Primo esonero di Probabilit`a 1 13 aprile 2007 Esercizio 1

Primo esonero di Probabilità 1
13 aprile 2007
Esercizio 1. [Risolvere l’esercizio costruendo uno spazio di probabilità (Ω, F , P) opportuno] Tre urne numerate 1, 2 e 3 sono inizialmente vuote. Esse vengono poi riempite con
n palline, che vengono messe, una dopo l’altra, in una delle urne, scelta a caso ogni volta.
a) Qual è la probabilità che l’urna 1 rimanga vuota?
b) Qual è la probabilità che le urne 1 e 2 rimangano vuote?
c) Qual è la probabilità che una delle urne rimanga vuota?
Esercizio 2. Un’urna, U1 , contiene 10 palline, di cui 4 rosse e le rimanenti gialle; una
seconda urna, U2 , contiene 10 palline, di cui 6 rosse e le rimanenti gialle. Si sceglie a caso
una delle due urne. Dall’urna scelta, si procede ad effettuare estrazioni con reinserimento
di due palline per volta.
a) Qual è la probabilità che alla generica estrazione escano due palline rosse?
b) Qual è la probabilità che alla seconda estrazione si osservi almeno una pallina gialla
noto che alla prima estrazione sono uscite due palline rosse? Si tratta di eventi
indipendenti?
c) Sia Xn il numero di volte che escono due palline rosse su n estrazioni. Calcolare la
legge di Xn .
d) Sapendo che su n estrazioni sono uscite sempre due palline rosse, calcolare:
d1) la probabilità di aver scelto l’urna U1 ;
d2) la probabilità che alla (n + 1)-esima estrazione si abbiano ancora due palline
rosse.
Esercizio 3. Siano X ed Y due variabili aleatorie indipendenti uniformi su {1, 2, . . . , n}.
Poniamo U = min{X, Y } e V = max{X, Y }.
a) Calcolare la legge di U e V e verificare che U e n + 1 − V hanno la stessa legge.
b) Calcolare la legge congiunta di U e V .
c) Calcolare la legge di U |V = v, v = 1, 2, . . . , n.
Esercizio 4. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando accuratamente
le risposte.
a) Sia C tale che P(C) > 0. Se A e B sono eventi indipendenti allora P(A ∩ B|C) =
P(A|C)P(B|C).
b) Se X ∼ Be(p), p ∈ (0, 1), allora X 2 ∼ Be(p2 ).
c) Siano E ed F eventi in Ω, allora P(E ∩ F ) + 1 ≥ P(E) + P(F ).
Soluzioni
S 1. Prendiamo
Ω = {(ω1 , . . . , ωn ) : ωi = 1, 2, 3 i = 1, 2, . . . , n} = {1, 2, 3}n ,
F = P(Ω) e P la probabilità uniforme su Ω. Si ha |Ω| = 3n . Chiamiamo Ai l’evento
“l’urna i è vuota”, per i = 1, 2, 3.
a) Si chiede P(A1 ).
A1 = {(ω1 , . . . , ωn ) : ωi = 2, 3 i = 1, 2, . . . , n} = {2, 3}n ,
allora |A1 | = 2n e quindi
P(A1 ) =
2n ³ 2 ´n
=
.
3n
3
b) Si chiede P(A1 ∩ A2 ).
A1 ∩ A2 = {(3, 3, . . . , 3)},
allora |A1 ∩ A2 | = 1 e quindi
P(A1 ∩ A2 ) =
³ 1 ´n
1
=
.
3n
3
c) Si chiede P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ). È chiaro che
P(A1 ) = P(A2 ) = P(A3 ),
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ∩ A3 ) = P(A2 ∩ A3 )
e che
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0,
quindi
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 3P(A1 ) − 3P(A1 ∩ A2 ) = 3
³³ 2 ´n
3
−
³ 1 ´n ´
.
3
S 2.
a) Sia Ri = {2 palline rosse all i-esima estrazione}, i = 1, 2, . . .. Si chiede P(Ri ). Se con
U1 indichiamo l’evento viene scelta l’urna U1 e con U2 l’evento viene scelta l’urna
U2 , si ha:
P(Ri ) = P(Ri |U1 )P(U1 ) + P(Ri |U2 )P(U2 ).
Ora
¡4¢¡6¢
2
P(Ri |U1 ) = p1 = ¡10¢ =
15
2
2
0
¡6¢¡4¢
1
e P(Ri |U2 ) = p2 = 2¡10¢0 = ,
3
2
quindi
P(Ri ) = P(Ri |U1 )P(U1 ) + P(Ri |U2 )P(U2 ) =
i
2 1 1 1
7
· + · = .
15 2 3 2
30
b) Si chiede P(R2c |R1 ). Si ha
P(R2c |R1 ) =
P(R1 ∩ R2c )
.
P(R1 )
Se si conosce l’urna prescelta le estrazioni sono indipendenti pertanto
2 13 1 1 2 1
38
· · + · · =
,
15 15 2 3 3 2
225
P(R1 ∩R2c ) = P(R1 ∩R2c |U1 )P(U1 )+P(R1 ∩R2c |U2 )P(U2 ) =
quindi
P(R2c |R1 ) =
P(R1 ∩ R2c )
38 30
76
=
·
=
.
P(R1 )
225 7
105
Gli eventi R1 ed R2c non sono indipendenti. Infatti
P(R1 ∩ R2c ) =
38
2 3
6= · = P(R1 )P(R2c ).
225
5 5
c) Xn è una v.a. tale che Xn |U1 ∼ Bi(n, p1 ), mentre Xn |U2 ∼ Bi(n, p2 ), pertanto per
x ∈ {0, 1, . . . , n}, si ha
P(Xn = x) = P(Xn = x|U1 )P(U1 ) + P(Xn = x|U2 )P(U2 ) =
µ ¶
1 n
(px1 (1 − p1 )n−x + px2 (1 − p2 )n−x ).
2 x
In particolare P(Xn = n) = 12 (pn1 + pn2 ).
d) d1) Si chiede P(U1 |Xn = n). Si ha,
P(U1 |Xn = n) =
P(Xn = n|U1 )P(U1 )
pn
= n 1 n.
P(Xn = n)
p1 + p2
d2) Si chiede P(Xn+1 = n + 1|Xn = n). Si ha,
P(Xn+1 = n + 1|Xn = n) =
P(Xn+1 = n + 1, Xn = n)
=
P(Xn = n)
P(Xn+1 = n + 1)
pn+1 + pn+1
2
= 1 n
P(Xn = n)
p1 + pn2
S 3. a) Per calcolare la legge del massimo calcoliamo la funzione di ripartizione di V .
Per v = 1, 2, . . . , n, si ha, data l’indipendenza,
P(V ≤ v) = P(max{X, Y } ≤ v) =
³ v ´2
vv
P(X ≤ v, Y ≤ v) = P(X ≤ v) P(Y ≤ v) =
=
.
nn
n
Quindi per v = 1, 2, . . . , n,
pV (v) = P(V = v) = P(V ≤ v) − P(V ≤ v − 1) =
³ v ´2
n
−
³ v − 1 ´2
n
=
2v − 1
.
n2
Per calcolare la legge del minimo calcoliamo invece la funzione di sopravvivenza di U . Per
u = 1, 2, . . . , n, si ha, data l’indipendenza,
P(U > u) = P(min{X, Y } > u) =
ii
P(X > u, Y > u) = P(X > u) P(Y > u) =
n−un−u ³
u ´2
= 1−
.
n
n
n
Quindi per u = 1, 2, . . . , n,
³
u ´2 2n − 2u + 1
u − 1 ´2 ³
pU (u) = P(U = u) = P(U > u − 1) − P(U > u) = 1 −
− 1−
=
.
n
n
n2
Osserviamo intanto che U e n + 1 − V variano entrambe in {1, 2, . . . , n}. Inoltre si ha
per k ∈ {1, 2, . . . , n},
P(n + 1 − V = k) = P(V = n + 1 − k) =
2(n + 1 − k) − 1
2n − 2k + 1
=
= P(U = k).
n2
n2
b) Passiamo al calcolo della legge congiunta, ovvero dobbiamo calcolare P(U = u, V =
v) per u, v ∈ {1, 2, . . . , n}. Ora se u > v questa probabilità è chiaramente nulla (il minimo
non può essere più grande del massimo!). Se u = v invece si ha
P(U = u, V = u) = P(X = u, Y = u) = P(X = u)P(Y = u) =
1
.
n2
Se u < v,
P(U = u, V = v) =
P(X = u, Y = v) + P(X = v, Y = u) = P(X = u)P(Y = v) + P(X = v)P(Y = v) =
2
.
n2
Ricapitolando


p(U,V ) (u, v) =

2
n2
1
n2
0
per u < v, u, v ∈ {1, 2, . . . , n}
per u = v, u ∈ {1, 2, . . . , n}
altrimenti
Per completare possiamo far vedere che dalla congiunta possiamo ritrovare le marginali
prima ottenute per altra via. Per u = 1, 2, . . . , n, si ha
P(U = u) =
n
X
P(U = u, V = v) =
v=1
n
X
v=u+1
2
1
2
1
2n − 2u + 1
+ 2 = (n − u) 2 + 2 =
.
2
n
n
n
n
n2
Per v = 1, 2, . . . , n, si ha
P(V = v) =
n
X
u=1
v−1
X
2
1
2
1
2v − 1
P(U = u, V = v) =
+ 2 = (v − 1) 2 + 2 =
.
2
n
n
n
n
n2
u=1
c) Osserviamo che U |V = v è a valori in {1, 2, . . . , v}. Per u ∈ {1, 2, . . . , v}, si ha:
½ 1
P(U = u, V = v)
2v−1 se u = v
pU |V (u|v) = P(U = u|V = v) =
=
2
P(V = v)
2v−1 se u < v.
S 4.
a) Falso: per esempio si consideri il lancio di due dadi. Siano A = {esce 3 sul primo
dado}, B = {esce 3 sul secondo dado} e C = {somma 6}. Allora A e B sono
chiaramente indipendenti, inoltre P(A ∩ B|C) = 15 6= P(A|C)P(B|C) = 15 15 .
b) Falso: X 2 è a valori in {0, 1}, quindi è anch’essa una v.a di Bernoulli. Ma P(X 2 =
1) = P(X = 1) = p, quindi X 2 ∼ Be(p).
c) Vero: P(E ∪ F ) = P(E) + P(F ) − P(E ∩ F ) ≤ 1, da cui l’asserto.
iii