indici capacita

1. INTRODUZIONE...................................................................................................... 3
2. CAPACITÀ, LIMITI NATURALI E LIMITI DI SPECIFICAZIONE ................ 3
3. L'INDICE
Michele Scagliarini
INDICI DI CAPACITA'
C p ........................................................................................................... 6
3.1. STIMA DI
C p ......................................................................................................... 9
3.2. INTERVALLI DI CONFIDENZA. ............................................................................... 14
3.3. VERIFICA DI IPOTESI SU Cp ................................................................................. 15
4. L’INDICE
C pk ........................................................................................................ 18
4.1. STIMA DI
C pk ..................................................................................................... 22
C pk ................................................................. 24
4.2. INTERVALLI DI CONFIDENZA PER
5. L’INDICE
C pm ........................................................................................................ 26
6. RELAZIONI TRA
C p , C pm , C pk ........................................................................ 30
7. INDICI DI CAPACITÀ E NON-NORMALITÀ................................................... 32
Serie Strumenti per la Didattica 1998, n.3
7.1 EFFETTI DELLA NON NORMALITÀ .......................................................................... 32
7.2 IL METODO DI CLEMENTS...................................................................................... 34
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI............................................................................ 40
Dipartimento di Scienze Statistiche “Paolo Fortunati”
Università degli Studi di Bologna
2
1. Introduzione
La norma UNI EN ISO 8402 definisce un processo come “un insieme
di risorse e di attività tra loro interconnesse che trasformano degli
elementi in ingresso in elementi in uscita”. La norma chiarisce inoltre
che le “risorse” possono comprendere personale, disponibilità finanziaria,
mezzi, apparecchiature, tecnologie e metodologie. In generale, qualsiasi
tipologia di processo si consideri, l’obiettivo è realizzare elementi in
uscita (d’ora in poi per comodità li chiameremo prodotti o elementi) che
siano il più possibile conformi a delle specifiche definite in fase di
progetto. Il termine capacità di un processo indica l’abilità dello stesso a
produrre elementi conformi alle specifiche. L’analisi della capacità dei
processi (Process Capability Analysis) è un insieme di attività che,
utilizzando tecniche statistiche, consente di quantificare la capacità e
fornisce indicazioni per eventuali interventi migliorativi sul processo.
L’importanza dell’analisi della capacità dei processi è sottolineata anche
nella norma UNI EN ISO 9004-4 che al punto 10.2 afferma quanto segue
“Si dovrebbe verificare che i processi siano in grado di realizzare
prodotti conformi alle specifiche. Dovrebbero essere identificate le
operazioni associate con le caratteristiche del prodotto o del processo
che possono avere un effetto significativo sulla qualità del prodotto.
Dovrebbe essere stabilito un controllo appropriato per assicurare che
queste caratteristiche rimangano nei limiti di specifica o che siano
seguite modifiche o cambiamenti appropriati. La verifica dei processi
dovrebbe comprendere materiali, attrezzature, sistemi di elaborazione
dati e software, procedure e personale.”.
2. Capacità, limiti naturali e limiti di specificazione
In un processo solitamente è ben individuabile una grandezza
misurabile, detta caratteristica di qualità, strettamente legata con il
prodotto finale. Di tale caratteristica sono di norma noti il valore
obiettivo (detto anche valore target) ed i limiti di specificazione. In linea
generale una caratteristica di qualità è caratterizzata da una variabilità
intrinseca al processo produttivo, che si manifesta in oscillazioni rispetto
al valore target. Quando il processo si trova in uno stato di controllo
3
statistico questa “variabilità naturale” può spesso essere descritta, almeno
in modo approssimativo, dalla distribuzione normale. Indicando con
X∼ N (µ , σ ) la caratteristica di qualità si possono definire i limiti
naturali di tolleranza del processo UNTL e LNTL1 (figura 2.1):
UNTL = µ + 3σ
LNTL = µ − 3σ
Figura 2.1. Limiti naturali di tolleranza nella distribuzione normale
Nel caso di distribuzione normale i limiti naturali di tolleranza includono
il 99.73% dei valori della variabile, o in altre parole, solo lo 0.27%
dell’output del processo cade esternamente all’intervallo naturale di
tolleranza: UNTL-LNTL. A differenza dei limiti di tolleranza, che
dipendono esclusivamente dalle caratteristiche intrinseche del processo, i
limiti di specificazione sono fissati generalmente su indicazioni derivanti
dal progetto (in alcuni casi dall’esperienza o da studi empirici). Tali limiti
vengono indicati con LSL e USL, limite di specificazione inferiore e
superiore. Un elemento è definito non conforme (NC) se la misura
riferita alla caratteristica di qualità non rientra nell’intervallo di
specificazione: USL-LSL. Definiti i limiti naturali e di specificazione,
per impostare l’analisi della capacità dei processi è opportuno ricordare
che una scarsa capacità di un processo è sempre dovuta ad almeno una
delle due cause seguenti (Montgomery, 1997): a) la variabilità del
processo ( σ ) è troppo grande relativamente alla lunghezza dell’intervallo
di specificazione (figura 2.2); b) il livello del processo è troppo lontano
1
UNTL (Upper Natural Tolerance Limit) LNTL (Lower Natural Tolerance Limit)
4
dal punto centrale dell’intervallo di specificazione M =
USL + LSL
2
3. L'indice C p
(figura 2.3).
Una semplice misura dell’abilità del processo a produrre elementi
all’interno dei limiti di specificazione è l’indice di capacità C p , detto
anche indice di capacità potenziale:
Cp =
Figura 2.2. Processo centrato con elevata variabilità
Figura 2.3. Processo non centrato
Gli studi sulla capacità dei processi possono essere condotti seguendo
linee diverse. Per esempio, si può verificare se la caratteristica di qualità
segue una distribuzione di probabilità con prefissate media e deviazione
standard. Alternativamente, la capacità può essere misurata in termini di
frazione di elementi non conformi, cioè la frazione di elementi in uscita
che non rispetta le specifiche, oppure si può ricorrere a delle semplici
misure quantitative dette indici di capacità.
USL − LSL
6σ
(3.1)
dove σ denota la deviazione standard di X. L’indice è dato dal rapporto
tra l’intervallo di specificazione e l’intervallo naturale di tolleranza della
caratteristica di qualità X. Sono desiderabili valori elevati dell’indice
(almeno maggiori di 1) che indicano che il processo, se centrato, produce
un’elevata frazione di elementi con misure comprese nell’intervallo di
æ 1ö
specificazione. Interessante è anche l’interpretazione di P = çç ÷÷ 100
è Cp ø
che rappresenta la percentuale dell’intervallo di specificazione utilizzato
USL + LSL
-il punto centrale
dal processo. Se X∼ N (µ , σ ) e µ =
2
dell’intervallo di specificazione- allora la proporzione attesa, p, di
elementi non conformi (NC) è data da
æ dö
p = 2Φ ç − ÷
è σø
(3.2)
USL − LSL
e Φ indica la funzione di ripartizione della
2
normale standard. Segue dalla (3.1) che
dove d =
Cp =
e se µ =
5
USL + LSL
allora
2
d
3σ
p = 2Φ(−3C p )
6
(3.3)
(3.4)
Quindi se C p = 1 la proporzione attesa di NC è pari a 0.27%, tale valore
In questa situazione le frazioni attese pu e pl di elementi NC sono
rispettivamente
è talvolta indicato come il valore minimo accettabile. Spesso nella pratica
sono richiesti valori dell’indice pari a 1, 1.33, o 1.5, corrispondenti
rispettivamente a USL-LSL=6σ, 8σ o 9σ.
E’ importante notare che C p = 1 non garantisce che la proporzione di
æ USL − µ ö
pu = 1 − Φ ç
÷ = Φ (−3C pu )
è σ
ø
pl = Φ( −3C pl )
NC sia effettivamente pari a 0.27%. Infatti quello che è garantito è che
con l’assunzione X∼ N (µ , σ ) , la proporzione di NC non è inferiore a
USL + LSL
0.27%. Solo nel caso in cui µ =
il valore della proporzione
2
attesa è del 0.27%. Di conseguenza, si nota che generalmente elevati
valori di C p , in assenza di informazioni sulla media, non garantiscono
un’elevata capacità del processo.
L’andamento, sotto l’ipotesi di normalità, della proporzione minima
possibile ( 2Φ( −3C p ) ) di elementi NC al variare dei valori di C p è
illustrato nella tabella. 3.1.
Cp
2.00
2Φ( −3C p ) 0.062%
0.002
ppm
12/3
11/3
1.00
2/3
1/3
0.0457%
0.57
ppm
0.0063%
63
ppm
0.27%
2700
ppm
4.55%
45500
ppm
31.73%
317300
ppm
Tabella 3.1. Proporzioni attese “minime” di elementi NC (ppm parti per
milione). Fonte Kotz-Johnson (1993)
Quando viene fornito un solo limite di specificazione si usano gli indici
unilaterali
C pu =
USL − µ
3σ
C pl =
µ − LSL
3σ
7
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
si noti che quando C pu = 1 si ha pu = 0.135% e USL-µ=3σ.
Nella tabella 3.2 sono riportati alcuni valori “guida” (Montgomery,
1997) degli indici di capacità con riferimento alla tipologia del processo
al quale sono collegati.
Cp
Tipo di processo
C pu ( C pl )
Processo esistente
1.33
1.25
Nuovo processo
1.50
1.45
Caratteristiche di qualità
1.50
1.45
critiche o legate a parametri
di sicurezza per un
processo esistente
Caratteristiche di qualità
1.67
1.60
critiche o legate a parametri
di sicurezza per un
processo nuovo
Tabella 3.2. Valori raccomandati di degli indici di capacità.
Esempio 3.1
Si consideri un processo che produce pistoni per automobili. La
caratteristica di qualità è il diametro del pistone. Il valore target T è
74 mm, la variabilità del processo è supposta nota σ = 0.01 ed i
limiti di specificazione sono: USL=74.05 e LSL=73.95. L’indice di
capacità potenziale del processo vale:
Cp =
USL − LSL 74.05 − 73.95
=
= 1.667
6σ
6(0.01)
8
Una misura di utilità pratica che si può ricavare è la percentuale
dell’intervallo di specificazione occupato dal processo:
æ 1ö
P = çç ÷÷ 100
è Cp ø
Nel nostro caso
1
P=
100 =59.98
1.667
il processo occupa circa il 60% dell’intervallo di specificazione.•
3s s −1
1
C p−1 =
= Cp ∼
χ n −1C p−1
d σ
n −1
(3.12)
dove χ n−1 = ( χ 2n −1 ) 1/ 2 , segue che la distribuzione di C p è data da
C p ∼ C p
n −1
χ n −1
(3.13)
Dalla (3.13) risulta che la forma della densità di C p è influenzata da varie
3.1. Stima di C p
componenti: n, ampiezza del campione; d-semiampiezza dell’intervallo
di specificazione; σ- variabilità del processo; C p - valore vero dell’indice
Quando la variabilità del processo non è nota è necessario ricorrere ad
una stima basandosi su dati campionari. Tipicamente si utilizza come
stimatore di σ la deviazione standard campionaria:
di capacità. La figura 3.4 illustra il grafico di tale distribuzione per alcuni
d
valori di n e = 3C p .
σ
1/ 2
é 1 n
ù
s=ê
å=1 ( X j − X )2 ú
n
−
1
j
ë
û
dove X =
(3.9)
1 n
åXj.
n j =1
Uno stimatore per C p è quindi
USL − LSL d σ
C p =
=
= Cp
6s
3s s
(3.10)
Al fine di ricavare la distribuzione di C p è utile ricordare che se X è
distribuita normalmente con varianza σ 2 , allora
s2 ∼
1
σ 2 χ 2n−1
n −1
(3.11)
Figura 3.4. Densità di probabilità di C p per diversi valori dell’ampiezza
campionaria e di d / σ . Fonte: Kotz-Johnson, 1993
e ricordando che
9
10
Per ricavare i momenti di C p è sufficiente ricordare che dalla (3.13) si
1
æ 2ö2
bf = ç ÷
èfø
ha
C p ∼ C p
f
χf
(3.14)
1
r
2
E (C pr ) = f C pr E ( χ −f r ) =
r
2
f
C p2
f −2
æ f
ö
Var (C p ) = ç
− b f−2 ÷ C p2
è f −2
ø
dove il termine b f , detto fattore di correzione, è pari
11
C p = b f C p
(3.20)
è stimatore corretto per C p , la cui varianza vale
é
ù
= f C pr E ê( χ 2f ) ú
(3.15)
ë
û
é1
ù
r
Γ ( f − r )ú
æ f ö 2 r êë 2
û
= ç ÷ Cp
è 2ø
æfö
Γç ÷
è 2ø
In particolare la media, la media quadratica e la varianza, risultano
rispettivamente
æ f − 1ö
1 Γ
ç
÷
1
æ f ö2 è 2 ø
E (C p ) = ç ÷
Cp =
Cp
(3.16)
è 2ø
bf
æfö
Γç ÷
è 2ø
−
E (C p2 ) =
(3.19)
Da quando esposto segue che lo stimatore
dove f=n-1. L’espressione del momento r-esimo risulta quindi
r
2
æfö
Γç ÷
è 2ø
æ f − 1ö
Γç
÷
è 2 ø
é fb 2f
ù
− 1úC p2
Var ( 1 C p ) = ê
êë f − 2 úû
(3.21)
A scopo illustrativo, nella tabella 3.3 sono riportati alcuni valori del
fattore di correzione b f al variare di f=n-1. Quando f > 14 una semplice
formula approssimata per b f è
bf ≅ 1−
f
bf
f
bf
4
0.798
34
0.978
9
0.914
39
0.981
3
f
4
14
0.945
44
0.983
−1
(3.22)
19
0.960
49
0.985
24
0.968
54
0.986
29
0.974
59
0.987
(3.17)
Tabella 3.3. Valori del fattore di correzione b f (Kotz e Johnson, 1993)
(3.18)
Si nota che al crescere della numerosità campionaria il fattore di
correzione si avvicina all’unità.
Utilizzando l’approssimazione (3.22) è possibile riscrivere le varianze
(3.18) e (3.21) utilizzando espressioni più semplici:
Var (C p ) ≅
f (8 f + 9)
C p2
( f − 2)(4 f − 3) 2
12
(3.23a)
(8 f + 9)
Var ( 1 C p ) ≅
C p2
16 f ( f − 2)
(3.23b)
Al fine di esaminare alcuni importanti aspetti riguardo alle prestazioni
degli stimatori di C p , nella tabella 3.4 sono riportati i valori attesi e le
relative deviazioni standard (D.S.) dello stimatore C p per diversi valori
Se n è piccolo, per esempio n = 5 e C p = 1.33, D.S.( C p ) = 0.87: si noti
che questa deviazione standard rappresenta più della metà del valore di
C p . Da quanto esposto si può concludere che la stima di C p per n
piccolo non è molto precisa, mentre si può affermare che stime accurate
dell’indice si possono ottenere quando n>50.
di f e d / σ = 3C p . Si noti che dal momento che E (C p ) C p e
Var (C p ) C p2 non dipendono da C p , tutti i valori della tabella 3.4 si
3.2. Intervalli di confidenza.
possono dedurre da quelli relativi alla combinazione C p =1 (d / σ = 3) .
Si può osservare che quando f = 24 (n = 25) si ha che D.S. ( C ) è circa il
In alcuni casi è importante ricavare un intervallo di confidenza per
C p . Riprendendo la (3.10) e la (3.11) si può scrivere
p
14-15% di E( C p ). Questo rappresenta ancora una dispersione rilevante,
é C p
ù
Pr ê
> cú = Pr[ χ 2n −1 < (n − 1)c −2 ]
C
êë p
ûú
quindi si otterrebbe una stima poco precisa. Se invece C p = 1.33 (d/σ =
4), corrispondente al valore raccomandato dell’indice per un processo
esistente (Tab. 3.2), e f = 19 si ha E( C p ) = 1.389 con D.S.( C p ) = 0.240.
Questo significa che è elevato il rischio di sovrastimare C p , infatti dalla
Poiché Pr[ χ 2n −1 ≤ χ 2n −1,ε ] = ε , si può scrivere
é C p
ù
(3.10) e (3.11) si ha Pr ê
> cú = Pr[ χ 2f < fc −2 ] e con c = 1
C
êë p
úû
2
. ] = Pr[ χ 19
< 19] =53.3%.
l’espressione precedente diventa: Pr[C p > 133
é σ2 2
ù
σ2 2
Pr ê
χ n −1,α / 2 ≤ s 2 ≤
χ n −1,1−α / 2 ú =
n
−
1
n
−
1
ë
û
éUSL − LSL χ n −1,α / 2 USL − LSL USL − LSL χ n −1,1−α / 2 ù
Pr ê
≤
≤
ú=
6s
6σ
6s
n −1
n −1 û
ë
d/σ (3Cp)
f=n-1
4
9
14
19
24
29
34
39
44
49
54
59
∞
2
E
0.836
0.729
0.705
0.694
0.688
0.685
0.682
0.680
0.678
0.677
0.676
0.675
0.667
3
D.S
0.437
0.198
0.145
0.120
0.104
0.094
0.086
0.079
0.074
0.070
0.067
0.063
-
E
1.253
1.094
1.058
1.042
1.033
1.027
1.023
1.020
1.017
1.016
1.014
1.013
1.000
4
D.S
0.655
0.297
0.218
0.180
0.156
0.140
0.128
0.119
0.111
0.105
0.100
0.095
-
E
1.671
1.459
1.410
1.389
1.377
1.369
1.364
1.360
1.357
1.354
1.352
1.351
1.333
5
D.S.
0.874
0.396
0.291
0.240
0.209
0.187
0.171
0.159
0.148
0.140
0.133
0.127
-
E
2.089
1.824
1.763
1.736
1.721
1.711
1.705
1.700
1.696
1.693
1.690
1.688
1.667
6
D.S.
1.092
0.496
0.364
0.300
0.261
0.234
0.214
0.198
0.186
0.175
0.166
0.158
-
E
2.507
2.189
2.116
2.083
2.065
2.054
2.046
2.039
2.035
2.031
2.028
2.026
2.000
D.S.
1.310
0.594
0.436
0.360
0.313
0.281
0.257
0.238
0.223
0.210
0.199
0.190
-
Tabella 3.4. Momenti di C p :E =E[ C p ]; D.S = D.S.( C p / C p ). (Kotz e
χ
ù
é χ
Pr êC p n −1,α / 2 ≤ C p ≤ C p n −1,1−α / 2 ú = 1 − α
−
−
n
1
n
1
û
ë
quindi
æ
ö
ç χ n −1,α / 2 χ n −1,1−α / 2 ÷
;
C
C
p
p
1
1
çç
÷÷
è (n − 1) 2
(n − 1) 2 ø
è un intervallo di confidenza 100(1-α)% per C p .
Johnson, 1993)
13
(3.24)
14
(3.25)
Esempio 3.2
Si supponga che un processo abbia limiti di specificazione
superiore ed inferiore rispettivamente a: USL=62 e LSL=38. Un
campione di ampiezza n=20 rivela che il processo è centrato
approssimativamente sul punto centrale dell’intervallo di
specificazione e che la deviazione standard campionaria è pari a
s=1.75. La stima di C p è pertanto:
USL − LSL 62 − 38
=
= 2.29 .
C p =
6s
6(175
. )
L’intervallo di confidenza al 95% per C p è ricavabile come segue:
USL − LSL
6s
2.29
χ α2 ;n −1
2
n −1
≤ Cp ≤
USL − LSL
6s
χ 12−α ;n −1
2
n −1
χ 20.025;19
χ 20.975;19
≤ C p ≤ 2.29
19
19
essendo χ 20.025;19 = 8.91 e χ 20.975;19 = 32.85 si ricava che
157
. ≤ C p ≤ 3.01 è l’intervallo di confidenza al 95% per C p .•
In questo modo rifiutare H0 equivale a dimostrare che il processo
raggiunge i requisiti richiesti in termini di capacità. Questo tipo di test
statistico è stato studiato da Kane (1986) il quale determina una serie di
valori critici K che consentono di rifiutare H0 se C p > K . L’autore
costruisce il test definendo C p ( HIGH ) come il valore di capacità di un
processo che si desidera accettare con probabilità 1 − α e C p ( LOW ) come il
valore di capacità di un processo che si desidera rifiutare con probabilità
1 − β . Nella tabella 3.5 sono riportati i valori di C p ( HIGH ) C p ( LOW ) e
K C p ( LOW ) per varie ampiezze campionarie e α = β = 0.05
α = β = 01
. . L’esempio 3.3 chiarisce l’uso della tabella 3.5.
e
Esempio 3.3
Un’azienda per concludere un contratto di fornitura richiede al
fornitore di dimostrare che la capacità del suo processo è
. . Il fornitore è quindi interessato ad
maggiore di C p = 133
implementare una procedura per verificare il seguente sistema
d’ipotesi:
H 0 : C p < 133
.
H1 : C p ≥ 133
. .
3.3. Verifica di ipotesi su Cp
Una pratica sempre più frequente nelle industrie è richiedere ad un
fornitore di dimostrare la capacità dei suoi processi produttivi come parte
integrante degli accordi contrattuali. Questo significa dimostrare che
l’indice di capacità è uguale o superiore ad particolare valore target
indicato con C p0 . Questo problema può essere riformulato in termini di
verifica d’ipotesi:
H0 : C p < C p 0
(il processo ha scarsa capacità)
H1: C p ≥ C p 0
(il processo ha buona capacità)
15
Il fornitore vuole essere sicuro che qualora il processo abbia una
capacità inferiore a 1.33 la probabilità di accettare H 0 sia elevata
(0.9), mentre se la capacità del processo supera 1.66 la
probabilità di accettare H1 sia elevata (ancora 0.9). Questo
significa definire C p ( LOW ) = 133
. , C p ( HIGH ) = 166
.
e α = β = 01
. . Per
trovare l’ampiezza campionaria ed il valore critico per il test si
calcola il rapporto
C p ( HIGH ) 1.66
=
= 125
.
.
C p ( LOW ) 133
16
ed in corrispondenza di α = β = 01
. sulla tabella 3.5 si trova n=70
K
= 110
. . Utilizzando questi risultati si può calcolare
e
C p ( LOW )
α = β = 0.1
α = β = 0.05
Ampiezza
C p ( HIGH )
camp. n
K
C p ( LOW )
C p ( HIGH )
C p ( LOW )
C p ( LOW )
K
C p ( LOW )
10
1.88
1.27
2.26
1.37
20
1.53
1.20
1.73
1.26
30
1.41
1.16
1.55
1.21
40
1.34
1.14
1.46
1.18
50
1.30
1.13
1.40
1.16
60
1.27
1.11
1.36
1.15
70
1.25
1.10
1.33
1.14
80
1.23
1.10
1.30
1.13
90
1.21
1.10
1.28
1.12
100
1.20
1.09
1.26
1.11
Tabella 3.5. Ampiezze campionarie e valori critici per test su C p
(Montgomery 1997)
K = C p ( LOW ) 110
. = 133
. (110
. ) = 146
.
H1 : C p ≥ 133
.
quindi per accettare l’ipotesi
realizzare un campione di n=70 elementi e l’indice C p calcolato
sulla base del campione deve risultare superiore a K=1.46.•
4. L’indice Cpk
L’indice di capacità C p non considera la posizione della media µ del
processo rispetto ai limiti di specificazione, infatti
Cp
misura
semplicemente l’ampiezza dell’intervallo di specificazione relativamente
all’ampiezza dell’intervallo naturale di tolleranza (6-sigma) del processo.
Di conseguenza può accadere che processi con il medesimo valore di C p
abbiano una frazione di elementi NC diversa, come illustrato
nell’esempio 4.1.
Esempio 4.1
Si considerino i seguenti processi:
processo (a) LSL=43, USL=57, µ=50, σ=2;
processo (b) LSL=43, USL=57, µ=53, σ=2.
I due processi hanno gli stessi valori dei limiti di specificazione e
stessa variabilità, segue che hanno il medesimo valore di C p :
Cp =
57 − 43 14
=
= 1166
.
.
6*2
12
Tuttavia, il comportamento in termini di frazione di elementi non
conformi è notevolmente diverso a causa del fatto che il processo
(b) ha un valore medio non centrato rispetto ai limiti di
specificazione.
Processo (a):p=frazione di elementi NC
p=pr(X<43)+pr(X>57)
æ 43 − 50 ö
æ 57 − 50 ö
p = Φç
÷ + 1 − Φç
÷
è 2 ø
è 2 ø
p = Φ( −3.5) + 1 − Φ( 3.5) = 2Φ( −3.5) = 0.000466
17
il fornitore deve
18
Processo (b):p=frazione di elementi NC
p=pr(X<43)+pr(X>57)
æ 43 − 53ö
æ 57 − 53ö
p = Φç
÷ + 1 − Φç
÷
è 2 ø
è 2 ø
p = Φ( −5) + 1 − Φ(2) = ( ≅ )0 + 0.022775 = 0.02275
•
Dalle considerazioni precedenti risulta evidente la mancanza di una
relazione diretta tra C p e la probabilità di ottenere un elemento NC. In
altre parole, anche con valori C p > 1 si possono avere delle frazioni di
elementi NC elevate, se la media del processo non è centrata rispetto ai
limiti USL e LSL. La situazione può essere migliorata definendo una
nuova misura di capacità che tenga conto della posizione di µ rispetto a
USL e LSL, in modo da fornire una relazione diretta tra l’indice e la
frazione di NC. Questo indice, denominato C pk è definito nel modo
1
C pk = [|USL − LSL|−|USL + LSL − 2µ |] / 3σ
2
USL + LSL
1
|USL − LSL|−| µ −
|
2
2
=
3σ
1
d −| µ − ( LSL + USL)|
2
=
3σ
1
é
ù
ê | µ − 2 ( LSL + USL)|ú
= ê1 −
úC p
d
ê
ú
êë
úû
Inoltre, ricordando che C p =
d
si ha
3σ
seguente:
C pk = min(C pu , C pl )
æ USL − µ µ − LSL ö
= minç
,
÷
è 3σ
3σ ø
=
min(USL − µ , µ − LSL)
3σ
1
(|a + b|−|a − b|) è possibile
2
secondo un’espressione equivalente:
Utilizzando la relazione
esprimere l’indice C pk
C pk = C p −
(4.1)
min(a ,b) =
(4.2)
|µ −
1
(USL + LSL)|
2
3σ
(4.3)
Esempio 4.2
Per il processo (a) dell’esempio 4.1 C p = C pk = 1166
.
, in quanto il
processo risulta centrato.
Per il processo (b) invece,
C pk = min(C pu , C pl )
æ USL − µ µ − LSL ö
= minç
,
÷
è 3σ
3σ ø
æ 57 − 53 53 − 43ö
= minç
,
÷ = min( 0.666,1.766) = 0.666
è 3(2)
3(2) ø
•
L’indice C pk è una misura della capacità effettiva del processo a
differenza di C p che misura la capacità potenziale. La capacità del
processo aumenta al crescere del valore di C pk ed è interessante far
notare che il numeratore dell’indice è la distanza (con segno) di µ dal
19
20
più
vicino
limite
di
specificazione.
Generalmente
C pk ≤ C p ,
l’uguaglianza vale solo nel caso in cui il processo è centrato
USL + LSL ö
æ
çµ =
÷ , quindi C pk se confrontato con C p fornisce una
è
ø
2
misura della non centratura del processo. Valori negativi dell’indice
indicano che il processo è completamente inadeguato, infatti si verificano
quando µ > USL o µ < LSL .
Partendo dal valore dell’indice C pk è possibile determinare la frazioni
di elementi NC associata al processo. Se X è distribuita normalmente, la
frazione, p, di elementi NC è data da
æ LSL − µ ö
æ USL − µ ö
p = Φç
÷ + 1 − Φç
÷
è
è σ
ø
σ ø
(4.4)
4.1. Stima di C pk
Nel caso in cui il livello del processo µ e/o la varianza σ 2 non siano
noti occorre stimarli dai dati campionari. Uno stimatore naturale di C pk è
C pk =
Ricordando
s∼ χ f σ f
che
se
d −| X −
X∼ N ( µ , σ 2 )
USL − LSL
|
2
3s
segue
che
(4.7)
2
X ∼ N ( µ , σ / n) ,
1/ 2
, con X e s indipendenti. Sfruttando questi risultati è
possibile ricavare i momenti di C pk , in particolare il momento r-esimo
risulta:
USL − µ
1
ed
nel caso in cui
(USL + LSL) ≤ µ ≤ USL si ha C pk =
3σ
2
essendo
LSL − µ (USL − µ ) − (USL − LSL)
=
= C pk − 2C p
3σ
3σ
(4.5)
Inoltre, dato che 2C p − C pk ≥ C pk (perché C pk ≤ C p ), segue che la
21
ö
÷÷
ø
(4.6)
(4.8)
j
é
1
é
ù ù
n ê X − (USL + LSL) ú ú
ê
r
r
2
ë
û ú
jæ öæ σ ö
å ( −1) ç ÷ ç
÷ Eê
ú
j=0
σ
è jø è d n ø ê
ú
ê
úû
êë
j
Per r = 1, 2 si ottengono la Media
e p = 2Φ( −3C pk ) solo quando il processo è centrato, cioè C pk = C p . In
modo analogo si può trattare il caso in cui LSL ≤ µ ≤
j
r
proporzione attesa di elementi non conformi è contenuta nell’intervallo
Φ( −3C pk ) ≤ p ≤ 2Φ( −3C pk )
r
æ
r
LSL + USL
j æ ö r− j
å ( −1) ç ÷ d E çç X −
j=0
2
è jø
è
æd f ö
=ç
÷ E ( χ −f r )
è 3σ ø
si ottiene che la frazione di elementi NC risulta
p = Φ[ −3(2C p − C pk )] + Φ( −3C pk )
r
æ 1ö
r
E (C pk
) = ç ÷ E ( s−r )
è 3ø
1
(USL + LSL) .
2
22
æ f − 1ö
Γç
÷
1æ f ö è 2 ø
E (C pk ) = ç ÷
3è 2ø
æfö
Γç ÷
è 2ø
L’aspetto importante che si desidera sottolineare è che lo stimatore risulta
distorto: E (C pk ) ≠ C pk . Di conseguenza nelle situazioni reali risulta
1
é
2
ê d − æç 2 ö÷ ×
ê σ è πn ø
ë
2
ì é
æ USL + LSL ö ù ü
USL + LSL ö
ï nêµ − ç
÷ ú ï µ − æç
÷
è
ø úû ï
2
è
ø
2
ï êë
× exp í−
×
ý−
2
σ
σ
2
ï
ï
ï
ï
î
þ
ì
USL + LSL ö üù
æ
ç nµ−
÷ ïú
ïï
2
÷ ïýú
× í1 − 2Φç
ç
÷ ïú
σ
ï
ç
÷ ú
è
ø ïþû
ïî
(4.9)
4.2. Intervalli di confidenza per C pk
Come per C p , può risultare utile e/o necessario costruire un intervallo
di confidenza per C pk . La costruzione di un intervallo di questo tipo non
e la Varianza
è semplice e può essere fatta seguendo due linee:
1
é
é
f
êæç d ö÷ − 2æç d ö÷ êæç 2 ö÷ 2 ×
è σ ø êè πn ø
9 ( f − 2 ) êè σ ø
êë
ë
2
ì é
æ USL + LSL ö ù ü
USL + LSL ö
ï nêµ − ç
÷ ú ï µ − æç
÷
è
ø úû ï
2
è
ø
2
ê
ï ë
× exp í−
×
ý+
2
2
σ
σ
ï
ï
ï
ï
î
þ
a) utilizzare la distribuzione esatta di C pk
Var (C pk ) =
2
ù
ì
æ
æ USL + LSL ö ù
USL + LSL ö üù é
ú
÷ú
ç− nµ−
÷ ïú ê µ − çè
ïï
ø
2
1
ï
2
û + ú
÷ ýú + ë
× í1 − 2Φç
2
ç
÷ ïú
nú
σ
σ
ï
ç
÷ ú
ú
è
ø ïþû
ïî
úû
[
− E (C pk )
]
necessario considerare l’entità dell’errore che si può commettere, per non
correre il rischio di prendere decisioni aziendali sbagliate. Uno studio
dettagliato, al quale si rimanda, sul comportamento dello stimatore è
riportato in Kotz e Johnson (1993). Qui è sufficiente ricordare che con
piccoli campioni, n < 10, è assolutamente sconsigliato tentare di stimare
C pk ed anche quando n è circa 40 non è prudente prendere decisioni
aziendali riguardo al processo in esame basandosi solo su C pk .
2
b) ricorrere ad intervalli di confidenza approssimati.
Generalmente, la prima possibilità è poco operativa perché la
distribuzione da esaminare è molto complicata. In via alternativa, per
avere un’idea della regione di incertezza per C pk si possono costruire
(4.10)
separatamente gli intervalli di confidenza, al livello 100(1-α)%, per µ e σ
(in quanto C pk = f ( µ ,σ ) ):
X − t f ,1−α × s ≤ µ ≤ X − t f ,1−α × s intervallo di confidenza per µ
2
s f
s f
≤σ ≤
χ f ,1−α
χ f ,α
2
23
2
intervallo di confidenza per σ
2
24
Utilizzando tali intervalli è possibile quindi individuare una regione di
confidenza, R, per la coppia (µ σ) del tipo visualizzato in figura 4.1 e di
conseguenza scegliere come estremi dell’intervallo di confidenza per
C pk :
1
1
6 öü2
ì n−1
æ
2
+ C pk
C pk ± z1− α 2 í
ç1 +
÷ý
è
9
3
2
3
−
−
− 1ø þ
n
(
n
)
(
n
)
n
î
(Heavlin,1998)
1
min(C pk ) = f ( µ ,σ )
2
ìï 1
üï 2
C pk
2
C pk ± z1− α 2 í + C pk
ý per n≥30
2 (n − 1) ïþ
ïî 9 n
(Franklin e Wasserman, 1992)
max(C pk ) = f ( µ ,σ )
con (µ σ)∈R.
5. L’indice C pm
L’indice C pk considera la posizione della media del processo rispetto
ai limiti di specificazione, quindi costituisce un miglioramento
dell’indice C p . Tuttavia, C pk utilizzato senza ulteriori integrazioni è
ancora una misura inadeguata della centratura del processo, in particolare
della posizione della media del processo rispetto al valore target. Inoltre,
C pk dipende inversamente da σ diventando sempre più grande per
σ →0, pertanto un valore elevato dell’indice non è molto informativo
sulla posizione di µ all’interno dell’intervallo di specificazione.
Figura 4.1
E’ importante sottolineare che la probabilità che l’intervallo per C pk ,
individuato seguendo la procedura sopra illustrata, includa effettivamente
il valore vero è minore di 1 − α . Ad esempio, se ciascun intervallo
separato è al livello di confidenza 100(1 − α )% e i due eventi sono
indipendenti,
allora
la
probabilità
complessiva
è:100(1 − α ) 2 % < 100(1 − α )% . Inoltre, possono esistere coppie di valori
(µ σ)∉R. che portano a valori di C pk entro l’intervallo.
Alcuni autori hanno studiato formule approssimate per ricavare gli
intervalli di confidenza per C pk ad esempio:
25
Esempio 5.1
LSL=35
USL=65
Valore target T=50
Processo A: µ A = 50 , σ A = 5 , C p = 1 , C pk = 1
Processo B: µ B = 57.5 , σ B = 2.5 , C p = 2 , C pk = 1
Il processo B, pur non essendo centrato, ha lo stesso indice C pk
di A. Tale risultato dipende dal fatto che B presenta una variabilità
ridotta rispetto ad A.•
Una strada per superare i problemi illustrati è quella di utilizzare una
nuova misura di capacità: l’indice C pm (Chan, Cheng e Spring 1988).
L’indice è definito come segue
26
USL − LSL
USL − LSL d
=
=
(5.1)
2
2 12
6τ
3τ
6[σ + ( µ − T ) ]
dove T è il valore target, che molto spesso coincide con il punto centrale
dell’intervallo di specificazione, e τ 2 = σ 2 + ( µ − T ) 2 . Le figure 5.1 e
5.2 illustrano il diverso comportamento di C pk e C pm al variare di µ e
C pm =
σ : si può notare che l’indice C pm tende ad essere meno sensibile di C pk
a variazioni di σ .
Figura 5.2. Indice C pm come funzione di µ e σ (LSL=5.5, USL=8.5).
Fonte: Mittag e Rinne (1993)
E’ interessante notare che τ 2 si può esprimere come somma di due
componenti che esprimono la “variabilità totale” del processo attorno al
valore target:
τ 2 = σ 2 + (µ − T ) 2 = E ( X − T ) 2 = E ( X − µ) 2 + (µ − T ) 2
(5.2)
Anche l’indice C pm può essere scritto come funzione di C p , infatti dalla
Figura 5.1. Indice C pk come funzione di µ e σ (LSL=5.5, USL=8.5)
(5.1) e ricordando che C p =
Fonte: Mittag e Rinne (1993)
C pm = C p
d
segue che:
3σ
σ
= Cp
τ
= C p (1 + ζ 2 )
27
1
σ 2 + (µ − T) 2
σ2
− 12
28
=
(5.3)
dove ζ =
µ =T.
µ−T
, risulta quindi che C pm ≤ C p con C pm = C p solo se
σ
Esempio 5.2
LSL=35
USL=65
Valore target T=50
Si considerino 3 processi
Processo A: µ A = 50 , σ A = 5 , C p = 1 , C pk = 1 , C pm = 1
6. Relazioni tra C p , C pm , Cpk
Tra gli indici di capacità esaminati intercorrono relazioni2 utilizzabili
per ricavare ulteriori informazioni sulla capacità del processo.
Ricordando le definizioni di C p (3.1), C pk (4.2) e C pm (5.1) si ha
é | µ − m| ù
C pk = ê1 −
Cp ≤ Cp
d úû
ë
Processo B: µ B = 57.5 , σ B = 2.5 , C p = 2 , C pk = 1 , C pm = 0.63
(6.1)
− 21
Processo C: µ c = 6125
. , σ c = 1.25 , C p = 4 , C pk = 1 , C pm = 0.44
é æ µ − mö 2 ù
C pm = ê1 + ç
÷ ú Cp ≤ Cp
êë è σ ø úû
In questo esempio si nota che all’allontanarsi della media del
processo dal valore target C pm tende a ridursi, mentre risulta
(6.2)
insensibile a questo aspetto, l’indice C p . Infatti, l’indice C p
da cui segue che: max( C pm , C pk )≤ C p e C p = C pm = C pk quando µ = m .
aumenta essenzialmente perché si riduce la variabilità del
processo. L’indice C pk invece, rimane costante nonostante i tre
Combinando la (6.1) e la (6.2) si può scrivere
processi presentino caratteristiche completamente differenti. •
1
2 2
é | µ − m|ù é æ µ − m ö ù
C pk = C pm ê1 −
÷ ú
ê1 + ç
ú
d û êë è σ ø úû
ë
E’ utile sottolineare che l’indice C pm è una misura adeguata di capacità di
un processo solo quando il valore target coincide con il punto centrale
dell’intervallo di specificazione: T = m = 21 (USL + LSL ) . Infatti, si può
notare che C pm rimane inalterato se E ( X ) = T − δ o E ( X ) = T + δ
da cui risulta:
1
C pk ≥ C pm
(δ>0):
C pm =
d
d
=
1
1
3[σ 2 + ( µ − T ) 2 ] 2 3[σ 2 + δ 2 ] 2
mentre la proporzione attesa di elementi non conformi può cambiare,
anche consistentemente, se T ≠ m .
Per esempio, supponendo che X abbia una distribuzione simmetrica, se
T = 43 USL + 41 LSL
e
δ = 41 (USL − LSL ) = 21 d ,
quando
E ( X ) = T + δ = USL , ci si attende almeno il 50% di elementi NC.
Mentre, se E ( X ) = T − δ = m la proporzione di NC risulta molto più
piccola, pertanto le proprietà di C pm valgono quando T = m .
2 2
é | µ − m| ù é æ µ − m ö ù
se ê1 −
1
+
ç
÷
ê
ú ≥1
d ûú êë è σ ø úû
ë
é | µ − m| ù é æ µ − m ö
C pk ≤ C pm se ê1 −
÷
ê1 + ç
d úû êë è σ ø
ë
2
(6.4a)
1
ù2
ú ≤1
úû
(6.4b)
Partendo dalla relazione precedente, (6.4), è possibile ricavare espressioni
µ−m
più semplici ed utili, infatti ponendo3 k =
segue che
d
2
Le relazioni ricavate nel seguito valgono nel caso in cui il valore target coincide con il
punto centrale dell’intervallo di specificazione
Usualmente k<1, altrimenti µ sarebbe oltre i limiti di specificazione
3
29
(6.3)
30
1
é æ d ö 2 ù2
C pk ≥ C pm se (1 − k ) ê1 + ç ÷ k 2 ú ≥ 1
êë è σ ø
úû
(6.5a)
1
2
é æ dö2 ù
C pk ≤ C pm se (1 − k ) ê1 + ç ÷ k 2 ú ≤ 1
êë è σ ø
úû
(6.5b)
troppo vicino a 0 o 1.
• k=0, ( µ = m) allora C pk = C pm = C p .
7. Indici di capacità e non-normalità
da cui con semplici passaggi si ricava
2
2−k
ædö
C pk ≥ C pm se ç ÷ ≥
èσ ø
k (1 − k ) 2
2
2−k
ædö
C pk ≤ C pm se ç ÷ ≤
èσ ø
k (1 − k ) 2
d
e ricordando che C p =
l’espressione precedente diventa
3σ
2−k
9 k (1 − k ) 2
2−k
se C p2 ≤
9 k (1 − k ) 2
C pk ≥ C pm se C p2 ≥
(6.6a)
C pk ≤ C pm
(6.6b)
Si può notare, Tab. 6.1, che la funzione
• C p2 > 123
. ( C p > 111
. ) allora si può avere C pk > C pm , purché k non sia
2−k
raggiunge un minimo
9 k (1 − k ) 2
di 1.23 per k≈0.4.
k
0
0.2
0.4
0.5
0.6
0.8
1.56 1.23 1.33 1.62 4.17
2−k
∞
9 k (1 − k ) 2
Tabella 6.1. Alcuni valori della funzione 2− k 9 k (1− k )2
1
∞
Un'operazione necessaria prima del calcolo degli indici di capacità, è
controllare che la caratteristica di qualità X relativa al processo segua la
distribuzione Normale. Questo perché le proprietà enunciate nelle pagine
precedenti, riguardanti gli indici di capacità, rimangono valide solo se
non si rifiuta l’ipotesi di normalità. Quando si presenta un
allontanamento significativo dalla distribuzione Gaussiana si possono
seguire due strade: la prima consiste nello studiare le proprietà degli
indici di capacità e dei relativi stimatori quando la distribuzione assume
specifiche forme distributive; la seconda prevede di sviluppare
metodologie che consentono di trattare la non normalità, giungendo alla
costruzione di indici di capacità robusti cioè non troppo influenzati dalla
forma distributiva.
7.1 Effetti della non normalità
Si considerino, a titolo esemplificativo, le seguenti distribuzioni per
una caratteristica di qualità X (Gunter, 1989):
1. un chi-quadrato con 4.5 gradi di libertà ( χ 24.5 ) (distribuzione
asimmetrica con limite inferiore finito)
2. una t con 8 gradi di libertà (distribuzione con code pesanti)
Pertanto se
3. una distribuzione uniforme.
• C p ≤ 1 allora C pk ≤ C pm
4 una distribuzione normale X∼ N ( µ , σ 2 )
31
32
I grafici delle distribuzioni standardizzate sono riportati nella figura 7.1.
Sempre a scopo illustrativo si consideri la seguente situazione. Sia
ϕ ( x; µ ; σ ) la funzione di densità di una variabile casuale normalmente
distribuita, con media µ e scarto σ , e si consideri il processo
“contaminato” con funzione di densità data da
pϕ ( x ; µ 1 ;σ 1 ) + ( 1 − p )ϕ ( x ; µ 2 ;σ 2 )
(7.1)
con 0<p<1, ( µ 1 ,σ 1 ) ≠ ( µ 2 ,σ 2 ) .
Se p è prossimo a 1, 1-p è piccolo e la seconda componente della (7.1)
rappresenta la contaminazione della distribuzione base rappresentata
dalla prima componente. Il risultato è che con i test convenzionali è
spesso difficile distinguere questo tipo di non normalità, tuttavia il
comportamento di C pk può variare anche sostanzialmente (Gunter, 1989).
7.2 Il metodo di Clements
Un metodo per costruire gli indici C p e C pk , basato sull’assunzione
Figura 7.1: Fonte: Kotz e Johnson (1993)
Per costruzione le distribuzioni hanno la stessa media µ e la stessa
deviazione standard σ, di conseguenza hanno gli stessi valori per C pk e
C p . Tuttavia, le proporzioni (in parti per milione ppm) di elementi NC al
di fuori dei limiti ±3σ sono notevolmente diverse:
nel caso 1)
nel caso 2)
nel caso 3)
nel caso 4)
14000 (tutti al di sopra di 3σ );
4000 (metà sopra 3σ e metà sotto −3σ );
0;
2700 (metà sopra 3σ e metà sotto −3σ ).
Dall’esempio si comprende che si corre il rischio di giungere a
conclusioni errate se si valuta la capacità di un processo con gli indici
tradizionali quando la caratteristica di qualità non segue la distribuzione
normale.
33
che la distribuzione del processo possa essere adeguatamente
rappresentata da una variabile casuale appartenente al sistema delle
distribuzione di Pearson è stato proposto da Clements (1989).
Il sistema di distribuzioni di Pearson è definito per funzioni di densità,
f(x), che soddisfano l’equazione differenziale:
d (log f ( x ))
− (a + x )
=
dx
c0 + c1 x + c2 x 2
(7.2)
Il valore dei parametri c0 , c1 , c2 , determina la forma del grafico di f(x).
La forma delle curve può variare sensibilmente e dipende dalle radici
dell’equazione di secondo grado:
c0 + c1 x + c2 x 2 = 0
(7.3)
Alcune distribuzioni appartenenti al sistema di curve di Pearson sono:
34
- c0 > 0; c1 = c2 = 0
(distribuzione Normale)
- ; c1 ≠ 0; c2 = 0
U p = µ + θ uσ
e
- radici reali, ma di segno opposto
(distribuzione Beta)
- c1 = 0; c0 , c2 > 0
(distribuzione t-Student).
e quindi U p − L p = (θ u − θ l )σ = θσ con θ u − θ l = θ
per cui
Cp =
Ricordando che
Cp =
USL − LSL
d
=
6σ
3σ
dove
6σ
rappresenta l’intervallo
µ + 3σ − ( µ − 3σ ) che nel caso di
naturale di tolleranza,
X∼ N ( µ , σ 2 ) è tale che
Pr{ X ∉ ( µ + 3σ , µ − 3σ )} = 0.0027 , Clements propone come intervallo
di tolleranza naturale
U p − Lp
(7.4)
{
USL − LSL
θσ
L0.135
{
}
Riguardo a C pk Clements propone di calcolarlo nel seguente modo
}
(
C pk = min C pl , C pu
( Pr X ≤ Lp = 0.00135 ) della distribuzione della
considerata.
L’indice di capacità calcolato secondo il metodo di Clements risulta
quindi
USL − LSL
U p − Lp
Cp =
(7.5)
4
θu =
si ha
σ
e
θl =
σ
dove
µ3 = M [( x − x ) 3 ] =
β2 = µ4 σ 4
dove µ4 è calcolato in maniera analoga a
35
(7.7)
L’indice di asimmetria è dato dall’espressione:
mentre l’indice di Kurtosi si determina in questo modo:
Lp − µ
)
dove
β1 = µ3 σ 3
Se si considerano i percentili standardizzati,
Up − µ
(7.6)
Il metodo ha i seguenti meriti: quando la distribuzione è Normale gli
indici sono esattamente gli stessi di quelli ottenuti con il metodo
tradizionale ( θ u = 3 θ l = −3 e θ = 6 ); è relativamente facile da calcolare
manualmente o con un calcolatore; non richiede una trasformazione
matematica dei dati.
Nella tabella 7.1 (Kotz e Johnson 1993) sono riportati i percentili
standardizzati θ U e θ l per distribuzioni appartenenti alla famiglia della
curve di Pearson. I percentili sono tabulati in funzione dei valori
dell’indice di asimmetria β 1 , e del coefficiente di Kurtosi4 β 2 .
Dove U p è il percentile U 99 .865 , cioè Pr X ≥ U p = 0.00135 , e Lp è il
percentile
Lp = µ + θ lσ
(distribuzione Gamma)
µ3 .
36
1
n
n
å(x − x)
i
i =1
3
C pl =
Mediana − LSL
Mediana − L p
C pu =
USL − Mediana
U p − Mediana
(7.8)
Nel caso di normalità C pl C pu e C pk calcolati con il metodo di Clements
coincidono con gli indici calcolati nel caso generale
Esempio 7.1
Si supponga che
β 1 = 1 e β 2 = 5 . Sulle tavola si trova
θ l = −2.023 e θ u = 4.539 , quindi θ = 2.023 + 4.539 = 6.572 . L’indice
varrà quindi
Cp =
USL − LSL
6..572σ
•
A fini operativi per il calcolo degli indici di capacità l’autore propone un
utile foglio di lavoro (Clements 1989), facilmente implementabile in un
qualsiasi foglio elettronico. Nella tabella 7.2 è descritto il foglio di lavoro
e nell’esempio 7.2 si illustra il suo utilizzo. Per le tabelle necessarie al
suo utilizzo si rimanda al lavoro originale.
Esempio 7.2
Relativamente ad un processo produttivo sono dati i seguenti limiti
di specificazione: USL=32, LSL=4. Utilizzando un campione si
calcolano le seguenti statistiche relative al processo:
media
scarto quadratico medio
indice di asimmetria
indice di Kurtosi
Tabella 7.1. Per ogni combinazione ( β 1 ,β 2) la prima riga contiene il
percentile θ l , la seconda θ u . Se
Kotz e Johnson (1993).
β 1 < 0 invertire θ l con θ u . Fonte
37
X =10.5
s=3.142
β 1 =1.14
β 2 =2.58
Utilizzando la tavola 1a (in quanto β 1 è positivo) si determina il
percentile 0.135 standardizzato:
θ l = 2.026 (mentre effettuando la doppia interpolazione lineare di
ricaverebbe θ l = 1.911).
38
FOGLIO DI LAVORO PER IL CALCOLO DEGLI INDICI DI
CAPACITA’ CON IL METODO DI CLEMENTS. ( 5)
(1) Inserire i limiti di specificazione.
Specifica superiore
Specifica inferiore
(2) Inserire le statistiche del processo.
Media
Deviazione Standard
Skewness
Kurtosi
(3) Percentile 0,135 standardizzato.
Per Skewness positivo usa tabella 1a
Per Skewness negativo usa tabella 1b
(4) Percentile 99,865 standardizzato.
Per Skewness positivo usa tabella 1b
Per Skewness negativo usa tabella 1a
(5) Mediana standardizzata (tabella 2).
Per Skewness positivo cambia segno
Per Skewness negativo lascia uguale
(6) Calcolo del percentile 0,135 stimato.
x − s θl
(7) Calcolo
stimato.
del
percentile
USL
LSL
x
s
SK
KU
θl
θu
M’
Lp
99,865
Up
x + s θu
(8) Calcolo della mediana stimata.
x + sM '
(9) Calcolo degli indici di capacità del
processo.
(USL-LSL)/(Up-Lp)
(M-LSL)/(M-Lp)
(USL-M)/(Up-M)
MINIMO TRA Cpu E Cpl
M
Cp
Cpl
Cpu
Cpk
Tabella 7.2. Successione delle operazioni nel metodo di Clements.
Utilizzando la tavola 1b (in quanto β 1 è positivo) si determina il
percentile 99.865 standardizzato:
θu = 4.736 (mentre effettuando la doppia interpolazione lineare di
ricaverebbe θu = 4.739).
Utilizzando la tavola 2 si determina la mediana standardizzata:
M’=-0.148 (mentre effettuando la doppia interpolazione lineare di
ricaverebbe M’=-0.159).
Calcolo della stima del percentile 0.135:
Lp= 10.5-(3.142)(2.026)=4.134 (con i valori interpolati 4.496)
Calcolo della stima del percentile 99.865:
Up= 10.5+(3.142)(4.736)=25.381 (con i valori interp. 25.390)
Calcolo della stima della mediana:
Lp= 10.5+(3.142)(0.026)=4.134 (con i valori interpolati 4.496)
Calcolo di C p :
C p =(32-4)/(25.381-4.13)=1.32
(con i valori interpolati 1.34)
Calcolo di C pl :
C pl =(10.035-4)/(10.035-4.134)=1.02
(con i valori interpolati
1.09)
Calcolo di C pu :
C pu =(32-10.035)/(25.381-10.035)=1.43 (con i valori interpolati
1.43)
Calcolo di C pk :
minimo tra C pl e C pu
C pk =1.02
(con i valori interpolati 1.02)
Riferimenti Bibliografici
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Statist.,vol.39, 331-340
L. K. Chan, S. W. Cheng, F.A. Spiring (1988), A New Measure of
Process Capability: Cpm Journal of Quality Technology, vol.20, No.3
5
Nel foglio di lavoro si fa riferimento alle tabelle 1a, 1b e 2. Per consultarle vedere
Quality Progress/ September 1989.
39
40
L. K. Chen, Z. Xiong, D. Zhang (1990) On asymptotic distribution of
some process capability indices, Commun. Statist-Theor. Meth., vol.19,
11-18
UNI EN ISO 9000-1 (1994) “Norme di gestione per la qualità e di
assiscurazione della qualità- Guida per la scelta e l’utilizzazione” UNI,
Milano
J. A. Clements (1989), Process capability calculations for non-normal
distributions, Quality Progress, Vol.22 (2) 49-55.
UNI EN ISO 9004-1 (1994) “Gestione per la qualità ed elementi del
sistema qualità- Guida generale” UNI, Milano
L. A. Franklin, G. S. Wasserman (1992), A note on the conservative
nature of the tables of lower confidence limits for C pk with a suggested
UNI EN ISO 9004-4 (1995) “Gestione per la qualità ed elementi del
sistema qualità- Guida per il miglioramento della qualità” UNI, Milano
correction, Commun. Statist. Simul. Comp.
E. L. Grant, R. S. Leavenworth (1996) Statistical Quality Control, 7° ed.
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Technical Report No. 320, Tech. Library, Advanced Micro Devices, Inc.
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S. Kotz, N. L. Johnson (1993), Process Capability Indices, Chapman
& Hall, London.
H. J. Mittag, H.Rinne (1993) Statistical Methods of Quality Assurance
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Third Edition, John Wiley & Sons, New York.
UNI EN ISO 8402 (1995) “ Gestione per la qualità ed assicurazione
della qualità- Termini e definizioni” UNI Milano.
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42