Proposte per la prova scritta a conclusione del liceo scientifico

Archimede
proposte per la
prova scritta a conclusione
del liceo scientifico
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Nei mesi scorsi era stato annunciato un provvedimento che, fermi restando i riferimenti normativi generali per l’esame di Stato (leggi n. 425 del 1997 e n. 1 del
2007), avrebbe modificato, fra l’altro, la struttura della seconda prova scritta; alla
fine di settembre 2014 era stato organizzato dal Ministero un Convegno in proposito a Rovigo.
Recentemente il Ministero ha deciso di rinviare il provvedimento al prossimo
anno, per cui la struttura del tema di matematica potrà cambiare solo dal 2016.
Comunque, già dal 2015 potrebbe cambiare la materia oggetto della prova scritta:
la prova riguarda una delle discipline caratterizzanti il corso di studi. Tali discipline sono:
– nel Liceo Scientifico: matematica, fisica;
– nel Liceo Scientifico per le scienze applicate: matematica, fisica, scienze;
(il Liceo Scientifico sportivo non ha ancora il quinto anno).
Entro il 31 gennaio di ogni anno il Ministro indicherà la materia oggetto di
esame, senza rigidi vincoli di alternanza fra le materie caratterizzanti. Entro la
stessa data sarà anche precisato se è concesso l’uso di calcolatrici.
Per il 2015 è probabile che si confermi il tema di matematica e che sia consentito solo l’uso di calcolatrici non programmabili. È anche probabile che non cambi il
tempo assegnato (6 ore), tempo che è precisato contestualmente alla prova.
In previsione della nuova struttura della prova, la rivista Archimede ha invitato
alcuni docenti esperti, sia delle Superiori sia universitari, a preparare quesiti di
matematica che si ritengono adatti. Ricordiamo che un’iniziativa analoga è stata
promossa, indipendentemente, dal sito di divulgazione della matematica
http://maddmaths.simai.eu/
Anche se le nuove norme non sono ancora state emanate ufficialmente, il
contenuto circola da tempo. Si parla di «quesiti», eventualmente articolati in
sottoquesiti. Un «quesito» dovrebbe avere una complessità intermedia fra i problemi e i quesiti dei temi assegnati negli ultimi anni; in concreto, a nostro parere,
dovrebbe contenere richieste a cui uno studente normale può rispondere in
mezz’ora o poco più.
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Più precisamente, pare che le nuove norme prevedranno:
– Tre quesiti obbligatori. Questi quesiti serviranno a valutare se lo studente possiede le «conoscenze fondamentali». Si dovrebbe trattare di richieste standard.
– Tre quesiti a scelta su sei proposti, di «carattere teorico e applicativo», che evidenzino le capacità di «integrazione fra le discipline caratterizzanti». Quindi
questi sei quesiti (tutti o solo alcuni?) avranno carattere interdisciplinare; risolvendo questa parte, lo studente dovrebbe dimostrare di possedere certe abilità
e competenze e di essere in grado di applicarle in situazioni e in contesti diversi.
Per il gennaio 2015 è prevista una simulazione ufficiale predisposta al Ministero.
Stando a voci attendibili, è probabile che quesiti interdisciplinari e contestualizzati
siano assegnati già nel 2015.
Ricordiamo, infine, che per legge l’esame è finalizzato «all’accertamento delle
conoscenze e delle competenze acquisite nell’ultimo anno di corso di studi», con gli
ovvi riferimenti agli anni precedenti.
Prima di riportare i quesiti, notiamo che le proposte seguenti sono piuttosto
diverse fra loro: alcuni quesiti sono semplici, mentre altri appaiono impegnativi e,
forse, un po’ troppo lunghi. La presenza di quesiti impegnativi è, in qualche misura, inevitabile in un’iniziativa come questa: quasi tutti gli autori dei quesiti hanno
preferito preparare una proposta articolata, da cui ciascun insegnante può, volendo,
estrarre domande più circoscritte o più semplici.
Anche se non mancano temi tradizionali, sono stati privilegiati argomenti nuovi (in particolare, geometria analitica dello spazio ed equazioni differenziali) e i
quesiti interdisciplinari. Qualche quesito, come il n. 11, riguarda argomenti non
strettamente relativi all’ultimo anno di corso (di fatto, anche in passato sono stati
spesso assegnati quesiti che si riferivano ad argomenti studiati negli anni precedenti); inoltre, nel quesito n. 10 si introduce un’equazione differenziale non difficile,
ma del second’ordine, che forse non tutti i docenti affronteranno.
In ogni caso, ci auguriamo che i quesiti seguenti possano offrire ai docenti utile
materiale di lavoro e di discussione.
Claudio Bernardi
[email protected]
Sergio Zoccante
[email protected]
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Quesiti obbligatori proposti da Lucia Ciarrapico
([email protected])
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 x per x < 2
 8 per x ≥ 2
1) Si disegni il grafico della funzione f ( x) = 
Si indichino gli eventuali punti di discontinuità e gli eventuali punti in cui la funzione è continua ma non derivabile giustificando le risposte.
2) È data una funzione f(x) la cui funzione derivata f'(x) ha per diagramma, in
un piano cartesiano ortogonale Oxy, la semicirconferenza di centro C(0; 1),
avente per estremi i punti A(−2; 1), B(2; 1) e passante per il punto D(0; −1). Si
dica quali sono i valori di x, se esistono, in cui la funzione f(x) presenta massimi
relativi, minimi relativi, flessi e si giustifichino le risposte.
Commento. I concetti fondanti per i quesiti sono rispettivamente il grafico di
una funzione e la funzione derivata. Ovviamente la funzione f(x) di cui al n. 2 non
è univocamente determinata.
Quesito interdisciplinare proposto da Giuliana Massotti
([email protected])
3) Nel salto triplo, l’atleta, dopo una rincorsa, raggiunge la zona di battuta, da
dove effettua tre balzi consecutivi. Il record appartiene al britannico Jonathan
Edwards ed è di 18,29 m.
Esaminando il salto, si osserva che, nel primo balzo, la velocità di stacco tangente alla traiettoria ha inclinazione di 15° rispetto alla pedana, nel secondo salto di 13°
e nell’ultimo di 17°. Le misure parziali dei 3 balzi sono rispettivamente uguali a 6,69
m, 5,9 m, 5,7 m.
Si rappresenti l’atleta con un punto e si fissi l’origine del sistema di riferimento nel
punto di stacco del primo balzo. Determinare le funzioni che rappresentano le traiettorie dei tre salti, approssimando i calcoli, e studiare l’andamento di tali funzioni.
Commento. Il quesito propone la modellizzazione di una situazione reale. I
calcoli sono diversi dal solito perché approssimati, ma le funzioni soluzione sono 3
parabole ...
Quesiti obbligatori proposti da Antonio Fanelli
([email protected])
4) Fissato nello spazio un sistema di riferimento ortogonale monometrico Oxyz,
si considerino i punti A (1; 3; 0), B (–1; 0; 1).
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a.Determinare il luogo geometrico dei punti equidistanti da A e da B, verifican-
do che si tratta di un piano di equazione 2x + 3y – z – 4 = 0.
b.Detti C, D ed E i punti d’intersezione tra questo piano e gli assi x, y e z
rispettivamente, determinare il volume della piramide avente per base il triangolo OCD e per vertice il punto E.
Commento. Si tratta di un quesito che vuole accertare il possesso di conoscenze
e competenze fondamentali relative alla geometria analitica dello spazio. Il volume
richiesto è 16/9.
5) Si consideri un dado a 6 facce non truccato e lo si lanci per 3 volte consecutive.
a.Si determini la probabilità che esca per tre volte uno stesso numero.
b.Si determini la probabilità che escano tre numeri a due a due diversi.
c.Si determini la probabilità che uno stesso numero esca esattamente due volte.
Commento. Si tratta di un quesito che vuole accertare il possesso di conoscenze
e competenze fondamentali relative al calcolo delle probabilità. Si noti che la somma
delle tre probabilità trovate è 1.
Quesiti proposti da Maria Angela Chimetto
([email protected])
6) Quesito obbligatorio
Fissato nello spazio un sistema di riferimento ortogonale monometrico Oxyz, si
considerino i punti A (1; 0; 0), B (1; 1; 4) e C (−1 ; 1; 1).
a.Mostrare che A, B e C non sono allineati.
b.Determinare l’equazione del piano ABC.
c.Determinare, in forma parametrica, le equazioni della retta passante per A e
perpendicolare al piano ABC.
Commento. Si tratta di un quesito che vuole accertare il possesso di conoscenze
fondamentali relative alla geometria analitica dello spazio. La risoluzione risulta
più semplice se si ricorre al calcolo vettoriale. In particolare, per verificare che A, B,
C non sono allineati basta osservare che i vettori B−A e C−A non sono proporzionali. Quanto alla seconda domanda, una volta trovato che il piano ABC ha equazione 3x + 8y − 2z − 3 = 0, basta osservare che il vettore dei coefficienti (3; 8; −2)­è
perpendicolare al piano; quindi l’equazione richiesta si può scrivere nella forma
P = (1; 0; 0) + t(3; 8; −2).
7) Quesito interdisciplinare
Il tronco di un albero, che possiamo approssimare con un cilindro, aumenta di
diametro nel tempo formando ogni anno due nuovi anelli. La crescita è più veloce
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in annate di piogge abbondanti, meno veloce in periodi più secchi. In una certa
zona l’andamento delle piogge è ciclico, e possiamo descrivere la velocità di accrescimento, variabile nel tempo, del raggio del tronco di un albero di una data specie
con la funzione periodica v(t) = h + A sin wt, dove v è la velocità di accrescimento in cm/anno e t il tempo in anni.
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a.Sapendo che il periodo del ciclo delle piogge è di 10 anni, e che la velocità di
accrescimento oscilla tra un minimo di 0,5 cm/anno e un massimo di 2,5 cm/
anno, determinare h, A e w.
b.Determinare la legge che esprime il raggio del tronco in funzione del tempo, se
per t = 0 il raggio misura 10 cm.
c.Calcolare il raggio del tronco dell’albero per t = 10.
Commento. Il quesito propone la modellizzazione (schematica ed essenziale) di un
fenomeno naturale e l’applicazione di concetti e tecniche di calcolo differenziale alla
soluzione di un problema. La risposta alla prima domanda è w = p/5, h = 1,5, A = 1.
L’ultima domanda ha per risposta 25 cm.
Quesito interdisciplinare proposto da Ornella Robutti, Valeria
Andriano, Elisa Gentile
([email protected])
8) Lasciando raffreddare a temperatura ambiente (T0 = 20°C) una sostanza, si
rilevano le seguenti temperature.
tempo (minuti)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Temperatura (°C)
75
65
58
54
50
46
43
40
38
36
Riportando le temperature sull’asse y e il tempo sull’asse x si ottiene il seguente grafico.
80
Temperatura (°C)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
Tempo (minuti)
40
50
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a.Individua tra le seguenti equazioni differenziali, quella la cui soluzione ha un
andamento del tipo del grafico riportato sopra. Spiega le ragioni della tua scelta
e il motivo per cui escludi le altre.
1) y' = T0y
2) y' = T0 + y
3) y' = T0 − y
4) y' = y + t
b.Secondo la legge del raffreddamento di Newton, la velocità di raffreddamen-
to è direttamente proporzionale alla differenza tra la temperatura ambiente T0
(che si suppone costante) e la temperatura della sostanza. Scrivi l’equazione
differenziale che descrive il problema motivando il ragionamento (indica con
k la costante di proporzionalità che esprime il coefficiente di raffreddamento).
Risolvi poi l’equazione differenziale trovata con la condizione iniziale indicata nella tabella.
Commento. Nelle Indicazioni Nazionali per il liceo scientifico, il terzo dei grup-
pi di concetti e metodi è particolarmente significativo per circoscrivere il quesito che
proponiamo. Infatti recita: «gli strumenti matematici di base per lo studio dei fenomeni fisici, con particolare riguardo al calcolo vettoriale e alle equazioni differenziali, in particolare l’equazione di Newton e le sue applicazioni elementari». Qui ci
concentriamo sulle equazioni differenziali, affrontate non sotto l’aspetto del calcolo
e della risoluzione, ma del profondo intreccio tra significati matematici e rappresentazioni di nodi concettuali importanti come: l’equazione differenziale, le sue soluzioni, il suo grafico, nonché le argomentazioni e giustificazioni che occorrono per
collegare tra loro questi nodi. Infatti, non è solo importante che gli studenti sappiano cos’è un’equazione differenziale e come si risolve, ma quali fenomeni può descrivere, che relazione c’è tra soluzione ed equazione, tra soluzione e grafico, e infine
sappiano argomentare approfonditamente al riguardo. A tal proposito, infatti, le
Indicazioni recitano: «Altro importante tema di studio sarà il concetto di equazione
differenziale, cosa si intenda con le sue soluzioni e le loro principali proprietà […].
Si tratterà soprattutto di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto
strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di
fenomeni fisici o di altra natura.»
Cenno di risoluzione. Alla prima domanda del problema si può rispondere
analizzando il grafico. La derivata prima deve essere sempre negativa e la temperatura y è sempre positiva. Pertanto si escludono le equazioni 1), 2), 4). Rimane la
3), che è compatibile con l’andamento in figura poiché T0 – y è negativa.
Per la seconda parte del problema, la legge del raffreddamento di Newton porta all’equazione differenziale y' = k(T0 – y), che è un’equazione a variabili separabili. La soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(0) = 75 è data dalla funzione: y(t) = 20 + 55e–kt.
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Quesiti proposti da Lorenzo Meneghini
([email protected])
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9) Quesito obbligatorio
Nello spazio, riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz, si
considerino il piano a di equazione 2x − 2y − z = −9 e la sfera S di equazione
(x + 5)2 + (y − 6)2 + (z − 5)2 = 100. Detto G il cerchio ottenuto dall’intersezione
tra il piano a e la sfera S, se ne determinino il centro C ed il raggio r; si calcoli infine il volume del cono avente vertice V (–1, 10, 3) e base G.
Commento. Probabilmente, visto che il testo parla di intersezione, per molti
studenti è spontaneo considerare il sistema formato dalle due equazioni date e cercare di eliminare la variabile z, nel tentativo di ritrovare l’equazione della circonferenza nella forma consueta.
Naturalmente questo approccio è sbagliato perché siamo nello spazio (e la circonferenza si rappresenta proprio con quel sistema, che non è sostanzialmente semplificabile). È necessario un ragionamento preliminare di geometria sintetica: considerando la retta per il centro della sfera perpendicolare al piano a e intersecando
tale retta con a, si trova centro della sfera, che è (–1, 2, 3). Con una semplice applicazione del teorema di Pitagora si conclude che il raggio è 8.
10) Quesito interdisciplinare
Un punto materiale di massa m si muove lungo l’asse x sotto l’azione della forza
F = −2mx − 3mv
dipendente dalla velocità v e dalla posizione x del punto stesso.
i. Si determini la legge oraria sapendo che, in opportune unità di misura, risulta
x(0) = 0 e v(0) = 8.
ii.Verificato che risulta x(t) = 8(e−t − e−2t), si determini l’istante in cui il punto si
trova alla massima distanza dall’origine e quello in cui la forza agente sul punto
materiale raggiunge la sua massima intensità.
Commento. In questo caso la Fisica fornisce il pretesto per introdurre l’equazio-
ne differenziale
x" + 3x' + 2x = 0;
dopo di che il fulcro del quesito diviene un problema di massimo, più abituale nello
studio dell’analisi; d’altra parte, il fatto che il testo fornisca la legge oraria consente
di risolvere almeno in parte il quesito anche a chi non avesse familiarità con le equazioni differenziali, verificando l’espressione della legge oraria.
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Al punto (ii) si potrebbe chiedere, alternativamente, di disegnare la funzione
x = x(t) per t ≥ 0 in un riferimento opportuno e di commentare il significato dell’asintoto orizzontale mantenendo invariata la prima parte. Credo, infatti, che i quesiti
del secondo gruppo non debbano essere eccessivamente lunghi, consentendo comunque al candidato di mostrare le competenze acquisite.
Quesiti proposti da Maria Flavia Mammana
([email protected])
11) Assegnata una piramide a base triangolare ABCD di base ABC e vertice D,
si consideri il triangolo T avente per vertici i baricentri delle facce laterali della
piramide. Il candidato dimostri che T è simile al triangolo che ha per vertici i
punti medi dei lati della base ABC.
Cenno di risoluzione. Siano A', B' e C' rispettivamente i punti medi dei
segmenti BC, AC e AB. Siano A", B" e C" rispettivamente i baricentri delle facce BCD, ACD e ABD; T è il triangolo A"B"C". Poiché DC' è una mediana di
ABD, si ha DC" = (2/3) DC'. Analogamente DA" = (2/3) DA' e DB" = (2/3) DB'.
Quindi l’omotetia di centro D e rapporto 2/3 trasforma i punti A", B" e C" rispettivamente nei punti A', B' e C'.
Un’analoga proprietà vale per una qualsiasi piramide; inoltre, piramidi triangolari che hanno stessa base individuano triangoli T congruenti. Naturalmente T è
simile anche alla base della piramide.
D
b
c
P
B"
d
A"
C
C"
B'
A
C'
a
D
e
E
C
A'
B
F
12) Nell’antico Egitto era necessario ristabilire i confini dei campi a seguito delle
inondazioni del Nilo. Tirando funi, i geometri egiziani erano capaci di tracciare
rette (tendendo la fune tra due punti A e B) e circonferenze (facendo ruotare una
fune tesa intorno a un punto che rimane fisso).
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Il candidato esponga una costruzione «tirando le funi» per costruire la retta
perpendicolare ad una retta assegnata e passante per un punto P fuori di essa.
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Cenno di risoluzione. Si tratta, essenzialmente, di una costruzione con riga
e compasso, perché rette e circonferenze si possono costruire tirando funi. Nel
nostro caso sono assegnati la retta a ed un punto P fuori di essa. Scelto un punto
C del semipiano di origine a non contenente P, sia c la circonferenza di centro
P passante per C. Siano D ed E le intersezioni di c con a. Siano d ed e le
circonferenze passanti per P e di centro rispettivamente D ed E. Sia F l’ulteriore punto di intersezione tra d ed e. Si verifica facilmente che la retta PF è
l’asse del segmento DE e quindi è la perpendicolare cercata.
Proposta di Ida Spagnuolo per uno dei 6 quesiti a scelta
([email protected])
13) È data la funzione seguente, definita su tutto R:




f ( x) = 



e– x –1 +
1
2
1 2
x +2
2
x+2
se x ≤ –1
se –1 < x < 2
se x ≥ 2
a.Tracciare il grafico di f(x) e studiarne continuità e derivabilità.
b.Determinare f'(x), tracciarne il grafico e studiarne continuità e derivabilità.
c.Confrontare il comportamento delle due funzioni f(x) e f'(x), nei punti x = −1
e x = 2.
d.Stabilire infine con esauriente motivazione se, attribuendo ad f'(2) il valore 1,
è possibile calcolare
4
∫0
f '( x) dx e, in caso affermativo, determinarne il valore.
Commento. Il quesito ha carattere prevalentemente teorico relativamente alle
connessioni tra i concetti di continuità, derivabilità e integrabilità; pertanto, anche
se non richiede applicazioni e non prevede interazioni con altre discipline caratterizzanti, è proposto nel gruppo dei sei quesiti a scelta dello studente.
Il quesito è proposto per verificare le competenze relative a
• operatività di base: tracciare grafici elementari o ad essi riconducibili con semplici
1
trasformazioni geometriche (cfr. y = e – x –1 + ) , applicare regole di derivazione;
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• relazioni tra i concetti di continuità, derivabilità e integrabilità: «derivabilità →
continuità → integrabilità», ma non valgono le due implicazioni inverse.
Il grafico di f(x) non presenta difficoltà e la discontinuità per x = −1 è di immediata verifica. Semplici calcoli – e l’osservazione del grafico – consentono di verificare poi la non derivabilità per x = 2.
La funzione f'(x) non è definita in x = −1; ma è interessante osservare che, se
si pone f'(−1) = −1, allora la derivata risulta continua e derivabile in x = −1. I
grafici sono illustrati in figura.
6
f(x)
4
2
c=4
0
–4
–2
f'(x)
0
2
4
6
8
–2
–4
Per quanto riguarda infine l’ultima richiesta, l’integrale esiste proprio perché la
classe delle funzioni integrabili (nel senso di integrale definito) è più ampia di quella delle funzioni continue. In questo caso la risposta può essere dedotta facilmente
anche senza ricorrere al calcolo integrale.
Quesito obbligatorio proposto da Giovanni Margiotta
([email protected])
14) Considerato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xyz nello spa-
zio, sia S un solido contenuto fra i piani di equazione x = 0 e x = 5. Sia S la
sezione piana ottenuta dall’intersezione di S con il piano parallelo a yz passante
per il punto P = (x, 0, 0) e sia f(x) il valore della sua area. Pertanto, la funzione
f(x) fa corrispondere all’ascissa x del punto P, che varia tra 0 e 5, il valore
dell’area della relativa sezione piana; sia f(x) definita da
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2x – 1

x → 2
x – x +1


0

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x ∈ (0, 5)
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x ∈ (– ∞, 0] ∪ [5, +∞)
a.Si descriva l’andamento del segno della funzione
2x – 1
per x ∈ [0, 5].
x – x +1
2
b.Si determini il volume del solido.
c.Sia S' il corrispondente di S rispetto alla similitudine T di rapporto 2.
Si determini il volume del solido S'.
Cenno di soluzione.
a.Il segno della funzione per x ∈ [0, 5] coincide con quello di 2x − 1, poiché
nel­l’intervallo considerato la funzione x2 – x + 1 è maggiore di 0.
1
0,5
0
–0,5
–1
0 0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
h
b.Per determinare il volume del solido è necessario calcolare l’integrale
5
∫0
1/ 2
5
2x – 1
2x – 1
2x − 1
dx = ∫ – 2
d + ∫
dx =
2
0
1
/
2
x – x +1
x – x +1
x − x +1
 112 
 4
= logg   + log(28) = log 
.
 3 
 3
2
3
 112 
.
 3 
c.Il volume di S' è uguale a 2 ⋅ log 
Proposta di Mirko Maracci e Maria Reggiani per uno dei 6
quesiti a scelta
([email protected], [email protected])
15) Sia ABCDE una piramide retta che ha per base un quadrato ABCD, per
vertice un punto E, ed è tale che le facce ABE, BCE, CDE e DAE siano triangoli equilateri.
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Si assuma un sistema di riferimento cartesiano Oxyz in modo che A, B, C e
D abbiano coordinate rispettivamente (−1, 0, 0), (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ed E
si trovi sulla semiretta positiva dell’asse z.
a.Si determinino le coordinante del punto E.
b.Detto F il punto di coordinate (1, 1, 1), quarto vertice del tetraedro regolare
CDEF, si mostri che i triangoli BCE e CEF appartengono a uno stesso piano
e che lo stesso vale per i triangoli ADE e DEF.
c.Il poliedro convesso di vertici A, B, C, D, F ed E ha facce parallele? Ha spigoli paralleli?
Commento. L’idea del
z
quesito è proporre lo studio
E
1
di una configurazione clasF
sica, impegnativo dal punto
di vista sintetico, con il supporto della geometria ana–2
litica, che permette di indiA –1
–1
0
viduare proprietà della
1
2
B
1
configurazione non facilD
y
2
C
mente visualizzabili. Per
x
rispondere alla domanda
posta all’ultimo punto è utile infatti visualizzare o rappresentare graficamente la situazione proposta per poi
verificare analiticamente il parallelismo delle facce ABE e CDF e il fatto che le
altre facce sono parallelogrammi (rombi). Si tratta quindi di un prisma avente per
base un triangolo equilatero. Il riferimento scelto rende i calcoli particolarmente
semplici permettendo di concentrare l’attenzione proprio sulla configurazione.
Per risolvere il quesito sono sufficienti, oltre agli elementi base di geometria
dello spazio previsti per il secondo biennio, conoscenze e abilità che riguardano,
nell’ambito della geometria cartesiana dello spazio, la distanza tra punti, la rappresentazione parametrica di un punto su una retta, l’equazione cartesiana di un piano,
le mutue posizioni fra piani e rette. Si tratta di abilità e conoscenze di base individuate nella proposta di syllabus elaborata dall’UMI-CIIM (2014).
Pensando a un tema con quesiti di base e quesiti opzionali, le abilità e conoscenze richieste porterebbero a collocare il quesito fra quelli obbligatori. Tuttavia, tenendo conto del fatto che le coordinate cartesiane nello spazio sono uno dei temi
nuovi previsti dalle indicazioni nazionali, inizialmente una collocazione opportuna
potrebbe essere fra i quesiti opzionali.
Una versione più completa e forse più interessante, ma certamente più difficile,
del quesito consiste nel lasciare allo studente la scelta del riferimento opportuno. In
questo modo è possibile presentare il problema descrivendo F come vertice del tetraedro regolare senza fornirne le coordinate e, di conseguenza, lasciando libero lo
studente di attivare strategie per la sua determinazione.
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Archimede
Proposta di Elisa Garagnani per uno dei 6 quesiti a scelta
([email protected])
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16) Una funzione f è definita e continua su tutto R; il suo grafico, simmetrico
rispetto al punto (6; 0), è rappresentato in figura.
3
2
1
0
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
–2
–3
A partire da f, definiamo anche la funzione F ( x) =
x
∫0
f (t) dt .
a.Si dispongano in ordine crescente i seguenti valori: F(0), F(5), F(9), F(12).
b.Si evidenzino sul grafico gli elementi che permettono di giustificare le disugua-
glianze 6 ≤ F(6) ≤ 12.
c.Quale tra le seguenti può essere l’equazione di f ?
1.f (x) = 2cos(2x)
π 
x ;
 6 
2. f ( x) = 2 sin 
3.f (x) = sin(2x)
π 
x  – 1.
6 
4. f ( x) = cos 

d.Quale tra i seguenti grafici può rappresentare la funzione F?
7
6
5
1.
4
3
2
1
0
–1 0
1
2
3
4
5
6
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9 10 11 12 13 14
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3
2
1
0
2.
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
12
–2
–3
4
3
2
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0
–2 –1 0
–1
–2
–3
3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
–4
Cenno di soluzione.
a.Intrepretando geometricamente la funzione integrale come area «con segno» del
sottografico di f, si ha: F(0) = F(12) = 0 < F(9) < F(5).
3
B
2D
1
b.
–2
–1
f
π
6
c. f ( x) = 2 sin 
E
Area di ADEC = 12
0A
0
–1
Area di ABC = 6
1
2
3
4
5
C
6
7
8
–2

x .

d.Grafico 1.
Quesiti obbligatori proposti da Stefano Accorsi e Giorgio
Bolondi
([email protected], [email protected])
17) Un filo di ferro lungo 100 cm viene tagliato in due parti. Indichiamo con x
la lunghezza di una delle due parti, con x che varia nell’intervallo (0, 100). Con
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una delle due parti in cui il filo è stato tagliato si costruisce un quadrato, con l’altra
un triangolo equilatero.
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a.Indichiamo con Q(x) l’area del quadrato e con T(x) l’area del triangolo. Scri-
vere esplicitamente l’espressione della funzione A(x) = Q(x) + T(x).
b.Esiste sicuramente un valore della variabile per cui la funzione A(x) ha un
minimo. Perché? Quale teorema permette di affermarlo?
c.Qual è il valore per cui A(x) ha minimo? Quanto vale il minimo della funzione?
18) Consideriamo la funzione
Φ( x) =
x
log x
a.Per ognuna delle seguenti affermazioni, stabilire se è vera o falsa, motivando la
risposta.
La retta di equazione x = 0 è un asintoto verticale.
La retta di equazione x = 1 è un asintoto verticale.
Il punto (0; 0) è un punto del grafico di F(x).
La retta di equazione y = 0 è un asintoto orizzontale.
Non ci sono asintoti orizzontali.
b.Per quali valori di x la retta tangente al grafico della funzione nel punto di
ascissa x ha coefficiente angolare m = −1?
c.Quale tra i seguenti grafici può essere quello di F(x)? Motivare la risposta.
–
–
–
–
–
6
5
4
5
3
4
2
3
1
0
2
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
1
A
0
–2 –1 0
–1
1
2
4
5
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8
B
6
5
5
4
4
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3
2
2
1
1
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–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
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D
3
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4
5
6
7
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–3
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0
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
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C
3
2
–3
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Quesito interdisciplinare proposto da Achille Maffini
([email protected])
19) Il seguente grafico, proposto da un insegnante di fisica, rappresenta la velo-
cità (espressa in m/s) in funzione del tempo (misurato in s) del moto rettilineo di
un punto materiale P.
v(m/s)
8
A
F
6
4
2
0 f
O 0
–2
2
4
6
8
C
10
12
14
16
D
18 t(s)
B
I punti A e B, di coordinate rispettivamente (4; 8) e (14; –2) sono punti
estremanti del grafico, mentre F(6; 6) è un punto di flesso.
a.L’insegnante chiede di stabilire una stima della distanza del punto P dal punto
di partenza al tempo t = 18 s. Come suggerimento, consiglia di utilizzare il
quadrilatero OAFC e il triangolo CBD. Le risposte date dagli studenti sono:
0 m; 23,5 m; 19 m; 34 m; 50 m.
Quale, tra i valori proposti, risponde meglio alla richiesta dell’insegnante? Motivare esaurientemente la risposta.
b.Dopo aver individuato, motivando la risposta, quale tra i valori 0, 1/4, 1, 4 può
indicare (in m/s2) l’accelerazione iniziale del punto, si rappresenti un grafico
qualitativo dell’accelerazione del punto materiale in funzione del tempo.
Cenno di risoluzione.
a.L’indicazione di utilizzare i poligoni suggerisce che in un diagramma velocità-
tempo lo spostamento si ottiene mediante il calcolo di un integrale definito.
Inoltre le aree vanno considerate con segno. I valori proposti corrispondono ai
seguenti procedimenti:
0 m
confonde il diagramma velocità-tempo con quello posizione-tempo;
23,5 m misura il percorso attraverso la somma dei lati dei poligoni (non contenuti sull’asse delle ascisse);
19 m misura il percorso attraverso la somma dei lati dei poligoni (non contenuti sull’asse delle ascisse) considerando con misura negativa i segmenti CB
e BD;
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considera la misura delle aree del quadrilatero e del triangolo, quest’ultima
con segno negativo (risposta corretta);
50 m considera la misura delle aree del quadrilatero e del triangolo, senza tener
conto dei segni.
b.Poiché l’accelerazione in un certo istante può essere vista come il coefficiente
angolare della tangente al grafico della funzione velocità in quell’istante, dal
grafico si deduce che il valore più plausibile è 4 m/s2. Tenendo conto degli
intervalli di monotonia della funzione v, un grafico qualitativo dell’accelerazione a in funzione del tempo è rappresentato in figura.
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a(m/s2) 5
4
3
2
1
0
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
–1
t(s)
–2
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