Coordinate, legge oraria, traiettoria Coordinate, legge oraria, traiettoria

Fisica 1
F.Bloisi
0.2.__
[
]
.
v07
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Fisica 1
F.Bloisi
[Sommario]
Sommario
Punto materiale
Posizione / Gradi di libertà
Coordinate cartesiane ortogonali / Coordinate polari
Cambiamento di coordinate nel piano
Traslazione / Rotazione
Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio
Coordinate cilindriche
Coordinate sferiche
Cambiamento di coordinate nello spazio
Legge oraria / Traiettoria
v07
Coordinate, legge oraria, traiettoria
0.2.00
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Cinematica
studio del moto di oggetti indipendentemente dalle
cause che lo determinano
Punto materiale
un oggetto tale che
● le sue dimensioni
lineari sono piccole rispetto
alla precisione con cui interessa conoscerne la
posizione ed alle altre lunghezze presenti
● è possibile trascurarne le rotazioni
11
Distanza Terra-Sole: 1.50 10 m
Diametro Sole:
1.39 109 m
Diametro Terra:
1.28 107 m
(non visibile in questa scala)
Nello studio del moto della Terra intorno al Sole, se non ci
interessa il loro moto di rotazione intorno ai propri assi,
Realtà fisica:
Sole, Terra
Teoria fisica:
punti materiali
v07
Punto materiale
0.2.01
In cinematica utilizzeremo due
sole grandezze fisiche fondamentali:
●
la lunghezza
●
il tempo
Un punto materiale è caratterizzato esclusivamente dalla
sua posizione nello spazio e
dalla possibilità di muoversi al
trascorrere del tempo.
Le uniche ipotesi che facciamo
sono, dunque, l'esistenza di uno
spazio e di un tempo assoluti,
indipendenti dalla presenza o
meno di oggetti materiali.
Queste ipotesi, per quanto
possano sembrare ovvie, sono
valide solo in meccanica classica.
Modello matematico: punti geometrici
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Posizione
v07
Posizione / Gradi di libertà
0.2.02
Su di una linea è necessaria 1
coordinata (1 GdL)
Assegnato un sistema di riferimento (o sistema di
coordinate) la posizione di un punto materiale è Coordinata curvilinea (s)
individuata dalle sue coordinate.
Nel piano sono necessarie 2
●
La posizione di un punto materiale nello spazio è una
grandezza fisica che non può essere rappresentata con
un solo numero reale, ossia non è uno scalare.
Gradi di Libertà (GdL)
Il numero di grandezze scalari indipendenti che è
necessario fornire per individuare univocamente la
posizione di un punto materiale o, più in generale,
lo stato di un sistema.
●
●
●
●
●
un vagone ferroviario ha 1 GdL
una nave (solo posizione) ha 2 GdL
una nave (posizione ed orientamento) ha 3 GdL
(precisare la rotta richiede un altro valore numerico)
un aereo (solo posizione) ha 3 GdL
un aereo (posizione ed orientamento) 6 GdL
(posizione + angoli di virata, cabrata ed impennata)
coordinate (2 GdL)
●
Coordinate cartesiane (x, y)
●
Coordinate polari (r, ϑ)
Nello spazio sono necessarie 3
coordinate (3 GdL)
●
Coordinate cartesiane (x, y, z)
●
Coordinate cilindriche (r, ϑ, z)
●
Coordinate sferiche (ρ, ϑ, ϕ)
Nota: Nel seguito, salvo poche
eccezi-oni, tratteremo “moti
piani” o “bidimensionali” (es.:
moto di un grave, moto su di
un piano inclinato, etc.).
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Coordinate cartesiane ortogonali
un punto, O, origine
● due assi orientati e graduati, x ed y, aventi
la medesima origine, O, e tra loro
ortogonali
v07
Coordinate cartesiane ortogonali / Coordinate polari
y
●
­∞≤x≤∞
­∞≤ y≤∞
P
yP
x
La posizione del punto P è individuata da
● x : distanza orientata, misurata dall'origine,
P
della proiezione di P sull'asse x
● y : distanza orientata, misurata dall'origine,
P
della proiezione di P sull'asse y
O
xP
0≤r P≤∞
­≤P≤
Coordinate polari
un punto, O, polo
● una direzione di riferimento
●
La posizione del punto P è individuata da
● r :
P distanza dall'origine
● ϑ : angolo (orientato) tra OP e la direzione
P
di riferimento
Nota: la curva r = cost è una circonferenza.
rP
O
P
P
rP
v07
Cambiamento di coordinate nel piano
y
x P =r P cos  P
y P =r P sin P
Da coordinate cartesiane ortogonali
a coordinate polari
r P= x P  y P
2
r
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Da coordinate polari
a coordinate cartesiane ortogonali
0.2.03
xP
rP
P
0.2.04
P
yP x
O
2
 P nel II quadrante
 P =arctan  x P / y P 0 P nel I o IV quadrante
­ P nel III quadrante
Attenzione: la funzione arco-tangente
(arctan, funzione inversa della funzione
tangente, tan) dà come risultato un angolo tra
−π/2 e +π/2 (I e IV quadrante).
I quadrante
II quadrante
0≤x
­∞≤x P≤0
P ≤∞
0≤ y P ≤∞
0≤ y P≤∞
/2≤P ≤ 0≤P≤/ 2
III quadrante IV quadrante
­∞≤x P≤0
0≤x P ≤∞
­∞≤ y P≤0
­∞≤ y P ≤0
­≤P≤­/ 2 ­/2≤P≤0
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
v07
Traslazione / Rotazione
y y'
P
y P y' P
y O'
O' x' P x '
x O' x P x
O
Più osservatori possono descrivere il medesimo fenomeno
fisico in sistemi di coordinate differenti.
●
Solidali tra loro:
xO', yO', ϑ0 costanti
●
In moto l'uno rispetto all'altro:
xO', yO', ϑ0 funzioni del tempo
Traslazione (assi omologhi paralleli e concordi)
x ' P =x P ­x O'
y ' P = y P­ y O'
y' y
Rotazione (origini coincidenti)
r ' P =r P
' P=P ­0
x ' P =x P cos 0  y P sin  0
y ' P=­x P sin 0  y P cos 0
0.2.05
yP
y' P
O
0
P x'
x' P
xP
x
Nota: il caso più generale può essere ottenuto come una traslazione seguita da una rotazione, per
cui si parla di rototraslazione.
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Coordinate cartesiane ortogonali (3D)
●
●
un punto, O, origine
tre assi orientati e graduati, x, y e z, aventi
la medesima origine, O, e tra loro
ortogonali
La posizione del punto P è individuata da
● x : distanza orientata, misurata dall'origine,
P
della proiezione di P sull'asse x
● y : distanza orientata, misurata dall'origine,
P
della proiezione di P sull'asse y
● z :
P distanza orientata, misurata dall'origine,
della proiezione di P sull'asse z
zP
x
P
z
x
y
yP
xP
O
0.2.06
­∞≤x P ≤∞
­∞≤ y P ≤∞
­∞≤z P ≤∞
z
O
Attenzione: tra tutte le possibili terne di
assi tra loro ortogonali esistono due tipi
differenti, tra loro non sovrapponibili, dette
destrogira e levogira.
Nel seguito prenderemo in considerazione
esclusivamente terne levogire.
v07
Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio
z
y
sistema di coordinate
levogiro
y
O
x
sistema di coordinate
destroogiro
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
v07
Coordinate cilindriche
Coordinate cilindriche
●
[Approfondimento]
●
un sistema di coordinate polari nel piano
un asse, z, ortogonale al piano orientato in
modo da vedere gli angoli positivi in verso
antiorario
La posizione del punto P è individuata da
● r : come nelle coordinate polari
P
● ϑ : come nelle coordinate polari
P
● z :
P come nelle coordinate cartesiane
Nota:
il nome di coordinate cilindriche deriva dal
fatto che la curva r = cost è un cilindro.
z
zP
O
x
0≤r P ≤∞
­/ 2≤P ≤/2
­∞≤z P ≤∞
P
y
P r P
Le coordinate cilindriche sono particolarmente utili quando il problema presenta simmetria cilindrica, ossia quando un'arbitraria rotazione intorno ad
un particolare asse (asse di simmetria)
lascia il problema identico a sé stesso.
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Coordinate sferiche
v07
Coordinate cilindriche / Coordinate sferiche
un punto, O, centro
un piano (equatoriale, xy nel disegno)
● un semipiano (meridiano, xz nel disegno)
z
●
[Approfondimento]
●
La posizione del punto P è individuata da
● ρ : distanza dall'origine
P
● ϑ : come nelle coordinate polari
P
● ϕ : angolo formato da OP rispetto all'asse z
P
Nota:
il nome di coordinate sferiche deriva dal fatto
che la superficie ρ = cost è una sfera.
0.2.07
P
0.2.08
0≤r P ≤∞
­≤P≤
0≤P≤
P P
O
x
P
y
Le coordinate sferiche sono particolarmente utili quando il problema presenta simmetria sferica.
Attenzione: le coordinate sulla superficie della Terra sono simili alle
coordinate sferiche con
● la quota sul livello del mare è h = ρ – R , dove ρ è la distanza dal centro della
T
Terra ed RT è il raggio della Terra
●
●
la longitudine è ϑ (Est: positiva, Ovest, negativa)
la latitudine λ = π/2 – ϕ (Nord: positiva, Sud: negativa)
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
v07
Cambiamento di coordinate nello spazio
0.2.09
Coordinate cilindriche ↔ Coordinate cartesiane ortogonali
r P= x P  y P
2
 P nel II quadrante
 P =arctan  x P / yP 0 P nel I o IV quadrante
­ P nel III quadrante
z P= z P
Coordinate sferiche ↔ Coordinate cartesiane ortogonali
P= x P y P z P
 P nel II quadrante
P=arctan x P / y P 0 P nel I o IV quadrante
­ P nel III quadrante
zP
P =arccos 2 2 2
 x P yPz P
2
x P =P sin P cos P
y P=P sin  P sin P
z P=P cos P
2
2
Attenzione: la funzione arctan dà come risultato un angolo tra −π/2 e +π/2.
Fisica 1
F.Bloisi
Coordinate, legge oraria, traiettoria
Legge oraria / Traiettoria
v07
[Consultazione]
x P =r P cos P
y P=r P sin P
z P= z P
2
Legge oraria
Funzione che associa a ciascun istante la
posizione occupata, in quell'istante, dal
punto materiale.
La legge oraria descrive in modo completo il
moto del punto materiale.
x P t 
y P t
r P t
 P t 
0.2.10
x
x*
y*
t
t*
y
t
Traiettoria
Insieme dei punti dello spazio occupati, nei
diversi istanti, dal punto materiale durante
il moto.
La traiettoria (fornisce meno informazioni
della legge oraria) può essere ricavata dalla
legge oraria, ma non viceversa.
y P  x P
r P P 
Nel seguito tratteremo, salvo qualche eccezione, “moti
piani” o “bidimensionali” (es.: moto di un grave, moto
su di un piano inclinato, etc.).
y
y*
t*
x*
x