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Classe terza – Docente: Ing. Natta
MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
--------------------------------------------------------------------------
I QUADRILATERI
Dispense didattiche di TOPOGRAFIA
s
D'
(arbitrario)
A
δ
α
δ
(noto)
(noto)
D'
C'
r
A'
γ
C'
(arbitrario)
β
(noto)
A
B
r
(arbitrario)
D
s
C
r = CD
(noto)
α
(arbitrario)
(n
ot
o)
C
γ
AD
B
(n
ot
o)
(no
to)
s
=
(n
ot
o)
r
D'
s
r
r
r=
(n B
ot C
o)
D
D
C
α
A
β
A'
D'
δ
D
δ
C
γ
(noto)
r=
A
B
B
1
BA
Classe terza – Docente: Ing. Natta
MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
--------------------------------------------------------------------------
1°)
Dati 3 lati AB , BC , CD e gli angoli β e γ fra essi compresi
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ con il goniometro si riporta l’angolo β
in B;
¾ si fissa sulla direzione individuata dal
goniometro il vertice C, alla distanza
BC dal vertice B ;
¾ si riporta l’angolo γ in C;
¾ si termina sulla direzione appena
individuata dal goniometro il punto D,
alla distanza CD dal vertice C.
C
C
D
B
A
C
γ
γ1
γ2
D
D
δ
B
A
A
B
A
α1
α α2
C
β
B
Calcolo trigonometrico
Risolvo il triangolo ABC.
Carnot: AC =
2
2
AB + BC − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos β
Calcolo gli angoli α2 e γ2.
AB : senγ 2 = AC : senβ
γ 2 = arcsen
AB ⋅ senβ
AC
α 2 = 200 g − ( β + γ 2 )
Risolvo il triangolo ACD.
γ1 = γ −γ 2
AD : senγ 1 = DC : senα 1
2
α1 = arcsen
Area del quadrilatero.
S ( ABC ) =
2 senα ⋅ senβ
1
2
⋅ AB ⋅
2
sen(α 2 + β )
2
AD = DC + AC − 2 ⋅ DC ⋅ AC ⋅ cos γ 1
DC ⋅ senγ 1
AD
2 senδ ⋅ senγ
1
1
S ( ACD ) = ⋅ DC ⋅
2
sen(δ + γ 1 )
2
δ = 200 g − (γ 1 + α1 )
STOT = S ( ABC ) + S ( ACD )
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MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
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Dati 3 angoli α
2°)
, β, γe2
lati opposti BC e AD
Costruzione grafica:
si disegna il lato BC in scala ( conviene tracciare BC orizzontale);
con il goniometro si riportano l’angolo β in B e l’angolo γ in C [ γ=400g-(α+β+δ)];
si costruisce il triangolo BCP;
da un punto arbitrario A’, posto su BP, si riporta l’angolo α;
si riporta in scala il lato AD’ = AD sulla semiretta r;
il punto D’ (provvisorio) deve cadere all’interno del triangolo BCP ;
dal punto D’ (provvisorio) si traccia la parallela al lato BP;
dove la parallela interseca il lato CP si ha il punto D definitivo.
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
P
A
ar b
itra
ria
A'
A'
α
r
B
C
in scala
α
A
D
D'
α
α
D
r
C
B
γ
β
γ
β
γ
β
P
P
C
B
Calcolo trigonometrico
C
PB : senγ = CB : senω
γ
D
P
α
A
PD : sen(200 g − α ) = AD : senω
β
B
PD =
AD ⋅ sen(200 g − α )
senω
PA =
AD ⋅ sen(200 g − δ )
senω
PA : sen(200 g − δ ) = AD : senω
Risolvo il triangolo PBC:
ω = 200 g − (γ + β )
PC : senβ = CB : senω
CB ⋅ senβ
PC =
senω
CB ⋅ senγ
senω
Risolvo il triangolo PDA:
δ
ω
PB =
DC = PC − PD
AB = PB − PA
Area del quadrilatero con il camminamento:
1
S = [ AD ⋅ DC ⋅senδ + DC ⋅ CB ⋅ senγ − AD ⋅ CB ⋅ sen(δ + γ )]
2
3
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UD: I QUADRILATERI
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3°)
Dati 2 lati consecutivi AB e BC e gli angoli α , β e γ
C
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ con il goniometro si riporta l’angolo β
in B;
¾ si disegna il lato BC in scala;
¾ con il goniometro si riporta l’angolo α
in A e l’angolo γ in C;
¾ l’intersezione delle semirette r ed s
individuano il vertice D.
C
r
B
A
γ
γ1
γ2
D
D
δ
s
B
A
A
α1
α α2
C
β
B
Calcolo trigonometrico
Risolvo il triangolo ABC.
Carnot: AC =
2
2
AB + BC − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos β
Calcolo gli angoli α2 e γ2.
AB : senγ 2 = AC : senβ
γ 2 = arcsen
AB ⋅ senβ
AC
α 2 = 200 g − ( β + γ 2 )
Risolvo il triangolo ACD.
γ1 = γ − γ 2
δ = 400 g − (α + β + γ )
AC ⋅ senγ 1
AD =
senδ
AC ⋅ senα1
DC =
senδ
α1 = α − α 2
AD : senγ 1 = AC : senδ
DC : senα 1 = AC : senδ
Area del quadrilatero.
S ( ABC ) =
2 senα ⋅ senβ
1
2
⋅ AB ⋅
sen(α 2 + β )
2
2 senδ ⋅ senγ
1
1
S ( ACD ) = ⋅ DC ⋅
sen(δ + γ 1 )
2
4
STOT = S ( ABC ) + S ( ACD )
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UD: I QUADRILATERI
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4°)
Dati 3 lati AB , BC e CD e due angoli opposti β e δ
lucido
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ con il goniometro si riporta l’angolo β
in B;
¾ si disegna il lato BC in scala;
¾ su un foglio di carta lucida si disegna
in scala il lato DC, l’angolo δ noto e
la direzione della semiretta “r”;
¾ facendo perno sul vertice C, si ruota
il lucido sul primo disegno sino a
chiudere il quadrilatero.
C
D
C
r
B
A
lucido
C
γ
γ1
γ2
D
D
δ
A
B
r
A
α1
α α2
C
β
B
Calcolo trigonometrico
Risolvo il triangolo ABC.
Carnot: AC =
2
2
AB + BC − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos β
Calcolo gli angoli α2 e γ2.
AB : senγ 2 = AC : senβ
γ 2 = arcsen
AB ⋅ senβ
AC
α 2 = 200 g − ( β + γ 2 )
Risolvo il triangolo ACD.
α1 = arcsen
AC : senδ = DC : senα1
α = α1 + α 2
γ = 400 g − (α + β + δ )
AD : senγ 1 = AC : senδ
AD =
DC ⋅ senδ
AC
γ1 = γ −γ 2
AC ⋅ senγ 1
senδ
Area del quadrilatero.
S ( ABC ) =
2 senα ⋅ senβ
1
2
⋅ AB ⋅
sen(α 2 + β )
2
2 senδ ⋅ senγ
1
1
S ( ACD ) = ⋅ DC ⋅
sen(δ + γ 1 )
2
5
STOT = S ( ABC ) + S ( ACD )
Classe terza – Docente: Ing. Natta
MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
--------------------------------------------------------------------------
5°a)
Dati 3 lati AB , BC , CD e gli angoli α e δ adiacenti al lato incognito.
s
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ si traccia la circonferenza con centro in B e
raggio pari a CB in scala;
¾ dal vertice A si traccia la semiretta “s” che forma
l’angolo α con il lato AB;
¾ su questa semiretta si fissa un punto arbitrario
D’, dato che non è nota la distanza AD;
¾ in D’ si traccia l’angolo δ noto che individua la
semiretta r;
¾ sulla semiretta “r” si fissa D’C’=DC ;
¾ da C’ si traccia la parallela alla semiretta “s” sino
ad intersecare la circonferenza in C.
s
D'
(arbitrario)
A
δ
α
r = BC
B
A
C
r
δ
δ
C'
(noto)
C
D
r=
(n B
ot C
o)
D
α
α
B
(noto)
B
A
Calcolo trigonometrico
Si proiettano lungo la direzione del lato incognito i vertici Camminamento:
C e B. Si tracciano perciò le perpendicolari dai punti C e
1
S = [ DC ⋅ CB ⋅ senγ + CB ⋅ AB ⋅ senβ −
B alla semiretta s.
2
DC ⋅ AB ⋅ sen(γ + β )]
Triangolo EAB:
AE = AB ⋅ cos α
EB = AB ⋅senα
Triangolo FDC:
FD = DC ⋅ cos(200 g − δ )
FC = DC ⋅ sen(200 g − δ )
s
F
Triangolo CGB:
BG = EB − EG essendo: EG = FC
2
D
2
CG = BC − BG
Il lato incognito vale: AD = AE + CG − FD
δ
E
Calcolo gli angoli β e γ :
α
AE
AE = AB ⋅ senβ1
β1 = arcsen
AB
CG
CG = CB ⋅ senβ 2
β 2 = arcsen
CB
g
β = β1 + β 2 γ = 400 − (α + β + δ )
A
6
γ
C
G
β1
β2
β
B
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UD: I QUADRILATERI
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5°b)
Dati 3 lati CD , DA , AB e gli angoli β e γ adiacenti al lato incognito.
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ si traccia la circonferenza con centro in A e
raggio pari a AD in scala;
¾ dal vertice B si traccia la semiretta “s” che
forma l’angolo β con il lato AB;
¾ su questa semiretta si fissa un punto arbitrario
C’, dato che non è nota la distanza BC;
¾ in C’ si traccia l’angolo γ noto che individua la
semiretta r;
¾ sulla semiretta “r” si fissa D’C’=DC ;
¾ da D’ si traccia la parallela alla semiretta “s”
sino ad intersecare la circonferenza in D.
D
D'
=
(n
ot
o)
r = AD
β
(n
D
C
γ
ot
o)
AD
B
A
s
r
r
s
C
γ
γ
C'
(arbitrario)
β
(noto)
A
β
B
B
A
Calcolo trigonometrico
Si proiettano lungo la direzione del lato incognito i Camminamento:
vertici A e D. Si tracciano perciò le perpendicolari dai
1
S = [ DC ⋅ CB ⋅ senγ + CB ⋅ AB ⋅ senβ −
punti A e D alla semiretta s.
2
DC ⋅ AB ⋅ sen(γ + β )]
Triangolo EAB:
AE = AB ⋅senβ
EB = AB ⋅ cos β
Triangolo FDC:
FD = DC ⋅ sen(200 g − γ )
FC = DC ⋅ cos(200 g − γ )
s
Triangolo ADG:
2
DG = AD − AG
F
D
AG = AE − FD
δ
2
Il lato incognito vale: CB = DG + EB − FC
C
γ
Calcolo gli angoli α e δ :
AE
AB
DG
DG = DA ⋅ senα 2
α 2 = arcsen
DA
α = α 1 + α 2 δ = 400 g − (α + β + γ )
AE = AB ⋅ cos α 1
α1 = arccos
A
7
α2 G
α α1
E
β
B
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UD: I QUADRILATERI
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5°c)
Dati 3 lati AD , DC , CB e gli angoli α e β adiacenti al lato incognito.
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato BC in scala;
¾ si traccia la circonferenza con centro in C e
raggio pari a CD in scala;
¾ dal vertice B si traccia la semiretta “s” che
forma l’angolo β con il lato BC;
¾ su questa semiretta si fissa un punto arbitrario
A’, dato che non è nota la distanza AB;
¾ in A’ si traccia l’angolo α noto che individua
la semiretta r;
¾ sulla semiretta “r” si fissa A’D’=AD ;
¾ da D’ si traccia la parallela alla semiretta “s”
sino ad intersecare la circonferenza in D.
r = CD
β
s
r
(no
to)
D'
s
r = CD
(noto)
α
A'
(arbitrario)
B
C
D
C
D
C
α
β
A
α
β
A
B
B
Calcolo trigonometrico
Si proiettano lungo la direzione del lato incognito i Camminamento:
vertici D e C.
1
S = [ AD ⋅ DC ⋅ senδ + DC ⋅ CB ⋅ senγ −
2
AD ⋅ CB ⋅ sen(δ + γ )]
Triangolo AED:
AE = AD ⋅ cos α
ED = AD ⋅senα
Triangolo FBC:
FB = CB ⋅ cos β
FC = CB ⋅ senβ
Triangolo DGC:
CG = FC − ED
2
DG = DC − CG
2
D
δ
Il lato incognito vale: AB = AE + DG + FB
Calcolo gli angoli γ e δ :
FB
CB
DG
DG = DC ⋅ senγ 1
γ 1 = arcsen
DC
g
γ = γ 1 + γ 2 δ = 400 − (α + β + γ )
FB = CB ⋅ senγ 2
γ 2 = arcsen
α
A
8
E
γC
γ1 G γ2
β
F
B
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MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
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5°d)
Dati 3 lati DA , AB , BC e gli angoli δ e γ adiacenti al lato incognito.
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato BC in scala;
¾ si traccia la circonferenza con centro in B e
raggio pari a BA in scala;
¾ dal vertice C si traccia la semiretta “s” che forma
l’angolo γ con il lato BC;
¾ su questa semiretta si fissa un punto arbitrario
D’, dato che non è nota la distanza DC;
¾ in D’ si traccia l’angolo δ noto che individua la
semiretta r;
¾ sulla semiretta “r” si fissa A’D’=AD ;
¾ da A’ si traccia la parallela alla semiretta “s” sino
ad intersecare la circonferenza in A.
s
C
γ
r=
(noto)
BA
B
r
(arbitrario)
D'
(n
ot
o)
s
A'
δ
D
D
C
γ
δ
γ
δ
C
(noto)
r=
A
BA
A
B
B
Calcolo trigonometrico
Si proiettano lungo la direzione del lato incognito i vertici Camminamento:
A e B.
1
Triangolo ADE:
AE = AD ⋅sen(200 g − δ )
ED = AD ⋅ cos(200 g − δ )
S = [ AD ⋅ AB ⋅ senα + AB ⋅ BC ⋅ senβ −
2
AD ⋅ BC ⋅ sen(α + β )]
Triangolo BFC:
CF = CB ⋅ cos(200 g − γ )
BF = CB ⋅ sen(200 g − γ )
Triangolo ABG:
GB = BF − AE
2
AG = AB − GB
Il lato incognito vale: DC = AG − ED − CF
δ
Calcolo gli angoli α e β :
FB
FB = CB ⋅ cos β1
β1 = arccos
CB
AG
AG = AB ⋅ senβ 2
β 2 = arcsen
AB
g
β = β 2 + β1 α = 400 − (δ + β + γ )
A
CF
D
E
2
α
β2
β
γ
β1
G
B
9
Classe terza – Docente: Ing. Natta
MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
--------------------------------------------------------------------------
6°
Dati 4 lati AB , BC , CD , DA ed una diagonale.
C
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ dati i vertici A e B, con un’intersezione in
avanti si trova C;
¾ dati i vertici A e C, con un’intersezione in
avanti si trova D.
B
A
C
D
D
δ
B
A
A
γ
γ1
γ2
α1
α α2
C
β
Calcolo trigonometrico
Triangolo ABC:
2
2
2
AB + CB − AC
AC = AB + CB − 2 ⋅ AB ⋅ CB ⋅ cos β
β = arccos
2 ⋅ AB ⋅ CB
AB ⋅ senβ
AC : senβ = AB : senγ 2
α 2 = 200 g − ( β + γ 2 )
γ 2 = arcsen
AC
2
2
2
Triangolo ACD:
2
2
2
AD + CD − AC
AC = AD + CD − 2 ⋅ AD ⋅ CD ⋅ cos δ
δ = arccos
2 ⋅ AD ⋅ CD
AD ⋅ senδ
AC : senδ = AD : senγ 1
α1 = 200 g − (δ + γ 1 )
γ 1 = arcsen
AC
2
2
2
Area del quadrilatero:
1
1
S = ⋅ AB ⋅ CB ⋅ senβ + ⋅ AD ⋅ CD ⋅ senδ
2
2
10
B
Classe terza – Docente: Ing. Natta
MODULO 1: ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
UD: I QUADRILATERI
--------------------------------------------------------------------------
7°
Dati 4 lati AB , BC , CD , DA ed un angolo α
D
Costruzione grafica:
¾ si disegna il lato AB in scala;
¾ si traccia con il goniometro l’angolo α ed il
lato AD in scala;
¾ dati i vertici D e B, con un’intersezione in
avanti si trova C.
α
C
D
D
α
C
γ
δ δ2
δ1
β2
β1 β
α
B
A
B
A
A
Calcolo trigonometrico
Triangolo ABD:
2
2
DB = AD + AB − 2 ⋅ AD ⋅ AB ⋅ cos α
AD ⋅ senα
AD : senβ1 = DB : senα
β1 = arcsen
DB
δ 1 = 200 g − ( β1 + α )
Triangolo DBC:
2
2
2
DC + BC − DB
DB = DC + BC − 2 ⋅ DC ⋅ BD ⋅ cos γ
γ = arccos
2 ⋅ DC ⋅ BD
DC ⋅ senγ
DC : senβ 2 = DB : senγ
δ 2 = 200 g − (γ + β 2 )
β 2 = arcsen
DB
2
2
2
Area del quadrilatero:
1
1
S = ⋅ AB ⋅ AD ⋅ senα + ⋅ CB ⋅ CD ⋅ senγ
2
2
11
B