Ottica geometrica 2 bis

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Lenti
Le lenti sono costituite da un mezzo rifrangente, di indice di rifrazione n,
omogeneo, delimitato da superfici sferiche nel caso in cui il mezzo
circostante é l’aria: l’equazione delle lenti é data da:
& 1
1 1
1 #
!!
+ = ( n ' 1)$$
'
p q
R
R
% 1
2 "
altrimenti se il mezzo circostante ha un indice di rifrazione n
n si deve usare
0,
al posto di
n
n0
Convenzioni sui segni di p e q e R
!p>0 se l’oggetto é davanti alla lente (oggetto reale)
!p<0 se l’oggetto é dietro la lente (oggetto virtuale)
!q>0 se l’immagine é dietro la lente (immagine reale)
!q<0 se l’immagine é davanti la lente (immagine virtuale)
!I raggi sono positivi se il centro di curvatura é dietro la lente ( negativi
nell’altro caso
r1 > 0 r2 < 0 r1 > 0 r2 = ( r1 >0,r2 > 0
lenti convergenti
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Equazione delle lenti sottili nel caso in cui il mezzo circostante é
l’aria
&1
1 1 1
1 #
+ = = (n ' 1)$$ ' !!
p q f
% R1 R2 "
Le lenti convergenti hanno distanza focale e potere
diottrici (D=1/f con f espresso in m) positivi
r 1 < 0, r 2 > 0 r 1 < 0, r 2 = ! r 1 < 0, r 2 < 0 lenti divergenti
Le lenti divergenti hanno distanza focale e potere
diottrico negativi
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Equazione delle lenti sottili nel caso in cui il mezzo circostante é
l’aria
& 1
1 1 1
1 #
!!
+ = = (n ' 1)$$ '
p q f
% R1 R2 "
p=!, q=f
f>0, dopo
la lente
f
p=!, q=f
f<0,difronte
alla lente
f
Lenti convergente e divergente
D = potere diottrico = 1/f
(f espressa in metri)
i poteri diottrici
si sommano
algebricamente
D = -2 +1 = -1
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Equazione delle lenti:
&1 1 # 1
1 1
+ = (n ' 1)$$ ' !! =
p q
% r1 r2 " f
Ricordiamo che :
!Lenti Convergenti hanno f>0
!Se p>0 (oggetto davanti alla lente ) e p>f
q>0 immagine dopo la lente (immagine reale)
! Lenti divergenti hanno f<0
! Se p>0 (oggetto davanti alla lente ) e p> f
p
q<0 immagine prima della lente (immagine virtuale)
.
Equazione della lente:dimostrazione per una lente
convergente immersa in aria
p
q1
p2
q
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! Per il primo diottro:
1 n n !1
+
=
p q
R
1
1
! q1 é l’oggetto della seconda superficie che ha come
immagine I1.
L’oggetto q1 viene considerato come se fosse racchiuso nel
vetro .
! Per la seconda superficie abbiamo:
n 1 1! n
+ =
p2 q
R2
ma
p 2 = !q1 + t
dove t é lo spessore della lente. Nell’ipotesi di lente sottile
e
p2 > 0
. Sostituendo otteniamo:
t!0
n
1 1! n
+ =
! q1 q
R2
Sommando le equazioni nella 1) e nella 2) evidenziate in giallo
otteniamo l’equazione delle lenti.
&1 1 # 1
1 1
+ = (n ' 1)$$ ' !! =
p q
% r1 r2 " f
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Combinazione di lenti sottili nell’ipotesi che le due lenti siano
una a contatto dell’altra.
Es. Lente divergente +Lente convergente
i poteri diottrici
si sommano
algebricamente
D = -2 +1 = -1
1 1 1 1
+ = +
p q f1 f 2
1 1
1
+
=
p q1 f1
Equazione della prima lente
q1 é l’oggetto della seconda lente, che nell’ipotesi di lenti sottili é
davanti alla seconda lente quindi nella prima equazione q1 e’ <0
1 1 1
+ =
p' q f 2
Equazione della seconda lente
p’= -q1
Sommando la 1) e la 2) otteniamo l’equazione per una combinazione di
lenti sottili. Quest’equazione é valida sia per le lenti divergenti che per
quelle convergenti.
Ingrandimento di un sistema di lenti
l’ingrandimento di un sistema di lenti é dato dal prodotto degli
ingrandimenti delle singole lenti
per due lenti
M=M1M2 =h’/h
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Come abbiamo visto la distanza focale di una lente
sottile é la distanza dell’immagine quando l’oggetto
é a distanza infinita
Ogni lente ha due punti focali corrispondenti al fatto
che la luce puo’ venire da destra (p>0) o da sinistra
(p<0).
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Costruzione grafica dell’immagine di una lente sottile.
Lente convergente: f2>0, f1<0. Si utilizzano tre raggi che partono dalla
punta dell’oggetto
1)Il primo ed é parallelo all’asse ottico: questo raggio viene focalizzato nel
fuoco f2 della lente.
2)Il secondo passa per il centro della lente e non viene deflesso.
3)Il terzo passa per il fuoco f1 ed esce parallelo all’asse ottico.
L’intersezione di questi raggi da l’immagine dell’oggetto.
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Determinazione sperimentale della distanza focale di una lente
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Difetti delle lenti: aberazione sferica e cromatica.
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L’occhio
Membrana trasparente:cornea
Regione di liquido trasparente: umore acqueo
Apertura variabile: Iride e pupilla
La luce entra nell’occhio ed è focalizzata sulla retina:
Un’immagine distinta viene osservata quando la focalizzazione é sulla
retina.
La visione di oggetti posti a distanza diversa e di dimensione diversa é
ottenuta tramite il processo di accomodamento: Il muscolo ciliare
consente di cambiare la distanza lente retina.
(a) Per vedere oggetti distanti la distanza focale é pari alla distanza tra il
cristallino e la retina (circa 1.7 cm ): muscolo ciliare rilassato.
(b) Per vedere oggetti vicini la distanza focale diminuisce permettendo la
focalizzazione sulla retina contraendo il muscolo ciliare.
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Punto prossimo dell’occhio.
É la distanza minima dell’oggetto dall’occhio per la quale l’occhio mette
a fuoco l’oggetto ed ha un valore medio di circa 25 cm.
Ipermetropia
In una persona anziana (perdita di elasticità del muscolo ciliare questa
distanza aumenta. Il disturbo é noto con il nome di ipermetropia e la
persona é detta presbite. Un presbite vede bene gli oggetti distanti e
male quelli al disotto del punto prossimo dell’occhio. Per correggere il
difetto bisogna utilizzare lenti convergenti.
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Miopia
Quando l’occhio é rilassato la sua distanza focale é piu grande del
dovuto e l’immagine e focalizzata prima della retina. La distanza
massima a cui una persona riesce a visualizzare un’oggetto si chiama
punto remoto.
I miopi hanno un punto remoto piccolo. Bisogna portare l’oggetto
dall’infinito al punto remoto affinche’ un miope possa vederlo. Per
fare cio’ si utilizza una lente divergente.
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L’occhio come la macchina fotografica
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Lente d’ingrandimento
É una lente convergente che serve ad aumentare la dimensione
apparente dell’oggetto
La dimensione dell’oggetto sulla retina aumenta all’avvicinarsi
dell’oggetto all’occhio come pure aumenta l’angolo di visualizzazione:
ma un’occhio normale non é capace di mettere a fuoco oggetti più vicini
di 25 cm.
A 25 cm di distanza dall’occhio si ha quindi la dimensione massima
apparente dell’oggetto.
p
!0 é massimo quando l’oggetto é a 25 cm dall’occhio (minima
distanza a cui si ha un’immagine distinta sulla retina).
Per aumentare la dimensione apparente dell’oggetto si utilizza una
lente convergente con l’oggetto posto subito dopo il fuoco della lente
( in questo caso l’immagine e’ ingrandita virtuale e diritta)
L’ingrandimento angolare m é il rapporto tra la dimensione angolare
vista attraverso la lente e la dimensione angolare massima quando
l’oggetto é osservato ad occhio nudo :
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con riferimento alla figura, per piccoli angoli:
1)
!0 =
h
p0
!=
h
p
m=
&1 1#
p
(
= 0 = p 0 $$ ' !!
p
(0
%f q"
1 1 1
= !
p f q
L’ingrandimento é massimo quando l’immagine prodotta dalla
lente ha q=-25 cm (immagine virtuale davanti alla lente).
In questo caso l’ingrandimento angolare e’, (per
p0= 25 cm e q = -25 cm ed f espresso in cm)
1)
m=
!
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= 1+
!0
f
p
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La massima distanza che l’immagine puo’ avere dalla lente e’ infinita,
l’oggetto ha p=f per cui dalla 1) in questo caso
2)
m=
25
f
In entrambi i casi l’ingrandimento visuale massimo si ottiene
utilizzando una lente d’ingrandimento con la distanza focale minima
possibile.
1)
2)
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Il microscopio
utilizza due lenti convergenti:
! lente obiettivo (fuoco Fob<1 cm
! lente oculare (fuoco Foc,di alcuni cm)
! Le due lenti sono separate da una distanza L dove L e’ maggiore sia di
Fob sia di Foc
! L’oggetto e’ collocato immediatamente all’esterno del fuoco Fob
l’ingrandimento della prima lente (obiettivo) da un’immagine reale
(l’immagine e’ dopo la lente) e capovolta. In questo caso l’oggetto e’
posto poco prima del fuoco dell’obiettivo, p~Fob, inoltre la prima
immagine cade immediatamente all’interno del fuoco Foc ,
per cui q’=L-Foc
Dalla definizione di ingrandimento (M=-q/p) ,per l’obiettivo abbiamo
Mob = !
L ! Fob
Fob
La prima immagine costituisce l’oggetto della lente oculare che agisce
da lente d’ingrandimento: da un’immagine virtuale e capovolta
(l’immagine e’ prima della lente) , se l’immagine finale e’ osservata con
l’occhio completamente rilassato, l’ingrandimento della lente oculare e’
Moc =
25
Foc
M = Mob Moc = !
(L ! Fob ) 25
Fob
Fob
L
Altezza=Mobh0
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p
q’
M = Mob Moc = !
(L ! Fob ) 25
Fob
Foc
L
Altezza=Mobh0
p
q’
q’
Altezza immagine
finale =MobMoch0
Altezza=Mobh0
32
M =!
(L ! Fob ) 25
Fob
Moc =
Foc
25
+1
Foc
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35
36
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