metodologia per il calcolo della capacita` di un processo per

Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS)
XXXVI Convegno Nazionale – 4-8 Settembre 2007
Università degli Studi di Napoli Federico II – Seconda Università degli Studi di Napoli
METODOLOGIA PER IL CALCOLO DELLA CAPACITA’ DI UN
PROCESSO PER PROCESSI - PRODOTTI NON GAUSSIANI
Luca Landi
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università degli Studi di Perugia, Via Duranti 1 –
60125, Perugia, e-mail:[email protected]
Parole chiave: indici di capacità, processi non gaussiani, qualità ed affidabilità dei sistemi
meccanici
Abstract
The main objective of this research is producing an integrated assembly of analytical and
graphical methodologies in order to help the quality manager to estimate the statistically
correct capability indices of a product – process [1].
The evaluation of capability indices (see after their mathematical definition) through
industrial sampling [1-2] fits the real values when the prospective sampling errors are
recognized and eliminated while the Gaussian hypothesis of the process is respected.
So the main goal of this research is to give the analyst a complete set of methodologies for
sampling errors recognition and removal. Moreover it will also supply correct estimation of
capability indices when the distribution Gaussian hypothesis of the is not valid.
Sommario
La presente ricerca ha come obbiettivo lo sviluppo di un insieme coerente di metodologie
grafiche e analitiche che siano in grado, in prima istanza, di aiutare il responsabile della
qualità a formulare ipotesi statisticamente valide sulla variabilità di un processo – prodotto
tramite gli indici di capacità del processo maggiormente utilizzati nella pratica industriale.
La stima degli indici di capacità di un processo (si veda la memoria per la loro definizione
analitica) tramite campionamento [1-2] risulta essere corretta qualora vengano eliminate
eventuali anomalie dello stesso e rispettata l’ipotesi di distribuzione normale del processo
sotto osservazione.
Scopo di questa attività è quindi quello di trovare delle metodologie atte all’individuazione
della non normalità del prodotto e degli eventuali difetti di campionamento anche per
campioni piccoli (ad esempio errori di azzeramento o deriva nella misura) e di fornire dei
metodi statisticamente corretti per il calcolo degli indici di capacità del processo anche nel
caso di dati non gaussiani.
Introduzione
Il confronto tra la variabilità naturale e i limiti di specifica ha applicazioni in più parti del
ciclo di vita di un prodotto anche nella stessa scelta iniziale delle specifiche di progetto.
Questa attività generale, detta analisi di capacità del processo, si esplica attraverso l'uso di
strumenti come istogrammi, grafici o carte di probabilità, carte di controllo ed indici di
capacità. In particolare per controllare la variabilità dei processi - prodotti sono molto
utilizzati i cosiddetti indici di capacità del processo che hanno l’indubbia qualità, come tutti
gli stimatori puntuali, di essere comprensibili anche a persone non esperte nel campo della
statistica.
Negli anni si è quindi diffuso l'utilizzo di questi indicatori anche nelle clausole dei contratti
con i fornitori, ad esempio come garanzia di qualità sulla fornitura delle materie prime,
semilavorati o componenti.
Tuttavia spesso c'è poca conoscenza dei rischi che comporta l'utilizzo di questi indici. La
stessa norma UNI ISO 3534-2 del febbraio del 2000 [3], al punto 3.2 avvisa che non esiste
un accordo sulla definizione dell’indice di capacità e si limita a presentare i coefficienti
tradizionali più diffusi e a ricordare che questi si basano sull’ipotesi di distribuzione
normale. Il responsabile della qualità quindi non si può esimere dal verificare, nell’ottica ad
esempio della stesura di una procedura di controllo in accettazione, la bontà statistica del
campione da cui saranno estratti gli indici di capacità del processo.
Si capisce che la stima puntuale della capacità del processo tramite i suddetti indici risulta
essere azzardata senza una verifica preliminare in termini, ad esempio di bontà di
adattamento alla distribuzione gaussiana del campione estratto. Nei prossimi paragrafi
verranno quindi presentati gli indici di capacità del processo maggiormente utilizzati a
livello industriale e le tecniche scelte per la verifica delle ipotesi di gaussianità del dato.
Sarà poi presentata la metodologia sviluppata, a partire da strumenti sia grafici che analitici,
che permette un rapido calcolo dei reali indici di capacità anche per processi non gaussiani.
Indici di Capacità per un Processo gaussiano
La necessità scaturite nella stima della capacità di processi industriali molto diversi tra di
loro hanno portato alla definizione di una vasta gamma di indici di capacità del processo a
seconda dell’ambito industriale di pertinenza [1-4].
Quelli più noti ed utilizzati sono i cosiddetti indici di capacità di processo di prima e
seconda generazione.
Il più noto in assoluto, atto alla stima della capacità di processi gaussiani centrati (in cui
cioè la media del campione cada esattamente al centro dell’intervallo di specifica), risulta
essere il cosiddetto Cp.
Detto USL il limite di specifica superiore (Upper Specification Limit), LSL il limite di
specifica inferiore (Lower Specification Limit), e σ la deviazione standard del processo si
definisce il Cp per specifiche bilaterali come:
− LSL )
6σ
Per specifiche unilaterali si ha quindi, detta µ la media del processo:
Cp =
CU =
(USL
(USL
− µ)
3σ
, specifica superiore
(µ −inferiore
LSL )
, specifica
CL =
3σ
(1)
(2)
(3)
Per processi non centrati uno degli indici più utilizzati è in cosiddetto Cpk:
Cpk= min (Cu, Cl)
(4)
Nella pratica industriale questi indici verranno poi stimati poiché sia la media che la
deviazione standard del processo - prodotto non sono di solito conosciuti a priori.
I due indici, nella loro semplicità, forniscono una buona indicazione, per una produzione
sotto controllo, delle difettosità reale (Cpk) e potenziale (Cp) sotto l’ipotesi di gaussianità.
Gli indici di capacità del processo sono quindi indicatore delle parti per milione (ppm) di
non conformità (difetti) che il processo ha. Le non conformità possono essere comunque
agevolmente calcolate, ad esempio per specifiche bilaterali, tramite la definizione di
cumulata gaussiana (5):
  + 3Cp 1
ppm = 1 −  ∫
  −3Cp 2π
−
e
x2
2

dx  * 1000000


(5)
Si riesce quindi a scrivere la difettosità, che poi è la caratteristica del processo interessante
per l’analista, in termini di Cp con una relazione biunivoca universalmente conosciuta:
Cp
0.25
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
2.00
Specifiche unilaterali
226628
66807
35931
17865
8198
3467
1350
484
159
48
14
4
1
0.17
0.03
0.0009
Specifiche bilaterali
453255
133614
71861
35729
16395
6934
2700
967
318
96
27
7
2
0.34
0.06
0.0018
Tabella 1 - Legame fra Cp e difettosità (ppm)
Nella prassi industriale questi indici vengono applicati in modo spesso errato, da persone
che hanno soltanto delle conoscenze basilari di statistica, non tenendo conto delle ipotesi
fondamentali che regolano l’applicabilità del metodo e cioè: processo sotto controllo e
normalità del dato.
Nel campionamento industriale è quindi una priorità prevalente l’ottenimento di semplici
metodologie grafiche e analitiche che siano in grado, in prima istanza, di aiutare il
responsabile della qualità a formulare inferenze statisticamente valide sulla natura e sulla
“qualità” del campione osservato. Devono essere quindi prioritariamente individuate
eventuali anomalie dovute ad un non corretta estrazione del campione stesso (ad esempio
errori di misura) e successivamente devono essere verificate le ipotesi di distribuzione
gaussiana alla base degli indici di capacità del processo.
Nel momento in cui non ci sono “prove statistiche” che il dato campionato, e quindi il
processo, sia gaussiano, calcolare un qualsivoglia indice di capacità di processo utilizzando
le note formule (1-4) può portare a degli errori di valutazione affatto trascurabili.
Test di Ipotesi per l’adattamento dei dati, dati non gaussiani
I vari autori hanno evidenziato come, specialmente in presenza di distribuzioni
asimmetriche, gli indici di capacità di processo comunemente calcolati portano a delle
errate valutazioni della capacità del processo in termini delle reali ppm di difformi [5-6].
Per cercare di risolvere questa distorsione molti autori sono ricorsi alla trasformazione dei
dati di partenza attraverso funzioni non lineari (essenzialmente elevazioni a potenza e
logaritmi) che tendono a rendere gaussiani i dati stessi [1,7].
Per far questo però bisogna comunque realizzare una inferenza sulla distribuzione dei dati
stessi, se non altro per praticare la trasformazione più consona del campione; la
trasformazione stessa comunque porta comunque ad una distorsione degli indici ben
evidenziata in [7].
Si ritiene quindi che una strada percorribile con successo sia quella di utilizzare
principalmente una regressione (fitting) ad una data distribuzione (ad esempio gaussiana)
per calcolarsi la distribuzione che meglio rappresenta il processo in oggetto. Dopo aver
verificato statisticamente la bontà di adattamento del campione alla distribuzione ipotizzata
(con le tecniche che verranno spiegate in seguito), si può quindi direttamente calcolare la
difettosità del processo (ppm) tramite la cumulata della distribuzione nell’intervallo USL –
LSL e, con i dati di tabella 1, ricavare una stima del Cpk capacità attuale del processo.
Essendo infine il Cp il limite teorico del Cpk per processi centrati si può simulare
velocemente uno spostamento della media del processo sulla regressione trovata per
ricavare la potenzialità teorica massima del processo stesso.
Risulta a parere dello scrivente, necessario introdurre brevemente le capacità inferenziali
dei test di ipotesi [1,5].
L'inferenza si basa sull'utilizzazione di test, ossia di processi logico-matematici, che
mediante il calcolo di probabilità specifiche, portano alla conclusione di poter respingere o
meno l'ipotesi della “casualità”. La cosidetta ipotesi nulla, indicata di norma con H0,
sostiene che le differenze tra gruppi, o le tendenze riscontrate, siano imputabili
essenzialmente al caso, e che, quindi, con una certa probabilità (confidenza, α) si possa
affermare che quei dati si distribuiscono o meno secondo un a certa distribuzione, con una
media o una varianza comprese in un certo intervallo.
Tecniche di inferenza molto utilizzate in passato sono quelle della statistica parametrica,
che comprendono, ad esempio i noti test t di Student e il test F di Fisher-Snedecor [1].
La statistica parametrica si basa sull'ipotesi di distribuzione gaussiana, cioè nella
definizione stessa del test si fa uso delle proprietà della distribuzione normale.
Nel caso in cui l’ipotesi gaussiana sia rispettata questa categoria di test parametrici sono i
più efficaci per il successivo conseguimento dell’adattamento (i.e. stima dei parametri
media e deviazione standard) poiché utilizzano tutte le potenziali informazioni derivabili
dalla distribuzione in oggetto.
Nella pratica industriale però la gaussianità è difficile da dimostrare o addirittura non è
rispettata affatto. In questi casi si deve ricorre alla statistica non parametrica [8].
I test non parametrici possono essere visti essenzialmente come dei test di bontà di
adattamento ad una distribuzione qualsivoglia, il fitting viene valutato tramite un test sulla
differenza fra il campione estratto e l’andamento ipotizzato in termini di densità di
probabilità (PDF) o cumulata (CDF).
A seconda del test non parametrico utilizzato, in funzione della numerosità del campione
(n) e della confidenza, i vari autori hanno fornito delle tavole di valori critici che portano
l’analista ad accettare o rifiutare l’ipotesi test cioè che i dati si adattino o meno alla
distribuzione ipotizzata.
Spesso infatti nella pratica industriale è possibile disporre solo di pochi dati, che sono
assolutamente insufficienti per dimostrare a priori la normalità della distribuzione con le
tecniche parametriche in particolare, quando il processo studiato è nuovo e non è possibile
citare dati di altre esperienze.
I metodi non parametrici sono meno potenti dei corrispettivi parametrici in caso in cui il
campione si adatti bene all’ipotesi H0 (cioè quando difficile rifiutare l’ipotesi nulla: H0 ~
gaussiana); ma quando l’ipotesi nulla è rifiutata, generalmente le conclusioni non possono
essere sospettate d’invalidità. In altre parole, se il risultato del test non parametrico è che i
dati si distribuiscono secondo la gaussiana possiamo essere “relativamente” certi che sia
vero, mentre se il risultato è che i dati non sono distribuiti normalmente, allora possiamo
essere certi che non lo siano davvero [8].
Sono stati utilizzati (ed implementati direttamente quando non disponibili) una serie di test
non parametrici per la bontà d’adattamento alle distribuzioni normale, gamma e weibull [9]
all’interno di Matlab:
• Lilliefors, valuta la diffferenza massima delle distanze tra le frequenze osservate e
attese (PDF);
• Jaque-Bera, è basato sui momenti di terzo e quarto ordine del campione [1,8];
essendo un test asintotico è utilizzabile solo per grandi campioni;
• Kolmogorov-Smirnov, si fonda sulle distribuzioni cumulate, in questo test, il
confronto tra distribuzione osservata ed attesa viene realizzato mediante il valore
di massima divergenza tra le due distribuzioni cumulate (CDF).
• Anderson-Darling, anche questo test si basa sul confronto tra le curve cumulate e
per di più ha la caratteristica di utilizzare i logaritmi per valutare la distanza critica
del test. Questo fatto rende il test più insensibili agli errori nelle code dei campioni
(errori di misura spuri ad esempio) ed è utilizzabile anche con un campione
ristretto.
Per una descrizione più dettagliata dei test e per conoscere i valori critici dei test stessi in
funzione della numerosità del campione e della confidenza si veda [9].
Potenza ed Errore dei Test non parametrici implementati
Il controllo di qualità su produzioni reali ha portato a considerare essenzialmente
distribuzioni di tre tipi: gaussiana, gamma e weibull [1,9].
Durante la ricerca si sono quindi implementate test non parametrici atti a “riconoscere”
questi tre tipi di distribuzioni molto importanti. In particolare con la gamma, al variare dei
suoi parametri, si può ottenere sia una esponenziale che una buona approssimazione della
gaussiana, la weibull è nota per la sua flessibilità ed è molto utile, ad esempio, per
regressioni di dati approssimativamente gaussiani con dissimmetrie più o meno accentuate.
Sono stati quindi implementati 7 test non parametrici indipendenti e 3 test combinati per
evidenziare l’appartenenza di un certo campione ad una certa distribuzione (i.e. test di
gaussianità):
1. Lillie, test gaussiano di Lilliefors
2. JB, test gaussiano di Jaque Bera
3. KSgauss, test gaussiano di Kolmogorof-Smirnoff
4. ADgauss, test gaussiano di Anderson Darling
5. KSwbl, test di Kolmogorof-Smirnoff per distribuzione di Weibull
6. ADwbl, test di Anderson Darling per distribuzione di Weibull
7. KSgamma, test di Kolmogorof-Smirnoff per distribuzione gamma
8. ANDgauss, test combinato di gauss (H1 se i 4 test di gauss rifiutano H0)
9. ORgauss, test combinato di gauss (H1se almeno 1 dei 4 test di gauss rifiuta H0)
10. ORwbl, test combinato di weibull (H1 se almeno 1 dei 2 test di weibull rifiuta H0)
Sono state eseguite moltissime simulazioni atte a riscontrare la capacità dei vari test a
riconoscere le distribuzioni in esame tramite campioni 10000 elementi estratti da generatori
gaussiani, weibull e gamma per confidenze e numerosità campionarie differenti.
Il problema principale risulta infatti quello di ottimizzare la confidenza del test per
campioni piccoli (n<100) in modo da non penalizzare troppo la potenza del test stesso cioè
la capacità di riconoscere la non gaussianità.
Nella figura 1 successiva viene riportata, a titolo di esempio, la potenza dei test gaussiani e
gamma sviluppati nel riconoscere un campione estratto da una weibull simile ad una
distribuzione gaussiana (parametri a=4000 e b=0.05 secondo la formulazione offerta da
Matlab ver. 7) con media 200 e varianza 10 al variare della numerosità del campione.
Figura 1- Potenza dei test gaussiani per campionamenti da weibull in funzione della
numerosità campionaria (α = 0.05).
Da questa immagine si nota che:
• i test KS sono molto meno potenti rispetto agli altri e quindi saranno ignorati nelle
simulazioni seguenti;
• per piccoli campioni i test più efficaci si sono dimostrati essere l’ADgauss e il JB.
Come logico il più potente è il testo combinato ORgauss ma questo da anche un
maggior numero di errori a parità delle altre condizioni, praticamente doppio
rispetto alla confidenza del singolo test (si veda [9] e la figura successiva).
Inoltre è’ molto importante notare come, quando i dati siano estratti da una gamma molto
simile ad una gaussiana di pari parametri, la potenza dei test gaussiani risulta essere
insoddisfacente anche per numerosità campionaria alta [9]. Per il test combinato ORgauss la
potenza del test si assesta nell’ordine del 10%, questo a causa della differenza molto piccola
fra le due distribuzioni che comunque porterà a capacità del processo pressoché
equivalenti.
Nella figura 2 si riportano i grafici riassuntivi della potenza ed errore dei vari test, per
confidenza 0.01, 0.05 e 0.1, riscontrati utilizzando rispettivamente: 10000 campioni
gaussiani a media 100 e deviazione standard 0.15 per la rilevazione dell’errore e 10000
campioni weibull (a=800, b=100) per la rilevazione della potenza dei test.
Questi ultimi grafici sembrano suggerire che il giusto compromesso fra potenza del test ed
errore commesso sia proprio una confidenza pari a 0.05, il test Jaque Bera per piccoli
campioni, pur essendo meno potente rispetto agli altri risulta essere meno influenzato dalla
confidenza dal test stesso.
Figura 2- Potenza ed errore dei test gaussiani, compreso ORgauss, in funzione della
numerosità campionaria e della confidenza
Per il test ORgauss, ottenuto solamente i tre test Lillie, JB e ADgauss con una confidenza
pari a 0.05, si trova che l’errore del test stabilizzato risulta essere intorno all’ 11%. Per
ulteriori informazioni sulla potenza, sulla capacità dei test in presenza di miscuglio, sugli
errori degli altri test considerati e sulla indipendenza dei test si veda [9].
Metodologia sviluppata
Come risulta chiaro dalle considerazioni precedenti, la corretta stima degli indici di capacità
del processo necessita di strumenti per la rapida analisi della bontà di adattamento del
campione alla distribuzione gaussiana, gamma e weibull integrati da strumenti per il calcolo
automatico della capacità del processo sia nel caso che l’ipotesi gaussiana sia
statisticamente valida sia che il test dia risultato negativo (H1).
Nella figura sottostante viene presentato il diagramma di flusso della metodologia
implementata e delle sue applicazioni principali.
Dati
Fase di analisi
METODO QUANTITATIVO
(test non parametrici)
METODO QUALITATIVO
(grafici PDF e CDF del best
fitting)
ANALISI
CONGIUNTA
DELLE RISPOSTE
Fase di calcolo
No
No
Weibull?
[Gamma?]
ipotesi
gaussiana?
Si
Si
CALCOLO DEL Cp
e Cpk CON STIME
INTERVALLARI E
TEST DI KANE
ERRORI
MISURA non
applicabilità
del Cp
REGRESSIONE E
CALCOLO Cp e Cpk
DALLE ppm
Figura 3- Diagramma di flusso della metodologia implementata
La fase di analisi consta essenzialmente di strumenti grafici e di calcolo utili per la verifica
della bontà di adattamento e della qualità del campione estratto (box rosso fig. 3).
Si prenda a titolo di esempio un test effettuato su un reale campione estratto su misure sul
diametro di fori su un componente automobilistico di una nota casa automobilistica [9,
pagina 90]. Il campione ha n=20 dati espressi in millimetri e risulta quindi essere di
numerosità ridottissima per un qualsivoglia test .
La misura ha una media nominale attesa pari a 32.8 mm e una tolleranza per i limiti di
specifica di ±0.2 mm.
Test
Lillie
J-Bera
Ksgauss
KSwbl
Ksgamma
Adgauss
Adwbl
Ho
1
0
0
0
0
1
0
Statistica calcolata
0.1847
0.8380
0.1847
0.1712
0.1872
0.6327
0.5570
Valore critico
0.1740
4.6052
0.2647
0.2647
0.2647
0.6310
0.6370
Tabella 2 – Test per il campione n=20 per diametro 32.8 mm ±0.2 mm, . α=0.1
Utilizzando i test non parametrici appena introdotti con α = 0.05 non si hanno indicazioni di
sorta proprio a causa dell’esiguità del campione, passando ad α = 0.1, e quindi aumentando
la potenza del test (ed anche l’errore), si ottengono i risultati di tabella 2.
Come si vede dai risultati ben due dei tre test gaussiani smentiscono l’ipotesi di normalità
della distribuzione. Per aiutare l’analista nella decisione sono poi stati integrate delle
routine che calcolano e visualizzano i serie grafici che mettono a confronto il campione in
analisi con le regressioni dei dati secondo una gaussiana, gamma e weibull in termini di
PDF, CDF e bontà di adattamento (si vedano rispettivamente le figure 4 5 e 6 sotto riportate
per l’esempio di tabella 2).
Figura 4- Grafico PDF per il campione estratto da misura di diametro
Figura 5- Grafico CDF per il campione estratto da misura di diametro
A seconda del tipo di deviazione del campione dal comportamento gaussiano, il
comportamento mesocurtico, leptocurtico e/o asimmetrico sarà più evidente nell’uno o
nell’altro grafico.
Dopo aver preso coscienza del migliore adattamento alla weibull per questo specifico caso
il responsabile della qualità utilizzerà le funzioni appositamente sviluppate per la fase di
calcolo (box blu fig. 3) per processi non gaussiani. Utilizzando la regressione scelta
l’applicazione, tramite il calcolo delle ppm di difformi direttamente dalla regressione,
restituisce dei valori realistici degli indici di capacità del processo. Per l’esempio
precedente si ottiene quindi, con LSL=32.6 mm e USL=33.0 mm: Cpk=0.35, molto
differente da quello erroneamente calcolabile sotto l’ipotesi di gaussianità che invece è
0.15. Il Cp invece è pari a 0.71, di poco inferiore al valore “gaussiano” pari a 0.77. E’ molto
importate rimarcare ancora che il valore Cpk è l’indicatore della reale capacità del processo
al momento del campionamento e che quindi è il valore ricercato nel campionamento in
linea di produzione.
Figura 6- A sinistra grafico di bontà di adattamento per il campione di tabella 2, a destra
bontà di adattamento per campione affetto da offset durante la misura
Il grafico di bontà di adattamento si è inoltre dimostrato molto utile nell’evidenziare
eventuali errori di misura. Nella figura 6 a destra è stato riportato il suddetto grafico per un
campione n=30 estratto da una prova di posizionamento per una macchina che stampa
etichette su schede elettroniche. E’ risultato evidente come l’apparecchiatura di misura era
stata riazzerata dopo 6 campioni. L’indice effettivo di capacità Cpk doveva, da contratto,
essere maggiore di 1. Una volta corretto l’errore di misura l’analisi del campione ha messo
in evidenza il buon adattamento dei dati ad una Weibull [9]. Questa mostra che l’indice
effettivo Cpk delle ppm di difettosi vale 1.08 ed è pertanto maggiore di quello richiesto,
l’indice potenziale Cp è invece pari a 1.11. Se si fosse calcolato il Cp ipotizzando la
distribuzione gaussiana, si sarebbe ottenuto un valore più basso, addirittura sotto a quello
minimo richiesto al processo, essendo in tal caso Cpk=0.86.
Nel caso in cui il campione risulti essere distribuito secondo una gaussiana, sono state
implementate altre funzioni che sono in grado di (box blu figura 3 a destra):
• stimare l’indice di capacità di processo con le formule classiche presentate
precedentemente;
• calcolare la stima intervallare del Cp con la confidenza scelta;
• calcolare in test di Kane per campioni gaussiani [9].
Con questo ultimo test, data una confidenza e una numerosità campionaria si riesce a
formulare un test di ipotesi molto importante ai fini contrattuali e cioè dimostrare che
l’indice Cp soddisfa o eccede un certo valore di riferimento Cp0 con una certa confidenza
fissata. Per dimostrare che il processo è “capace” dobbiamo rifiutare H0.= Cp ≤ Cp0 (ovvero
il processo non ha capacità sufficiente) tramite l’ausilio di un valore critico Ccr e due valori
soglia della capacità del processo Cp(sup) e Cp(inf). Quest ultimo di solito viene posto
uguale al valore contrattuale della capacità da rispettare.
Il test di Kane insieme alla stima intervallare del Cp, risulta essere molto utile nelle fasi di
definizione delle procedure di campionamento per un nuovo processo-prodotto. Infatti,
fissando la confidenza, si possono simulare i risultati ottenibili in termini di intervallo di
confidenza e Ccr di Kane in funzione della numerosità campionaria scelta e, quindi, del
costo del campionamento.
Conclusioni
La pratica industriale per la stima della capacità del processo tende a minimizzare i costi dei
test tramite campioni molto ridotti (n<30). E’ dimostrato che procedere nella stima della
capacità del processo accettando acriticamente l’ipotesi gaussiana dei dati tende spesso a
sovrastimare l’indice di capacità reale del processo, ad esempio, nel caso di una asimmetria
della distribuzione della caratteristica di qualità sotto esame.
E’ stata quindi sviluppata una serie coerente di strumenti integrati grafici e quantitativi per
l’analista che sono in grado di aiutare lo stesso nella verifica dell’ipotesi gaussiana dei dati
anche nel caso di campioni ridottissimi. In special modo per i test non parametrici sviluppati
si è riscontrato che quelli di Lilliefors, Jacque-Bera e Anderson-Darling possono risultare
molto utili nel caso di distribuzioni la cui regressione porta ad un adattamento alla
distribuzione di weibull come spesso avviene nella pratica industriale.
Bisogna sempre tener presente il compromesso tra potenza ed errore del test, in relazione al
livello di confidenza α scelto.
La distribuzione gamma, teoricamente diversa dalla gaussiana, risulta nella pratica dei
processi industriali praticamente sovrapposta a quest’ultima e difficilmente “riconoscibile”
con pochi dati campionari.
Bibliografia
[1] - D.C. Montgomery, “Controllo statistico della qualità, McGraw-Hill”, seconda
edizione, (2006)
[2] - V.E. Kane,” Process capability indices”, Journal of Quality Technology 18 (1) (1986)
41-52.
[3] – UNI ISO 3534-2:2000, “Statistica - Vocabolario e simboli - Controllo statistico della
qualità”, Febbraio 2000
[4] – Mats Deleryd, “A pragmatic view on process capability studies”, Int. J. Production
Economics 58, (1999) pp. 319-330
[5] - Chiodini P. M. e Magagnoli U., “Indici di Capacità di Processo in Presenza di
Situazioni che si allontanano dalla legge Normale”, Atti del Convegno della Società
Italiana di Statistica, (2000) pp. 229-232.
[6] - Clements J. A. “Process Capability Calculations for Non-Normal distributions”,
Quality Progress, 22, (1989), pp. 95-100.
[7] – L.A. Rosas Riviera, et altrii, “Cpk index estimation using data transformation”,
Computer industrial engineering, Vol. 29, N0. 1-4, 1995, pp 55-59
[8] - W. J. Conover , “Practical Nonparametric Statistics”, John Wiley & Sons Canada,
Ltd.; Third Edition edition,Dec (1998)
[9] – Tiziano Bianchi, “Indici di capacità di processo per produzioni non gaussiane”,tesi
di laurea triennale, Università degli Studi di Perugia A.A. 2005-2006.