Equazioni di Evoluzione - Dipartimento di Matematica

Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
Equazioni di Evoluzione
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
C. Cavaterra, E. Rocca
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
http://www.mat.unimi.it/users/rocca/teach12EqEv.html
Orario del corso:
mercoledı̀ (Aula 3) 13.30–15.30 e venerdı̀ (Aula 4) 9.30–11.30
Equazioni di
Evoluzione
Il programma
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Il programma
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
p
1. Richiami: Spazi L , di Hilbert e di Sobolev, Operatori lineari e
positivi, Convergenze deboli e deboli star.
2. Problemi di Cauchy per: Equazioni paraboliche e iperboliche
lineari - Equazioni di reazione-diffusione non lineari:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Spazi di funzioni a valori in spazi di Banach.
Formulazione variazionale dei problemi di Cauchy.
Esistenza della soluzione.
Unicità della soluzione, dipendenza continua dai dati, regolarità.
3. Cenni alla teoria degli Attrattori:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Definizioni di traiettoria e di punto di equilibrio.
Insieme ω−limite e sua caratterizzazione.
Insieme assorbente. Relazione con i sistemi dinamici dissipativi.
Attrattore globale, sua unicità e sue proprietà.
Teorema di esistenza dell’attrattore per sistemi dinamici dissipativi.
Alcune applicazioni alle equazioni lineari paraboliche, di
reazione-diffusione non lineari, iperboliche lineari e non lineari.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
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I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cosa sono le equazioni alle derivate parziali (EDP)?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
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tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cosa sono le equazioni alle derivate parziali (EDP)?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Una equazione alle derivate parziali è una equazione della forma
F (x, u, uxi , uxi xj , . . . ) = 0
dove u = u(x) = u(x1 , . . . , xn ) è una funzione (eventualmente
vettoriale) di n variabili (generalmente reali). Per semplicità, qui usiamo
2
∂u
u
le notazioni uxi = ∂x
, uxi xj = ∂x∂i ∂x
e via di seguito.
i
j
Problemi iniziali e al
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I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cosa sono le equazioni alle derivate parziali (EDP)?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Una equazione alle derivate parziali è una equazione della forma
F (x, u, uxi , uxi xj , . . . ) = 0
dove u = u(x) = u(x1 , . . . , xn ) è una funzione (eventualmente
vettoriale) di n variabili (generalmente reali). Per semplicità, qui usiamo
2
∂u
u
le notazioni uxi = ∂x
, uxi xj = ∂x∂i ∂x
e via di seguito.
i
j
I
L’ordine di una EDP è il massimo grado di derivazione con cui vi
compare u. L’equazione si dice lineare se F è lineare rispetto a u e
a tutte le sue derivate. In caso contrario si dice non lineare.
Problemi iniziali e al
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Equazioni di
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A cosa servono le EDP?
C. Cavaterra,
E. Rocca
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I prerequisiti e i Testi
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A cosa servono le EDP?
C. Cavaterra,
E. Rocca
I
Nella descrizione di numerosi fenomeni nelle scienze applicate, si fa
uso di modelli matematici. Per modello matematico si intende un
insieme di equazioni in grado di descrivere le caratteristiche
principali di un dato fenomeno (p. es., il moto di un satellite
intorno alla terra) e di prevederne e controllarne certi aspetti (p.
es., la posizione del satellite ad un istante dato).
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
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A cosa servono le EDP?
C. Cavaterra,
E. Rocca
I
I
Nella descrizione di numerosi fenomeni nelle scienze applicate, si fa
uso di modelli matematici. Per modello matematico si intende un
insieme di equazioni in grado di descrivere le caratteristiche
principali di un dato fenomeno (p. es., il moto di un satellite
intorno alla terra) e di prevederne e controllarne certi aspetti (p.
es., la posizione del satellite ad un istante dato).
Storicamente la modellistica matematica trova le sue radici nella
fisica e nella chimica ma, più recentemente, ha assunto un ruolo
fondamentale anche in discipline come la finanza, la biologia,
l’ecologia, la medicina o in attività industriali quali, ad esempio, il
funzionamento dei reattori nucleari, la generazione e la
distribuzione di elettricità, il controllo del traffico.
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
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contorno
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Equazioni di
Evoluzione
A cosa servono le EDP?
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E. Rocca
I
I
I
Nella descrizione di numerosi fenomeni nelle scienze applicate, si fa
uso di modelli matematici. Per modello matematico si intende un
insieme di equazioni in grado di descrivere le caratteristiche
principali di un dato fenomeno (p. es., il moto di un satellite
intorno alla terra) e di prevederne e controllarne certi aspetti (p.
es., la posizione del satellite ad un istante dato).
Storicamente la modellistica matematica trova le sue radici nella
fisica e nella chimica ma, più recentemente, ha assunto un ruolo
fondamentale anche in discipline come la finanza, la biologia,
l’ecologia, la medicina o in attività industriali quali, ad esempio, il
funzionamento dei reattori nucleari, la generazione e la
distribuzione di elettricità, il controllo del traffico.
Un modello matematico è ottenuto combinando alcune leggi
generali della fisica (leggi di Newton della dinamica, legge di
conservazione della massa, legge di conservazione dell’energia, ecc.)
con relazioni costitutive di natura sperimentale che dipendono
dal fenomeno in esame (legge di Fourier per il flusso di calore, legge
di Ohm per la corrente elettrica, ecc.). Il risultato a cui si perviene
è una equazione o un sistema di equazioni alle derivate parziali.
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
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Che cosa sono le EDP di evoluzione e a cosa servono?
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EDP
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Che cosa sono le EDP di evoluzione e a cosa servono?
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I
In numerosi fenomeni delle scienze applicate, le grandezze di cui si
vuole dare una descrizione dipendono da più variabili delle quali
una assume un ruolo privilegiato: il tempo.
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
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contorno
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tempi lunghi
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Che cosa sono le EDP di evoluzione e a cosa servono?
C. Cavaterra,
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I
I
In numerosi fenomeni delle scienze applicate, le grandezze di cui si
vuole dare una descrizione dipendono da più variabili delle quali
una assume un ruolo privilegiato: il tempo.
Studiare la dipendenza dal tempo (oltre che dallo spazio) di queste
grandezze (ad esempio la temperatura di un materiale, la densità di
una popolazione, l’ampiezza di un’onda, ecc.) è di fondamentale
importanza nelle applicazioni, per poterne prevedere lo sviluppo ed
eventualmente controllarlo. In tale contesto, i relativi modelli
matematici sono costituiti da EDP (o sistemi di EDP) che vengono
chiamate di evoluzione.
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
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contorno
Buona positura
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tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cosa sono le EDP di evoluzione e a cosa servono?
C. Cavaterra,
E. Rocca
I
I
I
In numerosi fenomeni delle scienze applicate, le grandezze di cui si
vuole dare una descrizione dipendono da più variabili delle quali
una assume un ruolo privilegiato: il tempo.
Studiare la dipendenza dal tempo (oltre che dallo spazio) di queste
grandezze (ad esempio la temperatura di un materiale, la densità di
una popolazione, l’ampiezza di un’onda, ecc.) è di fondamentale
importanza nelle applicazioni, per poterne prevedere lo sviluppo ed
eventualmente controllarlo. In tale contesto, i relativi modelli
matematici sono costituiti da EDP (o sistemi di EDP) che vengono
chiamate di evoluzione.
Nella maggior parte dei casi significativi da un punto di vista
applicativo, le EDP di evoluzione sono riconducibili alla forma
(detta normale)
ut = F (t, x, u, uxi , uxi xj , . . . )
dove t è la variabile che rappresenta il tempo e u = u(t, x).
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
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tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
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EDP e ODE
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EDP
EDP di evoluzione
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tempi lunghi
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EDP e ODE
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Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
I
Le EDP di evoluzione sono una generalizzazione delle equazioni
differenziali ordinarie (EDO)
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
ut = F (t, u)
Il comportamento per
tempi lunghi
m
dove u = u(t) è una funzione a valori in R .
I prerequisiti e i Testi
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EDP e ODE
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Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
I
Le EDP di evoluzione sono una generalizzazione delle equazioni
differenziali ordinarie (EDO)
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
ut = F (t, u)
Il comportamento per
tempi lunghi
m
dove u = u(t) è una funzione a valori in R .
I
Si osservi che, nel caso delle EDO, le soluzioni possono essere viste
come curve in uno spazio di dimensione finita (t 7→ u(t) ∈ Rm ).
Estendendo questa interpretazione geometrica, le soluzioni di una
EDP di evoluzione risultano invece essere curve parametrizzate
rispetto al tempo (dette anche traiettorie) in uno spazio funzionale
(t 7→ u(t, ·)), quindi in uno spazio di dimensione infinita.
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono degli esempi significativi di EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono degli esempi significativi di EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
1. Equazione del trasporto
Il Programma
ut + v · ∇u = 0
Descrive il trasporto lungo un canale di un agente inquinante la cui
concentrazione è u. Il vettore v indica la velocità della corrente.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono degli esempi significativi di EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
1. Equazione del trasporto
Il Programma
ut + v · ∇u = 0
Descrive il trasporto lungo un canale di un agente inquinante la cui
concentrazione è u. Il vettore v indica la velocità della corrente.
2. Equazione del calore
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
ut − D∆u = 0
Descrive la propagazione del calore in un mezzo omogeneo, dove u
è la temperatura del mezzo e D > 0 è il coefficiente di diffusione
termica del materiale.
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono degli esempi significativi di EDP di evoluzione?
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1. Equazione del trasporto
Il Programma
ut + v · ∇u = 0
Descrive il trasporto lungo un canale di un agente inquinante la cui
concentrazione è u. Il vettore v indica la velocità della corrente.
2. Equazione del calore
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
ut − D∆u = 0
Descrive la propagazione del calore in un mezzo omogeneo, dove u
è la temperatura del mezzo e D > 0 è il coefficiente di diffusione
termica del materiale.
3. Equazione delle onde
utt − c 2 ∆u = 0
Descrive la propagazione di onde (sonore, elettromagnetiche) nel
vuoto, dove u è l’ampiezza dell’onda e c è la sua velocità di
propagazione.
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
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Il Programma
4. Equazione del telegrafo
EDP
2
2
utt − c uxx + k ut = 0
Descrive la trasmissione di impulsi elettrici attraverso un cavo
quando vi siano perdite di corrente a terra rappresentate dal
termine di dissipazione k 2 ut .
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
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Il Programma
4. Equazione del telegrafo
EDP
2
2
utt − c uxx + k ut = 0
Descrive la trasmissione di impulsi elettrici attraverso un cavo
quando vi siano perdite di corrente a terra rappresentate dal
termine di dissipazione k 2 ut .
5. Equazione di reazione e diffusione
ut − D∆u = au − bu 2
Descrive la crescita di una popolazione di individui la cui densità è
u. La crescita è soggetta a diffusione (D∆u, dove D > 0) ed è
controllata dal termine di reazione a secondo membro. Qui il tasso
intrinseco di crescita è a > 0, mentre gli effetti del sovraffollamento
sono descritti dal termine non lineare −bu 2 , dove b > 0.
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
6. Sistema di Navier Stokes
(
ut − ν∆u + u∇u + ∇p = 0
div u = 0
Descrive il moto di un fluido viscoso, omogeneo e incomprimibile.
Qui u è la velocità del fluido, p è la pressione, e ν è la viscosità.
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EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
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6. Sistema di Navier Stokes
(
ut − ν∆u + u∇u + ∇p = 0
div u = 0
Descrive il moto di un fluido viscoso, omogeneo e incomprimibile.
Qui u è la velocità del fluido, p è la pressione, e ν è la viscosità.
7. Sistema di equazioni di Maxwell (nel vuoto)

Et − rot B = 0



 B + rot E = 0
t

div
E=0



div B = 0
Le prime due equazioni sono le leggi di Ampère e di Faraday,
mentre le seconde due sono le leggi di Gauss. Qui E è il campo
elettrico mentre B è il campo magnetico.
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E. Rocca
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EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
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Il comportamento per
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6. Sistema di Navier Stokes
(
ut − ν∆u + u∇u + ∇p = 0
div u = 0
Descrive il moto di un fluido viscoso, omogeneo e incomprimibile.
Qui u è la velocità del fluido, p è la pressione, e ν è la viscosità.
7. Sistema di equazioni di Maxwell (nel vuoto)

Et − rot B = 0



 B + rot E = 0
t

div
E=0



div B = 0
Le prime due equazioni sono le leggi di Ampère e di Faraday,
mentre le seconde due sono le leggi di Gauss. Qui E è il campo
elettrico mentre B è il campo magnetico.
Ricordiamo altri esempi significativi di EDP di evoluzione, vale a dire:
l’equazione della piastra vibrante (meccanica), l’equazione dei mezzi
porosi (chimica), l’equazione di Black e Scholes (finanza matematica),
l’equazione di Schroedinger (meccanica quantistica).
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
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Evoluzione
Problemi iniziali e al contorno
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EDP
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contorno
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tempi lunghi
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Equazioni di
Evoluzione
Problemi iniziali e al contorno
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
I
In generale, per poter risolvere qualunque problema relativo alle
EDP di evoluzione occorre preventivamente associare loro un
insieme opportuno di condizioni iniziali nel tempo (esattamente
come nel caso delle EDO).
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Problemi iniziali e al contorno
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
I
I
In generale, per poter risolvere qualunque problema relativo alle
EDP di evoluzione occorre preventivamente associare loro un
insieme opportuno di condizioni iniziali nel tempo (esattamente
come nel caso delle EDO).
Inoltre, poiché le soluzioni delle EDP di evoluzione sono funzioni
oltre che del tempo anche dello spazio, in molti casi applicativi è
naturale avere anche delle condizioni al contorno, ovvero alla
frontiera dell’insieme in cui sono definite le variabili spaziali. Meno
di frequente si incontrano infatti problemi ambientati in tutto lo
spazio.
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Problemi iniziali e al contorno
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
I
In generale, per poter risolvere qualunque problema relativo alle
EDP di evoluzione occorre preventivamente associare loro un
insieme opportuno di condizioni iniziali nel tempo (esattamente
come nel caso delle EDO).
I
Inoltre, poiché le soluzioni delle EDP di evoluzione sono funzioni
oltre che del tempo anche dello spazio, in molti casi applicativi è
naturale avere anche delle condizioni al contorno, ovvero alla
frontiera dell’insieme in cui sono definite le variabili spaziali. Meno
di frequente si incontrano infatti problemi ambientati in tutto lo
spazio.
I
Vengono cosı̀ definiti i problemi alle condizioni iniziali e al
contorno.
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
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Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
I
Regolarità della soluzione
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
I
Regolarità della soluzione
I
Comportamento della soluzione per t → +∞
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
I
Regolarità della soluzione
I
Comportamento della soluzione per t → +∞
I
Approssimazione numerica della soluzione
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
I
Regolarità della soluzione
I
Comportamento della soluzione per t → +∞
I
Approssimazione numerica della soluzione
I
Identificazione di parametri (problemi inversi)
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
I
Regolarità della soluzione
I
Comportamento della soluzione per t → +∞
I
Approssimazione numerica della soluzione
I
Identificazione di parametri (problemi inversi)
Quando un problema possiede le prime tre proprietà si dice che è ben
posto nel senso di Hadamard.
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono i problemi principali relativi alle EDP di evoluzione?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Per tali problemi le questioni principali da investigare sono le seguenti:
I
Esistenza di almeno una soluzione
I
Unicità della soluzione
I
Dipendenza continua dai dati (ad esempio dai dati iniziali e al
contorno)
I
Regolarità della soluzione
I
Comportamento della soluzione per t → +∞
I
Approssimazione numerica della soluzione
I
Identificazione di parametri (problemi inversi)
Quando un problema possiede le prime tre proprietà si dice che è ben
posto nel senso di Hadamard.
In questo corso noi ci occuperemo solamente dei primi cinque temi.
Tuttavia, lo studio della buona positura di un problema e l’analisi della
regolarità della sua soluzione sono risultati preliminari sia per i problemi
di approssimazione numerica che per i problemi inversi, argomenti
importanti dal punto di vista applicativo.
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come ambientare i problemi alle condizioni iniziali e al
contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come ambientare i problemi alle condizioni iniziali e al
contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Affinchè un problema sia significativo, la prima proprietà che è
necessario provare è l’esistenza di almeno una soluzione.
Problemi iniziali e al
contorno
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I prerequisiti e i Testi
Come ambientare i problemi alle condizioni iniziali e al
contorno?
Equazioni di
Evoluzione
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Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Affinchè un problema sia significativo, la prima proprietà che è
necessario provare è l’esistenza di almeno una soluzione. A questo
scopo la scelta del quadro funzionale in cui ambientare il problema
diventa di fondamentale importanza.
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come ambientare i problemi alle condizioni iniziali e al
contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Affinchè un problema sia significativo, la prima proprietà che è
necessario provare è l’esistenza di almeno una soluzione. A questo
scopo la scelta del quadro funzionale in cui ambientare il problema
diventa di fondamentale importanza.
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Per esempio, si può scegliere di ambientare le equazioni in spazi classici
di funzioni C k oppure, come in questo corso, di usare gli spazi di
Sobolev e di intendere quindi le equazioni in senso distribuzionale o
variazionale. In molti problemi associati alle EDP, quest’ultima è una
scelta obbligata poiché per mostrare l’esistenza di una soluzione si deve
ampliare la classe di soluzioni ammissibili, talvolta a scapito dell’unicità.
La migliore ambientazione funzionale dovrebbe essere quella in cui si
riescono a provare entrambe le cose.
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
Esistenza: metodo proprio delle EDP.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
Esistenza: metodo proprio delle EDP.
I
approssimazione: si sostituisce il problema originale con una
famiglia (una successione) di problemi più semplici, di cui si sa
provare la buona positura, e le cui soluzioni convergano in qualche
senso alla soluzione del problema originale;
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
Esistenza: metodo proprio delle EDP.
I
I
approssimazione: si sostituisce il problema originale con una
famiglia (una successione) di problemi più semplici, di cui si sa
provare la buona positura, e le cui soluzioni convergano in qualche
senso alla soluzione del problema originale;
stime a priori: sono ottenute, ad esempio, moltiplicando l’equazione
approssimante per delle funzioni opportune;
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
Esistenza: metodo proprio delle EDP.
I
I
I
approssimazione: si sostituisce il problema originale con una
famiglia (una successione) di problemi più semplici, di cui si sa
provare la buona positura, e le cui soluzioni convergano in qualche
senso alla soluzione del problema originale;
stime a priori: sono ottenute, ad esempio, moltiplicando l’equazione
approssimante per delle funzioni opportune;
passaggio al limite: in generale, grazie alle stime a priori, che
permettono di applicare teoremi di compattezza o compattezza
debole ad hoc, è possibile passare rigorosamente dal problema
approssimante a quello originale.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
Esistenza: metodo proprio delle EDP.
I
I
I
I
approssimazione: si sostituisce il problema originale con una
famiglia (una successione) di problemi più semplici, di cui si sa
provare la buona positura, e le cui soluzioni convergano in qualche
senso alla soluzione del problema originale;
stime a priori: sono ottenute, ad esempio, moltiplicando l’equazione
approssimante per delle funzioni opportune;
passaggio al limite: in generale, grazie alle stime a priori, che
permettono di applicare teoremi di compattezza o compattezza
debole ad hoc, è possibile passare rigorosamente dal problema
approssimante a quello originale.
Unicità e dipendenza continua dai dati iniziali e al contorno.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Come si studia la buona positura di problemi alle condizioni
iniziali e al contorno?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
Esistenza: metodo mutuato dalle EDO.
In alcuni casi i problemi associati alle EDP di evoluzione si possono
riformulare come problemi di punto fisso e i risultati di buona
positura, per lo meno locali nel tempo, possono essere provati
tramite generalizzazioni opportune del teorema delle contrazioni.
Esistenza: metodo proprio delle EDP.
I
I
I
I
approssimazione: si sostituisce il problema originale con una
famiglia (una successione) di problemi più semplici, di cui si sa
provare la buona positura, e le cui soluzioni convergano in qualche
senso alla soluzione del problema originale;
stime a priori: sono ottenute, ad esempio, moltiplicando l’equazione
approssimante per delle funzioni opportune;
passaggio al limite: in generale, grazie alle stime a priori, che
permettono di applicare teoremi di compattezza o compattezza
debole ad hoc, è possibile passare rigorosamente dal problema
approssimante a quello originale.
Unicità e dipendenza continua dai dati iniziali e al contorno.
Si studiano i problemi associati alla differenza di due soluzioni e si
sfruttano proprietà di monotonia e/o di lipschitzianità.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Perché studiare il comportamento per tempi grandi delle
soluzioni di EDP di evoluzione?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Perché studiare il comportamento per tempi grandi delle
soluzioni di EDP di evoluzione?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
In numerosi problemi di evoluzione si rende necessario studiare il
comportamento delle grandezze in esame quando il tempo diventa
grande, ovvero per t → +∞.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Perché studiare il comportamento per tempi grandi delle
soluzioni di EDP di evoluzione?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
In numerosi problemi di evoluzione si rende necessario studiare il
comportamento delle grandezze in esame quando il tempo diventa
grande, ovvero per t → +∞. Si pensi, ad esempio, alla previsione
della crescita di una o più popolazioni di individui in un ambiente
isolato oppure al controllo della temperatura del combustibile in un
reattore nucleare.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Perché studiare il comportamento per tempi grandi delle
soluzioni di EDP di evoluzione?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
In numerosi problemi di evoluzione si rende necessario studiare il
comportamento delle grandezze in esame quando il tempo diventa
grande, ovvero per t → +∞. Si pensi, ad esempio, alla previsione
della crescita di una o più popolazioni di individui in un ambiente
isolato oppure al controllo della temperatura del combustibile in un
reattore nucleare.
EDP
In particolare, lo studio del comportamento asintotico delle
soluzioni dei modelli non lineari è di grande rilevanza poiché in
generale è difficile predire se il sistema evolverà verso uno stato
stazionario, ovvero una soluzione non dipendente dal tempo,
oppure se mostrerà un comportamento più complesso,
eventualmente caotico.
I prerequisiti e i Testi
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
Perché studiare il comportamento per tempi grandi delle
soluzioni di EDP di evoluzione?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
In numerosi problemi di evoluzione si rende necessario studiare il
comportamento delle grandezze in esame quando il tempo diventa
grande, ovvero per t → +∞. Si pensi, ad esempio, alla previsione
della crescita di una o più popolazioni di individui in un ambiente
isolato oppure al controllo della temperatura del combustibile in un
reattore nucleare.
EDP
I
In particolare, lo studio del comportamento asintotico delle
soluzioni dei modelli non lineari è di grande rilevanza poiché in
generale è difficile predire se il sistema evolverà verso uno stato
stazionario, ovvero una soluzione non dipendente dal tempo,
oppure se mostrerà un comportamento più complesso,
eventualmente caotico.
I prerequisiti e i Testi
I
Questo tipo di analisi è alla base di un importante campo di ricerca
noto come teoria dei sistemi dinamici.
I
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
Perché studiare il comportamento per tempi grandi delle
soluzioni di EDP di evoluzione?
Equazioni di
Evoluzione
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
In numerosi problemi di evoluzione si rende necessario studiare il
comportamento delle grandezze in esame quando il tempo diventa
grande, ovvero per t → +∞. Si pensi, ad esempio, alla previsione
della crescita di una o più popolazioni di individui in un ambiente
isolato oppure al controllo della temperatura del combustibile in un
reattore nucleare.
EDP
I
In particolare, lo studio del comportamento asintotico delle
soluzioni dei modelli non lineari è di grande rilevanza poiché in
generale è difficile predire se il sistema evolverà verso uno stato
stazionario, ovvero una soluzione non dipendente dal tempo,
oppure se mostrerà un comportamento più complesso,
eventualmente caotico.
I prerequisiti e i Testi
I
Questo tipo di analisi è alla base di un importante campo di ricerca
noto come teoria dei sistemi dinamici. Tale teoria è stata
ampiamente sviluppata a partire dal secolo 19-esimo, nel caso delle
EDO. Più recentemente, è stata estesa con successo alle EDP,
dando luogo alla teoria dei sistemi dinamici infinito dimensionali.
I
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
Equazioni di
Evoluzione
Approccio geometrico allo studio delle EDO ed EDP
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
La sensibilità delle soluzioni alle variazioni dei dati iniziali e al
contorno e dei parametri che caratterizzano i sistemi non lineari
mostrano che l’approccio corretto per studiarne la dinamica
dovrebbe essere più geometrico. Ricordiamo che nelle EDP le
soluzioni (traiettorie) possono essere viste come curve in un
opportuno spazio delle fasi di dimensione infinita.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Approccio geometrico allo studio delle EDO ed EDP
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
I
La sensibilità delle soluzioni alle variazioni dei dati iniziali e al
contorno e dei parametri che caratterizzano i sistemi non lineari
mostrano che l’approccio corretto per studiarne la dinamica
dovrebbe essere più geometrico. Ricordiamo che nelle EDP le
soluzioni (traiettorie) possono essere viste come curve in un
opportuno spazio delle fasi di dimensione infinita.
Si osservi che già nel caso delle EDO, ossia in dimensione finita, la
struttura dell’insieme dei punti di equilibrio e la geometria delle
orbite che li congiungono possono essere molto complicate. Nel
caso infinito-dimensionale è pertanto lecito aspettarsi che la
situazione sia ancora più complessa.
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Approccio geometrico allo studio delle EDO ed EDP
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
I
La sensibilità delle soluzioni alle variazioni dei dati iniziali e al
contorno e dei parametri che caratterizzano i sistemi non lineari
mostrano che l’approccio corretto per studiarne la dinamica
dovrebbe essere più geometrico. Ricordiamo che nelle EDP le
soluzioni (traiettorie) possono essere viste come curve in un
opportuno spazio delle fasi di dimensione infinita.
I
Si osservi che già nel caso delle EDO, ossia in dimensione finita, la
struttura dell’insieme dei punti di equilibrio e la geometria delle
orbite che li congiungono possono essere molto complicate. Nel
caso infinito-dimensionale è pertanto lecito aspettarsi che la
situazione sia ancora più complessa.
I
In particolar modo, ulteriori complicazioni sono dovute
all’impossibilità di fornire una rappresentazione geometrica delle
traiettorie e soprattutto al fatto che l’insieme degli stati
stazionari può non avere carattere discreto (in molti casi
concreti la cardinalitı̈¿ 12 ı̈¿ 21 ignota).
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Lo studio di famiglie di traiettorie
I
L’analisi delle EDP attraverso i metodi della teoria dei sistemi
dinamici infinito-dimensionali deve quindi prescindere da un’analisi
“geometrica” diretta del comportamento delle singole traiettorie. Il
comportamento asintotico si può descrivere attraverso alcune classi
di insiemi invarianti (attrattori) i quali danno informazioni
qualitative rilevanti anche senza essere direttamente legati alla
geometria dell’insieme dei punti di equilibrio.
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Lo studio di famiglie di traiettorie
I
I
L’analisi delle EDP attraverso i metodi della teoria dei sistemi
dinamici infinito-dimensionali deve quindi prescindere da un’analisi
“geometrica” diretta del comportamento delle singole traiettorie. Il
comportamento asintotico si può descrivere attraverso alcune classi
di insiemi invarianti (attrattori) i quali danno informazioni
qualitative rilevanti anche senza essere direttamente legati alla
geometria dell’insieme dei punti di equilibrio.
In particolare, è spesso possibile dimostrare che famiglie di
soluzioni che “partono” da un insieme di dati iniziali limitato
(rispetto alla metrica propria dello spazio delle fasi) tendono
asintoticamente ad avvicinarsi verso un insieme compatto ed
invariante rispetto al flusso associato al sistema. Tale insieme viene
detto “attrattore globale” o “universale”.
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Lo studio di famiglie di traiettorie
I
I
I
L’analisi delle EDP attraverso i metodi della teoria dei sistemi
dinamici infinito-dimensionali deve quindi prescindere da un’analisi
“geometrica” diretta del comportamento delle singole traiettorie. Il
comportamento asintotico si può descrivere attraverso alcune classi
di insiemi invarianti (attrattori) i quali danno informazioni
qualitative rilevanti anche senza essere direttamente legati alla
geometria dell’insieme dei punti di equilibrio.
In particolare, è spesso possibile dimostrare che famiglie di
soluzioni che “partono” da un insieme di dati iniziali limitato
(rispetto alla metrica propria dello spazio delle fasi) tendono
asintoticamente ad avvicinarsi verso un insieme compatto ed
invariante rispetto al flusso associato al sistema. Tale insieme viene
detto “attrattore globale” o “universale”.
Opportune tecniche permettono in molti casi di dimostrare che
esso ha, in un senso opportuno, dimensione finita =⇒ l’evoluzione
asintotica del processo viene ad essere in sostanza equivalente al
comportamento di un sistema di equazioni differenziali in
dimensione finita.
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Lo studio di famiglie di traiettorie
I
I
L’analisi delle EDP attraverso i metodi della teoria dei sistemi
dinamici infinito-dimensionali deve quindi prescindere da un’analisi
“geometrica” diretta del comportamento delle singole traiettorie. Il
comportamento asintotico si può descrivere attraverso alcune classi
di insiemi invarianti (attrattori) i quali danno informazioni
qualitative rilevanti anche senza essere direttamente legati alla
geometria dell’insieme dei punti di equilibrio.
In particolare, è spesso possibile dimostrare che famiglie di
soluzioni che “partono” da un insieme di dati iniziali limitato
(rispetto alla metrica propria dello spazio delle fasi) tendono
asintoticamente ad avvicinarsi verso un insieme compatto ed
invariante rispetto al flusso associato al sistema. Tale insieme viene
detto “attrattore globale” o “universale”.
I
Opportune tecniche permettono in molti casi di dimostrare che
esso ha, in un senso opportuno, dimensione finita =⇒ l’evoluzione
asintotica del processo viene ad essere in sostanza equivalente al
comportamento di un sistema di equazioni differenziali in
dimensione finita.
I
In questi casi, inoltre, questo significa che la dinamica può essere
descritta da un numero finito di parametri e questo può essere di
notevole aiuto per possibili approssimazioni numeriche.
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Un esempio
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Un esempio
C. Cavaterra,
E. Rocca
“It is impossible to study the properties of a single mathematical trajectory.
The physicist knows only bundles of trajectories, corresponding to slightly
different initial conditions.”
Lèon Brillouin
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Un esempio
C. Cavaterra,
E. Rocca
“It is impossible to study the properties of a single mathematical trajectory.
The physicist knows only bundles of trajectories, corresponding to slightly
different initial conditions.”
Lèon Brillouin
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Consideriamo il sistema dinamico generato dalla EDO
x 0 = x − x 3.
Se il dato iniziale x0 > 0, allora x(t) → 1, per t → +∞.
Se il dato iniziale x0 < 0, allora x(t) → −1, per t → +∞.
Se il dato iniziale x0 = 0, allora x(t) = 0.
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Un esempio
C. Cavaterra,
E. Rocca
“It is impossible to study the properties of a single mathematical trajectory.
The physicist knows only bundles of trajectories, corresponding to slightly
different initial conditions.”
Lèon Brillouin
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Consideriamo il sistema dinamico generato dalla EDO
x 0 = x − x 3.
Se il dato iniziale x0 > 0, allora x(t) → 1, per t → +∞.
Se il dato iniziale x0 < 0, allora x(t) → −1, per t → +∞.
Se il dato iniziale x0 = 0, allora x(t) = 0.
Quindi un piccolo cambiamento del dato iniziale provoca una grossa
differenza al tendere di t a +∞!!!
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Un esempio
C. Cavaterra,
E. Rocca
“It is impossible to study the properties of a single mathematical trajectory.
The physicist knows only bundles of trajectories, corresponding to slightly
different initial conditions.”
Lèon Brillouin
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Consideriamo il sistema dinamico generato dalla EDO
x 0 = x − x 3.
Se il dato iniziale x0 > 0, allora x(t) → 1, per t → +∞.
Se il dato iniziale x0 < 0, allora x(t) → −1, per t → +∞.
Se il dato iniziale x0 = 0, allora x(t) = 0.
Quindi un piccolo cambiamento del dato iniziale provoca una grossa
differenza al tendere di t a +∞!!!
Per questo concentreremo la nostra attenzione sulla evoluzione non di
una singola traiettoria che proviene da un solo dato, ma di traiettorie
che provengono da insiemi di dati iniziali opportuni.
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è un insieme assorbente?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è un insieme assorbente?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
I
In molti fenomeni naturali sono presenti vari tipi di dissipazione (ad
esempio, la viscosità, la frizione, la perdita di calore). Questo
aspetto caratterizza quelli che vengono chiamati sistemi dinamici
dissipativi.
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è un insieme assorbente?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
I
I
In molti fenomeni naturali sono presenti vari tipi di dissipazione (ad
esempio, la viscosità, la frizione, la perdita di calore). Questo
aspetto caratterizza quelli che vengono chiamati sistemi dinamici
dissipativi.
Da un punto di vista matematico, un sistema dinamico si dice
dissipativo se ammette un insieme assorbente, ovvero se esiste un
insieme G, limitato nello spazio infinito dimensionale in cui sono
definite le traiettorie, tale che tutte le traiettorie che partono da un
qualsiasi insieme limitato dopo un certo istante t ∗ entrano in G.
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è l’attrattore globale?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è l’attrattore globale?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
I
Una ulteriore proprietà significativa è l’esistenza dell’attrattore
globale, ovvero del più piccolo insieme compatto A che attrae
uniformemente (secondo una opportuna definizione di convergenza)
tutte le traiettorie che partono da un qualsiasi insieme limitato.
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è l’attrattore globale?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
I
I
Una ulteriore proprietà significativa è l’esistenza dell’attrattore
globale, ovvero del più piccolo insieme compatto A che attrae
uniformemente (secondo una opportuna definizione di convergenza)
tutte le traiettorie che partono da un qualsiasi insieme limitato.
Per alcuni sistemi dinamici è possibile dimostrare che l’attrattore A
(che è un sottoinsieme compatto di uno spazio infinito
dimensionale) possiede dimensione frattale finita (una
generalizzazione della comune dimensione geometrica).
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Che cos’è l’attrattore globale?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
I
I
I
Una ulteriore proprietà significativa è l’esistenza dell’attrattore
globale, ovvero del più piccolo insieme compatto A che attrae
uniformemente (secondo una opportuna definizione di convergenza)
tutte le traiettorie che partono da un qualsiasi insieme limitato.
Per alcuni sistemi dinamici è possibile dimostrare che l’attrattore A
(che è un sottoinsieme compatto di uno spazio infinito
dimensionale) possiede dimensione frattale finita (una
generalizzazione della comune dimensione geometrica).
Si osservi quindi che in tali casi la dinamica a lungo termine di un
sistema infinito dimensionale è in realtà controllata solamente da
un numero finito di parametri. Questa proprietà può essere di
aiuto ad esempio per l’implementazione di schemi di
approssimazione numerica delle soluzioni.
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali prerequisiti ci vogliono per seguire questo corso?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Per poter seguire il corso senza particolari difficoltà occorre conoscere le
definizioni e le principali proprietà relative ai seguenti argomenti:
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali prerequisiti ci vogliono per seguire questo corso?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Per poter seguire il corso senza particolari difficoltà occorre conoscere le
definizioni e le principali proprietà relative ai seguenti argomenti:
I
spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi Lp ,
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali prerequisiti ci vogliono per seguire questo corso?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Per poter seguire il corso senza particolari difficoltà occorre conoscere le
definizioni e le principali proprietà relative ai seguenti argomenti:
I
spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi Lp ,
I
spazi duali, convergenze deboli, operatori compatti e loro spettro
(richiameremo queste definizioni, che trovate su [Salsa, Equazioni
alle derivate parziali, Springer] o su [Brezis, Analisi funzionale,
Liguori]).
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali prerequisiti ci vogliono per seguire questo corso?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Per poter seguire il corso senza particolari difficoltà occorre conoscere le
definizioni e le principali proprietà relative ai seguenti argomenti:
I
spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi Lp ,
I
spazi duali, convergenze deboli, operatori compatti e loro spettro
(richiameremo queste definizioni, che trovate su [Salsa, Equazioni
alle derivate parziali, Springer] o su [Brezis, Analisi funzionale,
Liguori]).
I
Inoltre è consigliato possedere conoscenze di base sulle EDP di tipo
ellittico (richiameremo i risultati necessari).
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Testi consigliati
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Testi consigliati
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
1. H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori editore.
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Testi consigliati
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
1. H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori editore.
Problemi iniziali e al
contorno
2. J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems,
Cambridge University Press.
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Testi consigliati
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
1. H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori editore.
Problemi iniziali e al
contorno
2. J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems,
Cambridge University Press.
Buona positura
3. S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer.
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Testi consigliati
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
1. H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori editore.
Problemi iniziali e al
contorno
2. J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems,
Cambridge University Press.
Buona positura
3. S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer.
4. L.C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical
Society.
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Testi consigliati
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
1. H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori editore.
Problemi iniziali e al
contorno
2. J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems,
Cambridge University Press.
Buona positura
3. S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer.
4. L.C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical
Society.
5. Per approfondimento: R. Temam, Infinite-Dimensional
Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Applied
Mathematical Sciences 68, Springer-Verlag.
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi
Equazioni di
Evoluzione
Quali sono le modalità d’esame?
C. Cavaterra,
E. Rocca
Il Programma
EDP
EDP di evoluzione
L’esame consisterà in una prova orale in cui lo studente dovrà mostrare
di avere appreso i concetti principali illustrati durante il corso. Verranno
inoltre richieste alcune dimostrazioni di teoremi che verranno
esplicitamente segnalati al momento della stesura del programma
definitivo.
È prevista inoltre la possibilità di sostituire la parte della prova orale
relativa alle dimostrazioni con la presentazione di un problema
sviluppato e risolto in modo autonomo dallo studente. Questa seconda
modalità dovrà essere concordata con i docenti.
Problemi iniziali e al
contorno
Buona positura
Il comportamento per
tempi lunghi
I prerequisiti e i Testi