04.23-25-6_distributori a cassetto gruppo cassetto

Facoltà di ingegneria Università di Bologna
Laurea specialistica in Ingegneria Meccanica (xxx)
A-A 2010-2011 - Corso: xxx
Oleodinamica e pneumatica M
Docente: prof. Ing. Giovanni NALDI
DIEM viale del Risorgimento, 2 40136 BOLOGNA BO
Tel. 051-2093312, Fax 051-2093313
e-mail: [email protected]
Sito web: http//www.diem.ing.unibo.it/personale/naldi
04.23-25-6_distributori a cassetto
gruppo cassetto-motore rev. 10 Nov. 2010
Sistema cassetto motore
A0 = area luce in posizione centrata
a = perimetro contorno luce
A1 = A3 = A0 + ax
A2 = A4 = A0 − ax
qa = q1 − q4
q b = q3 − q 2
(qa = qb = q )
q1 − q4 = q3 − q2
q1 − q3 = q4 − q2
Cassetto a 4 spigoli pilotanti a ricoprimento negativo
2
Schema idraulico
p0
q1
q2
q
pb
pa
q3
q4
ps = 0
3
p0
Cadute di pressione
qi = α i ( A0 ± ax ) 2
∆p i
ρ
α i = cost (i = 1, 2, 3, 4)
q1
q2
q
pb
pa
q3
q4
ps = 0
q1 = q3 ∆p1 = ∆p3
q 4 = q 2 ∆p 4 = ∆p 2
p0 − p S = p0 = ∆p1 + ∆p4 = ∆p3 + ∆p2
4
Osservazione:
p0
q1
Si può affermare che:
q1 − q3 = q4 − q2 = 0
q2
q
pb
pa
Infatti, se fosse:
q1 > q3
q3
q4
ps = 0
q4 > q2
Per la:
qi = α i ( A0 ± ax ) 2
e quindi l’assurdo seguente:
∆p i
ρ
Si avrebbe:
∆p1 > ∆p3
∆ p 4 > ∆p 2
p0 = ∆p1 + ∆p4 > ∆p3 + ∆p2 = p0
5
Equilibrio del pistone
F = ( p a − pb ) S = p S
Avendo posto:
p = p a − pb
qa = q1 − q4 = α ( A0 + ax ) 2
∆p1
ρ
− α ( A0 − ax ) 2
∆p4
ρ
∆p1 = p0 − pa
∆p 4 = p a − p s = p a
6
Diagramma delle pressioni
Ricordando che:
p = p a − pb
pb = p a − p
p0 /2
0 < pb , p a < p0
p /2
e che:
per
pb = 0, pa = p0
per
pa = 0, pb = p0
si ha:
p0 − p
∆p1 = p0 − pa =
2
p0 + p
∆p 4 = p a − p s =
2
7
Portata
qa = q1 − q4

p0 − p 
p0 + p 
a 
a 
− 1 −
qa = αA0 1 +
x  2
x  2

2ρ
A0 
2ρ 
A0 


Posto:
qa = αA0
a
1
=
A0 x m
si ha:
p 0 
x 
p 
x 
p 
 1 −
 1 +
− 1 −
1 +

p0 
xm 
p0 
ρ  x m 
8
Portata adimensionale
qa _ rif = αA0
q* =
qa
qa _ rif
p0
ρ
= αA0
p0
2
2ρ
Portata in posizione centrale
con pressione p0/2

x 
p 
x 
p
 1 −
 1 +
= 1 +
− 1 −
xm 
p0 
xm 
p0

Equazione caratteristica del cassetto in coordinate ridotte:
q* = (1 + x *) 1 − p * − (1 − x *) 1 + p *
9
Caratteristica 4SP
per
p
− 0.6 <
< 0.6
p0
le curve caratteristiche
possono essere approssimate
con linee rette
Si può operare una
linearizzazione in
un punto:
10
Linearizzazione
 ∂q * 
 ∂q * 
*
*
 p * − p0
q* = 
 x * − x0 + 
 ∂x * 
 ∂p * 
q* = k x x * − k p p *
(
Derivate parziali nell’origine
)
(
)
x * − x0* = x *
p * − p0* = p *
 ∂q * 
=2


 ∂x *  xp**==00
Equazione caratteristica del cassetto in
coordinate ridotte, linearizzata nell’origine:
 ∂q * 
= −1


 ∂p *  xp**==00
q* = 2 x * − p *
11
Cassetto 4 SP ricoprimento nullo
A0 = area di
massima apertura
delle luci (x =xm )
q = q1 = q3 per x > 0
q = q4 = q2 per x < 0
qa _ rif = αA0
p0
ρ
12
4 SP ricoprimento nullo
x>0
q = q1 = α ax 2
q* =
x<0
( p < 0)
qa
qa _ rif
q* =
qa _ rif
ρ
p0 − p
∆p1 = p0 − p a =
2
x
p
=
1−
= x * 1− p *
xm
p0
q = q2 = α ax 2
qa
∆p1
∆p 2
ρ
p0 + p
∆p 2 = p 0 − p b =
2
x
p
=
1+
= x * 1+ p *
xm
p0
13
Caratteristica 4SP ric. nullo
q* = x * −0 p *
q* = x * − k p p *
kp ≈ 0
Caratteristica teorica
(assenza di trafilamenti)
Caratteristica reale
(con trafilamenti)
14
Equilibrio del pistone:
p0 S '+ F = pS
2 Spigoli Pilotanti
S' = S / 2
Posto p = p0 quando la luce 2 è chiusa
Si ottiene:
q
p0 S / 2 + F = p0 S
F = p0 S / 2
In posizione centrata, p = p0/2
in assenza della forza F
Si ha equilibrio per S’ = S/2
Infatti:
S
S’
p0
S
p0 + 0 =
S
2
2
15
2 SP
Schema idraulico
equivalente
q
q = q1 − q2 = α1 A1 2
Posizione di
riferimento a
cassetto centrato
p
p
p0 − p
ρ
− α 2 A2 2
p
qa _ rif = αA0
p0
ρ
ρ q* = q
α1 = α 2 ; A1 = A0 + ax; A2 = A0 − ax

p
p
q* = (1 + x *) 21 −  − (1 − x *) 2
p0 
p0

qa _ rif
x
x* =
xm
16
2 SP
Linearizzando nel punto (0.5,0) si ottiene:
q* = 2 x * −2 p *
Il cassetto presenta un valore di kp = 2 e
pertanto è meno rigido dei precedenti può
inoltre vincere una forza massima pari
alla metà di quella sopportabile dal 4SP
17
Cassetto a uno spigolo pilotante
q
A0 = sezione di passaggio dello strozzamento fisso
q = q0 − q1 = α 0 A0 2
p0 − p
ρ
α 0 A0
α1a1 xm = α 0 A0 ⇒ xm =
α1a1
− α 1a ( x m − x ) 2
p
ρ
18
1 SP

p 
x 
p




q* = 21 −  − 1 −
2

p0  
xm 
p0

q* = 2(1 − p *) − (1 − x *) 2 p *
Equazione caratteristica del
cassetto in coordinate ridotte,
linearizzata nel punto (0, 0.5)
q* = x * −2( p * −0.5)
dp*= p*-0.5
il cassetto è poco rigido
(come il 2 SP) e meno sensibile
19
Cassetto motore in transitorio
Equazione del cassetto (linearizzata)
q = k x x − k p p;
p = p a − pb
Portata entrante nel motore
q = q1 + q fuga + qcompr
Portate di:
dy
q1 = A
dt
q fuga = k f p
qcompr
V dp
=
4 β dt
spostamento
fuga
Portata complessiva in trasformata
V
Q = AYs + k f P +
Ps
4β
comprimibilità§
20
Cassetto motore (1)
(§) Portata di comprimibilità
IPOTESI:
Cassetto in posizione centrale
q
Il coefficiente di comprimibilità
tiene conto anche della deformabilità
del cilindro
dVa Va dp a
=
qcompr =
dt
β dt
p0 + p
V
Va = ; p a =
2
2
qcompr
V dp
=
4 β dt
dV
dp
⇒ dVa =
; dp a =
2
2
21
Cassetto motore (2)
p = p a − pb
+
Equazione del moto del pistone
2
d y
dy
pA = F + m 2 + ρ
dt
dt
22
Cassetto motore (trasformate) (1)
1) portata uscente
dal cassetto
2) portata entrante
nel cilindro
3) equilibro dinamico
del pistone
Q = kx X − k p P
V
Q = AYs + k f P +
Ps
4β
PA = F ( s) + mYs + ρYs
2
23
Cassetto motore (trasformate) (2)
eliminando Q
dalle 1) e 2)
precedenti si
ricava la relazione
fra X, Y e P:
3) equilibro dinamico
del pistone
V
k x X − k p P = AYs + k f P +
Ps
4β
V
k x X − AYs = k p P + k f P +
Ps
4β

V
k x X − AYs = (k p + k f ) +
4β


s P

PA = F ( s ) + (ms + ρs )Y
2
24
Schema a blocchi (1)
dall’ultima equazione si può ricavare lo spostamento dello stelo
in funzione della pressione nel cilindro P e del disturbo esterno F

V
k x X − AsY =  (k p + k f ) +
4β

PA = F ( s ) + ms 2 + ρ s Y
(
)

s P

k x X − AsY
P=
V
(k p + k f ) + 4 β s
PA − F ( s )
Y=
ms 2 + ρ s
25
Schema a blocchi (2)
X
kx
+
V
(k p + k f ) + 4 β s
P=
k x X − AsY
(k p + k f ) + 4Vβ s
X
-
1
P
A
F
+
Y=
PA − F ( s )
ms 2 + ρ s
1
ms 2 + ρ s
Y
As
1
kx A
+
-
V
(k p + k f ) + 4 β s
+
F
1
ms 2 + ρ s
Y
As/kx
26
Schema a blocchi (3)
-
kx A
X +
-
V
(k p + k f ) + s
4β
F
+
1
ms 2 + ρ s
Y
As/kx
F
X
Spostamento a monte del
punto di somma del disturbo F
V
kp + k f +
s
4β
kx A
+
-
kx A
1
⋅ 2
V
kp + k f +
s ms + ρ s
4β
Y(s)
As/kx
27
Schema a blocchi (4)
F
kp + k f +
kx A
X
V
s
4β
G
kx A
1
V ms2 + ρ s
kp + k f + s
4β
+
-
Y(s)
⋅
G
Gr =
1 + GH
As/kx
H
G1
F
Risoluzione della
retroazione interna
V
k pf + s
4β
kx A
-
+
X
Gr
kx A

Vs  2
 k pf +
(ms + ρs ) + A2 s
4β 

Y(s)
Y ( s ) = Gr X − G1Gr F
28
Schema a blocchi (5)
Gr =
Risoluzione della
retroazione interna
(riordino di termini)
=
G1
kx A

Vs  2
 k pf +
(ms + ρs ) + A2 s
4β 

kx A
=
Vm 2  Vρ

2 
s
s +
+ k pf m  s + (k pf ρ + A )
 4β

 4β

Funzione di trasferimento
F
V
s
4β
kx A
-
k pf +
+
X
Gr
kx A
Y(s)
Vm 2  Vρ

2 
s
s +
+ k pf m  s + (k pf ρ + A )
 4β

 4β

29
Schema a blocchi (6)
Funzione di trasferimento (forma finale)
F
V
kpf + s
4β
kx A
+
X
G1
Gr
kx A
 Vm 2  Vρ k pf m   k pf ρ 
s
s + 
+ 2 s +  2 + 1
2
2
A   A
 4βA

 4βA
Y(s)
30
Schema a blocchi (7)
Funzione di trasferimento in caso di forza nulla o trascurabile
G ( s ) = Gr =
kx A
X ( s)
=
=
Y (S )
k pf m   k pf ρ
 Vm 2  Vρ

+ 2  s +  2 + 1
s
s + 
2
2
A   A
 4 βA

 4 βA
X (s)
k
G ( s ) = Gr =
=
2
Y ( S ) s (as + bs + c )
F
V
kpf + s
4β
kx A
+
X
G1
Gr
kx A
 Vm 2  Vρ k pf m   k pf ρ 
s
s + 
+ 2 s +  2 + 1
2
2
A   A
 4βA

 4βA
Y(s)
31
Schema a blocchi (8)
Funzione di trasferimento semplificata
In caso di effetti di comprimibilità trascurabile il termine
Vm
4 βA2
può essere omesso e la funzione di trasferimento si semplifica ulteriormente nella:
V
k pf +
s
4β
kx A
F
X
G1
+
Gr
kx A
Y(s)
k pf m 
 Vm 2  V ρ
 k pf ρ

s
s
+

+

s
+

+
1
 
2
2
2 
2


A 

 4βA
 A
 4βA
X ( s)
k′
G ′( s ) =
=
; b ≠ b′
c
Y (S )

s s + 
b′ 

32
Rigidezza del sistema (1)
Vm
1
c
(
)
dF
=
c
+
c
dy
2
a
b
= 2 ωn =
2
4 βA
ωn
m
dF = (dpa − dpb ) A dp = − β dVa ; dp = − β dVb
a
b
dVa = − A dy =
Va
β
Va
dpa
dFa
dp a =
A
dFa β A
ca =
=
dy
Va
Vb
F
2
y
33
Rigidezza del sistema (2)
dVa = − A dy =
dFa
dp a =
A
dFa β A
ca =
=
dy
Va
Va
β
dpa
dVb = A dy = −
Vb
β
dpb
dFb
dpb =
A
2
dFb βA
cb =
=
dy
Vb
2
34
Rigidezza del sistema (3)
 1
1
c = ca + cb = β A  +
 Va Vb
V
4 β A2
Va = Vb = ; c =
2
V
2
ωn =
c
=
m
4βA
mV



2
Nota: il pistone si ipotizza in mezzeria (rigidezza minima)
Nel caso Va o Vb tendano ad annullarsi la rigidezza tende all’infinito
35
Cassetto-motore in retroazione (1)
Lo spostamento di apertura del cassetto viene controbilanciato dallo
spostamento del fodero che lo insegue fino a che non si raggiunge
nuovamente la posizione di chiusura e il flusso di olio si arresta.
xf
x
36
Cassetto-motore in retroazione (2)
G1
x
y
G2
xf
b/a
Funzione di trasferimento
cassetto-motore in catena
aperta:
X (s)
k
G2 =
=
Y ( S ) s as 2 + bs + c
(
)
b
GH = G2
a
Lo spostamento di apertura del cassetto viene controbilanciato dallo
spostamento del fodero che lo insegue fino a che non si raggiunge
nuovamente la posizione di chiusura e si arresta il flusso di olio.
G2
G2
Y (s) =
X ( s) −
G1 F ( s )
b
b
1 + G2
1 + G2
aa
a
a
37
Luogo radici
aa
38
Soccorritore idraulico Calzoni (1935)
?4/5?
39
Bibliografia
Mannesmann-Rexroth, 1990, Manuale di oleodinamica (il) volume 1: fondamenti e
componenti oleodinamici ristampa 1990, Mannesmann-Rexroth GmbH, RXR, 1990, 08023-0619-8
Mannesmann-Rexroth, 1991, Manuale di oleodinamica (il) volume 1: fondamenti e
componenti oleodinamici RI 00 291/01.01, RI 00290/04.93, Mannesmann-Rexroth
GmbH, RXR, 1993, 0-8023-0266-4
Rexroth Bosch Group, 2004, Hydraulic Trainer volume 1: Hydraulics. Basic Principles
and Components, RI 00 290/2004, Bosch-Rexroth AG, RXR, 2004, 3-933698-32-4
Assofluid Oleoidraulica nell’ambito industriale e mobile (l’) 2004.06 Forneris Giovanni
AA. VV. Servocomandi e regolazioni s.d. Pitagora Editrice Bologna
Riva Calzoni, 150 anni 1834-1984, Bologna -1984
40