LA DIMOSTRAZIONE IN AMBITO ARITMETICO: QUALE SPAZIO

LA DIMOSTRAZIONE IN AMBITO ARITMETICO:
QUALE SPAZIO NELLA SCUOLA SECONDARIA?
Nicolina A. Malara
INTRODUZIONE
Dato il tema del convegno, desidero iniziare con una riflessione sulla valenza
educativa generale della dimostrazione, a prescindere dal suo valore intrinseco alla
matematica e alla sua didattica e sui presumibili motivi del suo declino. Per questo
riporto, in ordine temporale, quanto espresso da due noti studiosi, i quali evidenziano
implicazioni importanti della dimostrazione, di tipo socio-politico, di solito poco
considerate.
G.Hanna (1995): La Dimostrazione è un argomento trasparente, in cui tutte le
informazione usate e tutte le leggi di ragionamento sono chiaramente espresse e aperte
alla critica. E’ proprio per la natura stessa della dimostrazione che la validità della
conclusione scaturisce non da alcuna autorità esterna ma dalla dimostrazione stessa. La
dimostrazione veicola agli studenti il messaggio che essi possono ragionare da se stessi,
che non hanno bisogno di piegarsi alla autorità. Dunque l’uso della dimostrazione in
classe è in realtà anti-autoritario
L. Russo (2000): La tendenza ad eliminare le dimostrazioni è oggi molto forte e segue
varie strade contemporaneamente: mentre il metodo dimostrativo è quasi completamente
scomparso dalle scuole secondarie dell’occidente, si stanno diffondendo (in particolare
negli USA) corsi di “fisica senza matematica”, nei quali la fisica è insegnata con un
metodo puramente descrittivo; inoltre le dimostrazioni tendono a sparire anche dai corsi
universitari di matematica (in Italia i corsi di matematica generale per Economia e gli
altri corsi “di servizio” hanno già quasi completato la trasformazione; per i corsi di
laurea in matematica e fisica un importante passo avanti in questa direzione sarà
compiuto con le lauree triennali appena istituite). In definitiva il metodo dimostrativo si
sta rifugiando in una “riserva indiana” costituita da pochi corsi di dottorato e pochi
settori della ricerca matematica (dove, essendo usato solo per fare carriera accademica,
potrà in breve essere sostituito da una qualsiasi altra tecnica sufficientemente astrusa).
Le conseguenze di questo processo sulle capacità argomentative diffuse sono
facilmente verificabili (e costituiscono la controprova dell’antico rapporto tra
dimostrazioni, capacità argomentative e democrazia).
Come è evidente dalla loro lettura, questi brani esaltano della dimostrazione non tanto
l’attitudine al ragionamento conseguenziale e coerente quanto aspetti educativi più
generali riguardanti la convivenza civile ed il confronto democratico. Il secondo brano
inoltre punta l’indice sul declino della dimostrazione nell’insegnamento a livelli anche
avanzati e prefigura come conseguenza il diffondersi nella società di una scarsa
coscienza critica e una passività intellettuale tragicamente nocive all’affermarsi di un
reale spirito democratico (questo tema è ampiamente trattato anche in Russo 1998). La
responsabilità degli insegnanti al riguardo va dunque ben oltre gli aspetti disciplinari,
pure molto importanti.
Ciò premesso, svilupperemo il nostro tema in due parti. Nella prima tratteremo
questioni di carattere generale sulla dimostrazione in matematica e su aspetti logicolinguistici ad essa connessi, soffermandoci sul problema delle scarse conoscenze al
riguardo degli studenti in ingresso all’università. Nella seconda parte affronteremo
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specificamente la questione della dimostrazione in ambito aritmetico e al ruolo del
linguaggio algebrico; ci soffermeremo a descrivere i risultati di uno studio, condotto
con futuri insegnanti di matematica, sui processi dimostrativi da loro messi in atto in
relazione a problemi nell’ambito dei numeri naturali; affronteremo poi un argomento
classico dell’educazione algebrica nord-europea: l’induzione di regolarità in sequenze
numeriche, in relazione a questo accenneremo al principio di induzione ed a problemi
connessi con la sua concettualizzazione.
LA DIMOSTRAZIONE IN MATEMATICA DAL PUNTO DI VISTA DIDATTICO
La dimostrazione è elemento cardine dello sviluppo della conoscenza matematica.
Davis ed Hersh (1981) sostengono addirittura che la dimostrazione caratterizzi
univocamente la matematica e che non vi sia matematica se non vi è dimostrazione.
Rilevano che, rispetto ad un dato argomento, la dimostrazione determina la validità di
enunciati, in genere non evidenti ed a volte insospettati, ed aumenta la conoscenza e
comprensione dell'argomento stesso. Richiamano poi il valore sociale della
dimostrazione, per il costante processo di critica e di conferma cui è sottoposta, che ne
suggella la rispettabilità e l'autorità.
A commento di queste tesi si può osservare che il significato da attribuire al termine
dimostrazione va inteso non tanto, o non solo, nell’aspetto di sistemazione di un
processo di ragionamento deduttivo ma riguarda anche l’attività di indagine in un
certo ambito, di formulazione di congetture e scoperta di nuove conoscenze. Questa
visione della dimostrazione, induttiva e deduttiva insieme, tipica della cultura di matrice
anglosassone, è presente anche in nostri importanti classici autori; ad esempio Vailati, a
proposito dell’insegnamento della geometria euclidea, nel 1904 scriveva “E’ di somma
importanza che l’allievo arrivi il più presto possibile a vedere nel processo di
dimostrazione un mezzo per passare dal noto all’ignoto, uno strumento cioè di prova
e, ancor più, di ricerca, mentre solo più tardi potrà apprezzarne e gustarne
l’efficacia come strumento di analisi, e di riduzione al minimo, dei concetti e delle
ipotesi fondamentali”1.
Riguardo alla validazione sociale della dimostrazione non va dimenticato che essa
risente di tutte le dinamiche della comunità di riferimento e della rilevanza che tale
comunità dà a certi risultati (Marchini 2000), cosa inoltre legata alla personalità ed al
ruolo nella comunità del loro autore. Ciò porta anche alla considerazione, a livello
internazionale, delle leadership politico-culturali dei vari paesi: non è un caso che
generalmente sia misconosciuto il primato di Ruffini sulla dimostrazione della
impossibilità dell’esistenza di una formula risolutiva per radicali di una equazione
algebrica di grado superiore al quarto o, ancor più semplicemente, che il suo metodo
per la divisione di un polinomio per uno lineare monico, molto applicato in ambito
informatico, sia denominato oggi, paradossalmente anche in Italia, come metodo di
Horner.
Tradizionalmente in Italia l'iniziazione dell'allievo alla dimostrazione avviene all'ingresso
della scuola secondaria superiore con lo studio della geometria euclidea. Il passaggio
dalla scuola media, dove lo studio della geometria è essenzialmente di tipo operativo e
1 Su questo aspetto si veda in questi atti il contributo di Lolli, in particolare quanto da lui riportato
circa i processi dimostrativi di Eulero; più in generale sull’evoluzione nella storia della
domostazione si veda Lolli (1988).
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basato sull'intuizione, alla scuola secondaria, dove lo studio si concentra sulle proprietà
delle figure geometriche che si desumono per inferenza logica da un sistema di assiomi
(o meno rigorosamente da un insieme di proprietà elementari assunte come vere),
determina negli allievi un grosso disorientamento. Questo stato di cose è comune a
molti altri paesi, come testimoniato da vari interventi al Congresso Internazionale
"Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21-st century" promosso dall'ICMI
(si vedano gli atti a cura di Mammana & Villani, 1998).
Altrettanto comune è il poco spazio dato alla dimostrazione al di fuori dalla geometria
ed in particolare all’ambito aritmetico-algebrico, come è anche testimoniato dalle poche
ricerche didattiche su questo versante rispetto alla mole di quelle in ambito geometrico.
Tuttavia vi sono paesi, come l’Inghilterra, in cui l’insegnamento della matematica ha
un carattere costruttivo più che descrittivo (si educano cioè gli allievi a “fare
matematica” più che ad apprendere fatti matematici), ove, con l’implementazione dei
nuovi programmi (1995), l’insegnamento della dimostrazione è ora prescritto
tassativamente sin dai dodici anni2, ed in ambito numerico questa è proprio vista in
intreccio con l’apprendimento del linguaggio algebrico (Hoyles 19973).
Nel porsi specificamente il problema didattico dell'avvio alla dimostrazione va innanzi
tutto operata una distinzione tra gli aspetti che ad essa concorrono e le corrispondenti
tipologie di attività. Una cosa è infatti proporsi di educare gli allievi a costruire una
dimostrazione attraverso attività di indagine e/o di problem solving dimostrativo, altra
cosa è condurre gli allievi a leggere, comprendere e apprendere una dimostrazione. A
questi aspetti, entrambi importanti e complementari, fa capo il più generale problema
della comunicazione, connesso sia alla capacità espositiva in lingua italiana sia
all’apprendimento/gestione del linguaggio algebrico e di quello grafico-simbolico.
Un ulteriore ed importante aspetto, che richiede un insegnamento di tipo
metacognitivo ed attento agli aspetti sintattico-strutturali riguarda la rete di connessioni
logiche soggiacenti ad una dimostrazione e più in generale i metodi di dimostrazione e
relativi schemi deduttivi (Marchini, 1995).
Classici ed interessanti studi sui comportamenti degli allievi impegnati in attività di
indagine e costruzione di una dimostrazione sono quelli di Bell (1976) e Balacheff
(1988). Entrambi gli autori, seppure con diverse impostazioni e terminologia,
distinguono essenzialmente tre momenti: 1) degli esperimenti o verifiche empiriche in
cui l’allievo esplora la situazione per la formulazione di congetture o per convincersi
della validità di un assegnato enunciato e cercare le ragioni che ne stanno alla base; 2)
dell’illuminazione e convincimento personale in cui l’allievo intuisce-coglie-e chiarisce
a se stesso le ragioni che stanno alla base della validità della tesi; 3) della sistemazione
e della prova in cui l’allievo ricostruisce il proprio ragionamento al fine di comunicarlo
agli altri e convincerli della correttezza dello stesso. Balacheff inoltre svolge
un’interessante distinzione tra prove empiriche e prove intellettuali sottolineando come
nelle prime sia presente il soggetto e l’azione e siano caratterizzate dall’uso di un
linguaggio familiare, nelle seconde vi sia un distacco dal soggetto e dall’azione ed il
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Nei programmi inglesi vi è uno specifico tema “Using and applying mathematics to solve
problems” dedicato sia al problem solving dimostrativo sia agli aspetti logici della dimostrazione,
in relazione ad esso sono obbligatorie specifiche prove d’esame.
Per questioni di reperibilità si è riportata la data ed il luogo di pubblicazione della versione italiana.
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linguaggio usato sia astratto e atemporale. Tali classificazioni consentono una lettura
fine delle produzioni degli allievi e possono essere letti in termini di criteri di
valutazione degli stessi.
E’ ben noto che allievi con difficoltà di apprendimento di fronte ad un teorema si
trovano a confondere premesse con conseguenze, o lo utilizzano impropriamente
scambiando ipotesi con tesi o più in generale non colgono la concatenazione logica tra
passi dimostrativi. Al riguardo alcuni studiosi evidenziano come alcuni allievi riescano a
comprendere i singoli passi di una dimostrazione riuscendo ad esercitare un controllo
locale della deduzione ma che non riescano ad avere una visione globale della rete di
connessioni (Galbraith, 1981); altri indicano strategie didattiche per portare l’allievo ad
oggettivare tale rete di connessioni ed in particolare a rilevare il diverso stato
operatorio di una data proposizione a seconda della sua collocazione nella rete (si veda
ad esempio Duval 1991).
Notevoli inoltre sono le difficoltà degli allievi a livello linguistico, che sono correlate con
la più generale capacità espressiva e la padronanza del linguaggio sia naturale che
matematico. Per ovviare a tali difficoltà è opportuno dedicare una particolare cura agli
aspetti logici del linguaggio e in particolare alle proposizioni condizionali portando gli
allievi a riconoscerle quando espresse implicitamente attraverso l’uso di articoli
indeterminativi o di quantificatori universali (es. “un numero divisibile per quattro è
divisibile per due”, “ogni rettangolo ha le diagonali uguali”) ed a convertirle in termini
di “se ed allora” (per approfondimenti su questi aspetti si veda Malara 1996 o Malara
e Iaderosa 1996)4. Ancora occorre abituare gli allievi a distinguere tra implicazione, sua
inversa, sua contronominale e sua contraria, a riconoscere l’equiveridicità di una
implicazione e della sua contronominale5 ed il ruolo di quest’ultima nelle dimostrazioni
per assurdo. Al riguardo una cura particolare va attuata circa la negazione di
proposizioni quantificate (gli studenti frequentemente identificano la negazione con il
contrario e conseguentemente credono che la negazione di “tutti”6 sia “nessuno”).
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Sarebbe addirittura assai meglio che gli enunciati dei teoremi non fossero visti come affermazioni
condizionali, bensi’ come frasi ipotetiche cioè se + congiuntivo, allora + condizionale. Questo
mostrerebbe che la matematica non e’ il repertorio di certezze: la condizionale dice: se F e G sono
derivabili anche F+G e’ derivabile, l’ipotetica afferma: se F e G fossero derivabili, anche F+G
sarebbe derivabile.
Un esempio classico di diffusa difficoltà a livello anche del primo anno dell’università, per la la
mancanza di riconoscimento della equiveridicità tra implicazione e sua contronominale, riguarda la
caratterizzazione delle rette del piano mediante equazioni algebriche lineari a due variabili. Per
questo occorre dimostrare che data una retta r del piano, introdotto in esso un riferimento
cartesiano, esiste una equazione lineare che è soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti della
retta. Per dimostrare che questa condizione è caratteristica della retta r, ossia che valgono le due
implicazioni “data una retta r del piano e introdotto in esso un riferimento cartesiano esiste una
equazione lineare che è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti della retta” e viceversa
“considerata l’equazione associata alla retta r, se si considera una coppia di numeri reali soluzione
di questa equazione allora tale coppia necessariamente rappresenta un punto della retta data” si
procede ricorrendo alla contronominale di quest’ultima proposizione, ossia si prova che se si
considera un punto del piano fuori dalla retta r allora le sue coordinate non soddisfano l’equazione
individuata.
Ci riferiamo qui al “tutti” in senso distributivo. In italiano tutti viene usato almeno in due sensi, es.
1) tutti i gatti di Carlo sono bianchi; 2) tutti i gatti di Carlo sono consanguinei. Queste due frasi
hanno la stessa struttura, ma nella prima tutti è distribuitivo, nella seconda no. Questo e’ un
ostacolo, messo in luce da Frege; per altri esempi si veda Iacomella et al. (1997)
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Un discorso a parte merita la questione delle condizioni necessaria e sufficiente.
Solitamente queste si introducono in presenza di coppie di teoremi uno inverso
dell’altro, per sottolineare l’equivalenza delle proprietà espresse da tali condizioni.
Esempi elementari di questo sono, nell’ ambito dei naturali, le condizioni “essere
quadrato di un numero primo” ed “avere esattamente tre divisori”, equivalenti per
effetto dei due teoremi condensati nell’enunciato “un numero naturale è quadrato di
un numero primo se e solo se ha esattamente tre divisori”; o nell’ambito dei triangoli
del piano le condizioni “avere due lati uguali” ed “avere due angoli uguali” equivalenti
per il “doppio” teorema “un triangolo è isoscele se e solo se ha almeno due angoli
uguali”. Raramente di fronte ad un teorema si analizzano con gli allievi le condizioni
espresse rispettivamente dalla ipotesi e dalla tesi motivando le rispettive denominazioni
di “condizione sufficiente” e “condizione necessaria”. Questa omissione genera una
diffusa incomprensione del loro significato e spesso sta all’origine di atteggiamenti di
passivo apprendimento mnemonico.
Riflessioni su questi aspetti sono invece indicate dalla ricerca didattica come essenziali e
da avviarsi precocemente e trasversalmente sin dalla scuola dell’obbligo, né mancano
proposte esplicitamente rivolte agli insegnanti finalizzate alla trasposizione didattica di
questi temi (si vedano ad esempio il volumetto “Logica” del progetto Nuffield (1974),
dedicato alla scuola elementare o la recente monografia di Navarra (1998) dedicata alla
educazione logica nella scuola media).
U NA DIVAGAZIONE RISPETTO AL TEMA: “LO STATO DELL’ ARTE ” CIRCA
CONOSCENZE E CONCETTI LEGATI ALLA DIMOSTRAZIONE DI STUDENTI IN
INGRESSO ALL’UNIVERSITÀ
Le carenze circa la didattica della dimostrazione nella scuola secondaria e più in
generale sugli aspetti di tipo logico-linguistici e metacognitivi ad essa connessi, sono
documentate da diversi studi (Ferrari 1996, Zan 1997, 2000). Per dare un’idea
tangibile delle concezioni assenti o errate di tale fascia di studenti riportiamo qui in
dettaglio i risultati di un questionario7 sottoposto ad in campione di studenti della
Facoltà di Scienze di Modena in ingresso all'università8. Il questionario era volto a
rilevare negli studenti:
A) la conoscenza e il controllo del significato di dimostrazione e di termini specifici ad
essa inerenti;
B) la capacità di individuare nell’enunciato di un teorema non in forma condizionale l’
ipotesi, la tesi, la condizione necessaria e quella sufficiente ad esso associate;
C) la capacità di valutare la correttezza di una conclusione asserita sulla base di date
premesse o di trarre conclusioni da una serie di premesse.
Esaminiamo i risultati di alcuni dei questiti proposti in relazione ai punti indicati.
Punto A
Agli studenti è stato chiesto di dire se conoscevano il significato dei termini:
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Il questionario è stato gentilmente concesso da R. Zan dell’Università di Pisa.
Gli studenti, frequentanti i corsi di azzeramento della Facoltà, non appartenevano a corsi di laurea in
Matematica o Fisica.
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Enunciato, Definizione, Ipotesi, Tesi, Teorema, Dimostrazione, Lemma, Corollario,
Controesempio, Dimostrazione per assurdo, Condizione necessaria, Condizione
sufficiente, Condizione necessaria e sufficiente ed in caso affermativo di spiegarne il
significato.
I termini più frequenti dichiarati sconosciuti sono stati: lemma; condizione necessaria;
condizione sufficiente; condizione necessaria e sufficiente; dimostrazione per assurdo;
controesempio; definizione.
Le spiegazioni dei termini dichiarati noti sono state date correttamente da pochissimi
studenti, la maggior parte hanno rivelato concezioni errate, frammentate e distorte. Ciò
che fa riflettere è che queste concezioni si sono rilevate anche in studenti della fascia
medio-alta e provenienti dai licei. Le riportiamo per ciascun termine.
Riguardo al termine Enunciato vi sono studenti che pur avendone una visione corretta
lo considerano in associazione al valore di verità, rivelando l’influenza negativa dello
studio dei primi elementi di logica (es.: Frase di senso compiuto che ha una verità9),
altri che ne hanno una visione esclusivamente in riferimento ai teoremi (es.: l'enunciato
è il testo del teorema; Affermazione di un teorema, Condizioni iniziali del teorema Racchiude un'ipotesi ed una tesi) o addirittura alle tesi (es.: Conclusione di una
dimostrazione), o alle definizioni (es. Condizione che mi determina una definizione).
Circa il termine Definizione ci sono studenti che lo identificano con quello di assioma
(es.: E’ un postulato certo; Condizioni vere che non hanno bisogno di dimostrazione;
Qualcosa di non soggetto ad alcuna dimostrazione, che deve essere accettato per
quello che è; Frase che spiega un determinato evento o oggetto e ne delinea le
caratteristiche - sempre vera non necessita di dimostrazione), altri studenti lo
identificano con quello più generale di enunciato vero (es. Esposizione di una legge,
teorema, ecc), altri ancora centrano l’attenzione sulla semantica (es.: Significato di un
concetto più importante; Dare un significato) o sul suo valore esplicativo (es.: Spiega
il concetto in breve; Proposizione che spiega una determinata situazione;
Proposizione esplicativa di un solo oggetto).
Per quanto riguarda i termini Ipotesi e Tesi le concezioni espresse sono in genere più
corrette. Tuttavia si è riscontrato, circa l’ipotesi, una visione che potremmo definire
“assoluta”, che non tiene conto della sua assunta validità (es.: Sono i dati di un
teorema; Dati e informazioni su un teorema da risolvere; Nozioni certe da cui parto
per la dimostrazione), non mancano comunque le visioni vaghe in semplice
associazione alla tesi (es. affermazione legata alla tesi che la segue). Più carenti le
concezioni riguardanti la tesi. Alcuni studenti la identificano con la dimostrazione (es.:
E’ la dimostrazione del teorema, o delle ipotesi del teorema, e serve a verificare se
esso sia vero o falso; Procedimento che mi permette di confermare la mia ipotesi dire se è vera o falsa l'implicazione logica); altri la vedono semplicemente correlata
all’ipotesi (es. Conclusione dell'ipotesi; Affermazione legata all'ipotesi che potrebbe
essere vera ma deve essere verificata).
Circa il termine Teorema in alcuni studenti appare una concezione di enunciato e
dimostrazione congiunti assieme, a volte malamente (es: Comprende un enunciato e la
sua dimostrazione”, E’ quel testo dove viene indicata l'ipotesi e la tesi quindi,
tramite la dimostrazione si capisce se è vero o no l'enunciato; Enunciato composto
da due parti: l'ipotesi che si suppone vera e la tesi che è dimostrata vera mediante
una serie di passaggi logici; Enunciato a cui si arriva mediante una dimostrazione);
9 Le frasi riportate in corsivo qui di seguito sono quelle date dagli studenti.
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in altri prevale l’idea di enunciato vero in assoluto (es. implicazione logica sempre
vera), in altri ancora l’idea di dimostrazione (dimostrazione di un assunto attraverso
procedimenti logici); oppure una concezione di legge o regola ( es: legge verificata;
legge che risulta vera perché dimostrata; regola matematica già precedentemente
dimostrata; è una regola, o meglio è l'insieme delle ipotesi e della sua
dimostrazione, quindi è già definito) Vi sono anche concezioni inesistenti o errate (es.
l'enunciazione di relazioni tra più elementi; insieme di ipotesi che mi dimostrano la
tesi).
Riguardo alla Dimostrazione prevale, in modo preoccupante, una concezione di
spiegazione o verifica anche attraverso rappresentazioni grafiche od esempi (es.:
verifica della tesi o dell'ipotesi; spiegare qualche cosa; spegazione (anche grafica)
di un teorema o di un problema; usando alcuni esempi dimostro la veridicità e la
non veridicità del teorema; passaggi matematico/induttivi attraverso i quali giungere
alla prova della veridicità della tesi; verifica la tesi (con esempi)) o anche concezioni
errate (es. rendere vero un risultato (o tesi) ottenuto (di un teorema))
Circa la Dimostrazione per assurdo sono presenti concezioni improprie, o di tipo
tautologico (es. E’ una dimostrazione molto particolare nella quale per dimostrare
una tesi faccio un'ipotesi falsa; L'enunciazione di relazione tra più elementi; Modo
per verificare la tesi legata a ipotesi non vere ma utili per la dimostrazione; Verifica
della tesi e della ipotesi, ragonamento per assurdo; E’ un metodo per dimostrare il
teorema e si fa rendendo assurdo l'enunciato) concezioni ambigue o scorrette, ove si
scambiano i ruoli di ipotesi e tesi (es.: Procedimento che utilizzo per verificare la mia
tesi, che non ha come riferimento l'ipotesi del teorema, ma l'opposto dell'ipotesi;
Dimostrare una proposizione utilizzando la sua negazione: aÆ b lo dimostro con
non aÆ non b; Dimostrazione dove dimostro la tesi negando (per assurdo) l'ipotesi;
E’ una dimostrazione che ha in partenza la non veridicità dell'ipotesi) o concezioni
platealmente scorrette (es.: dimostrare qualche cosa banalmente in modo da dare una
verifica banale).
Inconsistenti appaiono le concezioni circa il Controesempio, in particolare si
distinguono quelle di: esempio che nega un esempio precedente (es.: Esempio che
nega l'esempio precedente; Esempio che mi permette di contraddire l'esempio
primario); esempio a sostegno di un altro esempio (es.: esempio per verificare
l'esempio precedente); esempio a sostegno di una dimostrazione (es.: Provare con un
ulteriore esempio a dimostrare una determinata cosa; Ulteriore verifica della
dimostrazione e perciò dell'esempio; Serve per spiegare un concetto utilizzando un
procedimento inverso a quello del primo esempio dato; e' importante per affermare
la verità di una dimostrazione).
Nessuno degli studenti rivela una concezione corretta di Corollario, queste quelle
espresse: Enunciato assunto per vero, che parte da un teorema precedentemente
dimostrato; Enunciato ritenuto vero senza bisogno di dimostrarlo; Teorema
secondario; Serie di esempi che dimostrano un teorema. Circa i significati delle singole
locuzioni Condizione necessaria; Condizione sufficiente sono date risposte campate in
aria (es.: Condizione del teorema per far si che questo sia vero; Condizione senza la
quale non possiamo dimostrare il nostro teorema; Condizione che da sola non è
sufficiente per una dimostrazione; è una condizione necessaria per verificare l'ipotesi
(risp. la tesi)) o errate che tuttavia riflettono usuali modi di dire nello sviluppo della
dimostrazione di una doppia implicazione (es.: E’ necessaria la
103
Tabella 1
Quesito sulla concettualizzazione di:
ipotesi, tesi, condizione necessaria, condizione sufficiente
Dei seguenti teoremi indica: a) l'ipotesi e la tesi; b) la condizione necessaria e la condizione sufficiente.
a) un polinomio di grado n ha al più n radici
b) se due triangoli hanno i lati uguali allora hanno anche gli angoli uguali
c) le diagonali di un rettangolo sono uguali
d) la composizione di due funzioni crscenti è una funzione crescente
e) il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
f) un polinomio ha come radice il numero a se e solo se è divisibile per x-a
condizione in cui (date due proposizioni) la prima implica la seconda; è sufficiente
la condizione in cui (date due proposizioni) seconda implica la prima).
Circa il significato della locuzione Condizione necessaria e sufficiente sono date
spiegazioni improprie (es.: condizione che verifica l'ipotesi e la tesi; Si deve verificare
per dimostrare il teorema) o altre che tuttavia rivelano una qualche
concettualizzazione (es: condizione che scambia il ruolo dell'ipotesi e della tesi
garantendo comunque la veridicità del teorema).
Punto B
Agli studenti è stato proposto, in relazione ai teoremi riportati in tabella 1, di:
1) riconoscere l'ipotesi e la tesi; 2) indicare quale sia la condizione necessaria e la
condizione sufficiente.
I risultati ottenuti sono stati deludenti. Gli studenti hanno riconosciuto ipotesi e tesi solo
nel caso b) in cui l'enunciato ha la struttura "se ...allora ...". Molti hanno identificato
l'enunciato del teorema come tesi. Persino il quesito c) si è rivelato difficile, ed ha dato
luogo ad una variegata gamma di risposte errate (si veda tabella 2). Circa il punto 2) la
metà hanno omesso di rispondere, alcuni hanno sbagliato clamorosamente, i restanti
hanno risposto solo in relazione al caso f) affermando, più o meno correttamente, che
ogni condizione espressa da ipotesi e tesi è insieme necessaria e sufficiente.
Questi risultati si commentano da soli.
Tabella 2
Risposte scorrette date circa ipotesi e tesi del teorema
“Le diagonali di un rettangolo sono uguali”
-
ipotesi: le diagonali di un rettangolo sono uguali ; tesi:
ipotesi: le diagonali sono uguali; tesi: la figura è un rettangolo
ipotesi: diagonali di un rettangolo; tesi: sono uguali
ipotesi: se le diagonali sono uguali; tesi: è rettagolo
ipotesi: esiste un rettangolo; tesi: ha le diagonali uguali
ipotesi: diagonali di un rettangolo; tesi: uguali
ipotesi: se un rettangolo ha diagonali; tesi: allora le diagonali di un rettangolo sono uguali
ipotesi: A, B diagonali di un rettangolo; tesi: le diagonali sono uguali
ipotesi: dato un rettangolo, date (e definite in precedenza) le due diagonali; tesi: sono uguali
Punto C
E’ stato proposto un compito, riportato in tavola 3, in cui si richiedeva agli studenti di
riconoscere se quelle elencate fossero dimostrazioni di un dato teorema10 . Il compito
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Facciamo osservare che la dimostrazione del teorema, non richiesta né presente tra quelle elencate, è
alla portata di uno studente di biennio di scuola secondaria; essa si basa sui seguenti passi:
- il passaggio dalla rappresentazione abcabc a quella polinomiale, ossia a105 +b104 +c103
+a102 +b10+c (con a, b, c numeri naturali da 0 a 9 ed a non nullo);
- il riconoscimento dell’espressione a102 +b10+c come fattore del termine a105 +b104 +c103 e
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Tavola 3
Quesito sul controllo critico di procedimenti dimostrativi
Considera il seguente "teorema":
Un numero di sei cifre con le cifre che si ripetono a tre a tre, cioè del tipo abcabc, è divisibile per
13.11. Per dimostrare il teorema:
1. faresti alcuni esempi (come 771771 o 254254) per controllare: se il teorema funziona per parecchi
numeri, allora è dimostrato;
2. prenderesti un numero particolare di quel tipo e cercheresti di dimostrare che è divisibile per 13;
3. si dovrebbe dimostrare che abcabc è divisibile per 13 in generale, senza scegliere a, b e c. Ma
siccome è impossibile dimostrare una proprietà per un numero che non si conosce, si può solo
fare qualche esempio per convincersi che il teorema è giusto;
4. altro;
5. non so.
era volutamente distraente, proprio perché concepito per testare l’atteggiamento
critico.
A questo quesito hanno risposto tutti gli studenti con la seguente distribuzione di
risposte per i punti da 1 a 5: 13%; 17%; 47%; 13%; 10%.
Come è evidente la risposta più gettonata è stata la terza, cosa che rivela la scarsa
dimestichezza degli studenti con il processo dimostrativo. Vi sono state due categorie
di risposte date da chi ha risposto ad “altro”, la prima comprende alcuni allievi che
pensano di procedere per assurdo, la seconda comprende allievi che pensano che il
teorema sia falso. Questi due prototipi di risposte:
Categoria.1: cerco di dimostrarlo per assurdo: abcabc = 13x + n cercando così di
trovare che n non esiste, cioè nego che esista un n che sommato a 13x mi dia un
numero del tipo abcabc.
Categoria. 2: Bisogna dimostrare che tutti i numeri di sei cifre con le cifre che si
ripetono a tre a tre sono divisibili per 13. Per negare il teorema è sufficiente che
almeno uno dei suddetti numeri non sia divisibile per 13.
E’ molto indicativo il fatto che circa la metà degli studenti pensino che per la prova sia
sufficiente l’esecuzione di un certo numero di verifiche e che nessuno degli studenti
consideri la possibilità di affrontare la dimostrazione diretta.
Quanto riportato globalmente nei punti A, B, C documenta in modo preoccupante la
povertà di conoscenze degli studenti e le loro profonde carenze difficilmente colmabili
a questo livello d’età e di studio. Non possiamo non riflettere sulle implicazioni sociali
del fatto che molti di loro presto insegneranno matematica e scienze alle scuole
secondarie inferiori e paradossalmente avranno il compito di gettare le basi per (e dare
significato a) la conoscenza di argomenti come questo, che invece non controllano
assolutamente.
LA DIMOSTRAZIONE IN AMBITO ARITMETICO
l’applicazione della proprietà distributiva due volte con l’esecuzione delle due trasformazioni
a105 +b104 +c103 +a102 +b10+c = 105 (a102 +b10+c) +a102 +b10+c = a102 +b10+c (105 +1);
- la considerazione che per l’arbitrarietà delle cifre a, b, c perché un numero di questo tipo sia
divisibile per 13, essendo 13 numero primo bisogna che lo sia il numero 1001 e la verifica che lo è
effettivamente.
11 La rappresentazione abcabc non è corretta ma è chiara nel contesto in cui è inserita. E’ stata adottata
per facilitare la comprensione del testo da parte degli studenti.
105
La dimostrazione in ambito aritmetico è poco o nulla praticata in Italia, anche per
ragioni connesse alla storia dell’insegnamento dell’aritmetica e dell’algebra nelle nostre
scuole (Vita, 1986) che ha visto un approccio all’aritmetica centrato sull’apprendimento
cieco di algoritmi e sui processi di calcolo ed un successivo, distorto, approccio
all’algebra, in prevalenza centrato sugli aspetti sintattici del linguaggio algebrico invece
che su quelli di codifica di relazioni e di produzione di pensiero (Chevallard 1989,
Kieran 1992, Arzarello et. al. 1994, Malara 1994).
L’aritmetica ed in particolare l’ambiente dei numeri naturali costituiscono invece
terreno ideale per la attività di esplorazione, di formulazione di congetture, e di
dimostrazione. In particolare queste attività offrono un importante contesto per il
passaggio dalla argomentazione, centrata sull’uso del liguaggio verbale, alla
dimostrazione, centrata sull’uso del linguaggio algebrico. Inoltre, semplici problemi
dimostrativi in ambito aritmetico (e non solo) se ben introdotti nella classe possono
servire da base e motivazione ad uno studio autonomo delle trasformazioni algebriche.
Questo è anche implicitamente proposto dai programmi della scuola media, che
indicano le attività di individuazione di regolarità come privilegiate per l’introduzione
all’algebra vista come linguaggio per la loro codifica in termini generali, ma di fatto,
salvo casi eccezionali, per nulla praticato.
Occorre poi osservare che, a differenza dell’ambito geometrico, è possibile fare ciò
senza dover affrontare la questione della costruzione del sistema formale e degli
assiomi dell’aritmetica: le operazioni di addizione, moltiplicazione e relative proprietà,
nonché l’usuale ordinamento affondano la loro verità in esperienze molto precoci,
risalenti addirittura alla scuola dell’infanzia, con l’appoggio della teoria ingenua degli
insiemi. Le dimostrazioni di regolarità in ambito aritmetico, quando realizzate, saranno,
ovviamente, risultati “locali”, ciò non esclude tuttavia, che questi stessi risultati
possano essere riconsiderati a livelli scolari successivi nell’ottica di un sistema teorico.
Prendendo in considerazione problemi circa la dimostrazione di proprietà aritmetiche,
non tutti i ricercatori sono concordi sulla opportunità di utilizzare il linguaggio
algebrico in casi in cui la dimostrazione verbale è più intuitiva e semplice di quella
formale. Come esempio si consideri il quesito “provare che il prodotto di tre numeri
consecutivi è necessariamente divisibile per sei” (che si risolve semplicemente
pensando che, essendo i tre numeri consecutivi, almeno uno dei tre deve essere pari e
che almeno uno dei tre diviso per 3 ha resto zero) o anche il quesito, “provare che il
quadrato di un numero dispari è dispari”, che si può risolvere considerando il fatto
che un numero dispari è caratterizzato dall’avere -nella rappresentazione canonica in
base 10- cifra delle unità dispari, e che, essendo il quadrato delle cifre dispari uno
numero dispari, avendo il quadrato del numero dato come cifra delle unità quella delle
unità di questo, allora sarà un numero dispari. Non vogliamo negare l’intuitività e
semplicità di queste deduzioni, ma non si può non riflettere sulla loro complessità
espositiva; occorre perciò portare gli allievi ad apprezzare il linguaggio algebrico
proprio perché consente di codificare e risolvere situazioni difficilmente gestibili con il
solo linguaggio naturale. Interessante al riguardo è realizzare con gli allievi un
confronto tra strategie intuitive-verbali e strategie algebriche. Ad esempio, in un caso
come quest’ultimo, l’insegnante potrà proporre la questione della traduzione formale
del procedimento e, nella discussione di confronto delle strategie risolutive, fare
osservare innanzi tutto come la dimostrazione verbale dipenda dalla rappresentazione
del numero mentre quella algebrica no, e potrà fare notare la maggiore generalità della
106
seconda formulazione, comprensibile anche da persone che non capiscono l’italiano,
esaltando così il carattere di “esperanto scientifico” del linguaggio algebrico.
Un altro interessante aspetto su cui lavorare riguarda la formulazione del testo. Una
stessa attività può essere presentata in modo che attivi comportamenti diversi. Ad
esempio, i due testi seguenti hanno finalità diverse:
Testo 1. Fissa un numero naturale minore di 10, ad esempio 4.
Scegli un numero di due cifre, ad esempio 57 e fai:
5x4+7 = 27, poi fai 57 – 27 = 30; Ripeti con un altro numero di due cifre, ad
esempio 33; fai 3x4 +3 = 15 e poi 33-15 = 18
ripeti ancora con un altro numero, ad esempio 82: 8x4 +2 = 34 ; 82-34 = 48.
Cosa hanno in comune i numeri ottenuti?
Vedi un collegamento fra la regolarità osservata ed il numero 4. Pensi che quello
che hai osservato succeda in generale?
Testo 2. Fissa un numero naturale minore di 10. Procedi così:
Scegli un numero di due cifre. Moltiplica il numero delle sue decine per il numero
inizialmente fissato ed aggiungi al risultato il numero delle sue unità. Sottrai quanto
ottenuto al numero di due cifre scelto. Prova che il numero che ottieni è un multiplo
del completamento a 10 del numero inizialmente fissato.
Chiaramente il primo testo è più rivolto alla ricerca e scoperta di una particolare
regolarità più che alla sua generalizzazione e ancor più alla giustificazione del suo
perché. Il secondo testo invece cortocircuita la parte sperimentale ed è decisamente
rivolto alla dimostrazione.
Sarebbe opportuno che questi aspetti diversi e complementari nell’insegnamento
venissero armonizzati producendo una visione unitaria dell’intera attività, secondo il
modello definito da alcuni autori “unità cognitiva” (Garuti et al. 1997)
Studi sperimentali realizzati con allievi dai 12 ai 16 anni sulla dimostrazione in ambito
aritmetico, a vari livelli di difficoltà, (Bell, 1976, Frielander et al 1989, Garuti et al.,
Malara & Gherpelli 1997, Savadosky 1999, Healy & Hoyles 2000) ci permettono di
affermare che gli allievi, quando opportunamente educati, riescono a produrre buone
dimostrazioni sin dalla scuola media, e vengono ad acquisire nel tempo il giusto
significato e ruolo degli esempi (induttivo-esplicativo di congetture e propedeutico alla
dimostrazione) e dei controesempi (risolutivi rispetto alla non validità di una
congettura) ed a comprendere il ruolo della dimostrazione, necessaria per sostenere la
validità di una proposizione in termini generali.
Da un punto di vista linguistico lo sviluppo di una dimostrazione in tale ambito richiede
per gli allievi:
- la conoscenza dei significati di specifici termini nel linguaggio naturale caratterizzanti
predicati in associazione con il verbo essere (doppio, consecutivo, pari, maggiore di,
minore di, divisibile per, multiplo di, etc e loro combinazioni);
- la capacità di:
- riformulare proposizioni in modo adeguato allo scopo (esempio esprimere il
“maggiore” in termini di “uguale”)
- tradurre dal linguaggio naturale a quello algebrico;
- interpretare espressioni algebriche trasformate di altre nei termini della situazione
in esame;
107
-
controllare le conseguenze degli assunti fatti (se n rappresenta un numero dispari
riconoscere nella scrittura n+1 un numero pari).
In questo il ruolo dell’insegnante è fondamentale, egli dovrà porsi come modello
mostrando agli allievi, attraverso varie e ben scelte situazioni, come: a) tradurre le
ipotesi in linguaggio algebrico, b) trasformare una scrittura in più modi per aprire il
campo a sue diverse interpretazioni; c) interpretare formule ottenute per elaborazione
sintattica e selezionare quelle utili ai fini della tesi.
Tuttavia, se si vuole puntare a dare spazio alla dimostrazione in aritmetica
nell’insegnamento secondario occorre investire molto sulla formazione dei futuri
insegnanti, come vedremo qui di seguito anche quelli con un retroterra culturale
matematico rivelano difficoltà e scarse capacità nel risolvere un problema dimostrativo.
E questo getta un’ombra preoccupante sulla qualità formativa (all’insegnamento) dei
corsi di laurea in matematica.
Una sperimentazione con futuri insegnanti
Ci soffermiamo qui sui risultati della somministrazione di alcuni problemi dimostrativi
nell’ambito dei numeri naturali (si veda tavola 4), a 15 studenti dell’ultimo anno
dell’indirizzo didattico del corso di laurea in matematica ed a 13 specializzandi SISS12
per la classe A05913.
Gli obiettivi che intendevamo raggiungere proponendoli erano molteplici. Volevamo da
un lato verificare le capacità dimostrative e rilevare eventuali blocchi o difficoltà dei
futuri insegnanti ma volevamo soprattutto porli in situazione per attirare la loro
attenzione sul problema della dimostrazione e discutere il ruolo di questo genere di
attività per l’educazione matematica a livello di scuola secondaria. La nostra ipotesi è
che gli insegnanti, per tradizione d’insegnamento e per l’inveterato costume di affidarsi
a quanto proposto dai libri di testo, non siano consapevoli della importanza né della
fattibilità di questo genere di problemi da parte degli studenti ed inoltre, per la poca
dimestichezza e le difficoltà che incontrano nella loro risoluzione siano lontani dal
concepire di dare loro uno spazio ad hoc nell’insegnamento.
I problemi
I problemi considerati sono stati tratti dal testo di G. Peano “Giochi d’aritmetica e
problemi interessanti”, scritto nel lontano 1924 per la formazione degli insegnanti
elementari. Essi sono centrati sull’uso della rappresentazione polinomiale del numero, e
richiedono la capacità di:
- esprimere formalmente le condizioni verbali espresse dal testo di un problema;
- distinguere tra date rappresentazioni di un numero quella polinomiale, soggiacente
alla rappresentazione posizionale in base 10;
- rappresentare in forma polinomiale un numero naturale del quale siano date
indicazioni o condizioni sulle cifre;
- operare trasformazioni ragionate ai fini di ciò che occorre provare ed interpetarne i
risultati, in particolare applicare in modo funzionale alla risoluzione del problema le
12
13
I problemi
sono stati proposti ai laureandi nell’ambito di esercitazioni del corso di didattica della
matematica, agli specializzandi SISS nell’ambito di esercitazioni dopo i cicli di lezioni
rispettivamente sul tema aritmetica e sul ruolo del linguaggio algebrico nella modellizazione e la
dimostrazione.
La classe A059 è preparatoria all’insegnamento delle scienze matematiche, fisiche, chimiche e
naturali nella scuola media, ed è frequentata da molti non laureati in matematica, nel nostro caso
erano undici su tredici.
108
Tavola 4
I Problemi proposti, tratti da G. Peano “Giochi d’aritmetica e problemi interessanti”
1.
2.
3.
4.
5
Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri
maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza.
Scrivi un numero di più cifre, moltiplica per 10 e sottrai a questo quello di partenza, cancella
nella differenza una cifra non nulla e dammi la somma delle rimanenti. Io indovinero' quella
che tu hai cancellato. Spiegami come è possibile.
Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due
numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il
numero si ottiene sempre 1089. Perché?
Un numero di due cifre ha questa caratteristica: il suo quadrato diminuito del quadrato del
numero precedente è uguale al numero stesso con le cifre invertite. Qual è il numero.
Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre.
Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro
cifre.
principali proprietà delle operazioni aritmetiche;
- effettuare generalizzazioni.
Da un punto di vista generale, le principali difficoltà presentate nella loro risoluzione, al
di della consapevolezza di cosa significhi e consista una dimostrazione, riguardano la
capacità di:
- interpretare il testo verbale (l’italiano è discorsivo e ottocentesco);
- formalizzare proprietà e relazioni tra i dati considerando condizioni implicite ed
elaborarle ai fini di ciò che occorre provare;
- interpretare correttamente rappresentazioni originate dalla esecuzione di dati
algoritmi su numeri espressi mediante la loro rappresentazione polinomiale;
- produrre trasformazioni funzionali a ciò che occorre provare e di interpretarne i
risultati;
- cogliere la generalità della situazione in gioco (ad es. passando dal caso di un
numero dell'ordine delle centinaia ad uno dell'ordine di 10n).
Più precisamente il primo quesito richiede l’ndividuazione della rappresentazione
polinomiale della differenza di due numeri correlati e la conseguente evidenziazione di
una regolarità, chiave risolutiva del quesito. Il secondo presenta difficoltà dovute
all’influenza reciproca tra rappresentazione polinomiale e algebrica, inoltre la
dimostrazione diretta del problema nel caso si ricorra alla rappresentazione polinomiale
è più intricata e, se non si prova a parte che un numero multiplo di 9 ha somma delle
cifre anch’essa multiplo di 9, è di fatto impraticabile. Il terzo quesito è analogo al
primo, e richiede il coordinamento tra gli aspetti algoritmici delle operazioni di
addizione e sottrazione e gli aspetti algebrici conseguenti alla messa in formula del
problema. Il quarto presenta una variante rispetto ai precedenti, occorre applicare il
principio di identità dei polinomi e coordinare opportunamente le informazioni date
distinguendo vari casi. Il quinto quesito è più semplice rispetto ai precedenti, un
elemento di difficoltà che lo distingue risiede nella richiesta di indagare sulla eventuale
estensione della regolarità provata per numeri di due cifre al caso di numeri di ordine
di grandezza superiore14.
I comportamenti rilevati
Agli studenti era stato chiesto di risolvere i problemi, analizzare i propri percorsi di
pensiero ed esprimere le proprie difficoltà.
14
In appendice sono riportate le loro soluzioni.
109
Circa l’atteggiamento iniziale nell’affrontare i problemi, tutti eccetto una laureanda in
matematica sono partiti con il fare prove numeriche per verificare il risultato della tesi.
I loro comportamenti si possono classificare nelle seguenti categorie:
Categoria 1. Gli sperimentali naïve. Comprende coloro che si sono limitati ad eseguire
verifiche numeriche senza porsi il problema di provare in generale la tesi o di
dichiarare di non saper procedere nella dimostrazione;
Categoria 2. Gli sperimentali consapevoli. Comprende coloro che hanno dichiarato di
non sapere analizzare le ragioni delle regolarità da loro verificate su casi numerici.
Categoria 3. I teorici. Comprende coloro che sono andati al di là delle prove
numeriche e si sono cimentati verso la dimostrazione del perché delle regolarità
indicate, anche se a volte non sono riusciti a farlo correttamente.
Categoria 4. I teorici metacognitivi. comprende coloro che non solo hanno affrontato
la dimostrazione in termini generali ma hanno anche analizzato più o meno
dettagliatamente i propri percorsi di pensiero o hanno espresso le loro difficoltà.
Tra coloro che hanno affrontato la dimostrazione dei quesiti (categorie 3 e 4) si
possono distinguere due diversi atteggiamenti: ci sono quelli che privilegiano lo
sviluppo verbale della dimostrazione; altri che privilegiano lo sviluppo algebrico
limitando l’intervento verbale alla interpretazione dei risultati algebrici conclusivi.
Ovviamente la scelta della dimostrazione verbale è stata in genere fuorviante, anche se
in qualche caso, come nel problema 2, per il ricorso a teoremi noti si è rivelata
fruttuosa.
Per quanto riguarda gli aspetti di controllo metacognitivo, solo alcune laureande in
matematica, anche perché educate attraverso precedenti attività, hanno analizzato i
loro percorsi di ragionamento mettendo bene a fuoco i vari cambiamenti di frame
(Arzarello et al. 1994) ed esplicitando le loro difficoltà; i restanti si sono limitati a
“risolvere” i quesiti, annotando semplicemente quando qualcuno era risultato loro
difficile.
I problemi ritenuti più difficili sono stati il secondo ed il quarto, la ragione principale sta
nel conflitto dovuto alla gestione contemporanea di due diversi generi di
rappresentazione, quella algebrica, utilizzata per tradurre le relazioni espresse tra i
numeri, quella polinomiale (o posizionale generalizzata) per rappresentare i numeri
stessi. La traduzione formale della somma, prodotto o differenza di numeri generici
rappresentati in forma polinomiale ha dato luogo a blocchi, difficoltà o errori dovuti
alla incapacità di controllare in termini generali gli algoritmi delle operazioni
aritmetiche e di interpretare o convertire convenientemente elaborazioni sintattiche di
tali rappresentazioni ai fini del riconoscimento di quella polinomiale relativa al risultato
delle operazioni prodotte.
Un atteggiamento comune tra i solutori nel passare dal particolare al generale è stato
quello di rappresentare un generico numero naturale con una sequenza di lettere.
Anche se impropria e conflittuale con la rappresentazione algebrica standard (dove la
giustapposizione di due o più lettere rapresenta il loro prodotto) tale codifica “naïve”,
generalizzazione della posizionale, è stata sufficientemente da loro controllata nello
svolgimento del processo dimostrativo, tuttavia ad un certo momento (non il
medesimo per tutti gli studenti) questi si sono resi conto dell’ambiguità ed hanno
sentito la necessità di passare alla rappresentazione polinomiale. Questo passaggio è
stato realizzato da alcuni in relazione al quesito 2 (cosa non strettamente necessaria e
addirittura ostacolante) da altri per la risoluzione del problema 4. La messa in atto di
110
questa rappresentazione non è stata dunque immediata o spontanea ma è stato il
punto di arrivo di un percorso rappresentativo “sporco” e conflittuale.
Un errore frequente è stato quello di interpretare come rappresentazione polinomiale
della somma o differenza di due numeri così rappresentati il risultato della semplice
esecuzione della corrispondente operazione algebrica, senza il controllo delle condizioni
sui coefficienti e dell’ambito numerico per l’eventualità di considerare i riporti.
Il problema 2 si è rivelato il più difficile per tutti coloro che non hanno fatto ricorso al
teorema che caratterizza i multipli di 9 come numeri la cui somma delle cifre è un
multiplo di 9. Come già detto la strategia di collegare verbalmente le informazioni date
con altre conoscenze è risultata vincente.
Un altro atteggiamento caratteristico si è avuto nella risoluzione del problema n. 4.
Rappresentato con 10a+b il numero di due cifre da determinare, sulla base delle
condizioni date si giunge alla uguaglianza 19a-8b =1. Solo uno studente ha tenuto
conto delle condizioni su a e b conseguenti alle relazioni poste dal problema e svolto in
conseguenza considerazioni di carattere generale, la maggioranza ha proceduto per
verifiche numeriche. Due o tre hanno evocato, a volte malamente, un noto teorema sul
massimo comun divisore, senza per altro utilizzarlo. Un altro atteggiamento comune è
stato il considerare implicitamente uguali due polinomi esprimenti lo stesso numero.
Solo uno studente ha esplicitamente richiamato il principio di identità dei polinomi.
Differenziazioni nei comportamenti si sono rilevate circa il secondo punto del quesito
5, che richedeva l’indagine della possibile estensione della regolarità provata nel caso di
numeri dell’ordine delle decine a numeri di ordine di grandezza superiore. La cosa
interessante è che tale regolarità si mantiere per numeri di ordine di grandezza dispari
(ossia numero di cifre pari), mentre nel caso di ordine pari non vi è alcuna regolarità.
Come anticipato, i comportamenti rispetto a questo punto sono stati vari. La maggior
parte degli studenti si è limitata ad individuare un controesempio numerico nel caso di
numeri di tre cifre ed ha fermato lì la propria indagine dichiarando la non validità della
regolarità nel caso di numeri di ordine maggiore; ci sono stati stati alcuni studenti che
pur avendo individuato il contro esempio numerico si sono posti il problema studiare
in generale le eventuali condizioni cui i numeri devono soddisfare perché si verifichi la
regolarità, altri ancora che hanno affrontato la questione in termini generali deducendo
correttamente ciò che accade nei casi di ordine di grandezza pari o dispari.
Gli studenti SISS non laureati in matematica hanno avuto notevoli difficoltà e sui loro
documenti si sono trovate dichiarazioni di vario genere, eccone un campione:
Mi sono trovato completamente incapace di formulare un ragionamento sensato; Ho
grosse difficoltà a dimostrare le regolarità; Per la formazione che ho gli espedienti
matematici sono un’esperienza arcaica, difficile da attingere con immediatezza e
dimestichezza.
Va comunque segnalato che una laureanda in matematica non è riuscita neppure a
condurre verifiche sperimentali adeguate ed a verificare o individuare le regolarità in
gioco.
Molto interessante è stato per gli allievi il momento in cui sono stati presentati per un
confronto e discussi prototipi delle diverse “soluzioni”, soprattutto per gli studenti che
avevano dichiarato forrfait; anzi tra questi alcuni (tra i più curiosi e vivaci degli studenti
SISS non laureati in matematica) si erano mostrati sin dall’inizio particolarmente
ansiosi di capire come avrebbero potuto procedere.
111
Questa esperienza è stata molto importante per la maggior parte dei partecipanti,
proprio per la loro presa di coscienza, oltre che delle loro carenze o difficoltà rispetto a
particolari quesiti studiati, del più generale problema dell’insegnamento della
dimostrazione.
Un altro importante genere di attività: l’osservazione di sequenze numeriche
Attività dimostrative possono essere affrontate anche in relazione alla osservazione di
sequenze numeriche, tali attività non sono tradizionali nelle nostra scuola anche se oggi
sono presenti nei programmi della scuola elementare sotto la voce “seriazioni”.
Frequenti nella tradizione anglosassone sono a livello di scuola media le attività di
osservazione di sequenze finalizzate alla individuazione di una legge di generazione
della successione di cui esse costituisce la parte iniziale. Solitamente le sequenze che si
propongono riguardano successioni di tipo lineare o al più quadratico. Numerose
ricerche (si veda ad esempio Sasman et al. 1999) rilevano che negli studenti prevale
una visione locale che li induce a formulare una legge di generazione ricorsiva.
Tuttavia una tale legge, seppure corretta, si rivela poco agibile, quando si voglia
determinare l’elemento della successione avente un posto dell’ordine di grandezza già
delle decine o peggio ancora delle centinaia, migliaia etc. Occorre pertanto charire
molto bene al momento della consegna che ciò che si cerca è una legge formale, se
esiste, che consente di ottenere un dato termine in funzione del numero di posto che
occupa. Per facilitare negli allievi una tale visione, di tipo globale, è opportuno
rappresentare la sequenza numerando i posti ed indicando sotto a ciascuno (o accanto
se i posti sono elencati verticalmente) il numero che gli compete, in modo da
evidenziare l’eventuale legame tra l’indice del posto ed il suo termine corrispondente.
A titolo esemplificativo consideriamo la sequenza: 9; 14; 21; 30; 41; … .
Questa non è di immediata generalizzazione e si presta ad una analisi fine e da più
punti di vista. Come indicato in precedenza, conviene scrivere accanto a ciascuno
posto il termine corrispondente invitando gli allievi ad esprimere in più modi ciascun
termine della sequenza in funzione dell’indice di posto, e di indagare se vi sono
rappresentazioni analoghe15. La pluralità di rappresentazioni di ogni termine è
essenziale per l’individuazione della eventuale comune forma di rappresentazione tra i
vari termini. Ad esempio, nel nostro caso, l’esplorazione della situazione16 può portare
a queste visioni della situazione:
1Æ
2Æ
3Æ
4Æ
5Æ
9 = 32 = 32 - 0 = (1+2)2 – 2x(1-1)
14 = 42 – 2 = (2+2)2 – 2x(2-1)
21 = 52 – 4 = (3+2)2 – 2x(3-1)
30 = 62 – 6 = (4+2)2 – 2x(4-1)
41 = 72 – 8 = (5+2)2 – 2x(5-1)
oppure 1 Æ
2Æ
3Æ
4Æ
5Æ
9 = 4 +5 = 22 + 5
14 = 9 + 5 = 32 + 5
21 = 16 + 5 = 22 + 5
30 = 25 + 5 = 52 + 5
41 = 36 + 5 = 62 + 5
che si prestano ad essere facilmente generalizzante ottenendo rispettivamente:
n Æ f(n) = (n+2)2 – 2x(n-1)
n Æ g(n) = (n+1)2 +5
15
Perché gli allievi riescano con facilità ad esprimere i vari numeri della sequenza in una varietà di
modi è necessario aver affrontato in precedenza attività sulle rappresentazioni plurime di numeri
come quelle indicate in Malara e Gherpelli,1997.
16 Questa fase di lavoro è molto ricca e importante, richiede una grossa abilità dell’insegnante ad
indirizzare le visioni degli allievi, consentendo loro di scrivere le “giuste” rappresentazioni in
modo da rilevare le somiglianze.
112
Si porrà allora il problema della verifica dell’uguaglianza delle due leggi individuate,
cosa che motiverà l’esecuzione di trasformazioni sintattiche mirate delle espressioni, nel
nostro caso di f(n) e g(n), e per questo basta in f(n) esprimere n+2 come (n+1) + 1 ed
esplicitare il quadrato scrivendo f(n) = (n+2)2 – 2x(n-1) = (n+1)2+2x(n+1) +1–2x(n-1) =
(n+1)2 +4 +1; cosa che porta al riconoscimento dell’ipotizzata uguaglianza.
Nel caso di una formulazione ricorsiva della legge, nel nostro esempio si avrebbe:
1 Æ 9 = 4 +5
2 Æ 14 = 9 + 5 = a1 + 5
3 Æ 21 = 9 + 7 +5 = 9 +5 + 7= a2 + 7 = a2 +2x3+1
4 Æ 30 = 21+4 + 5 = a3 + 9 = a3 +2x4+1
5 Æ 41 = 36 + 5 = 62 + 5 = a4 +2x5+1
didatticamente si pongono due problemi :
- come giungere alla formulazione ricorsiva in termini generali;
- come provare l’equivalenza della formulazione ricorsiva della legge con quella
generale.
In entrambi i casi occorre utilizzare il procedimento di induzione.
Il caso a) darà luogo alla definizione: a1 = 22 + 5 e an+1= an +2xn+1
Il caso b) richiede di provare che ("n) an = g(n), che si effettua nei due seguenti passi:
1. a1 = g(1); 2. nell’ipotesi che an=g(n) è an+1 = g(n+1)
La prova del punto 1 è semplice poiché: 22 + 5 = (1+1)2 + 5
Per provare il punto 2., da an+1 = an +2xn+1, se an = (n+1)2 +5 si ha:
an+1 = an +2 xn+1 = an+1 = (n+1)2 +5 +2 xn+1 = (n+1)2 +2 xn+1+5 = [(n+1) +1]2 +5 =
(n+2)2 +5. Dai punti 1 e 2 segue che per ogni naturale n è: an = g(n) = f(n)
E’ tutta la esplorare la fattibilità di percorsi didattici su questi temi. E’ noto che il
principio di induzione è previsto come argomento di insegnamento solo in alcuni
trienni sperimentali anche se non mancano insegnanti che lo propongono con successo
sin dal biennio di liceo scientifico. Esso comunque pone problemi delicati da un punto
di vista didattico su cui ci soffermiamo.
Un cenno al principio di induzione
Il principio di induzione è uno degli strumenti dimostrativi (e definitori) più raffinati dal
punto di vista logico17. Esso è noto anche come uno degli assiomi di Peano per i
numeri naturali, anche se in alcune teorie degli insiemi, per esempio Zemelo-Fraenkel
diviene un teorema18. I due modi di guardare ad esso, come regola di inferenza o come
enunciato in una certa teoria (assioma o teorema che sia) sono nella didattica spesso
indistinti (allo stesso modo come lo sono modus ponens ed implicazione), cosa che,
anche se da un punto di vista logico è scorretta per la mesolanza dei piani sintattico e
semantico, è tuttavia legittimata dalla prassi, anche per questioni connesse alla tipologia
degli studi.
La struttura di regola di inferenza del principio si può più facilmente cogliere se nella
sua formulazione si distinguono, anche tipograficamente, premesse e conseguenza,
come sotto indicato:
17
18
Per un’ampia trattazione su questo principio rinviamo a Lolli, 1993.
Occorrerebbe a rigore distinguere tra principio di induzione con formule (proprieta’) e principio di
induzione insiemistica, cioe’ quello in cui si chiede che un sottinsieme di N cui appartenga 0 e
chiuso per successivo coincida con N. Questo è un teorema di ZF, ma bisogna, e non è banale, dare
una definizione di numero naturale.
113
Considerata una proposizione P(n) che abbia significato per i numeri naturali,
SE
a) la proposizione P(n) si prova essere vera per n = 019
b) se fissato un naturale k ad arbitrio si prova che
dalla verità di P(k) segue quella della proposizione P(k+1)
ALLORA
Per qualunque numero naturale n la proposizione P(n) è vera.
Ossia ("n)P(n) è un teorema.
Tale scrittura, che riflette la rappresentazione verbale del principio, può vedersi come
una buona mediazione rispetto a quella dello schema formale di deduzione, dove una
sbarra sottolinea e rappresenta il legame inferenziale tra premesse e conseguenza.
Volendo provare che una certa proposizione P(n) è un teorema in N basta provare la
verità delle premesse ossia i punti a) e b) dello schema.
E’ noto che il punto a), dimostrazione di P(0), è detto passo base dell’induzione, il
punto b) in cui, per un dato k, assunta per ipotesi la verità di P(k) si dimostra che da
essa segue quella di P(k+1), si dice passo di induzione.
Molti sono gli studi che denunciano negli studenti di scuola secondaria e universitari la
scarsa comprensione e l’applicazione automatica, spesso cieca, del metodo (Erne st
1984, Fischbein 1989, Hanna 1989) e focalizzano l’attenzione sulle diverse difficoltà di
tipo sia logico sia psicologico. Queste principalmente riguardano:
2. i giochi di quantificazione e il ruolo delle variabili k ed n (che essendo saturate sono
rappresentabili da una stessa lettera, cosa che, quando avviene, viene ad aumentare
le difficoltà di comprensione);
3. la scarsa capacità di vedere, per la per poca dimestichezza con il processo di
particolarizzazione, l’infinità delle implicazioni rappresentate dalla proposizione
("k)P(k)ÆP(k+1)
4 la capacità di cogliere nella sua interezza il processo deduttivo soggiacente alla
prova dei punti (a) e (b).
5 Il carattere di verifica più che di scoperta che contraddistingue le dimostrazioni per
induzione.
Gli studi citati però, sono tipicamente diagnostici, non ci sono invece report di studi di
innovazione didattica sul principio di induzione, centrati sull’attuazione di percorsi
didattici mirati alla chiarificazione dei vari aspetti logici connessi ed al significato
intrinseco del principio stesso.
Eppure ci sono metafore forti, che potrebbero essere utilizzate anche a livelli scolastici
non elevati, come il “passa parola” in una fila. Questo gioco è una buona esperienza
che rende chiaro il significato del passo base, rappresentato dalla comunicazione di un
certo messaggio al capofila con la consegna “passa parola a chi ti sta al lato sinistro”;
l’esecuzione di tale consegna da parte di tutti rappresenta bene la catena di
trasmissione generata dalla consegna innescata con la comunicazione del messaggio al
capofila. Ciò che occorre concettualizzare è il fatto che l’attuarsi dell’intera catena di
trasmissione dipende dall’attuarsi della trasmissione ad ogni anello della catena e che
l’intero processo può essere rappresentato dal processo di trasmissione in un generico
anello della catena, la cosa essenziale è il verificarsi della trasmissione in una qualsiasi,
generica, coppia di elementi consecutivi.
19
Oppure, più in generale, la proposizione P(n) si prova essere vera per il primo numero naturale per
cui essa abbia significato.
114
Da un punto di vista più strettamente matematico, si potrebbe lavorare anche con
studenti attorno ai 15 anni, affrontando la dimostrazione di semplici regolarità secondo
il principio di induzione ma in modo più diluito, particolarizzando la serie di primi passi
dimostrativi, cosa essenziale per dare significato alla successiva sintesi dell’intero
processo. L’idea chiave è che, dopo aver proceduto alla dimostazione del passo base,
proposizione P(0), si particolarizzi il passo d’induzione ai primi casi, ossia si dimostri
che dalla verità di P(0) segue quella di P(1), che dalla verità di P(1) segue quella di
P(2), dalla verità di P(2) segue quella di P(3) e, cosa più importante, si mostri che in
ciascuno dei vari casi il il percorso dimostrativo presenta un’analogia di struttura che lo
rende generalizzabile. Solo dopo aver colto la regolarità nel processo dimostrativo
innescato, con l’individuazione del pattern nei vari casi particolari esaminati è possibile
passare alla generalizzazione del singolo processo e configurare il passo di induzione
come sintesi e rappresentazione dell’infinità di deduzioni insite in tale generalizzazione.
A titolo di esempio riportiamo questo percorso su un quesito classico molto semplice.
Considerata la sequenza: 2+4 ; 2+4 + 6 ; 2+4 +6 +8 ; 2+4+6+8+10; … ; essa si può
riscrivere nei seguenti termini: 2+22 ; 3 + 32 ; 4 + 42 ; 5 + 52 ; … .
Nasce la congettura “la somma dei primi n numeri naturali pari e positivi è
esattamente il quadrato di n più n stesso”.
Particolarizziamo la congettura al caso n=2. Si ha la proposizione P(2):“la somma dei
primi 2 numeri naturali pari e positivi è esattamente il quadrato di 2 più 2 stesso”, cosa
banalmente verificata.
Proviamo che da P(2) segue P(3):“la somma dei primi 3 numeri naturali pari e positivi
è esattamente il quadrato di 3 più 3 stesso”
2+4+6 = 22+2 + 2(2+1) per P(2) ; ossia 22+2 + 2*2+ 1 +1 = (22+ 2*2 +1) + (2 + 1) =
32 + 3
Proviamo che da P(3) segue P(4): 2 + 4+ 6 + 8 = 32 + 3 + 2(3+1) per P(3) , ossia 32 +
3 + 2*3+ 1 + 1 = 32 +2*3+ 1 + 3 + 1 = 42 + 4
Proviamo che da P(4) segue P(5)
2+4 + 6 + 8 +10 = 42 + 4 + 2(4+1) per P(4) ossia 42 + 4 + 2*4 + 1 +1 = 52 + 5
Cogliendo la regolarità del procedimento, analogo nei vari casi, è facile portare gli
allievi a formularlo in termini generali:
1+2+4 + … + 2n + 2(n+1) = n2+n+2(n+1) per P(n) , ossia n2+2n+1+n+1 = (n+1)2 +
(n + 1).
Desideriamo dire che questo è stato sperimentato con successo dalla prof. M.G.
Pincella in una sua classe di fine terza media. Certo è un pò azzardato concludere che i
ragazzi attraverso alcuni di questi quesiti abbiano capito il principio di induzione, ma di
certo sono andati al di là della semplice conquista empirca della legge, in ogni caso
hanno realizzato un bagaglio di esperienze certamente importanti perché nel prosieguo
dei loro studi lo possano acquisire consapevolmente.
NOTA CONCLUSIVA
Ci rendiamo conto della ampiezza del problema affrontato e della conseguente
frammentarietà e a volte della poca profondità delle considerazioni svolte; ci auguriamo
tuttavia che quanto esposto possa offrire agli insegnanti stimolo a dare spazio alla
dimostrazione ed ad introdurre nell’insegnamento dell’algebra quesiti dimostrativi
come quelli sopra considerati, anche come attività ludica e di sfida intellettuale. Il
ritorno sarà duplice sia sul piano dei contenuti, circa l’apprendimento del linguaggio
115
algebrico e l’affinamento nella sua gestione per la ricerca e costruzione di una
dimostrazione, sia sul piano più trasversale delle attività logico-relazionali, per
l’educazione al concatenamento conseguenziale delle informazioni, e più in generale sul
piano della motivazione al fare matematica, per la curiosità, il fervore, e a volte
l’accanimento, verificato in molti studenti, originato dal desiderio di trovare da sé la
dimostrazione dei quesiti proposti.
BIBLIOGRAFIA
Arzarello F., Bazzini, L., Chiappini, G.: 1994, L'Algebra come strumento di pensiero:
analisi teorica e considerazioni didattiche, progetto CNR-TID, collana FMI, vol.
6.
Barra, M., Furinghetti, F., Ferrari, M., Malara, N.A., Speranza, F.: 1992, Italian
Research in Mathematics Education: Common Roots and Present Trend,
progetto TID- CNR , collana FMI, vol. 12,
Bell, A: 1976, A study of pupils’proof explanations, Educational Studies in
Mathematics, vol. 7, 23-40
Balacheff, N.: 1988, Une étude des processus de preuve en mathématique chez des
élèves du College, Thése de Etat, Université J. Furier, Grenoble
Chevallard, Y: 1989-1990, Le passage de l'aritmetique a l'algebre dans l'enseignement
des mathematiques au college, second and third parts, Petit X, n.19, 43-72 e n. 23,
5-38
Davis, P.J., Hersh, R.,: 1981, The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston,(tr. it.
L'e sperienza matematica , ed. La Comunità, Milano, 1985)
Duval, R.: 1991, Structure di raisonnement deductif et apprendissage de la
demonstration, Educational Studies in Mathematics, vol. 22., 233-261
Ernest, P. 1984, Mathematical Induction, a pedagogical discussion, Educational
Studies in Mathematics, vol. 15, 173-179
Ferrari P. L.: 1996, On some factors affecting advanced algebraic problem solving, in
Gutierrez, A. & L.Puig (eds.), Proc. PME 20, Valencia, Spagna, vol.2, 345-352
Fishbein, E., Engel, I., 1989, Psychological difficulties in understanding the principle of
mathematical induction, proc. PME 13, Parigi, vol.1, 276-282 (tr. It. Difficoltà
psicologiche nella comprensione del principio di induzione matematica, la
Matematica e la sua Didattica, 1989, n.2, 43-45)
Frielander A., Hershowitz R., Arcavi A., 1989, Incipient "algebraic" thinking in prealgebra students, proc. PME 13 , Parigi, vol.1, 283-290
Galbrait, P.L.: 1981, Aspects of Proving: a Clinical Investigation of process,
Educational Studies in Mathematics, vol. 12, 1-28
Garuti, R;, Boero, P., Lemut, E., Mariotti, M.: 1996, Challenging the Traditional
School Approach to Teorems: a hypothesis about the cognitive unity of
theorems, Proc. PME 20, Valencia, Spain, vol. 2, 113-120
Hanna, G., 1989, Proof that prove and proof that explain, proc. PME 13, vol. 2, 4551
Hanna, G.: 1995, Challenges to the importance of proof For the Learning of
Mathematics, vol. 15, n.3, 42-49 (trad. it. Sfide all’importanza della
dimostrazione, la Matematica e la sua Didattica, 2000)
Healy, L., Hoyles, C.: 2000, A study of proof conceptions in Algebra, Journal for
Research in Mathematics Education, vol. 31, n.4, 396-428
116
Hoyles, C.: 1998, The curricular shaping of students’approaches to proof, For the
Learning of Mathematics, 17, 1, 7-16 (trad. It. L’importanza del curriculum
sull’approccio degli studenti alla dimostrazione, la Matematica e la sua
Didattica, 1998, n.2, 248-270)
Iaderosa, R., Malara, N.A.: 1996, La dimostrazione in geometria, in Micale B.,
Pluchino S. (a cura di) suppl. Notiziario UMI , XXIII, n. 7, 201-210
Iacomella, A., Letizia, A., Marchini, C.:1997, Il progetto europeo sulla dispersione
scolastica: un’occasione di ricerca didattica, Editrice Salentina, Galatina (Le)
Kieran, K.: 1992, The Learning and Teaching of School Algebra, in Grouws D.A. (ed),
Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, Macmillan, NY,
390-419
Lolli, G.: 1988, Capire una dimostrazione, Il Mulino, Bologna
Lolli, G.: 1993, Il principio di induzione, Notiziario UMI, suppl. n. 5, anno XX, 65-98
Lolli, G.: 2000, Esperimenti e dimostrazioni, in questi atti.
Malara, N.A.: 1994, Il pensiero algebrico: come promuoverlo sin dalla scuola
dell'obbligo limitandone le difficoltà?, L’Educazione Matematica, 1996, anno
XVII, serie V, vol. 1, 80-99
Malara, N.A.: 1996, L'Insegnamento della Geometria nella scuola media: questioni
teoriche e didattico metodologiche, in L'Insegnamento della Geometria: seminario
di formazione per docenti della istruzione secondaria di primo grado, Quaderno
n.19/1 MPI, 13-76
Malara N.A., Gherpelli L.: 1997, Argumentation and proof in Arithmetics: some results
of a long lasting research, proc First Mediterranean Conference on Mathematics
Education , 139-148 in versione italiana in L’Educazione Matematica, anno XVIII,
serie V, vol. 2, n. 2, 82-102
Mammana, C., Villani, V. (a cura di): 1998, Perspectives on the Teaching of
Geomerty for the 21st Century, Kluver Academic Publishers, Dordrecht
Marchini, C.: 1995, Schemi di deduzione, in Ciarrapico L. Mundici D. (a cura di),
L'insegnamento della Logica, Ministero Pubblica Istruzione e AILA, 1995, 107 132.
Marchini, C.: 2000, Mito, magia, ostensioni, teoremi, definizioni, in stampa Rivista di
Matematica dell’ Università di Parma (6), 3*
Progetto Nuffield, 1974, Logica, Zanichelli, Bologna
Navarra, G.:1998, Tracce per un percorso didattico triennale attraverso la logica nella
scuola media, monografia costituente inserto, Scuola e didattica, n.17, 1998, 4964.
Peano, G.: 1924, Giochi di Aritmetica e problemi interessanti, Paravia, Torino,
(edizione più recente: Sansoni, Firenze, 1983)
Russo, L.: 1998, Segmenti e Bastoncini, Feltrinelli
Russo, L.: 2000, Scienza e tradizioni culturali, relazione presentata al convegno
“Perché l’Antico” Firenze, 28/1/2000
Sasman M, Olivier A, Linchevski L.: 1999, Factors influencing students’generalization
thinking processes, proc. PME 23, Haifa, Israel, vol. 4, 161-168
Savadosky P. 1999, Arithmetic and algebraic practices: possible bridge between them,
proc. PME 23, vol. 4, 145-152
117
Vailati, G.: 1904, Il testo di F. Enriques e U. Amaldi “Elementi di geometria ad uso
delle scuole secondarie superiori” in Quaranta M. (a cura di), 1987, Giovanni
Vailati Scritti, vol. 3, Forni Editore, Bologna, 267-273
Vita, V.: 1986, I programmi di matematica per le scuole secondarie dall’unità
d’Italia al 1986: Rilettura storico-critica, Pitagora, Bologna
Zan R.: 1997, Mortalità universitaria e mortalità matematica, Tracciati n. 2, http:
www.eurolink.it/scuola/tracciati
Zan R.: 2000, A Metacognitive intervention in Mathematics at University Level,
International Journal Mathematics Education Science and Technologies, vol.31,
n.1, 143-150
118
APPENDICE 2
Soluzioni dei problemi di tavola 5
Problema 1.
Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due
numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la
differenza
Un numero u di tre cifre è rappresentato da un polinomio a102 + b10 + c con a, b, c,
compresi tra 0 e 9. Invertendo l'ordine delle cifre abbiamo il numero:
v = c102 + b10 + a. Considerati a e c, essendo confrontabili (la relazione di minore un
ordinamento totale), uno deve precedere l'altro. Supponiamo sia a > c. In questa ipotesi u >
v. La differenza u - v rappresentata come a102 + b10 + c - (c102 + b10 + a). non dà la
rappresentazione polinomiale; per ottenerla, essendo c < a, occorre scrivere u come (a1)102 +[10+(b-1)]+ (10 + c). Pertanto u - v diviene: [(a-1)-c]102 +[(10+b)+(b-1)]10+[(10 +
c)-a]. Si osserva che il coefficiente di 10 è [(10+b)+(b-1)] = 9, la somma dei restanti
coefficienti è: [(a-1)-c] + [(10 + c)-a] = 10-1 = 9. Conoscendo quindi l'ultima [la prima] delle
cifre si risale facimente all'intera differenza.
Problema 2
Scrivi un numero di più cifre, moltiplicalo per 10 e sottrai questo a quello di partenza,
cancella nella differenza una cifra non nulla e dammi la somma delle rimanenti. Io
indovinero' quella che tu hai cancellato. Spiegami come è possibile.20
Passo 1
n
Preso un qualsiasi numero naturale sia an10 + an-1 10n-1 + an-2 10n-2 + …. + a0 la sua
rappresentazione polinomilae, moltiplicando il numero per 10 e sottraendo a tale prodotto il
numero stesso possiamo rappresentare la differenza raccogliendo ogni cifra, si ottiene
a0(10-1) + a1(102-10) + a2(103-102) + …. + ai+1(10i+1-10i) …+ an(10n+1-10n).
Ogni termine (10i+1-10i)= 10i(10-1), i= è un multiplo di 9, la nostra differenza essendo somma
di multipli di 9, per la proprietà distributiva, è un multiplo di 9.
Passo 2
n
Sia an10 + an-1 10n-1 + an-2 10n-2 + …. + a0 , con ai naturali minori di 10 il generico naturale.
Dall’identità 10i = (10i -1) +1 , poiché per ogni i = 0, 1, ….n, (10i -1) è un multiplo di 9, il
numero può scriversi come somma di un multiplo di 9 più il numero costituito dalla somma
delle sue cifre. Ossia: an(10n -1) + an-1 (10n-1 -1) + an-2 (10n-2 -1) + …. + a1 (10 -1) +
(an+ an-1 + an-2 + …. + a1+ a0).
Questa rappresentazione del numero mostra che se un numero è divisibile per 9 allora la
somma delle sue cifre deve essere divisibile per 9 e, viceversa, se la somma delle cifre di un
numero è divisibile per 9 allora anche il numero lo è.
Passo 3
Dal passo 1 la nostra differenza è un multiplo di 9, dal passo 2 la somma delle sue cifre deve
essere un multiplo di 9. Cancellando una cifra non nulla dalla differenza e dichiarando la
somma delle restanti, per individuare la cifra cancellata basta considerare il più piccolo
multiplo di 9 maggiore della somma delle restanti cifre e sottrarre ad esso tale somma.
Problema 3
Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei
due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque
sia il numero si ottiene sempre 1089. Perché?
20
Il testo è impreciso, se il numero fosse di due cifre, come ad esempio 11, seguendo il procedimento si otterrebbe la
differenza 110 – 11 = 99 e cancellando una cifra di questo non ha senso parlare di somma delle restanti. Occorrerebbe
specificare che nel caso il numero differenza sia di due cifre basta dirne una delle due per individuare l’altra.
119
Scelto un numero u=a102 + b10 + c (a, b, c naturali minori di 10), sia v=c102 + b10 + a.
Supposto a<c è v>u. La rappresentazione polimomiale della differenza è: v-u= [(c-a)-1]102
+ [10+(b-1) -b]10 + [(10+c)-a]. Considerato il numero w avente come cifre quelle di v-u
nell'ordine inverso, esso è rappresentato da: [(10+c)-a]102 + [10+(b-1) -b]10 + [(c-a)-1].
Sommando rispettivamente le unità, le decine e le centinaia di v-u e w si ha: [(10+c)-a] +
[(c-a)-1] = 10-1=9 unità
[10+(b-1) -b] + [10+(b-1) -b] = 20-2=(10+8) decine
[(c-a)-1] + [(10+c)-a] = 10-1=9 centinaia
La rappresentazione polinomiale di tale numero è pertanto:
(9+1)102 + 8* 10 + 9 = 1089
Problema 4
Un numero di due cifre ha questa caratteristica: il suo quadrato diminuito del quadrato
del numero precedente è uguale al numero stesso con le cifre invertite. Qual è il numero.
Qualunque sia u>0 la differenza u2 -(u-1)2 = 2u-1. Sia u=10a + b (a, b naturali minori di 10).
u 2 - (u-1)2 =2(10a + b)-1.
Le condizioni poste dal problema ci dicono che tale numero deve essere 10b + a.
Non è detto che l'espressione 10* 2a + (2b-1) sia la rappresentazione polinomiale del
numero. Per uguagliare le due rappresentazioni occorre perciò trasformarle a seconda dei
casi che si possono presentare. Perché 2a e 2b-1 siano le cifre del numero occorre che a e b
siano entrambi minori di 5. Consideriamo allora i casi: 1) a<5 e b<5;
2) a>5 e b>5 ; 3) a>5 e b<5 ; 4) a<5 e b>5.
Nel caso 1), per il principio di identità dei polinomi, si dovrebbe avere 2a=b e (2b-1)=a, cosa
chiaramente impossibile perche' a è naturale.
I casi 2) e 3) non possono verificarsi perchè la condizione a>5 porta ad un numero
dell'ordine delle centinaia che non può essre uguale ad uno dell'ordine delle decine.
Nel caso 4) scrivendo 2b-1=10+r, per il principio di identità dei polinomi, si hanno le
condizioni 2a+1=b ed r=a, quest'ultima porta alla condizione 2b-1=10+a. Sostituendo in
questa l'espressione di b in funzione di a si ottiene 2(2a+1)-1=10+a, che si trasforma in
3a=9 ossia a=3. Sostituendo in 2b-1=10+a il valore di a si ha 2b=14 ossia b=7.
Problema 5
Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le
cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di
tre o quattro cifre.
Sia u=10a + b (a, b naturali minori di 10). E' v=10b + a.
u+v= (a+b)10 + (b+a)= (a+b)(10+1)=11(a+b).
Sia n di tre cifre, ossia n=a102 + b10 + c. Invertendo l'ordine delle cifre abbiamo il numero:
m = c102 + b10 + a. E' n+m= (a+c)102 + 2b10 + (c+a)=(a+c)(102+1) + 2b10. Tale numero
sarà divisibile in generale da un numero d se ammetterà d come divisore indipendentemente
dai valori di a, b e c, d dovrebbe perciò essere divisore comune a 101 e 20, ma tali numeri
sono primi tra loro.
Sia n di quattro cifre, ossia n=a103 + b102 + c10 +d.
Invertendo l'ordine delle cifre abbiamo il numero: m=d103 + c102 + b10 +a. n+m=
(a+d)(103+1)+10(b+c)(10+1).E' 1001 =91* 11, pertanto n+m= [91(a+d)+10(b+c)]* 11.
120