Parallelismo fra rette nello spazio Incidenza, coincidenza e

Parallelismo fra rette (2/2)
Ne segue ovviamente che il sistema
v 1t + x 0 = w1t' + x' 0

v 2 t + y 0 = w 2 t' + y' 0
 v t + z = w t' +z'
 3
0
3
0
Corso di Laurea in Disegno Industriale
Corso di “Metodi Numerici per il Design”
Lezione 12 marzo 2003
Posizioni reciproche fra rette
t ∈ R , t' ∈ R
che fornisce le coordinate dei punti comuni alle due
rette date, non è soddisfatto per alcun valore di t e t’
F. Caliò
1
4
Esercizi: parallelismo fra rette
1) Le rette
Parallelismo fra rette nello
spazio
r
(1)
 1+ t 
=  − t 
2 + 3t 
t ∈R,
r
(2)
 2t' 
=  − 2t' 


4 + 6t '
t '∈ R
sono parallele, infatti i loro vettori di direzione:
sono proporzionali.
 1 
 − 1


 3 
 2 
− 2


 6 
1/ 2t 


2) Data la retta r = 2 + t 
 4 
r
(1)
1 / 2 t' 
=  t' 
 0 
t ∈ R scrivere una espressione vettoriale
della sua parallela passante per O
t' ∈ R
2
5
Parallelismo fra rette (1/2)
'
Date due rette
(1)
r
v 1t + x 0 
= v 2t + y 0 
v 3t + z0 
( 2)
t ∈R
r
'
w 1t + x 0 
'
' 

= w 2t + y 0 
'
'
w 3 t + z 0 


'
t ∈R
esse sono parallele
se e solo se sono paralleli i loro vettori direzione
Incidenza, coincidenza e
sghembità fra rette nello
spazio
v1 v 2
v3
= 2 = 3
1
w
w
w
proporzionalità fra parametri direttori
3
Lezione de 12 Marzo 2003
6
1
Incidenza fra rette (1/2)
Date due rette r
(1)
v 1t + x 0 
= v 2t + y 0 


 v 3t + z 0 
t ∈R r
(2 )
Coincidenza fra rette (1/2)
w 1t ' + x 0' 


= w 2t ' + y 0' 
w 3t ' + z 0' 


t' ∈R
esse sono incidenti se e solo se è individuabile
uno e un solo valore di t e di t’ tali che:
Date due rette r
(1)
v 1t + x 0 
= v 2t + y 0 


 v 3t + z 0 
t ∈R r
(2 )
w 1t ' + x 0' 


= w 2t ' + y 0' 
w 3t ' + z 0' 


esse sono coincidenti se e solo se per ogni
valore di t e di t’ il vettore r(1) computato in t
il vettore r(1) computato in t e il vettore r(2)
computato in t’ sono uguali
e il vettore r(2) computato in t’ sono uguali
7
10
Incidenza fra rette (2/2)
Coincidenza fra rette (2/2)
Ne segue ovviamente che il sistema
Ne segue ovviamente che il sistema
v 1t + x 0 = w1t' + x' 0

v 2 t + y 0 = w 2 t' + y' 0
 v t + z = w t' +z'
 3
0
3
0
v 1t + x 0 = w1t' + x' 0

v 2 t + y 0 = w 2 t' + y' 0
 v t + z = w t' +z'
 3
0
3
0
t ∈ R , t' ∈ R
che fornisce le coordinate dei punti comuni alle due rette
date, è soddisfatto per uno e un solo valore di t e t’
t ∈ R , t' ∈ R
che fornisce le coordinate dei punti comuni alle due rette
date, è soddisfatto per ogni valore di t e t’
8
Esercizio: incidenza fra rette
(1)
Le due rette
r
sono incidenti.
 1 + 2t 
= 2 − 2t 
 3 − t 
t' ∈R
11
Esercizio: coincidenza fra rette
'
t ∈R,
(2)
r
 5 − 4t 
'


= − 2 + 2t 
 1 


Le due rette
t '∈R
sono coincidenti.
(1)
r
2t 
= 2t 
 t 
t ∈R,
(2)
r
− 4t' 
= − 4t' 
− 2t' 
t' ∈ R
Infatti il sistema
Infatti il sistema
'
 1 + 2t = 5 − 4t '

2 − 2t = −2 + 2t

3−t =1

è soddisfatto per t=2 e t’=0 e dunque le
due rette si incontrano nel punto P(5,-2,1)
9
Lezione de 12 Marzo 2003
2t = −4t'

2t = −4t'
 t = −2t'

è soddisfatto per ogni valore di t e di t’
12
2
Sghembità fra rette
Date due rette r
(1)
v 1t + x 0 
= v 2t + y 0 


 v 3t + z 0 
t ∈R r
(2 )
Ortogonalità fra rette
w 1t ' + x 0' 


= w 2t ' + y 0' 
w 3t ' + z 0' 


t' ∈R
Date due rette
r
(1)
v 1t + x 0 
= v 2 t + y 0 
 v 3 t + z 0 
t ∈R
r
( 2)
w 1t ' + x 0' 


= w 2t ' + y 0' 
w 3t ' + z 0' 


'
t ∈R
esse sono ortogonali ,
cioè hanno direzione perpendicolare,
se e solo se sono ortogonali
i loro vettori di direzione
Se non sono incidenti e non sono parallele
si dicono sghembe
v •w = 0
13
16
Esercizi: ortogonalità fra rette
Esercizio: sghembità fra rette
Le due rette
r
( 1)
 t 


=  2+t 
3 − 2t 
t ∈R,
r
(2)
 1 
= 1+ 2t ' 
'
 5 − t 
1) Date le due rette
r
(1)
t '∈ R
 t 
= − 1 + 2t 
 3 
t ∈R,
r
(2)
1− 2t ' 


=  1+ t ' 
3 + 5t ' 


t '∈ R
esse sono ortogonali e incidenti (cioè perpendicolari), infatti:
 1
•i loro vettori di direzione  2 
 
 0 
sono sghembe. Infatti esse non sono parallele e il sistema
− 2
 1 


 5 
hanno prodotto scalare nullo
e dunque le direzioni delle rette sono perpendicolari
'
t =1 '


 2 + t = 1 + 2t '
3 − 2t = 5 − t

non è soddisfatto per alcun valore di t e t’.
•il sistema
 t = 1 − 2t '

− 1 + 2t = 1 +' t

 3 = 3 + 5t
è soddisfatto per t=1 e t’=0
Le due rette si incontrano perpendicolarmente nel punto P(1,1,3)
14
17
Esercizi: ortogonalità fra rette
2) Date le due rette
Ortogonalità di rette nello
spazio
(1)
r
 2t 
= − 3t 
 t 
'
t ∈R,
( 2)
r
 1+ t 
 ' 
= t 
'
− 5 + t 


t '∈ R
esse sono ortogonali e sghembe, infatti:
 2 
− 3


 1 
•i loro vettori di direzione 
 1
 1
 
 1
hanno prodotto scalare nullo
e dunque le direzioni delle rette sono perpendicolari
'
•il sistema
 2t = 1 + t'

 − 3t = t '
t = −5 + t

non è soddisfatto per alcun t e t’
Le due rette non si incontrano.
15
Lezione de 12 Marzo 2003
18
3
Esercizi: ortogonalità fra rette
1 − t 


r =  2t 
 − 3t 
3)Data una retta
Esercizio:
ortogonalità di una retta ad altre due
t ∈R,
3)Date le tre rette
e un punto P fuori di essa P(2,1,-2) individuare la retta r (1)
• per P
•incidente r
•ortogonale a r
 1+ t 
 2 − (1 − t ) 


•Ogni retta per P e incidente r ha 
− 2 t  =  1 − 2t 
1


vettore di direzione
− 2 − ( −3t )
 − 2 + 3t 
•imponendo l’ortogonalità tra il vettore direzione trovato e il
vettore direzione di r
 1+ t 
 1 − 2t  •


 − 2 + 3 t 
 − 1
 2  =0


 − 3 
segue -1-t+2-4t+6-9t=0
r
(1)
 1− 4t 
=  6t 
− 7 + 14t 
t ∈R,
r
(2)
 1+ 2t ' 


=  −t ' 
− 5 + t ' 


t '∈ R ,
r
(3 )
 t" 


= − 4t " 
 2t " 


verificare che r1 è ortogonale a r2 e r3
•Il prodotto vettore dei vettori direzione di r(2) e r(3)
è parallelo al vettore di direzione della retta r(1)
t=1/2
r(1) è ortogonale a r(2)e r(3)
19
t "∈ R
2
− 
 3
−7
− 4
6
 
 18 
22
Esercizi: ortogonalità fra rette
•la perpendicolare cercata ha vettore di direzione
 1+ 1/ 2   3 / 2 
 1− 2 / 2  =  0 

 

 − 2 + 3 / 2   − 1 / 2 
•una espressione vettoriale della perpendicolare cercata è
r
( 1)
 2 + 3 / 2t ' 


= 
1

 − 2 − 1/ 2t ' 


t' ∈R
20
Ortogonalità di una retta ad altre due
Date tre rette
(1)
r
'
v 1t + x 0 
= v 2t + y 0 
v 3t + z 0 
(2)
t ∈R
"
(3 )
r
 p 1t
"

=  p 2t
"
 p 3t

r
'
w 1t + x 0 
'
' 

= w 2t + y 0 
'
'
 w 3t + z0 


'
t
R
"
+ x0 
"

+ y0
"
+ z 0 
"
t
∈ R
r(1) è ortogonale a r(2) ed r(3)
se ha direzione parallela al prodotto vettore
dei due vettori direzione di r(2) ed r(3)
21
Lezione de 12 Marzo 2003
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