 rad
LON(rad)= 7.7680813889° /180 = 0.135578597rad
2 - Calcoliamo eccentricità e2ed RN e quindi le coordinate:
e2 =1-(1-f)2=1-(1-1/298.257222101)2=0.00669438
RN 
a
1  e sin 
2
2

6378137
1  0.00669438 sin2 0.786795920
 6388868.28 13 m
X = (RN + h) cos ( ) cos ( ) 
 (6388868.28 13  310 .764 )  cos(0.786795920 ) cos(0.135578597 )  4470111.75 4m
Y = (RN + h) cos ( ) sin ( ) 
(6388868.28 13  310 .764 )  cos(0.786795920 ) sin(0.135578597 )  609792.377 m
Z = [ R N (1 - e2 ) + h] sin ( ) 
 [6388868.2 813(1  0.00669438 )  310 .764 ]sin(0.786795920 )  4493857.38 9m
3
Trasformazione tra sistemi di coordinate
Trasformazione di coordinate: da cartesiane geocentriche a geodetiche
Date le coordinate di un punto P(X,Y,Z) nel sistema cartesiano geocentrico associato a un ellissoide
di riferimento, di cui sono noti:
-
semiasse maggiore a
-
schiacciamento f = (a-b)/a = 1 – b/a
le coordinate geodetiche P(,λ,h) possono essere calcolate in modo diretto utilizzando le formule
di Bowring oppure utilizzando il metodo iterativo.
Formule di Bowring:
Y
X
Z  e'2b sin3 
 = arctan
  e 2a cos3 
  arctan
h

cos
 RN
dove:
  (RN  h) cos  X 2  Y 2
tan =
e '2 
Z
 1  e2
a 2  b2 a 2
1
 2 1 
1
2
b
b
(1  f )2
Esempio
Le coordinate cartesiane geocentriche di un punto P sono:
X = 4470111.754m
Y = 609792.377m
Z = 4493857.389m
Ricavare le coordinate geodetiche dello stesso punto P rispetto all’ellissoide GRS80 i
cui parametri dell’ellissoide sono:
a = 6378137 m,
f =1/298.257222101
4
Trasformazione tra sistemi di coordinate
1 - Ricaviamo la longitudine in radianti:
  arctan
Y
609792.377
 arctan
 0.13557859 7 rad
X
4470111.75 4
2 - Quindi la trasformiamo in sessadecimali e poi in sessagesimali:
GRA,XXX° = RADRAD 180/= 0.135578597 rad 180/= 7.768081389°
GRA = int(GRA,XXX°)= int(7.768081389°)=7°
PRI = int((GRA,XXX°-GRA°)60)=int((7.768081389° - 7°) 60)=46’
SEC = [(GRA,XXX°-GRA°)60-PRI’]60’’=[(7.768081389° - 7°) 60-46’]60=5.0930’’
λ= 7°46’ 5.09’’
3 - Determiniamo quindi le seguenti quantità ausiliarie:
  (RN  h) cos  X 2  Y 2  4470111.75 4 2 609792.377
tan =
Z
 1e
2

2
 4511512.58 9m
4493857.38 9
 0.99943755 9
4511512.58 9 1 - 0.00669438
ψ = arctan(0.999437559)= 0.785116864 rad
a 2  b2 a 2
1
1
e 
 2 1 
1 
 1  0.00673950
2
2
b
b
(1  f )
(1  1 / 298.257222 101 )2
'2
f 1
b
1
 b  a(1  f )  6378137 (1 
)  6356752.31 4 m
a
298.257222 101
4 - La latitudine è:
 = arctan
Z  e'2b sin3 
4493857.38 9  0.00673950  6356752.31 4sin3 0.78511686 4

arctan
  e2a cos3 
4511512.58 9 - 0.00669438  6378137cos 3 0.78511686 4
 = 0.78679592rad
5 - Trasformiamo in sessadecimali e poi in sessagesimali:
GRA,XXX° = RADRAD 180/= 0.78679592 rad 180/=45.08008556°
5
Trasformazione tra sistemi di coordinate
GRA = int(GRA,XXX°)= int(45.08008556)=45°
PRI = int((GRA,XXX°-GRA°)60)=int((45.08008556-45°)60)=4’
SEC = [(GRA,XXX°-GRA°)60-PRI’]60’’=[(45.08008556°-45°)60-4’]60=48.308’’
 = 45°4’ 48.308’’
6 - La grannormale è:
a
RN 
1  e sin 
2
2

6378137
1  0.00669438 sin2 0.78679592
 6388868.28 13 m
da cui ricaviamo l’altezza ellissoidica h:
h

cos
 RN 
4511512.58 9
 6388868.28 13  310.764m
cos 0.78679592
Metodo iterativo:
Y
X
Z

RN i  1  hi  1

 i = arctan 
2

  RN i  1 (1  e )  hi  1 
a
RN i 
1  e 2 sin2  i
  arctan
hi 

cos i
 RN i
Step 1:
ipotizzo h=0.

RN i  1  hi  1


Z
  arctan
 
2
2

  (1  e ) 
  RN i  1 (1  e )  hi  1 
Z
1 = arctan

4493857.38 9


 arctan
  0.78007929 8rad
 4511512.58 9(1  0.00669438 ) 
a
6378137
RN 1 

 6388724.17 1m
2
2
1  e sin  1
1  0.00669438 (sin2 0.78007929 8)
h1 

4511722.22 7
 RN 1 
 6388724.17 1  -42148.529 97m
cos 1
cos(0.7800 79298)
6
Trasformazione tra sistemi di coordinate
Step 2:

RN 1  h1
 
2
  RN 1 (1  e )  h1 
6388724.17 1  (-42148.529 97)
 4493857.38 9

 arctan

  0.78681846 3rad
 4511512.58 9 6388724.17 1(1  0.00669438 )  (-42148.529 97) 
a
6378137
RN 2 

 6388868.76 5m
1  e 2 sin2  2
1  0.00669438 (sin2 0.78681846 3)
Z
 2 = arctan
h2 


4511512.58 9
 RN 2 
 6388868.76 5  454.722m
cos 2
cos(0.7868 18463)
Step 3:

RN 2  h2
 
2
  RN 2 (1  e )  h2 
Z
 3 = arctan

6388868.76 5  454.722
 4493857.38 9

 arctan

  0.78679584 4rad
 4511512.58 9 6388868.76 5(1  0.00669438 )  454.722 
a
6378137
RN 3 

 6388868.28 m
2
2
1  e sin  3
1  0.00669438 (sin2 0.78679584 4)
h3 

4511512.58 9
 RN 3 
 6388868.28  310.279m
cos 3
cos(0.7867 95844)
Step 4:

RN 3  h3

2


R
(
1

e
)

h
N3
3 

6388868.28  310.279
 4493857.38 9

 arctan

  0.78679592 rad
 4511512.58 9 6388868.28 (1  0.00669438 )  310.279 
a
6378137
RN 4 

 6388868.28 1m
2
2
1  e sin  4
1  0.00669438 (sin2 0.78679592 )
Z
 4 = arctan
h4 


4511722.22 7
 RN 4 
 6388868.28 1  310.766m
cos 4
cos(0.7867 9592)
7
Trasformazione tra sistemi di coordinate
Step 5:

RN 4  h4
 
2
  RN 4 (1  e )  h4 
6388868.28 1  310 .766
 4493857.38 9

 arctan

  0.78679592 rad
 4511512.58 9 6388868.28 1(1  0.00669438 )  310 .766 
a
6378137
RN 5 

 6388868.28 1m
1  e 2 sin2  5
1  0.00669438 (sin2 0.78679592 )
Z
5 = arctan
h5 


4511722.22 7
 RN 5 
 6388868.28 1  310.764m
cos 5
cos(0.7867 9592)
Step 6:

RN 5  h5

2


R
(
1

e
)

h
N
5
5


6388868.28 1  310 .764
 4493857.38 9

 arctan

  0.78679592 rad
 4511512.58 9 6388868.28 1(1  0.00669438 )  310 .764 
a
6378137
RN 6 

 6388868.28 1m
2
2
1  e sin  6
1  0.00669438 (sin2 0.78679592 )
Z
 6 = arctan
h6 


4511722.22 7
 RN 6 
 6388868.28 1  310.764m
cos 6
cos(0.7867 9592)
Trasformiamo in sessadecimali e poi in sessagesimali:
GRA,XXX° = RADRAD 180/= 0.78679592 rad 180/=45.08008556°
GRA = int(GRA,XXX°)= int(45.08008556)=45°
PRI = int((GRA,XXX°-GRA°)60)=int((45.08008556-45°)60)=4’
SEC = [(GRA,XXX°-GRA°)60-PRI’]60’’=[(45.08008556°-45°)60-4’]60=48.308’’
 = 45°4’ 48.308’’
Le coordinate del punto P sono ( = 45°4’ 48.308’’, λ= 7°46’ 5.09’’, h=310.764)
8