Esercizi risolti di Calcolo delle Probabilitá Aprile 2013

Esercizi risolti di Calcolo delle Probabilitá Aprile
2013
Esercizio n.1
Date tre urne A (contenente 3 palline bianche e 1 nera), B (contenente 1
pallina bianca e 3 nere) e C (contenente 1 pallina bianca e 1 nera), da C si estrae
una pallina. Se é bianca (evento H) viene effettuata una seconda estrazione da
A, in caso contrario (evento H c ) da B. Posto E = la seconda pallina estratta
é nera, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca, supposto
di aver osservato pallina nera nella seconda.
Soluzione
Si ha:
P (H) =
1
1
3
, P (E|H) =
, P (E|H c ) =
2
4
4
da cui segue:
P (E) = P (E|H)P (H) + P (E|H c )P (H c ) =
11 31
1
+
=
42 42
2
e quindi:
P (H|E) =
P (E|H)P (H)
=
P (E)
11
42
1
2
=
1
.
4
Esercizio n.2
Considerato il triangolo T = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}, sia (X, Y ) un
vettore aleatorio con densità f (x, y) = 6(y − x), per (x, y) ∈ T , e zero altrove.
Calcolare la densità condizionata f (y|x) di Y |x.
Soluzione. Si ha:
∫
f (x) =
∫
∞
1
6(y − x)dy = 6[
f (x, y)dy =
−∞
x
y2
− xy]1x =
2
x2
1
+ x2 ) = 3 − 6x + 3x2 , 0 ≤ x < 1.
= 6( − x −
2
2
Allora:
f (y|x) =
6(y − x)
2(y − x)
f (x, y)
=
=
, x ≤ y ≤ 1.
f (x)
3 − 6x + 3x2
(x − 1)2
1
Esercizio n.3
Due urne A e B sono inizialmente vuote. Esse vengono poi riempite con
12 palline che vengono messe, una dopo l’altra, in una delle urne, scelta a caso
ogni volta.
(1) Qual’ è la probabilità che l’urna B sia vuota?
(2) Qual’ è la probabilità che le due urne posseggano lo stesso numero di
palline?
(3) Qual’ è la probabilità che nessuna delle due urne sia vuota?
Soluzione.
Detta X la variabile aleatoria che conta il numero di palline poste in B,
poichè per ogni pallina, scelgo a caso l’urna dove riporla, allora X ∼ Bi(12, 1/2)
e
1 .
P (B vuota) =
P (X = 0) = 0.512 = 0, 000244;
2 .
P (”due urne posseggano lo stesso numero di palline”) =
( )
12
P (X = 6) =
0.512 = 0, 2255;
6
3 .
P (”nessuna delle due urne sia vuota ”) =
P (1 ≤ X ≤ 11) = 1−P (X ∈ {0, 12}) = 1−0.512 −0.512 = 1−0.511 = 0, 999.
Esercizio n.4
Si suppone che l’altezza degli uomini in Italia segua approssimativamente una
v.a. normale di media 175 cm e varianza 81 cm2 . Quale sarebbe la percentuale
di italiani di statura superiore al metro e 90? Alla visita di leva vengono scartate
le reclute di altezza inferiore ai 153 cm. Quale sarebbe la percentuale di reclute
scartate alla visita di leva?
Soluzione.
Se indichiamo con X = {l’altezza degli uomini in Italia} allora dal testo
X = N (175cm, 9cm).
Si chiede la probabilitá
P (X > 190) = 1 − P (X ≤ 190).
2
Standardizziamo e otteniamo (dalle tabelle)
(
190 − 175 )
5
P (X > 190) = 1 − P (X ≤ 190) = 1 − P Y ≤
= 1 − Φ( ) = 0, 0475
9
3
dove Y = X−175
é la normale centrale e ridotta N (0, 1) e Φ(x) é la funzione di
9
ripartizione della v.a. N (0, 1).
Cerchiamo ora la probabilitá
P (X < 153) = P (Y < −
22
) = Φ(−2, 44) = 1 − Φ(2, 44) = 1 − 0, 9927 = 0, 0073.
9
Allora risulta dai calcoli e dai dati, che la percentuale degli uomini italiani
la cui statura supera 1 metro e 90 é del 4, 75%, mentre le reclute scartate alla
visita di leva sono lo 0, 73%.
3