Lezione 6

Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni
arbitrarie
In molte applicazioni pratiche l’eccitazione dinamica non è né
armonica nè periodica.
È necessario dunque sviluppare una procedura generale per
analizzare la risposta dell’oscillatore semplice caratterizzato dalla
seguente equazione del moto e con condizioni iniziali nulle:
equation of motion
initial conditions
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni
arbitrarie
Equazione del moto
Condizioni iniziali
Nello sviluppo della soluzione generale, P(t) viene interpretata
come una sequenza di impulsi di durata infinitesima e la
risposta del sistema come la somma delle risposte ad ognuno
di questi impulsi.
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni
arbitrarie
Risposta all’impulso unitario
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni
arbitrarie
Forza impulsiva: una forza molto grande che agisce in un tempo
piccolo ma il cui integrale sul tempo è finito
Forza con durata  che parte
all’istante t=.
 →0 p(t)→
 L’ampiezza
dell’impulso,
definita
dall’integrale di p(t), rimane uguale
all’unità.
 Nel caso limite →0 : impulso unitario
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni
arbitrarie
Se una forza p agisce su un corpo di massa m, la
variazione di momento della quantità di moto del
corpo è pari alla forza applicata (seconda legge di
Newton):
Se la massa è costante, integrando entrambi i
membri si ottiene::
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Ampiezza dell’impulso
momento
L’ampiezza dell’impulso è pari alla variazione di momento
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Questo risultato è applicabile ad un oscillatore semplice se la
rigidezza e lo smorzatore non entrano in gioco
Infatti la forza agisce per un tempo infinitesimo tale che la rigidezza
e lo smorzatore non hanno il tempo di rispondere.
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
L’impulso unitario al tempo t= impartisce alla massa, m, la velocità:
ma lo spostamento è nullo prima e dopo l’impulso:
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Un impulso unitario causa quindi uno stato di oscillazioni libere
caratterizzato dalle seguenti condizioni iniziali:
 quindi la risposta per un sistema non smorzato è:
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Condizioni iniziali causate dall’impulso unitario:
 per un sistema smorzato la risposta è:
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
h(t-): funzione di risposta all’impulso unitario
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Risposta ad una forzante arbitraria
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
La forza p(t) variabile arbitrariamente con il tempo può essere
rappresentata come una sequenza di impulsi infinitesimi.
La risposta di un sistema dinamico a comportamento lineare a
uno di questi impulsi, quello al tempo t di intensità p()d, è
proprio questo valore per la funzione impulso unitario:
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
La risposta del sistema al tempo t è la somma delle risposte a
tutti gli impulsi fino a questo istante
Integrale di convoluzione
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Integrale di convoluzione
Specializzando l’integrale di convoluzione al caso dell’oscillatore
semplice:
(sistema smorzato)
(sistema non smorzato)
Integrale di Duhamel
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Integrale di Duhamel
note:
 Se si tiene conto delle condizioni iniziali devono
essere considerate le vibrazioni libere legate a
queste
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Integrale di Duhamel
note:
 L’integrale di Duhamel fornisce una soluzione generale per valutare la
risposta di un oscillatore semplice a comportamento lineare soggetto ad
una forzante arbitraria: questo risultato è valido solo per I sistemi a
comportamento lineare poichè si basa sul principio della sovrapposizione
degli effetti.
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Duhamel’s integral
note:
 Se p(t) è una funzione semplice si può eseguire
l’integrazione in forma chiusa. In questo caso l’integrale
di Duhamel può essere visto come una forma alternativa
di risoluzione delle equazioni differenziali.
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
esempi
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Problema:
Derivare la risposta dell’oscillatore semplice soggetto alla
funzione gradino utilizzando l’integrale di Duhamel assumendo
condizioni iniziali nulle.
Lezione 6
Oscillatore
semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie
Problema:
Derivare la risposta dell’oscillatore soggetto alla forza gradino
utilizzando l’integrale di Duhamelassumendo condizioni iniziali
nulle e rapporto di smorzamento =5%.
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