Diapositiva 1 - Piano Lauree Scientifiche

Piano Lauree Scientifiche 2011-2012
« non si può intendere se prima non s’impara a
intender lingua, e conoscer i caratteri, nei quali è
scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri
sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola»
Figure piane e loro proprietà
Un triangolo ha un lato di 6 cm e uno di 10 cm.
Quale tra le seguenti non può essere la misura della lunghezza del terzo lato?
A. 6,5 cm
B. 10 cm
C.
15,5 cm
D. 17 cm
Quesito D3 QUADERNI SNV 2010/2011
I Triangoli …….
Definizione
Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito
da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti
interni.
Bisettrici, mediane, altezze
Definizione
Bisettrice relativa ad un vertice
In un triangolo ABC, la bisettrice relativa al vertice A è il
segmento di bisettrice dell’angolo A che congiunge il vertice con
il lato opposto
Definizione
Mediana relativa a un lato
In un triangolo ABC, la mediana relativa a un lato è il segmento
che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a
quel lato.
Definizione
Altezza relativa a un lato
In un triangolo ABC, l’altezza relativa a un lato è il segmento che,
partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso( o il
suo prolungamento) formando con essi due angoli retti.
La classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Definizione
Triangolo equilatero
Definizione
Triangolo isoscele
Definizione
Triangolo scaleno
Un triangolo è equilatero
quando ha i tre lati congruenti.
Un triangolo è isoscele quando Un triangolo è scaleno se ha i
ha due lati congruenti.
tre lati non congruenti.
AB  BC  AC
Le proprietà del triangolo isoscele
 Il teorema del
triangolo isoscele
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia isoscele è
che abbia due angoli congruenti.

La bisettrice nel triangolo isoscele
Teorema
Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell’angolo al vertice è
anche altezza e mediana rispetto alla base.

La classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Definizione
Triangolo rettangolo
Definizione
Triangolo ottusangolo
Definizione
Triangolo acutangolo
Un triangolo rettangolo è un
triangolo con un angolo
retto.
Un triangolo ottusangolo è un Un triangolo acutangolo è un
triangolo che ha un angolo
triangolo con tutti gli angoli
ottuso.
acuti.
Le disuguaglianze nei triangoli
Teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno
è maggiore di ciascuno dei due angoli
interni non adiacenti a esso.
Corollario 1
La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.
Corollario 2
Un triangolo non può avere due ( o più) angoli retti, né due ( o più) angoli ottusi, né un
angolo retto e uno ottuso, cioè in un triangolo due angoli sono sempre acuti.
Corollario 3
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
Teorema
A lato maggiore si oppone angolo maggiore
In ogni triangolo non equilatero, a lato
maggiore si oppone angolo maggiore.
Teorema
In ogni triangolo un lato è minore della somma
degli altri due e maggiore della loro differenza.
La congruenza dei triangoli
Due triangoli sono congruenti, quando, mediante un
movimento rigido, sono sovrapponibili punto a punto.
I criteri di congruenza dei triangoli
Teorema
Primo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso,
allora sono congruenti.
Teorema
Secondo criterio di congruenza
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso
adiacenti congruenti, allora sono congruenti.
Teorema
Terzo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora sono congruenti.
I punti notevoli di un triangolo
 Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo.
 L’incentro è il punto d’incontro
delle bisettrici degli angoli del triangolo.
 L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni con la bisettrice
dell’angolo interno non adiacenti a esso.
L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze del triangolo.
 Il baricentro è il punto d’incontro delle mediane del triangolo.
Proprietà del baricentro
Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è
doppia dell’altra.
La diagonale di un quadrato è 9 cm; allora:
A.
B.
C.
D.
E.
Il lato del quadrato è 4,5 cm
L’area del quadrato è 40,5 cm
Il raggio della circonferenza inscritta è
cm
Il perimetro del quadrato è
cm
Il raggio della circonferenza circoscritta è
cm
Quesito n° 13 Test iniziale PLSUN 2010/2011
Un foglio rettangolare viene piegato lungo la congiungente i punti medi del lato più
lungo, ottenendo così un rettangolo più piccolo. Si osserva che il rapporto fra lato
maggiore e lato minore del foglio iniziale è lo stesso che si ha per il foglio piegato.
Quanto vale questo rapporto?
A.
B.
2
2
2
C.
3
2
D.
2
E.
3
Quesito n° 20 Test Scienze 9 settembre 2011
I parallelogrammi e i trapezi
Definizione
Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti
AB
paralleli.
DC
AD BC
Teorema
Condizioni necessarie
Se un quadrilatero è un parallelogramma allora.
1.
2.
3.
4.
5.
Ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti;
i lati opposti sono congruenti;
gli angoli opposti sono congruenti;
gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari;
le diagonali si incontrano nel loro punto medio.
Teorema
Condizioni sufficienti
Se un quadrilatero convesso ha
1. I lati opposti congruenti, oppure
2. gli angoli opposti congruenti, oppure
3. le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, oppure
4. due lati opposti congruenti e paralleli,
Allora è un parallelogramma.
Parallelogrammi particolari
Un rettangolo è un parallelogramma avente quattro angoli retti
Le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
Se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti, allora il parallelogramma è un
rettangolo
ABCD è un parallelogramma 
AC  BD
ABCD è un rettangolo
Un rombo è un parallelogramma avente
i quattro lati congruenti.
In un rombo le diagonali sono:
• perpendicolari;
• bisettrici degli angoli.
Se in un parallelogramma le diagonali sono
• perpendicolari, oppure
• bisettrici degli angoli,
Allora il parallelogramma è un rombo
ABCD è un parallelogramma
AC  DB
AC bisettrice di A o di C
DB bisettrice di B o di D

ABCD è un rombo
Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro angoli
e i quattro lati congruenti.
In un quadrato le diagonali sono:
• congruenti;
• perpendicolari;
• bisettrici degli angoli.
Se in un parallelogramma le diagonali sono:
• congruenti e perpendicolari, oppure
• congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo,
Allora il parallelogramma è un quadrato.
ABCD è un parallelogramma
AC  DB
AC  DB
AC bisettrice di A o di C

ABCD è quadrato
I trapezi
Un trapezio è un quadrilatero avente due soli lati paralleli.
Un trapezio isoscele è un trapezio avente i lati
obliqui congruenti.
Un trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti a
ciascuna base congruenti.
Viceversa, è sufficiente che gli angoli adiacenti a
una base siano congruenti affinchè un trapezio
sia isoscele.
AD  BC
AB
DC
Un trapezio rettangolo è un trapezio in cui uno dei lati
è perpendicolare alle basi.
DA  AB
DA  DC
Le corrispondenze in un fascio di rette parallele
Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele a una retta data.
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti sull’un
Corrispondono segmenti congruenti sull’altra.
In un triangolo, il segmento con estremi
nei punti medi di due lati è parallelo al
terzo lato e congruente alla metà di esso.
AC  MB
NM  NB

In un trapezio, la congiungente i punti medi
dei lati obliqui è parallela alle due basi e
congruente alla loro semisomma.
MN AC
DM  MA
MN = 1 AC
CN  NB
2

MN AB DC
MN = 1  AB  DC 
2
Per recintare un’aiuola rettangolare occorrono 18m di filo. Sapendo che l’aiuola è
equivalente ad una quadrata di area 20m2 , possiamo dire che:
A. L’aiuola quadrata ha perimetro 4 5m
B. La diagonale dell’aiuola rettangolare è
C.
41m
le dimensioni dell’aiuola rettangolare sono 4m
D. il lato dell’aiuola quadrata misura 5m
E.
la diagonale dell’aiuola quadrata è
10m
Quesito n° 11 Test iniziale PLSUN 2011/2012
L’estensione e l’equivalenza
Il concetto di estensione di una superficie è primitivo.
Due superfici si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione.
La relazione di equivalenza fra superfici gode della proprietà riflessiva,
simmetrica e transitiva.
La caratteristica comune alle superfici che appartengono alla stessa
classe di equivalenza è detta area della superficie.
Le superfici ottenute come somme ( o differenze) di superfici
rispettivamente equivalenti sono equivalenti.
Il tangram è costituito da sette tavolette di diverse forme geometriche disposte
inizialmente a formare un quadrato:
- 5 triangoli
- 1 quadrato
- 1 parallelogramma.
Tutte le figure che si realizzano con le sette tavolette hanno forme geometriche
diverse, ma sono equiestese.
L’equivalenza di due parallelogrammi
Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze, relative a tali basi, allora
sono equivalenti.
I triangoli e l’equivalenza
Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella
del triangolo e base congruente a metà base del triangolo.
L’equivalenza fra un triangolo e trapezio
Un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha altezza congruente all’altezza del
trapezio e base congruente alla somma delle basi del trapezio.
L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza
Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base
Congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della
circonferenza.
In figura sono rappresentati due triangoli rettangoli dei cui lati
viene indicata la lunghezza. Sapendo che a = b, indica quanto vale
c. (I quadratini identificano gli angoli retti)
A.
6
B. 2 5
C.
10
D. 2 3
Quesito n° 13 Test Scienze 10 settembre 2008
Quesito D9 QUADERNI SNV 2010/2011
I teoremi di Euclide e di Pitagora
Il primo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al
rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto
sull’ipotenusa.
Q R
1 1
Q
R
2
2
Il Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Q3
Q1  Q2
Il secondo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Q
R
Il Teorema di Talete
Dato un fascio di rette parallele intersecato da due trasversali, i
segmenti che si formano su una trasversale sono direttamente
proporzionali ai segmenti corrispondenti che si formano sull’altra
trasversale.
AB : BC  A ' B ' : B ' C '
Teorema della bisettrice di un angolo interno di un triangolo
In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in
parti direttamente proporzionali agli altri lati.
BE : CE  AB : AC
La diagonale di un quadrato è 9cm. Allora:
A. Il lato del quadrato è 4,5 cm
2
B. l’area del quadrato è 40,5 cm
C.
il raggio della circonferenza inscritta è 3 cm
D. il perimetro del quadrato è 12 2 cm
E.
il raggio della circonferenza circoscritta è 2 3 cm
Quesito n° 13 Test iniziale PLSUN 2010/2011
2
L’area di un quadrato in una circonferenza è 2m . Allora la metà
dell’area della differenza tra l’area del cerchio e l’area del
quadrato è:
A.   2  m 2


B.   1 m 2
2 
1

C.     m 2
2

D.
 4  1 m2


E.   4  m 2
2

Quesito n° 7 Test iniziale PLSUN 2011/2012
In figura è rappresentato un triangolo ABC i cui vertici sono sui lati di un rettangolo.
In riferimento alle misure indicate nella figura, qual è l’area del triangolo ABC ?
A.
8
1
B.
8,5
C.
9
D.
9,5
3
2
3
Un foglio di carta quadrato viene piegato a metà; si ottiene così un
rettangolo che ha perimetro 18 cm. Qual è l’area del quadrato iniziale,
espressa in cm2?
A.
48
B.
64
C.
36
D.
32
E.
16
Quesito n° 3 Test Scienze 7 settembre 2010
In figura si vedono due quadrati parzialmente sovrapposti, uno dei quali
ha il lato di lunghezza 4 e l’altro ha il lato di lunghezza 3. Sapendo che
l’area dell’intersezione dei quadrati è 2, qual è l’area della regione
coperta dai due quadrati?
A. 21
B. 22
C. 24
D. 25
E. 23
Quesito n° 9 Test Scienze 7 settembre 2010
Le aree dei poligoni
A  l2
A  bh
A  bh
1
A  bh
2
A
1
 B  b  h
2
1
A   d1  d 2 
2
A  pr
A  pa
Mediante la misura delle aree di rettangoli e quadrati scriviamo le relazioni che
esprimono, in un triangolo rettangolo, il Teorema di Pitagora, i due teoremi di Euclide e
l’area del triangolo.
Teorema di Pitagora
c12  c22  i 2
Primo teorema di Euclide
c12  p1  i
c22  p2  i
Secondo teorema di Euclide
h 2  p1  p2
Area del triangolo
2A = c1  c2  i  h
In un triangolo prendo i punti medi dei lati e considero un secondo triangolo che
ha questi punti come vertici. Il rapporto fra l’area del secondo triangolo e l’area
del triangolo iniziale
A. è
1
3
B. è
1
4
C. è
1
2
D. dipende dal triangolo che si considera
Avere la stessa forma……
I due cerchi della figura hanno certamente la stessa forma.
I due poligoni hanno gli angoli rispettivamente congruenti,
ma non possiamo dire che hanno la stessa forma.
I triangoli IKJ e LMJ hanno la stessa forma.
Hanno gli angoli rispettivamente congruenti.
Inoltre, essendo L il punto medio di IJ e M
il punto medio di KJ, i lati di LMJ sono ciascuno
la metà dei corrispondenti lati del triangolo IKJ,
anche il lato LM che congiunge i punti medi è
la metà di KI, per il Teorema di Talete;
in definitiva il rapporto tra LM e KI.
Tra LJ e IJ, tra MJ e KJ è sempre di 1 a 2; i lati sono quindi in proporzione……
Definizione
Due poligoni aventi angoli corrispondenti congruenti e lati in proporzione si dicono
simili.
I due trapezi della figura seguente sono
simili, hanno infatti gli angoli congruenti e i
lati in proporzione: i lati del primo trapezio
sono tutti il doppio dei lati del secondo.
Definizione
Si chiamano omologhi sia i vertici degli angoli rispettivamente congruenti sia i lati e le
diagonali che congiungono i vertici omologhi.
Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi.
Primo criterio di similitudine
Due triangoli aventi due angoli
rispettivamente congruenti sono
simili.
Ipotesi    '
 '
Tesi ABC DEF
Secondo criterio di similitudine
Due triangoli aventi due lati in
Ipotesi
proporzione e l’angolo tra essi
compreso congruente sono simili.
AC : DF = AB : DE

Tesi ABC DEF
Terzo criterio di similitudine
Due triangoli aventi i lati
in proporzione sono simili.
Ipotesi
AC : A1C1 = AB : A1B1 = BC : B1C1
Tesi ABC A1B1C1
 In due triangoli simili il rapporto di due
lati omologhi è uguale al rapporto tra le
rispettive altezze.
Ipotesi
CH  AB ABC A1B1 C1
Tesi AB : A1B1  CH : C1H1
 In due triangoli simili il rapporto di due
lati omologhi è uguale al rapporto tra
le rispettive mediane.
Ipotesi
AM  MB A1M1  B1M1 ABC A1B1 C1
Tesi AB : A1B1  CM : C1M1
 In due triangoli simili il rapporto di due lati
omologhi è uguale al rapporto tra le bisettrici
uscenti da due vertici omologhi.
Ipotesi
   1  1 ABC A1B1 C1
Tesi AB : A1B1  CG : C1G1
Teorema 1
Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto di similitudine.
Ipotesi
AB : A1B1  AC : AC
1 1  BC : B1C1
Tesi
2p ABC : 2p A1B1C1   AB : A1B1
Teorema 2
Il rapporto tra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto di
similitudine.
Ipotesi
AB : A1B1  AC : AC
1 1  BC : B1C1
Tesi
Area  ABC : Area  A1B1C1   AB 2 : A1B12
Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza
Teorema delle corde
Se due corde di una circonferenza si incontrano in un punto interno al cerchio allora le
due corde restano divise in modo che le parti di una siano i medi e le parti dell’altra gli
estremi della stessa proporzione.
Ipotesi
AB e CD sono due corde che si intersecano in E
Tesi
EB : ED = EC: EA
Teorema delle secanti
Da un punto esterno a un cerchio si conducono due secanti alla circonferenza, allora
un’intera secante e la sua parte esterna formano i medi e l’altra secante e la sua parte
esterna sono gli estremi di una stessa proporzione.
Ipotesi
AB e CD sono due corde che si intersecano in E
esterno alla circonferenza
Tesi
EC : ED = EA : EB
Teorema della secante e della tangente
Da un punto esterno a un cerchio si conduce una secante e una tangente alla
circonferenza, allora il segmento di tangente è medio proporzionale tra l’intera secante
e la sua parte esterna alla circonferenza.
Ipotesi
B punto esterno alla circonferenza
BA tangente in A
BE secante in D e E.
Tesi
BE : BA = BA : BD
Il rapporto tra le lunghezze di due
circonferenze è uguale al rapporto tra i
rispettivi raggi, mentre il rapporto tra le
aree dei cerchi è uguale al quadrato del
rapporto tra i raggi.
C   r2
1
1
S  lr   r 2
2
2
r=
A
p
Indicate con a,b,c le misure dei tre
lati di un triangolo e con p quella del
semiperimetro,la misura dell’area A
del triangolo è data dalla formula di
Erone:
A = p   p - a    p  b   p  c
R=
abc
4A
Il primo incontro con la sezione aurea in genere avviene in geometria. La
sezione aurea di un segmento AB è quella parte di tale segmento che sia
media proporzionale tra tutto il segmento e la parte restante.
Considerato, cioè, un segmento
AB, il segmento AC sarà sua
Sezione Aurea se AB  AC
AC
BC
Ciò avviene, quindi, quando
il rapporto tra l’intero
segmento e la parte più
lunga è uguale al rapporto
tra la parte più lunga e la
parte più corta.
Cerchiamo il valore di questo rapporto. Posto AB= l e AC= x potremo riscrivere
la precedente relazione come:
l
x
l  l 2  4l 2 l  l 5
1  5
2
2
2
2

 l  lx  x  x  lx  l  0  x 

l
x lx
2
2
2
Consideriamo il valore positivo:
5 1
2
Quindi risulterà:
xl
x
5 1

 0, 618033...
l
2
A questo punto il rapporto cercato sarà:


l
2
5 1 2 5 1
5 1




 1, 618033...
x
5 1
2
5 1 5 1
La sezione aurea nella pittura
Utilizzando la sezione aurea nei suoi
dipinti Leonardo inoltre scoprì che,
guardando le opere, si poteva creare
un sentimento di ordine.
In particolare Leonardo incorporò il
rapporto aureo in tre dei suoi
capolavori: La Gioconda, L’ultima
cena e L'Uomo di Vitruvio.




Nella Gioconda il rapporto aureo è
stato individuato:
nella disposizione del quadro
nelle dimensioni del viso
nell’area che va dal collo a sopra le
mani
in quella che va dalla scollatura
dell’abito fino a sotto le mani.
Ne L’Ultima cena, Gesù, il solo
personaggio veramente divino, è
dipinto con le proporzioni divine, ed è
racchiuso in un rettangolo aureo.
TEOREMA.
ll lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della
circonferenza circoscritta.
Detto OA il raggio della circonferenza e AB il lato del
decagono regolare, si dimostra che :
OA : AB = AB : (OA-AB)
Sostituendo alle grandezze le loro misure, chiamando ad
esempio r il raggio e l il lato, la proporzione diventa:
r : l = l : (r-l)
Moltiplichiamo tra loro gli estremi ed i medi
l  r l  l  0
2
2
Risolvendo l’equazione rispetto ad l e tenendo conto
che è accettabile solo la lunghezza positiva si ha:
l  r
5 1
2
Sia ABC un triangolo isoscele di base BC uguale a 2cm. Sapendo che l’angolo in A
misura  radianti, possiamo dire che:
5
A. L’angolo in B è

radianti
10
B. L’altezza relativa alla base è
C.
D.
E.
5  2 5  cm
1  5  cm
il perimetro è 2 1  5  cm
l’area è  5  2 5  cm
il lato obliquo misura
2
Quesito n° 16 Test iniziale PLSUN 2011/2012
In un triangolo di vertici ABC l’angolo in B è di 74°. Sappiamo inoltre che la lunghezza
del lato AB è u, la lunghezza del lato BC è v, la lunghezza del lato CA è w. Quale delle
seguenti relazioni si può dedurre da ciò che sappiamo?
A. u 2  v 2  w2
B. u 2  v 2  w2
C. u + v > w 2
D. u + v < w
Sia dato l’angolo aOb   .
Sia P un punto qualsiasi del secondo lato di α . Sia H la proiezione ortogonale di P sulla
semiretta a . Se consideriamo sul lato b altri punti P1 , P2 , P3 , ecc. diversi da P aventi
per proiezioni ortogonali su a rispettivamente H1 , H2 , H3 , ecc., i triangoli OPH, OP1 H1 ,
OP2 H2 , OP3 H3 , ecc., sono simili per il primo criterio di similitudine avendo gli angoli
congruenti. Pertanto, avranno i lati omologhi in proporzione e sarà quindi:
1)
HP H1 P1 H 2 P2 H 3 P3



 .........
OP OP1
OP2
OP3
2)
OH OH1 OH 2 OH 3



 .........
OP
OP1
OP2
OP3
3)
HP H1 P1 H 2 P2 H 3 P3



 .........
OH OH1 OH 2
OH 3
b
a
Questi rapporti sono pertanto funzioni dell’angolo α e sono chiamati funzioni
goniometriche dell’angolo α; essi sono rispettivamente il seno, il coseno, la tangente
dell’angolo α . L’angolo α costituisce l’argomento delle funzioni goniometriche.
Il triangolo OA'B' è un
triangolo rettangolo.
Le proprietà del seno e del
coseno si applicano a tutti
i triangoli rettangoli.
x ' OA' OA


 cos 
r ' OB ' OB
y ' B' A' BA


 sen 
r ' OB ' OB
Triangoli rettangoli
sen  = rapporto tra il
cateto opposto
all’angolo e
l’ipotenusa.
cos  = rapporto tra il
cateto adiacente
all’angolo e
l’ipotenusa.
LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
Prima relazione fondamentale
della goniometria
cos2  + sen2  = 1
Da cui, se è noto cos  ,
,
mentre, se è noto sen  ,
.
LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE
Seconda relazione fondamentale della
goniometria
,
yB = sen  , xB = cos  ,
.
Circonferenza di centro
O e raggio qualsiasi
Indichiamo con (x'; y') le
coordinate di B'.
Triangolo rettangolo
Un altro significato
geometrico
tg  = rapporto tra il
cateto opposto
all’angolo e il
cateto adiacente.
Consideriamo il cerchio
goniometrico e la sua
tangente t.
tg  = ordinata di T.
Il teorema di Pitagora generalizzato
Il teorema del coseno è detto anche
teorema di Pitagora generalizzato
perché, se  = 90o, il triangolo ABC è
rettangolo in A
e l’enunciato
a2 = b2 + c2 – 2bc cos 
si riduce all’enunciato del teorema di
Pitagora:
a2 = b2 + c2 .
La geometria analitica si basa sulla corrispondenza
biunivoca tra enti geometrici ed enti algebrici.
Il grande matematico e filosofo francese Renè Descartes ( 1596-1650), in
italiano Cartesio, è stato l’ideatore di tale approccio.
Per questo la geometria analitica è anche detta geometria cartesiana.
«pensai
che per meglio studiare le scienze matematiche, dovevo
raffigurarle in forma di linee e per ricordarle e per comprenderne
molte insieme, dovevo invece esprimerle con qualche cifra tra le più
brevi possibili. In questo modo avrei colto tutto il meglio dell’analisi
geometrica e dell’algebra e corretto i difetti dell’una e dell’altra.»
Cartesio
( in La geometria)
L’area del poligono ABCDO in figura è:
A. 22.5
B. 28
C. 14
D. 50
E. 20
Quesito n° 9 Test iniziale PLSUN 2011/2012
I punti A(-3,-3), B(2,-3), C(2,1), D(-3,1) sono i vertici di un quadrilatero. Qual è l’area di
tale quadrilatero?
A. 20
B. 10
C.
5
D. 4
E.
18
Quesito n° 1 Test iniziale PLSUN 2010/2011
I punti A(−3, 1), B(6, 7) e C(−3, 6) sono i vertici del triangolo ombreggiato
in figura. Qual è l’area di tale triangolo?
A. 22,5
B. 23,5
C. 24
D. 23
E. 22
Quesito n° 7 Test Scienze 7 settembre 2010
Sono dati i cinque punti in figura. Quale dei seguenti triangoli ha la stessa
area del poligono ombreggiato?
A. NPL
B. LQP
C. MNQ
D. NQP
E. QPM
Quesito n° 11 Test Scienze 9 settembre 2011
Quesito D18 QUADERNI SNV 2010/2011
In un piano cartesiano si consideri il triangolo di vertici O(0;0), A(0;2), B(2;0).
Ricordiamo che il baricentro di un triangolo è il punto in cui si incontrano le mediane
del triangolo. Qual è la distanza tra il baricentro del triangolo OAB e l’origine O?
A.
2
3
2
B.
2
3
3
C.
6
3
D.
6
2
Il piano cartesiano
Distanza fra due punti
I punti hanno la stessa ordinata
I punti hanno la stessa ascissa
AB  xB  xA
AB  yB  y A
Caso generale
Consideriamo il segmento AB non parallelo agli assi.
Per calcolare la distanza fra A e B applichiamo il teorema di Pitagora al
Triangolo rettangolo ABH ( figura a lato):
2
AB  BH  AH
poichè
2
AH  yB  y A e BH  xB  x A
otteniamo
AB 
 xB  x A    y B  x A 
2
2
La retta di equazione y = 2-3x incontra gli assi cartesiani in due punti A e B.
Quanto misura il segmento AB ?
A.
B.
2
3
2
10
2
3
C.
1
2
5
D.
1
3
17
Le rette r e s in figura sono perpendicolari. L’equazione della retta s è
A. 3x − 2y − 6 = 0
B. 2x − 3y − 6 = 0
C. 2x + 3y − 6 = 0
D. 3x + 2y − 9 = 0
E. 3x − 2y − 9 = 0
Quesito n° 7 Test Scienze 9 settembre 2011
Sia r la retta di equazione x + 2y − 1 = 0. Quale tra le seguenti è
l’equazione di una retta perpendicolare a r?
A. y = -
1
x
2
B. y = -x
C. y = 2x
1
D. y = x
2
E. y = -2x
Quesito n° 14 Test Scienze 7 settembre 2010
Sia r la retta di equazione 2x-y+1=0. Quale tra le seguenti è una retta parallela ad
r?
1
A. y = x
2
B. y = -2x
C. y = 2x+3
D. y =
1
x 1
2
E. y = -
1
x 1
2
Quesito n° 4 Test iniziale PLSUN 2010/2011
Sia r la retta passante per i punti A(2,5) e B(-1,3). Il punto d’intersezione di r con l’asse x è:
 9

A.  - , 0 
 2

 11 
B.  
,0
 2

7

C.  , 0 
2

D.
E.
 11 
,0
 4

 11 
 0,

2 

Quesito n° 1 Test iniziale PLSUN 2011/2012
Considera gli angoli α, β in figura; quale tra la seguenti relazioni è
corretta?
A. tan  cos 
B. sin  cos 
C. cos  cos 
D. tan  tan 
E. sin  sin 
Quesito n° 6 Test Scienze 7 settembre 2010
LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI
Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo grado
per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma:
a x + b y + c = 0 con a, b, c
(a e b non entrambi nulli).
Una soluzione dell’equazione è una coppia (x0; y0) di numeri reali che la
soddisfa.
ESEMPIO
3x + 2y – 6 = 0
con x = 1
3·1 + 2y – 6 = 0
cioè
Inoltre
2y = 3
è una soluzione.
E nello stesso tempo rappresenta un
punto nel piano cartesiano.
x
y
0
3·0 + 2y – 6 = 0
y=3
2
3x + 2·1 – 6 = 0
3·2 + 2y – 6 = 0
y=0
1
LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI
ESEMPIO
Retta parallela all’asse x
Retta parallela all’asse y
PROPRIETÀ
Equazione di una retta parallela a un asse
L’equazione di una retta parallela all’asse x è y = k.
L’equazione di una retta parallela all’asse y è x = h.
PROPRIETÀ
Le equazioni degli assi
L’equazione dell’asse x è y = 0.
L’equazione dell’asse y è x = 0.
Retta non parallela agli assi
Condizione di allineamento
Consideriamo tre punti P, P1 e P2 e le
loro proiezioni sugli assi.
La condizione perché P (x; y)
appartenga alla retta passante per P1(x1;
y1) e P2(x2; y2) è:
TEOREMA
A ogni retta del piano cartesiano
corrisponde un’equazione lineare
Retta non parallela agi assi
in due variabili e, viceversa, a
ogni equazione lineare in due
variabili corrisponde una retta del
piano cartesiano.
Due casi particolari
dell’equazione di una retta
DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA
Equazione della retta in forma
implicita
Equazione della retta in forma
esplicita
y=mx+q
ax+by+c=0
coefficiente angolare
ordinata all’origine
ESEMPIO
Scriviamo in forma esplicita l’equazione 9x + 3y − 2 = 0 .
3y = − 9x + 2
y=−
Il coefficiente angolare è − 3
L’ordinata all’origine è
x+
y = − 3x +
IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI
DUE PUNTI
Se l’ascissa aumenta di una certa quantità fissa,
l’ordinata cresce anch’essa di una quantità
fissa.
Quando l’ascissa
aumenta di 1 unità,
l’ordinata aumenta di
m.
Il coefficiente angolare fornisce informazioni
sull’angolo tra la retta e l’asse x *, ossia sulla
pendenza della retta.
* Angolo a tra la semiretta i cui punti hanno ordinata
positiva e il semiasse x di verso positivo.
Pendenza positiva
m=2
Pendenza positiva
m = 1/3
Pendenza negativa
m = −2
L’EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN
PUNTO
Equazione della retta di coefficiente angolare m passante per P (x1; y1):
y – y1 = m·(x – x1)
ESEMPIO
Troviamo la retta di coefficiente angolare
m = , passante per P (1; 2).
y–2=
·(x – 1)
Equazione di una retta passante per
l’origine:
y = mx
LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Equazione della retta passante per due punti
La condizione di allineamento fornisce l’equazione della retta passante per i
punti (x1; y1) e (x2; y2):
y  y1
x  x1

.
y 2  y1 x2  x1
ESEMPIO
Determiniamo l’equazione della retta r passante per i punti A(-2;5) e
B(1;-4) e stabiliamo se i punti C(-1;2) e D(1;3) appartengono alla retta.
y – 5 = – 3x – 6
C(–1;2), y + 3x + 1 = 0
D(1;3), y + 3x + 1 = 0
2 + 3·(–1) + 1 = 0
3 + 3·1 + 1 ≠ 0
y + 3x + 1 = 0
Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità
Teorema
Rette parallele
Due rette (non parallele all’asse y) sono parallele se e solo se hanno lo stesso
coefficiente angolare:
m  m '.
Teorema
Rette perpendicolari
Due rette ( non parallele agli assi) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro
coefficienti angolari è uguale a -1: m  m '  1.
La distanza di un punto da una retta
Consideriamo un punto P(x0 , y0 ) e una retta r. Esaminiamo due casi:
1. La retta r è parallela all’asse x o all’asse y . In questo caso la distanza di P da r è il
valore assoluto della differenza delle ordinate e delle ascisse di P e H, dove H indica
la proiezione ortogonale di P su r.
2. La retta r non è parallela agli assi
In generale la distanza di un punto P(x0 ; y0 ) da una retta di equazione ax + by + c =0 è
data dalla formula:
d  PH 
ax0  by0  c
a 2  b2