Lezioni sull`analisi di gusci sottili assialsimmetrici Lezioni sull`analisi

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Gusci sottili: corpi bidimensionali la cui superficie media non è piana ma si sviluppa nello spazio, con carichi applicati sia giacenti sul piano medio che ortogonali ad esso.
1/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva
2/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva
3/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva
4/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Anno acacdemico 2013-14
La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un semipiano uscente dall’asse .
meridiano ()

5/
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Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un semipiano uscente dall’asse .
Le circonferenze ottenute sezionando con un piano ortogonale a  costituiscono i paralleli.
meridiano ()

P
parallelo
6/
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La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.
meridiano ()


P
parallelo
7/
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.
La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale alla superficie e l’asse di rotazione.

meridiano ()


P
parallelo
8/
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.
La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale alla superficie e l’asse di rotazione.

meridiano ()

P


P
parallelo
9/
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Fissato un punto P, si definisce in esso un SR locale con:
• Asse z ortogonale al piano tangente alla superficie media in P
• Asse  giacente sul piano tangente e diretto secondo il parallelo per P
• Asse giacente sul piano tangente e diretto secondo il meridiano per P
meridiano

z
P


z
P


parallelo
10/
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Raggi di curvatura rilevanti:
• Raggio di curvatura meridiano (R): curvatura sul piano ‐Z, corrisponde al raggio di curvatura della curva ; il centro di curvatura giace sul prolungamento dell’asse Z.


z P


P
R
O
R
O
11/
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Raggi di curvatura rilevanti:
• Raggio di curvatura azimutale (R): curvatura sul piano ‐Z; distanza tra P e l’intersezione dell’asse z con l’asse di simmetria, su cui giace il centro di curvatura O


z P
R
 O

R
P
O
R  O 
O
R
12/
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Raggi di curvatura rilevanti:
• Raggio di curvatura assiale (R): distanza tra P e l’asse di simmetria; risulta chiaramente R=R ∙ sin()


z
R
R
P
R
 O

R
P
O
R 
O
O
R
13/
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Recipiente cilindrico orizzontale pieno di acqua e soggetto al relativo peso proprio
SI
NO
Recipiente cilindrico verticale pieno di acqua e soggetto al relativo peso proprio
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Esercizio 1
Verificare se le seguenti strutture possono essere studiate come gusci assialsimmetrici:
SI
NO
Recipiente cilindrico orizzontale pieno di liquido e soggetto all’effeto di una accelerazione nella direzione del suo asse (Es.: autobotte che frena)
SI
NO
14/
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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative
Sfera
O  O  O
R  R  R
O
16/
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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative
Cilindro
R  R  R
R  
R
17/
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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative
Cono (semi‐apertura 90
R 
R
sin  
R  
R

18/
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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative
Toro (Raggi Ra ed Rc)
Ra
R
R  Rc
R  sin( )  R  Ra  Rc  sin( )


Ra  Rc  sin( )
R 
sin( )
19/
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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative
Ellisse (Semi‐assi a e b)
B
x0  a  cos( )
b
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Nel punto di coordinate:
y 0  b  sin( )
R 
a

sin    b cos  
a b
2
R  a cos 2   
y
R

x
si ottiene:
2
p
2
2

3
2
2
a
2
 
sin
2
b
A
2a






sin


    arccos 
2


a
2
2
 cos    2 sin   
b


R  R sin  
20/
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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative
Ellisse (Semi‐assi a e b)
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In particolare si ottiene:

b2
 R 
a
A(  0)
 R  a


a2
B   90 R  R 
b

B
R

A

21/
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Analisi dei carichi di pressione
Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un piano ortogonale ad .

p
22/
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Analisi dei carichi di pressione
Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la pressione sulla direzione .

p∙A1
p∙A1
p
A1
23/
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Analisi dei carichi di pressione
Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la pressione sulla direzione .

p∙A2
p∙A2
p
A2
24/
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Analisi dei carichi di pressione
Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un piano ortogonale ad .

p∙(A1‐A2)
p∙(A1‐A2)
A1‐A2
p
A2
A1
A1‐A2
25/
Esercizio 2a
Calcolare la reazione vincolare assiale che devono esercitare i prigionieri che trattengono la testa emisferica di un compressore da 10 bar.
Come cambierebbe la risposta se la testa fosse piana?
E se fosse semiellittica con rapporto 2 tra gli assi?
 200
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
26/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
h
2
1
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Esercizio 2b
Il recipiente pressurizzato mostrato in Figura è composto da tre corpi cilindrici formanti all’interno un’unica cavità.
Quanto vale la forza assiale cui è sottoposto complessivamente il cilindro centrale?
p0
28/
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Differenze fondamentali tra gusci e piastre
Piastre: superficie media piana, per cui i carichi esterni non potrebbero essere equilibrati da tensioni costanti nello spessore, la cui risultante non avrebbe componenti ortogonali al piano medio → taglio + flessione in ogni punto
Gusci: superficie media curva, per cui i carichi esterni possono essere equilibrati da tensioni costanti nello spessore, la cui risultante N ha una componente nella risultante della pressione p → taglio e flessione solo in particolari zone limitate
p
Q
N
p
M
N
30/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Teoria «membranale» dei gusci sottili
Escluse particolari zone, solitamente di limitata estensione, lo stato di tensione dei gusci sottili può essere analizzato ipotizzando che lo stato di tensione sia costante nello spessore (Teoria membranale dei gusci sottili)
N
p
N
Ipotesi preliminari della teoria dei gusci sottili
• spostamenti sotto carico molto minori dello spessore
• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta ortogonale alla superficie media, dopo la deformazione continuano a formare una retta ortogonale alla superficie media deformata (ipotesi di Kirchoff).
• le tensioni normali agenti ortogonalmente al piano medio della piastra siano trascurabili (stato piano di tensione)
31/
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Teoria membranale dei gusci sottili assialsimmetrici
In base alle ipotesi generali fatte, per i gusci sottili assialsimmetrici possono essere introdotte le seguenti ulteriori semplificazioni:
• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria
• le componenti di spostamento, tensione e deformazione sono costanti in direzione circonferenziale e cambiano solo nella direzione meridiana
meridiano

z


parallelo
32/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
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Elemento di guscio compreso tra due piccoli incrementi delle coordinate azimutale () e meridiana () ed interessante l’intero spessore. d

z

ds1

ds2
d
R
33/
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Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
Componenti di tensione agenti
d



ds1

z
ds2


d
R

34/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
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

dz



z




z

h
Componenti di tensione agenti


h
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
h
2
N      dz

h
2
h
2
N      dz

h
2
35/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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

dz



z




z

h


h
h
2
N      dz     h    
Ipotesi: tensioni costanti nello spessore

h
2
h
2
N      dz     h    

h
2
N
h
N
h
36/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/1
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Grandezze geometriche:
ds1  R  d  R  sin    d  R  d '
ds2  R  d
d

ds1
ds2
d’ O d
R
O
ds1
ds2
37/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/2
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Si considera l’equilibrio dell’elemento di guscio in direzione z:



z




ds1
ds2
R
h
38/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/3
Si rappresenta l’elemento di guscio sui piani ‐z e z‐:
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z
z




p


p
d'
d
 d 
 d ' 
2 N  ds1  sin 

2


sin
N
ds


  p  ds1  ds2  0

2
 2 
 2 
39/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/4
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Approssimando il seno con l’angolo
 d ' 
 d 
2 N  ds1  sin 
2
sin

N

ds

  p  ds1  ds2  0



2
 2 
 2 
N  ds1  d  N  ds2  d ' p  ds1  ds2  0
40/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Equazioni di equilibrio/4
 d ' 
 d 
2 N  ds1  sin 
2
sin

N

ds

  p  ds1  ds2  0



2
 2 
 2 
N  ds1  d  N  ds2  d ' p  ds1  ds2  0
Sostituendo
ds1  R  d '
ds2  R  d
N  R  d 'd  N  R  d  d ' p  R  R  d 'd  0
41/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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Equazioni di equilibrio/4
 d 
 d ' 
N
ds



2 N  ds1  sin 
2
sin


  p  ds1  ds2  0

2
 2 
 2 
N  ds1  d  N  ds2  d ' p  ds1  ds2  0
ds1  R  d '
ds2  R  d
Semplificando
N  R  d 'd  N  R  d  d ' p  R  R  d 'd  0
N  R  N  R  p  R  R  0
42/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Equazioni di equilibrio/4
 d 
 d ' 
N
ds



2 N  ds1  sin 
2
sin


  p  ds1  ds2  0

2
 2 
 2 
N  ds1  d  N  ds2  d ' p  ds1  ds2  0
ds1  R  d '
ds2  R  d
N  R  d 'd  N  R  d  d ' p  R  R  d 'd  0
N  R  N  R  p  R  R  0
Equazione di Laplace
N
R

N
p
R
43/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Equazioni di equilibrio/5
Una seconda equazione di equilibrio può essere ottenuta sezionando il guscio con un piano ortogonale all’asse di simmetria  e considerando l’equilibrio della porzione ottenuta in direzione . Le N evidentemente non contribuiscono, mentre le N sono uniformemente distribuite.
F

N  sin    2  R  p    R2  F  0
p  R
F
N 

2 sin   2R sin  
p

z



R
44/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/1
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Cilindro soggetto a pressione interna
Per un cilindro si ha:
R  R  R
R  


2
p
h
R
45/
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Applicazioni/1
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Cilindro soggetto a pressione interna
Per un cilindro si ha:
R  R  R
R  


2
Dalla equazione di Laplace si ricava:
N
p
R
p
h
R
N  p  R
46/
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Applicazioni/1
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Cilindro soggetto a pressione interna
Per un cilindro si ha:
R  R  R
R  


p
2
h
Dalla equazione di Laplace si ricava:
R
N
p
R
N  p  R
 
N p  R

h
h
Formula di Boyle e Mariotte
47/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/1
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Cilindro soggetto a pressione interna
Se il cilindro è chiuso si ha inoltre:
N  2R  p  R 2
pR
2
N
pR
   
h
2h
N 
p
h
R
48/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Cilindro soggetto a pressione interna
Se il cilindro è chiuso si ha inoltre:
N  2R  p  R 2
pR
2
N
pR
   
h
2h
N 
p
h
R
Deformazioni
p  R2  
E
2hE
    p  R1  2 
 

E
2hE
 
   

49/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Determinare lo spessore minimo richiesto per il mantello cilindrico del recipiente in acciaio pressurizzato internamente mostrato nella Figura.
Con il suddetto valore di spessore, determinare la variazione di diametro e di lunghezza prodotte dalla pressione.
p0
L0
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Esercizio 3

50/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
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Sfera soggetta a pressione interna
Per una sfera si ha:
R  R  R
p
O
h
52/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
R  R  R
Considerando una sezione con un piano passante per il centro si ha:
N 
pR
2


N  2R  p  R
p
2

Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Sfera soggetta a pressione interna
Per una sfera si ha:
2R
53/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
R  R  R
Considerando una sezione con un piano passante per il centro si ha:
N 
pR
2


N  2R  p  R
p
2

Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Sfera soggetta a pressione interna
Per una sfera si ha:
2R
54/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Sfera soggetta a pressione interna
Dalla equazione di Laplace si ha inoltre:
N N  N N 



p
R R
R
R
pR pR

2
2
pR
   
2h
N  p  R 
p
O
h
55/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Sfera soggetta a pressione interna
Dalla equazione di Laplace si ha inoltre:
N N  N N 



p
R R
R
R
pR pR

2
2
pR
   
2h
N  p  R 
p
O
Deformazioni
   
   
E

p  R1  
2hE
h
56/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Esercizio 4
Data la sfera pressurizzata in acciaio mostrata in Figura, determinare la variazione di diametro prodotta dalla pressione.
Determinare inoltre lo spessore minimo richiesto e la variazione di diametro che si ottiene per tale valore minimo.
p
O
h
57/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Cono soggetto a pressione interna
Per un cono si ha:
R 
R
sin  
R  


2

R
cos 
2
R

Fissata la coordinata si ha:
R  R0    tan  
R
p


59/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Cono soggetto a pressione interna
Per un cono si ha:
R 
R
cos 
R  


2
2
R

Fissata la coordinata si ha:
R
R  R0    tan  
p
Equilibrio assiale:
N  cos   2R y  p  R
2
N 
p  R
2 cos 
p
R0    tan  
2 cos 




60/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Cono soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace si ha inoltre:
N
p
R
N  p  R 
p  R
cos 
p
R0    tan  
cos 
R
R

p



61/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Cono soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace si ha inoltre:
N
p
R
N  p  R 
p  R
cos 
p
R0    tan  
cos 
N p R0    tan  

h
h
cos 
N p R0    tan  

 
h
h
2 cos 
R
 
R

p



62/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Esercizio 5
Dato il recipiente pressurizzato in acciaio, cilindrico con estremità tronco‐coniche, mostrato nella Figura, determinare lo spessore minimo richiesto per la porzione tronco conica.
Con tale valore di spessore, determinare la variazione di diametro del cono nel punto di tensione ideale massima.
63/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Ra
Applicazioni/4
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Toro soggetto a pressione interna
Per un toro si ha:
R  Rc
R
p

R  sin( )  R  Ra  Rc  sin( )
Ra  Rc  sin( )
R 
sin( )

65/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Ra
Applicazioni/4
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Toro soggetto a pressione interna
Per un toro si ha:
p
R  Rc

R
R  sin( )  R  Ra  Rc  sin( )
Ra  Rc  sin( )
R 
sin( )

Si consideri adesso una porzione del toro compresa tra un cilindro di raggio Ra ed un cono di semi‐

apertura passante per il centro del cerchio. Imponendo l’equilibrio in direzione assiale si ha:


N  sin    2R  p   R2  Ra2  0
Ra

p  

R



66/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna


Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
N  sin    2R  p   R2  Ra2  0
N 

p R2  Ra2

2 R  sin  
67/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna

Sostituendo

Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
N  sin    2R  p   R2  Ra2  0
N 

p R2  Ra2
  pR
2 R  sin  

R  Ra  Rc sin  
2





R
sin

R
a
c
a

2Ra  Rc sin    sin  
2
68/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna


Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
N  sin    2R  p   R2  Ra2  0
N 


p R2  Ra2
  pR
2 R  sin  

2



R
sin

R


a
c
a

2Ra  Rc sin    sin  
2
Svolgendo i calcoli

p Ra2  Rc2 sin 2    2 Ra Rc sin    Ra2


2
2 Ra sin    Rc sin  


69/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna


Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
N  sin    2R  p   R2  Ra2  0
N 


p R2  Ra2
  pR
2 R  sin  

2
a  Rc sin    Ra

2Ra  Rc sin    sin  
2

p Ra2  Rc2 sin 2    2 Ra Rc sin    Ra2


2
2 Ra sin    Rc sin  




pRc Rc sin 2    2 Ra sin  


2
2 Ra sin    Rc sin  


Semplificando
70/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna


Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
N  sin    2R  p   R2  Ra2  0
N 


p R2  Ra2
  pR
2 R  sin  

2



R
sin

R


a
c
a

2Ra  Rc sin    sin  
2

p Ra2  Rc2 sin 2    2 Ra Rc sin    Ra2


2
2 Ra sin    Rc sin  




pRc Rc sin 2    2 Ra sin  


2
2 Ra sin    Rc sin  
pRc Rc sin    2 Ra 

2Ra  Rc sin  


Dividendo per sin()
71/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace:
R
N  pR  N
R
72/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace:
R
N  pR  N  
R
p
N 
Sostituendo
Ra  Rc sin   pRc Rc sin    2 Ra  Ra  Rc sin  


sin  
2Ra  Rc sin  
Rc sin  
pRc Rc sin    2 Ra 
2Ra  Rc sin  
R 
Ra  Rc sin  
sin  
73/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace:
N  pR  N
p
p
R

R
Ra  Rc sin   pRc Rc sin    2 Ra  Ra  Rc sin  


Rc sin  
sin  
2Ra  Rc sin  
Semplificando
Ra  Rc sin   pRc sin    2 Ra 

sin  
2 sin  
74/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace:
N  pR  N
R

R
Ra  Rc sin   pRc Rc sin    2 Ra  Ra  Rc sin  
p


Rc sin  
sin  
2Ra  Rc sin  
p
Ra  Rc sin   pRc sin    2 Ra 


sin  
2 sin  
Raccogliendo
Rc sin   
p 
Ra  Rc sin    Ra 



sin   
2

75/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
Dalla equazione di Laplace:
N  pR  N
R

R
Ra  Rc sin   pRc Rc sin    2 Ra  Ra  Rc sin  
p


Rc sin  
sin  
2Ra  Rc sin  
Ra  Rc sin   pRc sin    2 Ra 
p


sin  
2 sin  


Rc sin   
p 


R
R

R

sin



a
c
a


sin   
2

Semplificando
p  Rc sin   

sin   
2

76/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
R
N  pR  N

R
p
p


Ra  Rc sin   pRc Rc sin    2 Ra  Ra  Rc sin  


Rc sin  
sin  
2Ra  Rc sin  
Ra  Rc sin   pRc sin    2 Ra 


sin  
2 sin  
Rc sin   
p 


R
R

R

sin



a
c
a


sin   
2

p  Rc sin   

sin   
2

Semplificando
p  Rc
N 
2
77/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
  
pRc Rc sin    2 Ra 
2hRa  Rc sin  
  
p  Rc
2h

  _ max 
pRc 2 Ra  Rc 
2hRa  Rc 

78/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione interna
p0  20 bar
Ra  3 m
Rc  1 m
h  5 mm
79/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 6
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Data la camera d’aria in gomma naturale mostrata in Figura, utilizzabile come slittino, determinare la massima pressione di gonfiaggio ammissibile.
Ra
R
p


80/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Semisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:

82/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Semisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:

Sezione con cono di vertice nel centro della sfera e semiapertura . Coordinata meridiana , valore di pressione:
p  gR cos 



d

p
83/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Imponendo l’equilibrio in direzione assiale:
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14

N 2R sin  sin     gR cos 2R sin  R cos d
0



d

p
84/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Imponendo l’equilibrio in direzione assiale:
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14

N 2R sin  sin     gR cos 2R sin  R cos d 
0
 2gR

3
2
cos
  sin  d
Portando fuori integrale
0



d

p
85/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Imponendo l’equilibrio in direzione assiale:
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14

N 2R sin  sin     gR cos 2R sin  R cos d 
0

cos3  
3
2
3
 2gR  cos  sin  d  2gR 
3
0
0

Integrando



d

p
86/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Imponendo l’equilibrio in direzione assiale:
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14

N 2R sin  sin     gR cos 2R sin  R cos d 
0

cos3  
 2gR  cos  sin  d  2gR 

3
0
0

3
2
3
2gR 3

1  cos 3  
3





d

p
87/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Imponendo l’equilibrio in direzione assiale:
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14

N 2R sin  sin     gR cos 2R sin  R cos d 
0

cos 3  
3
2
3
 2gR  cos  sin  d  2gR 

3
0
0

2gR 3

1  cos3  
3


gR 2 1  cos 3  
N 
3
sin 2  

Semplificando


d

p
88/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Impiegando l’equazione di Laplace:
N  pR  N



d

p
89/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Impiegando l’equazione di Laplace:
Sostituendo
gR 2 1  cos3  
N  pR  N  gR cos R 
3
sin 2  
gR 2 1  cos3  
N 
3
sin 2  
p  gR cos 



d

p
90/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Impiegando l’equazione di Laplace:
gR 2 1  cos3  
N  pR  N  gR cos R 

2
3
sin  

1  cos  
3 cos  
gR 2 
3


3

sin 2   



d

p
91/
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Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni/5
Semisfera riempita di liquido
Andamento tensioni:
kg
dm 3
R  1m
h  5 mm
 1
 
1  cos  
3 cos  
gR 2 
3


3h 
sin 2   
gR 2 1  cos3  
 
3h
sin 2  


92/
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Applicazioni
Semisfera riempita di liquido
Andamento tensioni:
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Applicazioni/6
Fondo semiellittico in pressione
Dato un punto di coordinate:
B
b
x0  a  cos 
p
y
R

x
y0  b  sin  
si ha:
R 
a
2
2
2


sin    b cos  
a b
2
A
3
2
2a
a2
R  a cos    2 sin 2  
b
2






sin


    arccos 


a2
2
2
 cos    2 sin   
b


R  R sin  
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Applicazioni/6
Fondo semiellittico in pressione
Sezione lungo un parallelo.
Equilibrio assiale:
b
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
p
y
R

x


2a
N 2R sin    pR2
N 
pR
2 sin  

px0

2 sin  
pa cos 



b

2 sin  arctan
 
 a  tan    

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Applicazioni/6
Fondo semiellittico in pressione
Equazione di Laplace:
b

N 
N  R  p 

R

 

N
   
h
N
   
h
B
p
y
R

x
A

2a
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Applicazioni/6
Fondo semiellittico in pressione
In particolare si ha :
b

b2
 R 
a
A(  0)
 R  a

B
p
y
R

x
A


a2
B   90 R  R 
b

2a

p0 a
p0 a
  
 N 
2
2h

A(  0)
2
2



p
a
p
a
a
a
 N  0  2      0  2  

 
2 
2h 
b 2 
b 2 

p0 a 2
B   90 N  N 
2b

p0 a 2
    
2bh
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Applicazioni/6
Fondo semiellittico in pressione
Andamento tensioni:
p0  50 bar
a  2m
b  1m
h  20 mm
Oss.ni: • per a/b > √2 la  diviene negativa nel punto A
• le tensioni assumono valori estremi nei punti A e B, per cui, tenendo anche conto del segno della  la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐
assi, è data da:

p0 a 2
a 1 5
1




 eq _ max
2hb
2
b


2
  p0 a  a  1 a  1  5
 
2h  b 2  b
2
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B
b
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Fondo semiellittico in pressione
In particolare si ha :
Oss.ni: • per a/b > √2 la  diviene negativa nel punto A
• le tensioni assumono valori estremi nei punti A e B, per cui, tenendo anche conto del segno della  la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐assi, è data da:

p0 a
1


 eq _ max
2h


2

p
a
a
  0   1
 
2h  b 2 
p
y
R

x
A

2a
a 1 5

2
b
a 1 5

2
b
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0
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Esercizio 7
Dato il recipiente cilindrico mostrato in Figura, si confronti lo spessore necessario ed il peso del materiale per un fondo emisferico (a) o semiellittico, con rapporto tra i semiassi = 2 (b).
(a)
(b)
0/4
100/