La dimostrazione per assurdo

Prof. Luigi La Gatta
2009
Lezione di Geometria
“Dopo i greci fare matematica vuol dire dimostrare” (Bourbaki)
LA DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
Consideriamo la proposizione
“Se Pippo legge i Promessi sposi, allora Pippo non è analfabeta”
Se fosse un teorema di geometria, scriveremmo:
Ip: “Pippo legge i Promessi sposi”
Th: “Pippo non è analfabeta”.
Che cosa succede se consideriamo falsa la tesi?
Significa che è vera la sua negazione, cioè è vera la proposizione: “Pippo è analfabeta”.
Ne deriva che Pippo non può leggere i Promessi sposi.
Siamo così giunti ad una contraddizione con l’ipotesi, nella quale si dà per certo che Pippo legge il
famoso romanzo di Manzoni.
Il ragionamento, cominciato con la negazione della tesi, ci ha portato ad un risultato assurdo perché
contraddice l’ipotesi.
Ma dal momento che l’ipotesi è un dato inconfutabile, dobbiamo concludere che la negazione della tesi
è falsa e quindi la tesi è vera.
Questo tipo di ragionamento, che prende il nome di dimostrazione per assurdo, segue il seguente
procedimento:
1. Si suppone falsa la tesi, cioè si considera vera la sua negazione;
2. Sulla base di tale verità si fanno deduzioni come nelle dimostrazioni dirette;
3. A un certo punto si perviene a un risultato contraddittorio, ossia alla negazione di qualche
teorema dimostrato in precedenza, o alla negazione di un postulato o della stessa ipotesi;
risultato che, per questo motivo, chiamiamo assurdo;
4. Dalla contraddizione ottenuta è possibile dedurre che la tesi è vera.
Prof. Luigi La Gatta
2009
Ipotesi
VERA
+
TESI
FALSA
Negazione
della tesi
VERA
deduzioni
Risultato
assurdo
+
Teoremi già dimostrati
o postulati
TESI
VERA
Nelle dimostrazioni dirette, la catena di deduzioni parte dall’ipotesi del teorema e arriva alla tesi.
Nelle dimostrazioni per assurdo, la catena di deduzioni parte dalla negazione della tesi. Le deduzioni
portano a una contraddizione, la quale rivela che la negazione della tesi è falsa, e quindi la tesi deve
essere necessariamente vera.
La dimostrazione di un teorema del tipo “se a, allora d” procederà, a seconda che la dimostrazione sia
diretta o per assurdo, come schematizzato qui di seguito.
Dimostrazione DIRETTA
Dimostrazione per ASSURDO
IPOTESI
Deduzioni, utilizzando gli assiomi
e i teoremi già dimostrati
TESI
NEGAZIONE DELLA TESI
Deduzioni, utilizzando gli assiomi
e i teoremi già dimostrati
Contraddizione
TESI
Se a, allora b
Se b, allora c.
Se c, allora d.
Quindi, se a allora d.
Supponiamo che sia Vero non d
Se non d, allora e.
Se e, allora f, e così via finchè non giungiamo a
una contraddizione.
Quindi, non d è Falso; ossia d è, Vero.