Problemi sui test di ipotesi per la varianza

Problemi sui test di ipotesi per la varianza
Problema V1
Controlli periodici sulla produzione di condensatori hanno permesso al costruttore di definire una
variabile casuale X (che assume valore pari alla capacità di ciascun condensatore misurata in pF
alla frequenza di 1 kHz) che, storicamente, mostra una deviazione standard σ = 240. Un campione
di 35 elementi mostra una deviazione aumentata: Sn = 300 e ci si chiede se tale aumento è
accidentale (campione “sfortunato”) oppure se è il sintomo di un difetto intervenuto nel processo
produttivo. L’esame viene condotto con una fiducia del 98%
H0 : σ ≤ σ0 = 240
α = 2%
Per condurre il test si costruisce una idonea variabile casuale
χ
2
così definita:
S n2
χ = (n − 1) 2
σ0
2
La variabile sopra definita ha distribuzione di tipo "chi quadro" con n-1 gradi di libertà
Per la forma della ipotesi principale H0 : σ ≤ σ0 il test da condurre è di tipo unilaterale (rifiuto
nella coda superiore) e, dato che n = 35, nella determinazione del valore critico si usa una "chi
quadro" con 34 gradi di libertà.
Dalle tabelle si ottiene il valore critico:
xc2 = 52,995
e la regione di rifiuto per la H0 è
χ 2 > xc2 = 52,995
Dai dati ottenuti misurando gli elementi del campione si ottiene
2
S n2
⎛ 300 ⎞
2
χ = (n − 1) 2 ⇒ xn2 = 34 ⎜
⎟ = 53,125 > xc
σ0
⎝ 240 ⎠
2
χ
Dato che il valore di 2 del campione è nella regione di rifiuto si è autorizzati a rifiutare l’ipotesi
principale con la fiducia richiesta: l’aumento della deviazione standard rilevato nel campione
non è un fatto accidentale, ma sistematico e provocato da un aumento della dispersione del
prodotto.
Problema V2
Controlli periodici sulla produzione hanno permesso ad un costruttore di resistori di definire una
variabile casuale X (che assume valore pari alla resistenza in continua di ciascun resistore misurata
in Ω alla temperatura di 25 °C) che, storicamente, mostra una deviazione standard σ = 3,0 : un
nuovo processo produttivo, introdotto di recente dal costruttore, potrebbe aver ridotto la
dispersione del prodotto.
Per verificare se tale risultato è stato effettivamente ottenuto si preparano 30 prototipi e con questi
si costituisce un campione: la deviazione standard campionaria corretta Sn che viene calcolata in
base ai valori del campione presenta effettivamente un valore ridotto a 2,5 ma ci si chiede se tale
riduzione sia stata accidentale oppure se è sistematica (solamente nel secondo caso il nuovo
processo è effettivamente utile).
Il test viene condotto nella speranza che il nuovo processo produttivo sia utile pertanto si sceglie
come ipotesi principale quella che la deviazione standard per l'intera popolazione sia rimasta
quella del processo originale.
L’esame viene condotto con una fiducia del 95%
H0 : σ ≥ σ 0 = 3
α = 5%
Per condurre il test si costruisce una idonea variabile casuale
χ
2
così definita:
S n2
χ = (n − 1) 2
σ0
2
La variabile sopra definita ha distribuzione di tipo "chi quadro" con n-1 gradi di libertà
Per la forma della ipotesi principale H0 : σ > σ0 il test da condurre è di tipo unilaterale (rifiuto
nella coda inferiore) e, dato che n = 30, nella determinazione del valore critico si usa una "chi
quadro" con 29 gradi di libertà.
Dalle tabelle si ottiene il valore critico:
xc2 = 17,708
e la regione di rifiuto per la H0 è
χ 2 < xc2 = 17,708
Dai dati ottenuti misurando gli elementi del campione si ottiene
2
s2
⎛ 2,5 ⎞
χ = (n − 1) 2 = 29 ⎜
⎟ = 20,139 > xc2
σ
⎝ 3,0 ⎠
2
Dato che non è possibile rifiutare l’ipotesi H0 il beneficio del nuovo processo non è provato e
si deve ritenere che il buon valore mostrato dal campione possa essere dovuto ad un fatto
accidentale.
Problema V3
Nell'ambito di una popolazione (infinita) di pile viene definita una variabile casuale X che assume,
per ciascun elemento della popolazione, valore uguale a quello della tensione a vuoto prodotta
dalla pila e misurata in volt.
Un campione di 15 pile mostra un valore sn2 della varianza campionaria corretta Sn2 pari a:
sn2 = 0,08
Si vuole condurre un test con α = 10% relativamente all’ipotesi che la varianza σ2 relativa
all'intera popolazione sia di 0,09.
Lo scopo del test può essere duplice:
caso 1:
si può cercare di poter affermare che la popolazione da cui è stato estratto il campione ha
una varianza che supera il valore di 0,09
(questo è il punto di vista di un potenziale acquirente che vuole cautelarsi contro
l’acquisto di un prodotto di scarsa uniformità)
caso 2:
si può cercare di poter affermare che la popolazione da cui è stato estratto il campione ha
una varianza che non supera il valore di 0,09
(questo è il punto di vista di un venditore che vuole dimostrare ad un potenziale
acquirente la buona uniformità del prodotto che viene proposto per l’acquisto )
Nei due casi l’ipotesi principale H0 deve essere formulata in modo diverso.
caso 1:
H0 : σ2 ≤ σ20 = 0,09
α = 10%
caso 2:
H0 : σ2 ≥ σ20 = 0,09
α = 10%
La diversa formulazione dell’ipotesi principale è motivata dalle seguenti considerazioni:
se nel caso 1. risulta possibile rifiutare H0 con fiducia pari a 1-α allora, dato che non è sostenibile
che la varianza della X per tutta la popolazione sia minore del valore ipotizzato, con la stessa
fiducia si conclude che la varianza della X per tutta la popolazione è maggiore di σ20
viceversa, se nel caso 2. risulta possibile rifiutare H0 con fiducia pari a 1-α allora, dato che non è
sostenibile che la varianza della X per tutta la popolazione sia maggiore del valore ipotizzato, con
la stessa fiducia si conclude che la varianza della X per tutta la popolazione è minore di σ20
Volendo condurre il test con la variabile C2 modificata si opera come segue:
Preliminarmente si costruisce una idonea variabile casuale così definita:
S n2
C = 2
σ0
2
La variabile sopra definita ha distribuzione di tipo "C 2 modificata di chi quadro" con n-1
gradi di libertà.
caso 1.
Per la forma della ipotesi principale H0 : σ2 < σ02 il test da condurre è di tipo unilaterale
(rifiuto nella coda superiore) e, dato che il campione è composto da 15 pile (n = 15), nella
determinazione del valore critico si usa la " C 2" con 14 gradi di libertà.
Dalle tabelle si ottiene il valore critico:
cc2 = 1,50
e la regione di rifiuto per la H0 è
C 2 > cc2 = 1,50
Dai dati del campione si calcola il valore cn2 della variabile C 2 modificata:
S n2
C = 2
σ0
2
⇒ cn2 =
0,08
≈ 0,9 < cc2
0,09
Il valore cn2 della variabile C 2 calcolato in base ai dati del campione risulta esterno alla
regione di rifiuto dell’ipotesi principale H0 che non può essere rifiutata.
caso 2.
Per la forma della ipotesi principale H0 : σ2 > σ02 il test da condurre è di tipo unilaterale
(rifiuto nella coda inferiore) e, dato che il campione è composto da 15 pile (n = 15), nella
determinazione del valore critico si usa la " C 2" con 14 gradi di libertà.
Dalle tabelle si ottiene il valore critico:
cc2 = 0,556
e la regione di rifiuto per la H0 è
C 2 < cc2 = 0,556
Dai dati del campione si calcola il valore cn2 della variabile C 2 modificata:
S n2
C = 2
σ0
2
⇒ cn2 =
0,08
≈ 0,9 > cc2
0,09
Il valore cn2 della variabile C 2 calcolato in base ai dati del campione risulta esterno alla
regione di rifiuto dell’ipotesi principale H0 che non può essere rifiutata.
Come si può facilmente notare, il voler sostenere che la varianza σ2 della X per l'intera popolazione
è maggiore o minore dello stesso valore comporta due ben diversi valori critici per lo stimatore
varianza campionaria corretta.
Nota: intendiamo con valore critico della varianza campionaria corretta quel valore che
rende il valore cn2 della variabile C 2 calcolato in base ai dati del campione uguale al suo
valore critico cc2:
sc2
2
c =
= cc2 ⇒ sc2 = cc2 ⋅ σ 0
2
σ0
2
n
Nel caso 1 la varianza campionaria corretta ha un valore critico sc2 = 0,135 mentre nel caso 2 il suo
valore critico diviene sc2 = 0,050.