Esercitazione30/10/08

PROBABILITA’: TERNO AL LOTTO
Qual è la probabilità di fare un terno al lotto?
Possiamo dare una valutazione di equiprobabilità degli
eventi


90


Casi possibili



Casi favorevoli
Probabilità
5



 87 


 2 


 87 


 2 


 90 


 5 
PROBABILITA’:GARA DI CORSA
Marco e Luca partecipano ad una gara di corsa a cui si
sono iscritti altri cinque concorrenti. Qual è la
probabilità che Marco e Luca arrivino nei primi tre
posti?
Non avendo nessuna informazione circa la bravura dei
concorrenti, possiamo ritenere tutti i risultati possibili
equiprobabili e quindi la probabilità è
(3·2)/(7·6) = 1/7
PROBABILITA’: COMPLEANNI
Qual è la probabilità che il compleanno di sei persone
cada in maggio e settembre?
I compleanni possibili sono
126 = 2985984
I compleanni “favorevoli”
26 - 2 = 62
Dunque la probabilità richiesta è
(26 - 2)/126
PROBABILITA’: CALZINI
Possiedi 6 paia di calzini, 2 paia sono grigi e 4 paia sono
neri. Li hai riposti separati e alla rinfusa in un cassetto.
Quando ti alzi al mattino e ne prendi a caso due, che
probabilità hai di ottenere un paio dello stesso colore?
Per ottenere un paio dello stesso colore, o ne prendi due
grigi o ne prendi due neri.
La probabilità di prendere due grigi è
(4·3)/(12·11)
La probabilità di prendere due neri è
(8·7)/ (12·11)
La probabilità richiesta è
(4·3)/(12·11) + (8·7)/ (12·11) = 68/132 = 17/33
PROBABILITA’: ANCORA CALZINI
Possiedi 6 paia di calzini di colori diversi. Li hai riposti
separati e alla rinfusa in un cassetto. Quando ti alzi al
mattino, ne prendi a caso quattro, che probabilità hai
che ci sia almeno un paio completo?
Conviene calcolare la probabilità dell’evento negazione
di quello richiesto, vale a dire l’evento:
Nessun paio è completo, i quattro calzini “scelti”sono
spaiati
PROBABILITA’:ANCORA CALZINI
Per calcolare la probabilità dell’evento “nessun paio è
completo”, possiamo ragionare, ad esempio, in termini
di estrazioni successive ed utilizzare la legge della
probabilità composta:
Prima estrazione: qualunque calzino estratto va bene,
12/12
Seconda estrazione: conoscendo l’esito della prima, il
calzino estratto per secondo deve essere di colore
diverso al precedente; ci sono 10 calzini con questo
requisito degli 11 che restano.
(12/12)·(10/11), proseguendo…..
PROBABILITA’CALZINI, CONTINUA….
(12/12)·(10/11), proseguendo…..
Terza estrazione: conoscendo i colori dei primi due
calzini estratti, il terzo calzino estratto deve avere un
colore diverso dai due precedenti, ci sono 8 calzini dei
10 che restano con questo requisito
(12/12)·(10/11)·(8/10), proseguendo….
Quarta ed ultima estrazione estrazione: analogamente ai
casi precedenti, abbiamo già tre colori estratti, il quarto
calzino deve avere un colore diverso, quindi restano 6
calzini, dei 9 disponibili, che soddisfano alla richiesta
La probabilità dell’evento: “tutti spaiati” è
(12/12)·(10/11)·(8/10)·(6/9) = 24/33
PROBABILITA’: CALZINI, CONTINUA….
La probabilità dell’evento “almeno un paio dello stesso
colore”, è dunque
1 - 24/33 = 9/33 = 3/11
SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA: Avremmo
potuto anche affrontare il problema, contando quanti
sono i casi possibili, vale a dire in quanti modi puoi
prendere 4 calzini dei 12 che hai nel cassetto. Valutando
in termini di equiprobabilità, basterà contare i casi
“favorevoli”, che conviene comunque considerare quelli
in cui tutti i calzini sono spaiati, e fare quindi il rapporto
tra numero casi “favorevoli” e numero casi possibili.
PROBABILITA’: CALZINI, CONTINUA….
SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA:
Numero casi possibili:


 12 


 4 
Numero casi “favorevoli” (4 calzini spaiati):
 
6 4
 2
4
Probabilità dell’evento “tutti spaiati”:
 
6 4
 4 2


 12 
 4 
PROBABILITA’: CALZINI, CONTINUA….
SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA:
Probabilità dell’evento richiesto: “almeno due calzini
dello stesso colore”:
1-
 
6 4
 4 2


12


 4 
PROBABILITA’: ESERCIZI
ESERCIZIO 1: Un gruppo di 12 persone, fra cui Paolo e
Francesca, viene suddiviso a caso in tre gruppi
ugualmente numerosi. Qual è la probabilità che:
a) Paolo e Francesca facciano parte entrambi del primo
gruppo;
b) Francesca finisca nel primo gruppo e Paolo no;
c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo.
PROBABILITA’: ESERCIZI
ESERCIZIO 2: Quando le cellule sono esposte a
radiazioni, alcuni cromosomi si spezzano in due parti.
La parte lunga è quella che contiene il centromero. Se
due parti lunghe o due parti corte si riuniscono tra loro
la cellula muore. Supponiamo che 10 cromosomi si
siano spezzati e le parti così ottenute formino 10 nuove
coppie a caso. Calcolare la probabilità che:
a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale;
b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più
corte.
c) sapresti generalizzare il problema ad n cromosomi?
PROBABILITA’
In due popolazioni biologiche A, B una certa caratteristica
F è presente con probabilità rispettivamente 0.7, 0.4.
La frequenza della popolazione A è 0.2, mentre quella
di B è 0.8. Scegliendo a caso un individuo (non si sa da
quale popolazione) calcolare:
a) La probabilità che l’individuo non abbia la
caratteristica F;
b) Sapendo che l’individuo non presenta la caratteristica
F, la probabilità che appartenga ad A
PROBABILITA’
Rappresentiamo con un grafo ad albero, quanto descritto
nel problema:
0.2
0.8
A
0.7
F
B
0.3
0.4
NF
F
0.6
NF
PROBABILITA’
E’ richiesto di calcolare P(NF).
L’evento NF, si può avere sia in A che in B, vale a dire
NF = (A ∩NF)∪(B∩NF)
Gli eventi A ∩NF, B∩NF sono incompatibili, quindi per
le regole di coerenza, si ha
P(NF) = P(A∩NF) + P (B∩NF)
Per la legge delle probabilità composte, si ha
P (A∩NF) = P(A)·P(NF|A) = (0.2)(0.3) = 0.06
P(B∩NF) = P(B)·P(NF|B) = (0.8)·(0.6) = 0.48
P(NF) = 0.06 + 0.48 = 0.54
PROBABILITA’
E’ richiesto, inoltre, di calcolare P(A|NF)
Dalla definizione di probabilità condizionale:
P(A|NF) = P(A ∩NF) / P(NF)
Si è già calcolato
P (A∩NF) = P(A)·P(NF|A) = (0.2)(0.3) = 0.06
P(NF) = 0.54
dunque P(A|NF) = 0.06/0.54 = 6/54 = 1/9
PROBABILITA’: FUMATORI
In una data popolazione è noto che il 35% è fumatore
abituale. E’ noto inoltre che il 5% dei decessi avviene
a causa di un certo tipo di tumore. Infine si è
constatato che tra quanti sono deceduti a causa di quel
tipo di tumore, il 60% era fumatore abituale.
Calcolare la probabilità che un fumatore abituale
muoia di quel tipo di tumore.
Indichiamo con F l’evento “il soggetto è fumatore
abituale”, la probabilità di F è
P(F) = 0.35
PROBABILITA’: FUMATORI
Indichiamo con T l’evento “il soggetto muore di
tumore”, la probabilità di T è
P(T) = 0.05
Quale evento ha probabilità 0.60?
P(F|T) = 0.60
La probabilità richiesta è….
P(T|F)
PROBABILITA’: FUMATORI
Ricorrendo
alla
definizione
di
probabilità
condizionale, possiamo scrivere:
P(T|F) = P(T∩F)/P(F), possiamo calcolare P(T∩F)?
P(T∩F) = P(T)·P(F|T) = (0.05)·(0.6) =0.03
Per calcolare la probabilità richiesta, basta dividere
0.03 per 0.35
P(T|F) = P(T∩F)/P(F) = 0.03 / 0.35 = 3/35
PROBABILITA’: GEMELLI
Due fratelli gemelli sono monocoriali con probabilità
p (ed in tal caso hanno sicuramente lo stesso sesso)
o dicoriali con probabilità 1-p (ed in tal caso
hanno uguale sesso con probabilità 1/2)
a) Qual è la probabilità che due gemelli abbiano lo
stesso sesso?
b) Se hanno lo stesso sesso, qual è la probabilità che
siano monocoriali?
SOLUZIONE: a) p + (1-p)/2 = ( p+1)/2
b) 2p/(p+1)